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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | Metodo di analisi

Le aste inflesse snelle con un rapporto elevato h/L e caricate parallelamente all'asse minore tendono ad avere problemi di stabilità. Ciò è dovuto alla inflessione nel corrente compresso.

La trave subisce uno spostamento laterale con contemporanea rotazione (vedi figura 01). In questo caso si parla di instabilità flesso-torsionale o torsionale. Analogamente all'instabilità flessionale, in cui un’asta al raggiungimento del carico critico di Eulero si curva improvvisamente, nell’instabilità flesso-torsionale, il corrente compresso si sposta a partire da un carico critico di instabilità laterale. Ne risulta un momento flettente critico M_crit, che comporta una tensione critica di instabilità latero-torsionale σ_crit.

1 Instabilità laterale di una trave a campata singola

Simboli utilizzati:

L	lunghezza della trave
E	modulo di elasticità
G	modulo di taglio
I_z	momento d’inerzia rispetto all’asse debole
I_T	momento d’inerzia torsionale
I_ω	resistenza all'ingobbamento
a_z	distanza del punto di applicazione del carico dal centro di taglio
e	distanza dalle fondazioni elastiche dell’asta dal centro di taglio
K_G	molla torsionale elastica al vincolo in Nmm
K_Θ	vincolo torsionale elastico in N
K_y	vincolo elastico dell’asta in N/mm²

Determinazione analitica di M_crit

Per determinare il momento flettente al quale una trave diventa instabile, nella letteratura l’ingegnere dispone di soluzioni analitiche, che tuttavia sono limitate nell’applicazione. In [1] viene derivata la seguente equazione per una trave monopiano con estremi appoggiati a cerniera e con un momento flettente costante e applicazione del carico nel centro di taglio.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T} \cdot (1 + \frac{{EI}_{ω}}{{GI}_{T}} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}})}

Momento critico

Per sezioni prive di ingobbamento (ad esempio sezione rettangolare stretta nelle costruzioni in legno) la rigidezza a ingobbamento può essere posta pari a zero e quindi il termine tra parentesi viene meno.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}}

Momento critico senza rigidezza di ingobbamento

Coefficienti di correzione

Poiché nella tecnica delle costruzioni esistono molti più casi rispetto a quello sopra menzionato, sono stati introdotti coefficienti di correzione per considerare, ad esempio, distribuzioni dei momenti diverse, situazioni di vincolo diverse e un diverso punto di applicazione del carico. A tal fine la lunghezza della trave viene modificata mediante i coefficienti e ne risulta una lunghezza efficace l_ef. Questa viene descritta, tra l’altro, in [2] come segue.

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]}

lunghezza di libera inflessione

Qui a_z è la distanza del punto di applicazione del carico dal centro di taglio.

2 Descrizioni sulla sezione trasversale rettangolare

Se il carico agisce sul lato inferiore della trave, a_z deve essere considerato con segno negativo. I coefficienti a₁e a₂ si ricavano dalla figura 03.

3 Coefficienti di instabilità laterale

I diversi sistemi sono da intendersi come segue:

Trave a campata singola con vincoli laterali e torsionali e cerniera su entrambi i lati
Trave vincolata
Sbalzo con vincolo laterale e torsionale all’estremità libera
Trave con incastro a entrambe le estremità
Trave a campata singola con vincolo su un lato
Trave a due campate
Trave continua con vincoli laterali e torsionali – campata interna
Trave continua con vincoli laterali e torsionali – campata esterna

M_crit nelle norme

Nelle norme, la verifica a instabilità laterale è proposta secondo il metodo dell’asta equivalente. In tale ambito, il momento critico deve essere calcolato con i valori del 5% quantile delle rigidezze. Ne risulta quindi per le costruzioni in legno:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

Momento critico per strutture in legno

La tensione di flessione critica risulta:

σ_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef} \cdot W_{y}}

Tensione di flessione critica

Vincolo elastico

Se si vuole considerare una molla rotazionale elastica (per esempio dovuta alla deformabilità del vincolo laterale e torsionale) sul vincolo, un vincolo rotazionale elastico (per esempio dovuto a lamiera grecata), oppure una fondazione elastica dell’asta (per esempio dovuta ai controventi), si può estendere la precedente equazione come segue[2].

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

Lunghezza libera d'inflessione considerando la molla rotazionale elastica, il vincolo rotazionale o il vincolo esterno elastico dell'asta

Qui vale

α = \sqrt{\frac{1}{1 \frac{3.5 \cdot {GI}_{T}}{K_{G} \cdot L}}}

β = \sqrt{(1 \frac{K_{y} \cdot L^{4}}{{EI}_{z} \cdot π^{4}}) \cdot (1 \frac{(K_{θ} e^{2} \cdot K_{y}) \cdot L^{2}}{{GI}_{T} \cdot π^{2}})} + \frac{e \cdot K_{y} \cdot L^{3}}{\sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}} \cdot π^{3}}

Calcolo di α e β

4 Descrizioni sulla sezione trasversale rettangolare con molle elastiche

Se la molla rotazionale K_G sul vincolo è considerata infinitamente rigida, α = 1. Il vincolo rotazionale elastico K_Θ di solito non viene considerato nelle strutture in legno, poiché non sono disponibili studi in merito. Pertanto, il parametro K_Θ è incluso nell’equazione con valore 0. La fondazione elastica dell’asta K_y, risultante da una controventatura o da un pannello di taglio, ha un effetto favorevole sul comportamento di instabilità laterale di una trave.

Importante

Si noti che la precedente equazione ha un campo di applicazione limitato. A rigore, è valida solo se è presente un’inflessione in un grande arco sinusoidale. Se la fondazione dell’asta è troppo rigida, ciò non vale più, perché la deformata modale presenta più archi lungo la trave. Attualmente non esiste una definizione di quando la formula estesa con α e β diventa non valida.

Trovare la soluzione per tali problemi di autovalori in modo efficace sarà descritto con diversi esempi nel prossimo articolo.

Autore

Gerhard lavora nel Product Engineering nel settore delle costruzioni in legno e supporta inoltre il Customer Support. Utilizza la sua esperienza di sviluppo per soluzioni pratiche e realizzabili.

Link

Software per strutture in legno

Bibliografia

Timoshenko, S., & Gere, JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. Auflage. New York: McGraw-Hill, 1961
DIN. (2013). Appendice nazionale - Eurocodice 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

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Instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | Metodo di analisi

Determinazione analitica di Mcrit

Coefficienti di correzione

Mcrit nelle norme

Vincolo elastico

Determinazione analitica di M_crit

M_crit nelle norme