21153x

001625

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2020-02-28

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Теория

Гибкие балки с высоким соотношением h/w, нагруженные изгибом параллельно малой оси, обычно больше склонны к потере устойчивости. Причиной тому является прогиб сжатого пояса.

Траверса испытывает боковое смещение с одновременным кручением (см. рисунок 01). При этом говорят о боковом изгибно-крутильном выпучивании, соответственно, о потере устойчивости. По аналогии с изгибным выпучиванием, при котором стержень при достижении эйлеровой критической силы внезапно выпучивается, сжатый пояс при изгибно-крутильном выпучивании отклоняется при достижении критической нагрузки потери устойчивости. Это приводит к критическому изгибающему моменту M_crit, который вызывает критическое напряжение потери устойчивости при изгибе σ_crit.

1 Kippen eines Einfeldträgers

Используемые обозначения:

L	длина траверсы
E	модуль упругости
G	модуль сдвига
I_z	момент инерции относительно слабой оси
I_T	момент инерции при кручении
I_ω	секторный момент сопротивления
a_z	расстояние точки приложения нагрузки от центра сдвига
e	расстояние закрепления стержня от центра сдвига
K_G	упругая поворотная пружина на опоре в Нмм
K_Θ	упругое поворотное закрепление в Н
K_y	упругое закрепление стержня в Н/мм²

Аналитическое определение M_crit

Для определения изгибающего момента, при котором траверса становится неустойчивой, в литературе инженеру доступны аналитические решения, однако их применение ограничено. В [1] для однопролетной балки, шарнирно опертой по концам вилочными опорами, при постоянном изгибающем моменте и приложении нагрузки в центре сдвига выводится следующее уравнение.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T} \cdot (1 + \frac{{EI}_{ω}}{{GI}_{T}} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}})}

Критический момент

Для сечений без коробления (например, узкое прямоугольное сечение в деревянных конструкциях) жесткость коробления можно принять равной нулю, и тогда член в скобках исключается.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}}

Критический момент без жесткости депланации

Коэффициенты корректировки

Поскольку в строительной статики существует значительно больше случаев, чем указано выше, были введены коэффициенты корректировки, чтобы, например, учитывать отличающиеся эпюры моментов, схемы опирания и отличающееся приложение нагрузки. Для этого длина траверсы модифицируется с использованием коэффициентов, и в результате получается эффективная длина l_ef. Она, среди прочего, описывается в [2] следующим образом.

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]}

Полезная длина

При этом a_z — расстояние точки приложения нагрузки от центра сдвига.

2 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt

Если нагрузка действует на нижней стороне траверсы, то a_z следует учитывать со знаком минус. Коэффициенты a₁ и a₂ приведены на рисунке 03.

3 Коэффициенты поперечного выпучивания

Различные системы следует понимать следующим образом:

Однопролетная балка, шарнирно опертая по концам вилочными опорами
Заделанная балка
Консоль с вилочной опорой на свободном конце
Балка, заделанная по обоим концам
Однопролетная балка с заделкой на одном конце
Двухпролетная балка
Непрерывная балка с вилочными опорами - внутренний пролет
Непрерывная балка с вилочными опорами - крайний пролет

M_crit в нормах

В нормах проверку на потерю устойчивости предлагается выполнять по методу эквивалентного стержня. При этом критический момент следует вычислять с учетом 5%-ных квантилей жесткостей. Таким образом, для деревянных конструкций получаем:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

Критический момент для деревянных конструкций

Критическое напряжение при изгибе определяется следующим образом:

σ_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef} \cdot W_{y}}

Критическое напряжение при изгибе

Упругое закрепление

Если необходимо учитывать упругую поворотную пружину (например, обусловленную податливостью вилочной опоры) на опоре, упругое поворотное закрепление (например, из трапецеидальных листов) или упругое закрепление стержня (например, из связей), то предыдущую формулу можно расширить следующим образом [2].

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

Расчётная длина с учётом упругой торсионной пружины, заделки с поворотом и упругого основания стержня

При этом

α = \sqrt{\frac{1}{1 \frac{3.5 \cdot {GI}_{T}}{K_{G} \cdot L}}}

β = \sqrt{(1 \frac{K_{y} \cdot L^{4}}{{EI}_{z} \cdot π^{4}}) \cdot (1 \frac{(K_{θ} e^{2} \cdot K_{y}) \cdot L^{2}}{{GI}_{T} \cdot π^{2}})} + \frac{e \cdot K_{y} \cdot L^{3}}{\sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}} \cdot π^{3}}

Вычисление α и β

4 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt mit elastischen Federn

Если поворотная пружина K_G на опоре принимается как бесконечно жесткая, то получается α = 1. Упругое поворотное закрепление K_Θ в деревянных конструкциях, как правило, не учитывается, поскольку отсутствуют соответствующие исследования. Поэтому параметр K_Θ в уравнение входит со значением 0. Упругое закрепление стержня K_y, возникающее из системы связей или из плоскости сдвига, благоприятно влияет на устойчивость балки к потере устойчивости.

Важный

Однако следует учитывать, что предыдущая формула ограничена в применении. В строгом смысле она действительна только при отклонении по большой синусоидальной дуге. Если закрепление стержня слишком жесткое, это условие больше не выполняется, поскольку собственная форма вдоль траверсы имеет несколько дуг. В настоящее время не существует границы, при которой расширенная формула с α и β теряет свою применимость.

О том, как грамотно решать подобные задачи на собственные значения, будет рассказано в следующей статье на различных примерах.

Автор

Г-н Рем отвечает за разработку продуктов для деревянных конструкций и оказывает техническую поддержку заказчикам.

Ссылки

Программы для расчёта деревянных конструкций