Phénomène de déversement dans les structures bois : principes théoriques

Article technique

Les poutres droites élancées ayant un rapport h/b élevé présentent des risques de problèmes de stabilité lorsqu’elles sont chargées parallèlement à l'axe faible. Cela est lié au déplacement hors-plan du bord comprimé.

Une poutre présente un déplacement latéral avec rotation (voir la Figure 01). On parle alors de déversement ou de déversement latéral. Ce phénomène est semblable au phénomène de flambement : une barre flambe soudainement lorsque la charge critique d'Euler est atteinte. Ici, le bord comprimé provoque le déversement à partir d'une certaine charge critique. On obtient alors un moment de flexion critique Mcrit, qui entraîne une contrainte de flexion critique σcrit.

Figure 01 - Déversement latéral d'une poutre à travée simple

Symboles :
L : longueur de la poutre
E : module d'élasticité
G : module de cisaillement
IZ : module d'inertie selon l'axe faible
IT : moment d'inertie en torsion
Iω : constante de gauchissement
az : distance d'application de la charge au centre de cisaillement
e : distance entre la fondation élastique de barre et le centre de cisaillement
KG : ressort de rotation élastique de l'appui en Nmm
KΘ : maintien élastique en rotation en N
Ky : fondation élastique de la barre en N/mm²

Détermination analytique de Mcrit

Pour déterminer le moment fléchissant auquel une poutre devient instable, l'ingénieur peut utiliser les solutions analytiques proposées dans la littérature spécialisée, mais leur application est limitée. Dans [1], l'équation suivante est dérivée pour une poutre à travée simple et appui articulé aux extrémités avec un moment fléchissant constant et une charge appliquée au centre de cisaillement.

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi}{\mathrm L}\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}\;\cdot\;\left(1\;+\;\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm\omega}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}\;\cdot\;\frac{\mathrm\pi^2}{\mathrm L^2}\right)}$

Dans le cas de sections sans gauchissement (par exemple, des sections rectangulaires étroites dans des constructions en bois), la rigidité de gauchissement peut être définie sur zéro et la partie entre parenthèses est omise.

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi}{\mathrm L}\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}$

Les cas traités par les ingénieurs structures étant bien plus nombreux et diversifiés que ceux mentionnés ci-dessus, des facteurs de correction ont été introduits pour considérer, par exemple, la déviation de la distribution de moments, les différents cas d'application de charge et les conditions d'appui. La longueur de la poutre est ainsi modifiée à l'aide de ces facteurs et on obtient une longueur efficace lef. Elle est donnée comme suit dans [2] :

${\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;=\;\frac{\mathrm L}{{\mathrm a}_1\;\cdot\;\left[1\;-\;{\mathrm a}_2\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm a}_{\mathrm z}}{\mathrm L}\;}\;\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}}\right]}$

az est la distance entre le point d'application de la charge et le centre de cisaillement.

Figure 02 - Schéma d'une section rectangulaire

Si la charge agit sur le côté inférieur de la poutre, az doit être considéré avec un signe négatif. Les coefficients a1 et a2 sont donnés sur la Figure 03.

Figure 03 - Facteurs utilisés pour le déversement latéral

Les différents systèmes sont les suivants :

  1. Poutre à travée simple avec appuis articulés aux extrémités
  2. Poutre en porte-à-faux
  3. Poutre en porte-à-faux avec des maintiens latéraux à l'extrémité libre
  4. Poutre encastrée aux deux extrémités
  5. Poutre à travée simple avec un encastrement et un appui articulé
  6. Poutre à deux travées
  7. Poutre continue avec appui articulé - travée interne
  8. Poutre continue avec appui articulé - travée externe

Les normes suggèrent de vérifier le déversement latéral selon la méthode de la barre équivalente. Le moment critique doit être calculé avec les valeurs de rigidité à 5 %. On utilise donc les équations suivantes pour les structures bois :

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm E}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm G}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm T}}}{{\mathrm l}_{\mathrm{ef}}}$

Il convient de calculer la contrainte de flexion critique selon :

${\mathrm\sigma}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm E}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm G}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm T}}}{{\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;\cdot\;{\mathrm W}_{\mathrm y}}$

Si on souhaite considérer un ressort de rotation élastique (résultant par exemple de la flexibilité de l'appui articulé) au niveau de l'appui, un appui élastique en rotation (des bacs acier trapézoïdaux, par exemple) ou une fondation élastique de barre (par exemple, des contreventements), l'équation précédente peut être étendue comme suit [2].

${\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;=\;\frac{\mathrm L}{{\mathrm a}_1\;\cdot\;\left[1\;-\;{\mathrm a}_2\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm a}_{\mathrm z}}{\mathrm L}}\;\cdot\;\sqrt{\displaystyle\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}}\right]}\;\cdot\;\frac1{\mathrm\alpha\;\cdot\;\mathrm\beta}$

$\mathrm\alpha\;=\;\sqrt{\frac1{1\;+\;{\displaystyle\frac{3,5\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}{{\mathrm K}_{\mathrm G}\;\cdot\;\mathrm L}}}}\\\mathrm\beta\;=\;\sqrt{\left(1\;+\;\frac{{\mathrm K}_{\mathrm y}\;\cdot\;\mathrm L^4}{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;\mathrm\pi^4}\right)\;\cdot\;\left(1\;+\;\frac{\left({\mathrm K}_{\mathrm\theta}\;+\;\mathrm e^2\;\cdot\;{\mathrm K}_{\mathrm y}\right)\;\cdot\;\mathrm L^2}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}\;\cdot\;\mathrm\pi^2}\right)}\;+\;\frac{\mathrm e\;\cdot\;{\mathrm K}_{\mathrm y}\;\cdot\;\mathrm L^3}{\sqrt{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}\;\cdot\;\mathrm\pi^3}$

Figure 04 - Schéma de la section rectangulaire avec ressorts élastiques

Si le ressort de rotation KG sur l'appui est considéré comme infiniment rigide, α = 1. Le maintien élastique de rotation KΘ n'est généralement pas considéré dans les structures bois, car aucune étude n'est disponible à ce sujet. Ainsi, le paramètre KΘ est inclus dans l'équation avec la valeur 0. La fondation élastique de barre Ky, résultant d'un contreventement ou d'un panneau de cisaillement, a un effet favorable sur le comportement au déversement latéral d'une poutre. Il faut cependant noter que l'équation ci-dessus a une application limitée : elle n'est valide qu'en cas de flèche dans une grande courbure sinusoïdale. Si la fondation élastique de barre est trop rigide, ce n'est plus le cas car le mode propre comporte plusieurs courbures le long de la poutre. Il n’existe actuellement aucune limite à partir de laquelle la formule étendue avec α et β n'est plus valide.

Un futur article expliquera à l'aide de différents exemples comment résoudre efficacement ce problème de valeur propre.

Mots-Clés

Déversement latéral Déversement Valeur propre

Littérature

[1]   Timoshenko, S.; Gere, J. M.; Theory of Elastic Stability, 2. Auflage. New York: McGraw-Hill, 1961
[2]   National Annex - Eurocode 5: Design of timber structures - Part 1-1: General - Common rules and rules for buildings; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

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