La trave subisce uno spostamento laterale con contemporanea torsione (vedi figura 01). In questo caso si parla di instabilità flesso-torsionale, rispettivamente di ribaltamento. Analogamente al carico critico di instabilità flessionale, in cui un’asta al raggiungimento del carico critico di Eulero si imbarca improvvisamente, l’ala compressa, nell’instabilità flesso-torsionale, si sposta a partire da un carico critico di ribaltamento. Ne risulta un momento flettente critico Mcrit, che comporta una tensione critica di ribaltamento e flessione σcrit.
Simboli utilizzati:
| L | lunghezza della trave |
| E | modulo di elasticità |
| G | modulo di taglio |
| Iz | momento d’inerzia rispetto all’asse debole |
| IT | momento d’inerzia torsionale |
| Iω | resistenza al warping |
| az | distanza del punto di applicazione del carico dal centro di taglio |
| e | distanza dell’elastic bedding dell’asta dal centro di taglio |
| KG | molla torsionale elastica all’appoggio in Nmm |
| KΘ | vincolo torsionale elastico in N |
| Ky | vincolo elastico dell’asta in N/mm² |
Determinazione analitica di Mcrit
Per determinare il momento flettente al quale una trave diventa instabile, nella letteratura l’ingegnere dispone di soluzioni analitiche, che tuttavia sono limitate nell’applicazione. In [1] viene derivata la seguente equazione per una trave monopiano con estremi appoggiati a cerniera e con un momento flettente costante e applicazione del carico nel centro di taglio.
Per sezioni prive di warping (ad esempio sezione rettangolare stretta nelle costruzioni in legno) la rigidezza a warping può essere posta pari a zero e quindi il termine tra parentesi viene meno.
Fattori di correzione
Poiché nella tecnica delle costruzioni esistono molti più casi rispetto a quello sopra menzionato, sono stati introdotti fattori di correzione per considerare, ad esempio, distribuzioni dei momenti diverse, situazioni di vincolo diverse e un diverso punto di applicazione del carico. A tal fine la lunghezza della trave viene modificata mediante i fattori e ne risulta una lunghezza efficace lef. Questa viene descritta, tra l’altro, in [2] come segue.
Qui az è la distanza del punto di applicazione del carico dal centro di taglio.
Se il carico agisce sul lato inferiore della trave, az deve essere considerato con segno negativo. I coefficienti a1 e a2 si ricavano dalla figura 03.
I diversi sistemi sono da intendersi come segue:
- Trave monopiano con estremi appoggiati a cerniera
- Trave incastrata
- Mensola con vincolo a cerniera all’estremità libera
- Trave con incastro a entrambe le estremità
- Trave monopiano con un’estremità incastrata
- Trave a due campate
- Trave continua con vincolo a cerniera - campata interna
- Trave continua con vincolo a cerniera - campata esterna
Mcrit nella normativa
Nelle norme, la verifica al ribaltamento è proposta secondo il metodo dell’asta equivalente. In tale ambito, il momento critico deve essere calcolato con i valori del 5% quantile delle rigidezze. Ne risulta quindi per le costruzioni in legno:
La tensione critica di flessione risulta:
Appoggio elastico
Se si desidera considerare una molla torsionale elastica all’appoggio (ad esempio derivante dalla deformabilità del vincolo a cerniera), un vincolo torsionale elastico (ad esempio dovuto a lamiere grecate) oppure un vincolo elastico dell’asta (ad esempio dovuto a controventi), la precedente equazione può essere ampliata come segue [2].
Qui vale
Se la molla torsionale KG all’appoggio viene considerata infinitamente rigida, si ottiene α = 1. Il vincolo torsionale elastico KΘ non viene generalmente considerato nelle costruzioni in legno, poiché non sono disponibili studi al riguardo. Il parametro KΘ entra quindi nell’equazione con il valore 0. Il vincolo elastico dell’asta Ky, derivante da un controvento o da un campo di taglio, ha un effetto favorevole sul comportamento di ribaltamento di una trave.
Nel prossimo articolo verrà spiegato come tali problemi agli autovalori possano essere risolti in modo efficace, mediante diversi esempi.