24x

2026-06-12

VE0092 | Cienkościenne naczynie toroidalne

Opis

Cienkościenny zbiornik toroidalny jest obciążony ciśnieniem wewnętrznym p zgodnie z poniższym rysunkiem. Pomijając ciężar własny, należy wyznaczyć naprężenie von Misesa zarówno na wewnętrznym, jak i zewnętrznym promieniu w punktach testowych 1 i 2.

Materiał	Izotropowy liniowo-sprężysty	Moduł sprężystości	E	210000,000	MPa
Materiał	Izotropowy liniowo-sprężysty	Współczynnik Poissona	ν	0,296	-
Geometria	Zbiornik toroidalny	Mały promień	r	150,000	mm
		Duży promień	R	500,000	mm
		Grubość ścianki	t	2,000	mm
Obciążenie	Ciśnienie wewnętrzne	Ciśnienie wewnętrzne	p	0,500	MPa

Cienkościenne naczynie toroidalne

Rozwiązanie analityczne

Rozwiązanie analityczne opiera się na teorii zbiorników cienkościennych. Teoria ta została przedstawiona w VE0084 | Cienkościenny zbiornik sferyczny . Stan naprężenia w zbiorniku cienkościennym jest ogólnie opisany równaniem Laplace'a:

\frac{σ_{1}}{r_{1}} + \frac{σ_{2}}{r_{2}} = \frac{p}{t}

Równanie Laplace’a

Gdzie σ₁, σ₂ to odpowiednio naprężenia w płaszczyźnie południkowej i w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny południkowej, a r₁, r₂ to odpowiednie promienie krzywizny. Wymienione naprężenia odpowiadają naprężeniom głównym. Równanie Laplace'a można przekształcić do postaci sił normalnych na jednostkę długości w odpowiednim kierunku N_ϕ, N_θ:

\frac{N_{φ}}{r_{1}} + \frac{N_{θ}}{r_{2}} = p

Równanie równowagi w postaci sił normalnych

Promienie r₁ i r₂ są w przypadku zbiornika toroidalnego zdefiniowane jako:

r_{1} = r,

r_{2} = \frac{r_{0}}{\sin φ} = r + \frac{R}{\sin φ}

Definicja promieni

Gdzie r₀ definiuje promień okręgu równoleżnikowego zgodnie z poniższym rysunkiem.

r_{0} = R + r \sin φ

Promień okręgu równoległego

Szkic problemu cienkościennego zbiornika toroidalnego

Z równowagi sił wewnętrznych i zewnętrznych siłę normalną N_ϕ można wyznaczyć w następujący sposób:

N_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 r_{0}}

Siła południkowa na jednostkę długości

Po podstawieniu do równania sił, siła normalna N_θ wynosi:

N_{θ} = \frac{p r}{2}

Siła obwodowa na jednostkę długości

Na podstawie wyżej wymienionych wzorów na siły normalne na jednostkę długości można zdefiniować odpowiednie naprężenia:

σ_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 t r_{0}},

σ_{θ} = \frac{p r}{2 t}

Naprężenia południkowe i obwodowe

Naprężenie von Misesa można obliczyć zgodnie ze wzorem:

σ_{M i s e s} = \sqrt{σ_{φ}^{2} + σ_{θ}^{2} - σ_{φ} σ_{θ}}

Napreżenia zredukowane wg Misesa

Naprężenie von Misesa w punktach testowych 1 i 2 wynosi zatem:

σ_{M i s e s 1} \approx 28.810 M P a,

σ_{M i s e s 2} \approx 39.369 M P a

Scrivi wynikowe w punktach testowych

Ustawienia RFEM

Modelowane w RFEM 6.14 i RFEM 5.39
Rozmiar elementu skończonego l_FE = 0,005 m
Zastosowano izotropowy materiał liniowo-sprężysty
Zastosowano analizę dużych deformacji ze względu na membranowy element powłokowy

Wyniki

Wielkość	Teoria [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Stosunek [-]	RFEM 5 [MPa]	Stosunek [-]
σ_{Mises 1}	28,810	28,812	1,000	28,812	1,000
σ_{Mises 2}	39,369	39,630	1,007	39,630	1,007

Uwaga: Naprężenie jest oceniane na powierzchni środkowej zbiornika toroidalnego.

Porównanie przebiegu naprężeń von Misesa na okręgu południkowym -- teoria i wyniki RFEM, oznaczenie punktów testowych 1 i 2

Porównanie przebiegu naprężeń zredukowanych von Misesa na kole południkowym -- Teoria i wyniki RFEM, Oznaczenie punktów testowych 1 i 2

Rozkład naprężeń Von Misesa w RFEM

78x

Przykład weryfikacyjny 000092 | 1

;