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18. Dezember 2020

Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 2

Im vorherigen Beitrag Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 wurde die praktische Anwendung zur Ermittlung des kritischen Biegemomentes M_crit beziehungsweise der kritischen Biegespannung σ_crit für das Kippen eines Biegeträgers anhand von einfachen Beispielen erläutert. In diesem Beitrag wird das kritische Biegemoment unter Berücksichtigung einer elastischen Bettung, resultierend aus einem Aussteifungsverband, ermittelt.

Statisches Modell

Für das in Bild 01 dargestellte System sollen die Binder auf Kippen untersucht werden. In Dachebene befinden sich sechs Binder als Parallelträger mit 18 m Länge und zwei Aussteifungsverbände. Die Balken an den Giebelseiten sind durch Stützen unterstützt und werden für die Berechnung nicht berücksichtigt. Auf die Binder wirkt eine Bemessungslast q_d von 10 kN/m.

Statisches Modell

Modelldaten

L	18	m	Länge des Trägers
b	120	mm	Breite des Trägers
h	1.200	mm	Höhe des Trägers
GL24h			Material gemäß EN 14080
I_z	172.800.000	mm⁴	Trägheitsmoment
I_T	647.654.753	mm⁴	Torsionsträgheitsmoment
q_d	10	kN/m	Bemessungslast
a_z	600	mm	Laststellung
e	600	mm	Lage der Bettung

Hinweis: Auch wenn in den nachfolgenden Gleichungen für E und G nicht explizit im Index der Verweis auf die 5-%-Quantilwerte gegeben ist, wurden diese trotzdem entsprechend berücksichtigt.

Gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Der Vollständigkeit halber wird zunächst der Binder ohne seitliche Halterung untersucht (siehe Bild 02). Die Ersatzstablänge ergibt sich bei einem Lastangriff an der Oberseite des Binders mit a₁ = 1,13 und a₂ = 1,44 zu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Ersatzstablänge

l_ef = 17,79 m

Das kritische Biegemoment kann danach wie folgt berechnet werden:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritisches Biegemoment

M_crit = 134,52 kNm

Auf eine Erhöhung des Produktes der 5-%-Quantilen der Steifigkeitskennwerte wegen der Homogenisierung von Trägern aus Brettschichtholz wird in diesen Beispielen verzichtet.

Das auf den Bindern einwirkende Biegemoment resultiert zu:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Bemessungsmoment

M_d = 405,00 kNm

Die Eigenwertanalyse mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK liefert als Ergebnis einen Verzweigungslastfaktor von 0,3334. Daraus folgt das kritische Biegemoment

M_crit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

und ist somit identisch mit dem Ergebnis der analytischen Lösung.

Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Wie für diesen nichtgestützten, schlanken Binder zu erwarten war, ist das einwirkende Biegemoment größer (um Faktor 3) als das kritische Biegemoment, und der Binder ist somit nicht ausreichend gegen Kippen gehalten. Dem soll jedoch ein Verband entgegenwirken, welcher nun für die Berechnung berücksichtigt wird.

Gabelgelagerter Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Ist der Aussteifungsverband steif genug, wird in der Praxis häufig der Abstand der seitlichen Halterungen (zum Beispiel durch Pfetten) als Ersatzstablänge für den Kippnachweis verwendet. Dieses Vorgehen wurde bereits im vorherigen Beitrag Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 aufgezeigt. Als L wird demnach 2,25 m verwendet. Für a₁ = 1,00 und a₂ = 0,00 folgt:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Ersatzstablänge

l_ef = 2,25 m

Für das kritische Biegemoment ergibt sich:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritisches Biegemoment

M_crit = 1.063,51 kNm

Da das auf den Träger einwirkende Biegemoment kleiner ist als das kritische Biegemoment, ist der Träger unter der Annahme von starren Zwischenabstützungen nicht kippgefährdet.

Die Eigenwertanalyse mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK liefert als Ergebnis einen Verzweigungslastfaktor von 2,7815. Daraus folgt das kritische Biegemoment

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Kritisches Biegemoment

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Gabelgelagerter Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Wie in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie erläutert ist, wird in [1] für elastisch gebettete Stäbe die Ermittlung der Ersatzstablänge mit dem Faktor α und β erweitert. Damit ist es möglich, die Schubsteifigkeit eines Aussteifungsverbandes für das Kippen der Binder zu berücksichtigen. Die Ermittlung der Schubsteifigkeit des Verbandes kann beispielsweise nach [2] Bild 6.34 erfolgen. Wie daraus zu erkennen ist, ist diese abhängig vom Typ des Verbandes, von der Dehnsteifigkeit der Diagonalen und der Pfosten, von der Neigung der Diagonalen und von der Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel. Für den in Bild 01 abgebildeten Aussteifungsverband ergibt sich die Schubsteifigkeit zu:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes

Hierbei ist E_D der E-Modul der Diagonalen und A_D deren Querschnittsfläche. Die obige Gleichung enthält jedoch nicht die Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel der Diagonalen. Diese und die Stablängung der Diagonalen kann über eine fiktive Querschnittsfläche A_D' berücksichtigt werden. Es folgt:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes

mit

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen

Die Diagonalen haben die Abmessung b/h = 120/200 mm und eine Länge L_D von 4,59 m. Der Verschiebungsmodul des Anschlusses auf jeder Seite der Diagonalen soll 110.000 N/mm betragen.

