22143x

001625

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Zwichrzenie w konstrukcjach drewnianych | Teoria

W przypadku smukłych belek zginanych o dużym stosunku h/w, obciążonych w kierunku słabej osi bezwładności, występują problemy ze statecznością. Wynika to z ugięcia pasa ściskanego.

Belka ulega przesunięciu bocznemu przy jednoczesnym obrocie (patrz Rysunek 01). Zjawisko to określa się mianem zwichrzenia. Analogicznie do wyboczenia giętnego, w którym pręt przy osiągnięciu obciążenia Eulera ulega nagle wyboczeniu, pas ściskany przesuwa się z punktu krytycznego obciążenia powodującego zwichrzenie podczas wyboczenia giętno-skrętnego. Powoduje to powstanie krytycznego momentu zginającego M_crit, który skutkuje krytycznym naprężeniem przy zwichrzeniu σ_crit.

1 Kippen eines Einfeldträgers

Użyte symbole:

L	Długość belki
E	Moduł sprężystości
G	Moduł ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności przy obrocie
I_ω	Nośność na zwichrzenie
a_z	Odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania
e	Odległość utwierdzenia pręta od środka ścinania
K_G	Sprężyna obrotowa w podporze w Nmm
K_Θ	Sprężyste utwierdzenie obrotowe w N
K_y	Sprężyste podparcie pręta w N/mm²

Analityczne wyznaczenie M_crit

Aby określić moment zginający, przy którym belka staje się niestateczna, w literaturze dostępne są analityczne rozwiązania, jednak ich zastosowanie jest ograniczone. W [1] dla jednoprzęsłowej belki swobodnie podpartej przegubowo z obu stron, obciążonej stałym momentem zginającym i z przyłożeniem obciążenia w środku ścinania, wyprowadzono następujące równanie.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T} \cdot (1 + \frac{{EI}_{ω}}{{GI}_{T}} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}})}

Moment krytyczny

W przypadku przekrojów nie podlegających zwichrzeniu (na przykład wąski przekrój prostokątny w konstrukcjach drewnianych) można przyjąć sztywność na zwichrzenie jako równą zero, a tym samym składnik w nawiasie zostaje pominięty.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}}

Moment krytyczny bez sztywności deplanacyjnej

Współczynniki korekcyjne

Ponieważ w analizie konstrukcyjnej występuje znacznie więcej przypadków niż wspomniane powyżej, wprowadzono współczynniki korekcyjne, aby uwzględnić na przykład odmienne przebiegi momentów, warunki podparcia oraz inny sposób przyłożenia obciążenia. W tym celu długość belki modyfikuje się za pomocą współczynników, co daje efektywną długość l_ef. Jest ona opisana między innymi w [2].

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]}

długość efektywna

Przy czym a_z jest odległością przyłożenia obciążenia od środka ścinania.

2 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt

Jeżeli obciążenie działa od spodu belki, należy uwzględnić a_z ze znakami ujemnymi. Współczynniki a₁i a₂ pokazano na Rysunku 03.

3 Współczynniki korekcyjne dla wyboczenia giętnego

Poszczególne układy należy rozumieć następująco:

Belka jednoprzęsłowa z utwierdzeniem bocznym i obrotowym swobodnie podparta przegubowo z obu stron
Belka utwierdzona
Wspornik z podparciem przegubowym na swobodnym końcu
Belka utwierdzona z obu stron
Belka jednoprzęsłowa z utwierdzeniem jednostronnym
Belka dwuprzęsłowa
Belka ciągła swobodnie podparta przegubowo - przęsło wewnętrzne
Belka ciągła swobodnie podparta przegubowo - przęsło skrajne

M_crit w normach

W normach zaleca się projektowanie w kierunku zwichrzenia metodą pręta zastępczego. Krytyczny moment należy przy tym obliczać z wartości kwantyla 5% sztywności. Dla konstrukcji drewnianych otrzymuje się zatem:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

Moment krytyczny w konstrukcjach drewnianych

Krytyczne naprężenie zginające wynosi:

σ_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef} \cdot W_{y}}

Krytyczne naprężenie przy zginaniu

Podparcie sprężyste

Jeżeli należy uwzględnić sprężynę obrotową (na przykład wynikającą z podatności podparcia przegubowego), sprężyste podparcie obrotowe (na przykład od blach trapezowych) lub sprężyste podparcie pręta (na przykład od stężeń) w podporze, wcześniejsze równanie można rozszerzyć w następujący sposób [2].

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

Długość efektywna z uwzględnieniem sprężystej sprężyny obrotowej, ograniczenia obrotu lub sprężystego podłoża pręta

Przy czym

α = \sqrt{\frac{1}{1 \frac{3.5 \cdot {GI}_{T}}{K_{G} \cdot L}}}

β = \sqrt{(1 \frac{K_{y} \cdot L^{4}}{{EI}_{z} \cdot π^{4}}) \cdot (1 \frac{(K_{θ} e^{2} \cdot K_{y}) \cdot L^{2}}{{GI}_{T} \cdot π^{2}})} + \frac{e \cdot K_{y} \cdot L^{3}}{\sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}} \cdot π^{3}}

Obliczanie α i β

4 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt mit elastischen Federn

Jeżeli sprężyna obrotowa K_G w podporze jest uwzględniona jako nieskończenie sztywna, otrzymuje się α = 1. Sprężyste podparcie obrotowe K_Θ w konstrukcjach drewnianych z reguły nie jest uwzględniane, ponieważ brak jest tu badań. Parametr K_Θ wchodzi więc do równania z wartością 0. Sprężyste podparcie pręta K_y, wynikające z układu stężeń względnie pola ścinania, korzystnie wpływa na zachowanie belki przy zwichrzeniu.

Ważne

Należy jednak uwzględnić, że wcześniejsze równanie ma ograniczone zastosowanie. Ściśle rzecz biorąc, jest ono aktualne tylko wtedy, gdy występuje ugięcie w postaci dużego łuku sinusoidalnego. Jeżeli podparcie pręta jest zbyt sztywne, warunek nie jest już spełniony, ponieważ postać wyboczeniowa wzdłuż belki ma kilka łuków. Obecnie nie istnieje rozgraniczenie, od którego momentu rozszerzony wzór z α i β przestaje być ważny.

Jak rozwiązywać tego rodzaju problemy z wartościami własnymi, wyjaśnimy w następnym artykule na różnych przykładach.

Autor

Gerhard pracuje w dziale Product Engineering w obszarze konstrukcji drewnianych i dodatkowo wspiera Customer Support. Swoje doświadczenie w zakresie rozwoju wykorzystuje do tworzenia praktycznych i możliwych do wdrożenia rozwiązań.

Odnośniki

Oprogramowanie statyczne do konstrukcji drewnianych

Odniesienia

Timoshenko, S. & Gere, JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. Auflage. New York: McGraw-Hill, 1961
DIN. (2013). Załącznik krajowy – Eurokod 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

;

Zwichrzenie w konstrukcjach drewnianych | Teoria

Analityczne wyznaczenie Mcrit

Współczynniki korekcyjne

Mcrit w normach

Podparcie sprężyste

Analityczne wyznaczenie M_crit

M_crit w normach