RFEM 6/RSTAB 9 中使用等效线性组合分析反应谱中的模态反应叠加

技术文章

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理论背景

反应谱方法通过定义的反应谱方法确定一个振型反应。在结构体系比较复杂的情况下，需要考虑的振型的数目很多。随后的叠加被证明是困难的，因为在现实中所有的固有振动不会以它们的全部大小同时出现。计算时考虑到各个模态响应进行二次叠加。欧洲设计规范 EN 1998-1 对此给出了两条规定：平方和的开平方法（SRSS 规则）和完全二次组合的方法（CQC 规则）{%！

应用这些规则而不是简单的相加可以得到更真实和更经济的结果。但是在叠加过程中会丢失激励的方向，从而导致结果的正负号。程序在正方向和负方向上都给出了最大值。相应的内力，例如最大轴力时的内力矩，都将丢失。这应该通过修改 SRSS 和 CQC 规则来避免：这些公式将写为线性组合而不是根。该公式是由 Prof. Dr.-Ing. 创造的。 C. Katz 在文章 {%!#Refer [2]]] 中，并且在下文中将使用 SRSS 规则的示例进行说明。

标准SRSS规则

$E_{SRSS} = \sqrt{E_{1}^{2} + E_{2}^{2} + . . . + E_{p}^{2}}$

修正的 SRSS 规则 - 等效线性组合

$E_{SRSS} = \sum_{i = 1}^{p} f_{i} \cdot E_{i} mit f_{i} = \frac{E_{i}}{\sqrt{\sum_{j = 1}^{p} E_{j}^{2}}}$

实例与计算结果的比较

通过一个二维钢结构来解释等效线性组合的作用。考虑三个内力：表达式中的轴力 N、剪力 Vz、弯矩 My。下面将使用 RFEM 6 的反应谱分析模块进行示例说明。

这里沿 X 方向计算了四个振型，并按照欧洲规范 EN 1998-1 反应谱。在“反应谱分析设置”对话框中激活等效线性组合并选择组合规则。

在 RFEM 6/RSTAB 9 中激活等效线性组合

下表列出了例如在节点编号 5（6 号杆件 → 左侧）上分析振型响应的结果。

	振型 1 的响应	振型 2 的响应	振型 3 的响应	6 振型的响应
轴力 N	1.361 kN
0.815 kN
剪力 V_Z	0.480 kN
1.536 千牛
弯矩 M_y
8.174 千牛米	2.781 kNm

下列数值按照标准 SRSS 计算得出：

轴力 -按照规范SRSS计算

$N_{SRSS} = \sqrt{{(1, 361 kN)}^{2} + {(- 0, 246 kN)}^{2} + {(0, 815 kN)}^{2} + {(- 2, 322 kN)}^{2}} = 2, 823 kN$

剪力 -按照SRSS标准计算

$V_{z, SRSS} = \sqrt{{(0, 480 kN)}^{2} + {(- 1, 635 kN)}^{2} + {(- 0, 556 kN)}^{2} + {(1, 546 kN)}^{2}} = 2, 367 kN$

弯矩 -按照SRSS标准计算

$M_{y, SRSS} = \sqrt{{(- 2, 400 kNm)}^{2} + {(8, 174 kNm)}^{2} + {(2, 781 kNm)}^{2} + {(- 7, 732 kNm)}^{2}} = 11, 836 kNm$

在 RFEM 中评估计算结果时会考虑生成的结果组合。最大结果显示在图形和“杆件 - 内力”表中。

使用标准 SRSS 规则计算的结果

结构内力按照改进的 SRSS 法则计算。根据等效线性组合，最大作用的内力和弯矩分别计算。最大轴力得出的内力如下：

最大轴力的等效线性组合系数

$f_{maxN, LF 1} = \frac{1, 361 kN}{2, 823 kN} = 0, 482 f_{maxN, LF 2} = \frac{- 0, 246 kN}{2, 823 kN} = - 0, 087 f_{maxN, LF 3} = \frac{0, 815 kN}{2, 823 kN} = 0, 289 f_{maxN, LF 4} = \frac{- 2, 322 kN}{2, 823 kN} = - 0, 822$

最大轴力 -通过等效线性组合计算

$N_{maxN} = 0, 482 \cdot 1, 361 kN - 0, 087 \cdot (- 0, 246 kN) + 0, 289 \cdot 0, 815 kN - 0, 822 \cdot (- 2, 322 kN) = 2, 823 kN$

相应的剪力 -使用等效线性组合计算

$V_{z, maxN} = 0, 482 \cdot 0, 480 kN - 0, 087 \cdot (- 1, 635 kN) + 0, 289 \cdot (- 0, 556 kN) - 0, 822 \cdot 1, 546 kN = - 1, 058 kN$

对应弯矩 -使用等效线性组合计算

$M_{y, maxN} = 0, 482 \cdot (- 2, 400 kNm) - 0, 087 \cdot 8, 174 kNm + 0, 289 \cdot 2, 781 kNm - 0, 822 \cdot (- 7, 732 kNm) = 5, 292 kNm$

现在，必须对所有荷载作用执行上述设置步骤。由此产生的内力和弯矩见下表。

	轴力 N	剪力 Vz	弯矩 My
最大值 N	2.823 千牛
5.292 kNm
最小值 N
1.058 千牛
Max V_z
2.367 千N
最小 V_Z	1.253 kN
11.836 kNm
Max M_y	1.253 kN
11.836 kNm
最小值 M_y
2.367 千N

RFEM 中的图形仍然只显示最大内力和弯矩。其差异会显示在表格中。

使用等效线性组合计算的结果

总结和其他应用

可以证明，使用等效线性组合保留相应的内力。如果使用该组合规则并将其导入到设计模块中，通常会得到更经济的结果。并且会自动添加到设计模块中

也可以在反应谱分析之外使用等效线性组合。该功能可以在基本数据中对任何结果组合被激活，这需要遵循规则 SRSS。操作步骤与 CQC 规范类似。但是，CQC 规则只能用于那些结果组合，其中只使用了地震类别的荷载工况，并且在该荷载工况中定义了 CQC 规则的参数。

现在的问题是，在设计中应该使用哪种组合规则？ CQC 方法可以提供更准确的结果，因为它可以考虑相邻振型的相关性。 SRSS 规则可用于手动计算。在计算机辅助计算中，例如在 RFEM 6 和 RSTAB 9 中进行动力分析，我们建议使用 CQC 法则的线性组合，因为这在所有情况下都能提供正确和经济的结果。计算量增加可以忽略不计。

作者

Thomas Eichner, M.Sc.

Product Engineering & Customer Support

Eichner 先生负责动力学领域的发展，并为我们的用户提供客户支持。

关键词

动力学动力和地震分析地震反应谱组合模态响应动力分析等效线性组合 RFEM 6 RSTAB 9 技术文章

参考文献

[1]	Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings; EN 1998‑1:2004/A1:2013
[2]	Katz, C.: Anmerkung zur Überlagerung von Antwortspektren. D-A-CH Mitteilungsblatt, 2009.