Verwendete Symbole
| L | Trägerlänge |
| b | Trägerbreite |
| h | Trägerhöhe |
| E | Elastizitätsmodul |
| G | Schubmodul |
| Iz | Trägheitsmoment um die schwache Achse |
| IT | Torsionsträgheitsmoment |
| az | Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt |
Gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützung
| Symbol | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| L | 18 | m |
| b | 160 | mm |
| h | 1.400 | mm |
| az | 700 | mm |
| Iz | 477.866.667 | mm4 |
| IT | 1.773.842.967 | mm4 |
| E0,05 | 10.400 | N/mm² |
| G0,05 | 540 | N/mm² |
Für den im Bild oben gabelgelagerten Einfeldträger ohne Zwischenabstützung resultiert bei einem Lastangriff an der Oberseite die Ersatzstablänge zu:
Die Faktoren a1 und a2 können Bild 02 entsprechend dem Momentenverlauf entnommen werden.
Das kritische Biegemoment kann danach wie folgt berechnet werden:
Auf eine Erhöhung des Produktes der 5-%-Quantilen der Steifigkeitskennwerte wegen der Homogenisierung von Trägern aus Brettschichtholz wird in diesem Beispiel verzichtet.
Eigenwertmethode zur Bestimmung des kritischen Biegemomentes
Für komplexere Systeme kann es von Vorteil sein, die kritischen Lasten, Momente beziehungsweise Spannungen mittels Eigenwertlöser zu bestimmen. Dieser ist in der Holzbemessung direkt mit implementiert und wird über die Knicklängen gesteuert. Dabei wird ein elastisches Materialverhalten bei geometrisch nichtlinearem Verhalten angenommen. Da der untere Quantilwert des kritischen Moments bestimmt werden soll, sind für die Steifigkeitskennwerte E und G die 5-%-Quantile zu verwenden. Dies erfolgt automatisch. Als Ergebnis für ist der kritische Lastfaktor von Bedeutung. Dieser gibt an, mit welchem Faktor die Belastung multipliziert werden kann, bevor das System instabil wird.
Für dieses Beispiel wird der Träger mit einer Einheitslast von 1 kN/m belastet. Das Biegemoment ergibt sich hierfür zu:
Im Anschluss sind die Gabellagerungen zu definieren. Hierfür ist dem Stab der Bemessungstyp Knicklängen zuzuweisen und der Typ Eigenwertmethode zu wählen.
Im Register Knotenlager und Knicklängen ist standardmäßig eine Gabellagerung am Stabanfang sowie Stabende definiert. Somit sind für dieses Beispiel keine weiteren Einstellungen notwendig.
Die Last wirkt für den Eigenwertlöser standardmäßig destabilisierend, also an der Oberseite des Trägers. Ist dem nicht so, so kann die Lastposition für den Eigenwertlöser in der Tragfähigkeitskonfiguration geändert werden.
Ergebnisse aus der Eigenwertanalyse
Aus der Berechnung ergibt sich ein kritischer Lastfaktor von 9,47 (siehe nächstes Bild).
Für das kritische Moment folgt:
Wird die Belastung nun mit diesem Faktor multipliziert, wird ein Ausweichen des Obergurtes stattfinden und das System wird instabil. Die zugehörige Eigenform kann im Ergebnisnavigator grafisch ausgegeben werden:
Das Ergebnis des Eigenwertlöser stimmt sehr gut mit dem Ergebnis der analytischen Lösung überein.
| Symbol | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Mcrit,analytisch | 375,42 | kNm |
| Mcrit,Eigenwert | 383,72 | kNm |
Gabelgelagerter Einfeldträger mit Zwischenabstützung
Der Träger wird nun in den Drittelspunkten durch eine Aussteifungskonstruktion seitlich unverschieblich gehalten. Dazu werden dem Stab zwei 'Knoten auf Stab' zugewiesen, an welchen die seitlichen Halterungen wirken.
Es folgt die Zuweisung der seitlichen Halterungen über die Knicklänge:
Die Lage der seitlichen Halterung lässt sich mit den in der Normung gegebenen Gleichungen nicht berücksichtigen, so dass diese zur besseren Vergleichbarkeit im Schubmittelpunkt angenommen wird.
Da der Momentenverlauf im mittleren Bereich nahezu konstant ist, wird für die Kipplängenbeiwerte in guter Näherung ein konstanter Momentenverlauf angenommen.
Der Wert a1 ist somit 1,0 und a2 gleich 0. Es ergibt sich die effektive Länge mit L = 6,0 m zu
und das kritische Moment zu
Aus dem Eigenwertlöser ergibt sich unter Berücksichtigung der Zwischenabstützungen im Schubmittelpunkt ein kritischer Lastfaktor von 27,64.
Für das kritische Moment folgt:
Die analytische Näherung ist auch für diesen Fall sehr gut.
| Symbol | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Mcrit,analytisch | 1142,41 | kNm |
| Mcrit,Eigenwert | 1119,46 | kNm |
Wirkt die Zwischenabstützung an der Oberseite (siehe nächstes Bild) wird der kritische Lastfaktor größer (36,74), da diese Position sich günstiger auf das Kippverhalten des Trägers auswirkt.
Alternative Untersuchung am Flächenmodell
Die Verzweigungslastfaktoren können auch mit RFEM und dem Add-On Strukturstabilität berechnet werden. Hierfür ist es notwendig, den Träger als orthotrope Fläche zu modellieren. Die Ergebnisse aus dem Add-On stimmen sehr gut mit der Stabberechnung überein. Die erste Eigenform sowie der zugehörige Verzweigungslastfaktor sind im nächsten Bild dargestellt.
| System | Mcrit,analytisch | Mcrit,Eigenwert | Mcrit,Fläche |
|---|---|---|---|
| ohne Zwischenabstützung | 375,42 kNm | 383,72 kNm | 377,43 kNm |
| mit Zwischenabstützung im Schubmittelpunkt | 1.142,41 kNm | 1119,46 kNm | 1079.28 kNm |
| mit Zwischenabstützung am Obergurt | - | 1488,05 kNm | 1447.20 kNm |
Für die meisten Fälle ist es wohl ausreichend, das kritische Biegemoment Mcrit beziehungsweise die kritische Biegespannung σcrit mit den analytischen Gleichungen aus der Literatur zu bestimmen. Für Sonderfälle wurden zwei Möglichkeiten aufgezeigt, wie dies mithilfe von RFEM und RSTAB umgesetzt werden kann. Während mit dem Add-On 'Holzbemessung die Berechnung mittels Stäben erfolgt, können mit dem Add-On Strukturstabilität noch komplexere Stabilitätsbetrachtungen durchgeführt werden. Als Beispiel sei hier eine Gabellagerung genannt, welche nicht über die komplette Trägerhöhe angeordnet ist. Dies lässt sich mit einem Flächenmodell sehr bequem untersuchen.