Klopení v dřevěné konstrukci: Teorie

Odborný článek

Štíhlé nosníky namáhané ohybem s velkým poměrem h/b, které jsou zatíženy rovnoběžně s osou menší tuhosti, jsou náchylné ke ztrátě stability v důsledku vybočení tlačené pásnice.

U nosníku lze pozorovat příčný posun při současném natočení (viz obr. 01). Mluvíme o prostorovém vzpěru, respektive klopení. Podobně jako u rovinného vzpěru, kdy prut při dosažení kritického Eulerova zatížení náhle vybočí, dochází při klopení k vybočení tlačené pásnice při kritickém zatížení. V průřezu vzniká kritický ohybový moment Mcrit, který vyvolává kritické ohybové napětí σcrit.

Obr. 01 - Klopení nosníku o jednom poli

Použité symboly:
L ... délka nosníku
E ... modul pružnosti
G ... smykový modul
Iz ... moment setrvačnosti osy s menší tuhostí
IT ... moment setrvačnosti v kroucení
Iω ... výsečový moment setrvačnosti
az ... vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
e ... vzdálenost pružného uložení prutu od středu smyku
KG ... rotační pružina na podpoře v Nmm
KΘ ... pružné torzní uložení v N
Ky ... pružné podloží prutu v N/mm²

Analytická metoda stanovení Mcrit

Pro stanovení ohybového momentu, při kterém nosník ztrácí stabilitu, nám odborná literatura nabízí analytická řešení, pro jejichž použití ovšem platí určitá omezení. Pro prostý nosník s klouby na obou koncích a s uložením bránícím torznímu natočení, na něhož působí zatížení ve středu smyku a ohybový moment vykazuje konstantní průběh, je v [1] odvozena následující rovnice:

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi}{\mathrm L}\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}\;\cdot\;\left(1\;+\;\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm\omega}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}\;\cdot\;\frac{\mathrm\pi^2}{\mathrm L^2}\right)}$

U průřezů bez omezení deplanace (například v případě úzkých obdélníkových průřezů v dřevěných konstrukcích) lze deplanační tuhost nastavit na nulu, a lze tak vynechat část rovnice v závorce.

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi}{\mathrm L}\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}$

Protože ve statice se setkáváme s podstatně více případy, než je ten výše popsaný, byly zavedeny korekční součinitele, kterými se například zohledňují odchylné průběhy momentů, podporové podmínky anebo působiště zatížení. Příslušnými součiniteli se přitom upraví délka nosníku a určí se účinná délka lef. Tato délka se mimo jiné v [2] stanoví následovně:

${\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;=\;\frac{\mathrm L}{{\mathrm a}_1\;\cdot\;\left[1\;-\;{\mathrm a}_2\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm a}_{\mathrm z}}{\mathrm L}\;}\;\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}}\right]}$

az je přitom vzdálenost působiště zatížení od středu smyku.

Obr. 02 - Schéma obdélníkového průřezu

Pokud zatížení působí na dolní straně nosníku, pak je třeba uvažovat az se záporným znaménkem. Součinitele a1 a a2 lze převzít z obr. 03.

Obr. 03 - Součinitele klopení

Rozlišujeme následující systémy:

  1. Prostý nosník s klouby na obou koncích a s uložením bránícím  torznímu natočení
  2. Vetknutý nosník
  3. Konzola s vidlicovým uložením na volném konci
  4. Nosník vetknutý na obou stranách
  5. Prostý nosník s vetknutím na jedné straně
  6. Nosník o dvou polích
  7. Spojitý nosník s vidlicovým uložením - vnitřní pole
  8. Spojitý nosník s vidlicovým uložením - vnější pole

Normy navrhují provádět posouzení na klopení metodou náhradního prutu. Při výpočtu kritického momentu se uvažují hodnoty 5% kvantilu tuhosti. Pro dřevěnou konstrukci tak platí:

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm E}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm G}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm T}}}{{\mathrm l}_{\mathrm{ef}}}$

Kritické napětí v ohybu se tedy stanoví z výrazu:

${\mathrm\sigma}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm E}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm G}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm T}}}{{\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;\cdot\;{\mathrm W}_{\mathrm y}}$

Jestliže chceme zohlednit rotační pružinu na podpoře (plynoucí například z poddajnosti vidlicového uložení), pružné torzní uložení (například z trapézového plechu) nebo pružné uložení prutu (například vlivem ztužení), lze předchozí rovnici rozšířit následovně [2].