Die ideelle Fläche beträgt demnach

A_D' = 12.548 mm²

und damit die Schubsteifigkeit eines Verbandes, mit einem Winkel der Diagonalen zum Gurt von 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes

s_id = 44.864 kN

Die Stabbettung pro Verband lässt sich daraus gemäß [2] Formel 7.291 wie folgt überführen:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Elastische Stabbettung pro Verband

Für zwei Verbände und sechs Binder steht pro Binder folgende Federkonstante zur Verfügung:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Elastische Stabbettung pro Binder

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Unter der Voraussetzung, dass K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 und a₂ = 1,44 ist, ergibt sich die Ersatzstablänge zu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Ersatzstablänge

l_ef = 0,13

Das kritische Biegemoment ergibt sich damit zu einem utopischen Wert von:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritisches Biegemoment

M_crit = 18.482,84 kNm

Zu erwarten wäre ein Wert ähnlich des Systems mit starren Zwischenabstützungen. Wie in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie erläutert, ist die Anwendung der erweiterten Formel mit α und β in Ihrer Anwendung eingeschränkt. Diese hat streng genommen nur Gültigkeit, wenn eine Auslenkung in einem großen Sinusbogen vorliegt. Also dann, wenn die Bettung sehr weich ist. Dies ist in diesem Beispiel nicht mehr gegeben. Mehrwellige Eigenfunktionen, die bei größeren Federkonstanten zur kleinsten Verzweigungslast führen, sind in der besagten Gleichung nicht erfasst, da diese auf eingliedrigen Sinusansätzen basiert.

Wie auf Bild 07 zu sehen ist, resultiert aus der Eigenwertanalyse eine mehrwellige Eigenform.

Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Für diesen Fall kann das Verfahren, welches von Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020) hergeleitet wurde, Anwendung finden. Das kritische Biegemoment wird wie folgt berechnet:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Kritisches Biegemoment

Die Konstante n kennzeichnet die 1., 2., 3... Eigenlösung. Demnach sind mehrere Eigenlösungen zu untersuchen und daraus ist dann das kleinste kritische Biegemoment maßgebend. Für n = 1...30 ergeben sich folgende kritische Biegemomente.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit [kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Für n = 6 wird M_crit minimal und beträgt 1.282,70 kNm.

Die Eigenwertlösung aus dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK (siehe Bild 07) ergibt:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Die beiden Ergebnisse erzielen eine sehr gute Übereinstimmung. Die analytische Lösung liegt jedoch auf der sicheren Seite, da bei diesem Verfahren vereinfacht von einem konstanten Biegemomentenverlauf ausgegangen wird. Dem konstanten kritischen Biegemoment M_crit wird dann eine kritisch Belastung q_crit zugeordnet.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Kritische Last

Da die Stabbettung in diesem Beispiel als sehr steif anzusehen ist und konstant über die Binderlänge verschmiert wird, ergeben sich leicht höhere kritische Biegemomente als bei der starren Einzelabstützung.

Gemäß [3] Kapitel 9.2.5.3 (2) müssen Aussteifungsverbände so steif sein, dass die horizontale Auslenkung L/500 nicht überschritten wird. Die Berechnung muss dabei mit den Bemessungswerten der Steifigkeiten erfolgen (siehe [1] Kapitel NCI Zu 9.2.5.3).

Für k_crit = 0,195, H = 5 m und q_p = 0,65 kN/m² als Böengeschwindigkeitsdruck ergeben sich folgende Lasten (siehe [3] Kapitel 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Stabilisierungskraft für den Druckgurt

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Aussteifungslast

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Bemessungslast aus Wind

q_d,Wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

Die Verformung des Aussteifungsverbandes ist in Bild 08 dargestellt. Dabei wurden die Lasten nochmals halbiert, da zwei Aussteifungsverbände vorhanden sind.

Horizontale Auslenkung des Aussteifungsverbandes

Die zulässige Verformung beträgt:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Zulässige Verformung

Dies bestätigt die Annahme eines sehr steifen Verbandes und ist im Einklang mit den nahezu identischen kritischen Biegemomenten des Systems mit starrer Zwischenabstützung und des Systems mit elastischer Stabbettung.

Zusammenfassung

Es wurde gezeigt, mit welchen Möglichkeiten im Holzbau das Kippen von Biegeträgern untersucht werden kann. Für die gängigen Methoden sollte darauf geachtet werden, dass die Aussteifungsverbände steif genug sind, um starre Abstützungen annehmen zu können. Es wurden entsprechend Varianten gezeigt, falls diese Annahme nicht zutrifft. Grundsätzlich müssen die Biegeträger und die Aussteifungsverbände gemäß der entsprechenden Norm noch auf Ihre Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit untersucht werden. Dies ist jedoch nicht Gegenstand dieses Artikels.

Autor

Herr Rehm engagiert sich in der Entwicklung im Bereich Holzbau und im Kundensupport.

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Referenzen

Nationaler Anhang - Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. Auflage. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1:2010-12

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Holzbemessung von Einfeldträgern oder weitgespannten Trägern aus Brettschichtholz nach Eurocode 5 oder DIN 1052

Preis der Erstlizenz 1.120,00 USD

RX-HOLZ 2 | Holztragwerke

RX-HOLZ DLT 2

Eigenständiges Programm

Holzbemessung von Einfeld-, Durchlauf- und Gerberträgern mit und ohne Kragarm nach Eurocode 5 oder DIN 1052