21153x

001625

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

28.2.2020

Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie

Štíhlé nosníky namáhané ohybem s velkým poměrem h/b, které jsou zatíženy rovnoběžně s vedlejší osou, jsou náchylné ke ztrátě stability. K tomu dochází v důsledku vybočení tlačené pásnice.

U nosníku lze pozorovat příčný posun při současném natočení (viz obr. 01). Mluvíme o prostorovém vzpěru, respektive klopení. Podobně jako u rovinného vzpěru, kdy prut při dosažení kritického Eulerova zatížení náhle vybočí, dochází při klopení k vybočení tlačené pásnice při kritickém zatížení. V průřezu vzniká kritický ohybový moment M_crit,, který vyvolává kritické ohybové napětí σ_crit,.

1 Kippen eines Einfeldträgers

Použité symboly:

L	Délka nosníku
E	modul pružnosti
G	Smykový modul
I_z,	moment setrvačnosti okolo hlavní osy nejmenší tuhosti
I_T,	Moment tuhosti v prostém kroucení
I_ω	Odolnost proti deplanaci
a_z	vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
e	vzdálenost pružného uložení prutu od středu smyku
K_G	rotační pružina na podpoře v Nmm
K_θ	pružné torzní uložení v N
K_y	pružné podloží prutu v N/mm²

Analytická metoda stanovení M_crit

Pro stanovení ohybového momentu, při kterém nosník ztrácí stabilitu, nám odborná literatura nabízí analytická řešení, pro jejichž použití ovšem platí určitá omezení. Pro prostý nosník s klouby na obou koncích a s uložením bránícím torznímu natočení, na něhož působí zatížení ve středu smyku a ohybový moment vykazuje konstantní průběh, je v [1] odvozena následující rovnice.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T} \cdot (1 + \frac{{EI}_{ω}}{{GI}_{T}} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}})}

Pružný kritický moment

U průřezů bez omezení deplanace (například v případě úzkých obdélníkových průřezů v dřevěných konstrukcích) lze deplanační tuhost nastavit na nulu, a lze tak vynechat část rovnice v závorce.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}}

Kritický moment bez deplanační tuhosti

Opravní součinitelé

Protože ve statice se setkáváme s podstatně více případy, než je ten výše popsaný, byly zavedeny korekční součinitele, kterými se například zohledňují odchylné průběhy momentů, podporové podmínky anebo působiště zatížení. Příslušnými součiniteli se přitom upraví délka nosníku a určí se účinná délka l_ef. Tato délka se mimo jiné v [2] stanoví následovně:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]}

Účinná délka

a_z je přitom vzdálenost působiště zatížení od středu smyku.

2 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt

Pokud zatížení působí na dolní straně nosníku, pak je třeba uvažovat az se záporným znaménkem. Součinitele a₁ a a₂ lze převzít z obr. 03.

3 Součinitele klopení

Rozlišujeme následující systémy:

Prostý nosník s klouby na obou koncích a s uložením bránícím torznímu natočení
Vetknutý nosník
Konzola s vidlicovým uložením na volném konci
Nosník vetknutý na obou stranách
Prostý nosník s vetknutím na jedné straně
Nosník o dvou polích
Spojitý nosník s vidlicovým uložením - vnitřní pole
Spojitý nosník s vidlicovým uložením - vnější pole

M_crit v normách

Normy navrhují provádět posouzení na klopení metodou náhradního prutu. Při výpočtu kritického momentu se uvažují hodnoty 5% kvantilu tuhosti. Pro dřevěnou konstrukci tak platí:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

Kritický moment pro dřevěné konstrukce

Kritické napětí v ohybu se tedy stanoví z výrazu:

σ_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef} \cdot W_{y}}

Kritické ohybové napětí

Pružné podepření

Jestliže chceme zohlednit rotační pružinu na podpoře (plynoucí například z poddajnosti vidlicového uložení), pružné torzní uložení (například z trapézového plechu) nebo pružné uložení prutu (například vlivem ztužení), lze předchozí rovnici rozšířit následovně [2].

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

Vzpěrná délka při zohlednění rotační pružiny, torzního uložení nebo podloží prutu

kde:

α = \sqrt{\frac{1}{1 \frac{3.5 \cdot {GI}_{T}}{K_{G} \cdot L}}}

β = \sqrt{(1 \frac{K_{y} \cdot L^{4}}{{EI}_{z} \cdot π^{4}}) \cdot (1 \frac{(K_{θ} e^{2} \cdot K_{y}) \cdot L^{2}}{{GI}_{T} \cdot π^{2}})} + \frac{e \cdot K_{y} \cdot L^{3}}{\sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}} \cdot π^{3}}

Výpočet α a β

4 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt mit elastischen Federn

Pokud rotační pružinu K_G na podpoře uvažujeme jako nekonečně tuhou, pak α = 1. Pružné torzní uložení K_Θ se u dřevěných konstrukcí zpravidla nezohledňuje, protože v tomto ohledu nejsou k dispozici žádné studie. Parametr K_Θ tak do rovnice vstupuje s hodnotou 0. Pružné uložení prutu K_y v důsledku ztužení nebo smykového pole má příznivý vliv na stabilitní chování nosníku.

Důležité

Je však třeba poznamenat, že pro uplatnění předchozí rovnice platí omezení. Přísně vzato tato rovnice platí pouze v případě, že dochází k podélnému zakřivení v jediném velkém sinusovém oblouku. Pokud je podloží prutu příliš tuhé, pak se již nejedná o tento případ, protože vlastní tvar vykazuje podél nosníku několik oblouků. V současnosti není nijak vymezeno, kdy rozšířená rovnice α a β pozbývá svou platnost.

Vhodné řešení vlastních čísel v takových případech ukážeme na různých příkladech v našem následujícím příspěvku.

Autor

Ing. Rehm se podílí na vývoji programů pro dřevěné konstrukce a zajišťuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Software pro statické výpočty dřevěných konstrukcí

Reference

Timošenko, S. & Gere, JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. vydání. New York: McGraw-Hill, 1961
Nationaler Anhang - Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

;

Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie

Analytická metoda stanovení Mcrit

Opravní součinitelé

Mcrit v normách

Pružné podepření

Analytická metoda stanovení M_crit

M_crit v normách