${\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;=\;\frac{\mathrm L}{{\mathrm a}_1\;\cdot\;\left[1\;-\;{\mathrm a}_2\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm a}_{\mathrm z}}{\mathrm L}}\;\cdot\;\sqrt{\displaystyle\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}}\right]}\;\cdot\;\frac1{\mathrm\alpha\;\cdot\;\mathrm\beta}$
přičemž
$\mathrm\alpha\;=\;\sqrt{\frac1{1\;+\;{\displaystyle\frac{3,5\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}{{\mathrm K}_{\mathrm G}\;\cdot\;\mathrm L}}}}\\\mathrm\beta\;=\;\sqrt{\left(1\;+\;\frac{{\mathrm K}_{\mathrm y}\;\cdot\;\mathrm L^4}{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;\mathrm\pi^4}\right)\;\cdot\;\left(1\;+\;\frac{\left({\mathrm K}_{\mathrm\theta}\;+\;\mathrm e^2\;\cdot\;{\mathrm K}_{\mathrm y}\right)\;\cdot\;\mathrm L^2}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}\;\cdot\;\mathrm\pi^2}\right)}\;+\;\frac{\mathrm e\;\cdot\;{\mathrm K}_{\mathrm y}\;\cdot\;\mathrm L^3}{\sqrt{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}\;\cdot\;\mathrm\pi^3}$

Obr. 04 - Schéma obdélníkového průřezu s pružinami

Pokud rotační pružinu KG na podpoře uvažujeme jako nekonečně tuhou, pak α = 1. Pružné torzní uložení KΘ se u dřevěných konstrukcí zpravidla nezohledňuje, protože v tomto ohledu nejsou k dispozici žádné studie. Parametr KΘ tak do rovnice vstupuje s hodnotou 0. Pružné uložení prutu Ky v důsledku ztužení nebo smykového pole má příznivý vliv na stabilitní chování nosníku. Je však třeba poznamenat, že pro uplatnění předchozí rovnice platí omezení. Přísně vzato tato rovnice platí pouze v případě, že dochází k podélnému zakřivení v jediném velkém sinusovém oblouku. Pokud je podloží prutu příliš tuhé, pak se již nejedná o tento případ, protože vlastní tvar vykazuje podél nosníku několik oblouků. V současnosti není nijak vymezeno, kdy rozšířená rovnice α a β pozbývá svou platnost.

Vhodné řešení vlastních čísel v takových případech ukážeme na různých příkladech v našem následujícím příspěvku.

Klíčová slova

Klopení Prostorový vzpěr Vlastní číslo

Literatura

[1]   Timoshenko, S.; Gere, J. M.; Theory of Elastic Stability, 2. Auflage. New York: McGraw-Hill, 1961
[2]   National Annex - Eurocode 5: Design of timber structures - Part 1-1: General - Common rules and rules for buildings; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

Odkazy

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Ocelové a hliníkové konstrukce
RF-FE-LTB 5.xx

Přídavný modul

Analýza klopení a prostorového vzpěru podle teorie II. řádu pomocí MKP

Cena za první licenci
900,00 USD
RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD
RSTAB Hlavní program
RSTAB 8.xx

Hlavní program

Program pro statický výpočet a navrhování prutových a příhradových konstrukcí, provedení lineárních a nelineárních výpočtů vnitřních sil, deformací a podporových reakcí.

Cena za první licenci
2 550,00 USD
RSTAB Ocelové a hliníkové konstrukce
FE-LTB 8.xx

Přídavný modul

Analýza klopení a prostorového vzpěru podle teorie II. řádu pomocí MKP

Cena za první licenci
900,00 USD