Verteilungsbeiwert ζ in der Verformungsberechnung von Stahlbetonbauteilen

Fachbeitrag

Zu den Nachweisen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit gehört auch die Einhaltung der zulässigen Verformung. Die Berechnung der Verformung von Stahlbetonbauteilen hängt davon ab, ob der betrachtete Querschnitt unter der angesetzten Belastung aufreißt oder nicht. Der maßgebende Steuerparameter in RF-BETON Deflect ist dabei der Verteilungsbeiwert ζ.

Allgemeines

Die Grenzwerte für die auftretende Verformung von Stahlbetonbauteilen sind durch den ungerissenen und gerissenen Querschnittszustand vordefiniert. Mit RF-BETON Deflect ist der Verformungsnachweis unter Berücksichtigung des Risszustandes im Querschnitt möglich. Es werden effektive Steifigkeiten in den Finiten Elementen entsprechend des vorhandenen Querschnittszustandes berechnet. Diese effektiven Steifigkeiten werden in einer anschließenden FEM-Berechnung für die Flächenelemente verwendet. Die effektiven Steifigkeiten werden durch den Verteilungsbeiwert ζ gesteuert, auf den nachfolgend näher eingegangen wird.

Anwendung des Verteilungsbeiwertes ζ in der Verformungsberechnung

Den Verteilungsbeiwert ζ findet man in der Literatur auch unter dem Namen Rissbildungsfaktor oder Schädigungsbeiwert. Die Verwendung des Verteilungsbeiwertes ζ in der Verformungsberechnung ist in der Gleichung 7.18 der EN 1992-1-1 [1] erkennbar.

$\mathrm a\;=\;\mathrm\zeta\;\cdot\;{\mathrm a}_\mathrm{II}\;+\;(1\;-\;\mathrm\zeta)\;\cdot\;{\mathrm a}_\mathrm I$

Die Variable a stellt dabei den untersuchten Durchbiegungsparameter dar (zum Beispiel Krümmung). aI und aII sind die Verformungsparameter für den ungerissenen und gerissenen Zustand. Aus der Formel kann man erkennen, dass für ζ = 0 der ungerissene Querschnittszustand (Zustand I) maßgebend wird.

Verwendet für man den allgemeinen Durchbiegungsparameter a die Querschnittsverkrümmung $\frac1{\mathrm r}\;=\;\frac{\mathrm M}{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm I}$, so erhält man einen Ansatz für die Bestimmung der effektiven Querschnittssteifigkeit.

$\frac1{\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm{eff}}\;=\;\mathrm\zeta\;\cdot\;\frac1{\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm{II}}\;+\;(1\;-\;\mathrm\zeta)\;\cdot\;\frac1{\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm I}$

Bestimmung des Verteilungsbeiwertes ζ

Der Verteilungsbeiwert ζ ist ein Indikator in der Verformungsberechnung von RF-BETON Deflect der zeigt, ob der Querschnitt ungerissen oder gerissen ist. Weiter berücksichtigt der Faktor ζ die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen, dem sogenannten Tension-Stiffening. In den Einstellungen von RF-BETON Deflect ist der Ansatz von Tension-Stiffening steuerbar (siehe Bild 01). Aus diesem Grund werden nachfolgend die beiden Situationen mit und ohne Berücksichtigung der Zugversteifung zwischen den Rissen behandelt.

Bild 01 - Einstellungen für Verformungsberechnung mit RF-BETON Deflect

Wird die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen in der Verformungsberechnung nicht mit angesetzt, so gibt es für den Verteilungsbeiwert nur zwei Werte. Für den ungerissenen Querschnitt wird ζ gleich 0 und für den gerissenen Querschnitt gleich 1 gesetzt. Im zugehörigen Momenten-Krümmungs-Diagramm ist der Effekt schön zu erkennen. Für eine Belastung unter der Rissschnittgröße Mcr bleibt die Krümmung im Zustand I. Bei Überschreiten der Rissschnittgröße wird die Krümmung für den komplett gerissenen Querschnitt maßgebend.

Bild 02 - Momenten-Krümmungs-Linie ohne Ansatz von Tension-Stiffening

Wird der Ansatz von Tension-Stiffening in der Verformungsberechnung verwendet, so befindet sich der Verteilungsbeiwert in einem Bereich zwischen 0 und 1. Für eine Belastung über den Rissschnittgrößen wird der Verteilungsbeiwert nach den Vorgaben der jeweiligen Bemessungsnorm bestimmt. Für die Verformungsberechnung nach EN 1992-1-1 [1] wird der Faktor folgendermaßen in RF-BETON Deflect berechnet.

$\mathrm\zeta\;=\;1\;-\;\mathrm\beta\;\cdot\;\left(\frac{{\mathrm f}_\mathrm{ctm}}{{\mathrm\sigma}_\max}\right)^2$
mit
β = Parameter für den Einfluss der Belastungsdauer beziehungsweise Lastwiederholung
fctm = mittlere Betonzugfestigkeit
σmax = Betonzugspannung unter Annahme eines linear-elastischen Materialverhaltens

Der Einfluss des Tension-Stiffenings auf die mittlere Verformung beziehungsweise Verkrümmung ist sehr gut im Momenten-Krümmungs-Diagramm von Bild 03 zu erkennen. Die effektive Verkrümmung befindet sich bei Belastungen oberhalb der Rissschnittgröße zwischen dem ungerissenen und gerissenen Bereich und nähert sich kontinuierlich mit höherer Belastung an den gerissenen Zustand an.

Bild 03 - Momenten-Krümmungs-Linie mit Ansatz von Tension-Stiffening

Zusammenfassung

Aus den gezeigten Momenten-Krümmungs-Linien wird ersichtlich, dass der Ansatz von Tension-Stiffening wesentlichen Einfluss auf die Bestimmung des Verteilungsbeiwertes ζ und somit auf die mittlere Verkrümmung beziehungsweise Verformung hat. Je nach untersuchter Aufgabenstellung ist es im Ermessen des Ingenieurs, die Tragreserven aus der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen bei der Verformungsberechnung mit anzusetzen. Eine Nichtbeachtung des Tension-Stiffening-Effekts liegt, wie in Bild 02 erkennbar, auf der sicheren Seite, da bei Überschreitung der Rissschnittgrößen ein komplett gerissener Querschnittszustand für die Verformungsberechnung verwendet wird.

Schlüsselwörter

Verformung Tension-Stiffening

Literatur

[1]   Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; EN 1992-1-1:2011-01

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