7610x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2024-09-19

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Примеры 2

В предыдущей статье Потеря устойчивости при изгибно-крутильном выпучивании в деревянных конструкциях | Примеры 1 была на простых примерах объяснена практическая методика определения критического изгибающего момента M_crit или критического изгибного напряжения σ_crit для опрокидывания изгибаемой балки. В этой статье критический изгибающий момент определяется с учетом упругого основания, возникающего из системы раскрепления.

Боковой крутильный изгиб в деревянных конструкциях - примеры 1

Расчётная модель

Для системы, показанной на следующем изображении, следует проверить ригели на опрокидывание. В уровне кровли расположены шесть ригелей как параллельные балки длиной 18 м и два связевых раскрепляющих элемента. Балки на торцевых сторонах поддерживаются стойками и при расчёте не учитываются. На ригели действует расчётная нагрузка q_d 10 kN/m. В первую очередь требуется определить критический момент бокового крутильного изгиба. На проверку по предельному состоянию несущей способности, а также по предельному состоянию эксплуатационной пригодности далее не рассматривается.

1 Статическая модель

Данные модели

GL24h	-	-	Материал согласно EN 14080
L	18	m	Длина балки
b	120	mm	Ширина балки
h	1.200	mm	Высота балки
I_z	172.800.000	mm⁴	Момент инерции
I_T	647.654.753	mm⁴	Момент инерции при кручении
q_d	10	kN/m	Расчётная нагрузка
a_z	600	mm	Положение нагрузки
e	600	mm	Положение опирания

Инфо

Хотя в приведённых ниже уравнениях для E и G ссылка на 5-%-квантильные значения не указана явно в индексе, они были учтены соответствующим образом.

Однопролётная балка с шарнирными опорами без промежуточных раскреплений

Однопролетная балка на шарнирных опорах без промежуточных опор

2 Однопролетная балка на вилочных опорах без промежуточных опор

Для полноты сначала рассматривается ригель без бокового раскрепления (см. рисунок 02). Эквивалентная длина стержня при приложении нагрузки в верхней части ригеля при a₁ = 1,13 и a₂ = 1,44 определяется следующим образом:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Длина эквивалентного стержня

После этого критический изгибающий момент можно вычислить следующим образом:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Критический момент изгиба

Повышение произведения 5-%-квантилей характеристик жёсткости из-за гомогенизации балок из клеёной древесины в этих примерах не учитывается.

Изгибающий момент, действующий на ригели, составляет:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Расчетный момент

Анализ собственных значений даёт в результате коэффициент потери устойчивости 0,32. Отсюда следует критический изгибающий момент

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Критический момент изгиба из решателя собственных значений

и, таким образом, он идентичен результату аналитического решения.

Подробная проверка с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

3 Деталь проверки с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

Как и следовало ожидать для этого нераскреплённого тонкого ригеля, действующий изгибающий момент больше (в 3 раза), чем критический изгибающий момент, и, следовательно, ригель недостаточно закреплён от опрокидывания. Однако этому должен противодействовать связевой элемент, который теперь учитывается в расчёте.

Однопролётная балка с жёсткими промежуточными раскреплениями

Однопролётная балка на шарнирных опорах с жёсткими промежуточными подпорками

4 Однопролётная балка на шарнирных опорах с жёсткими промежуточными раскреплениями

Если связевой элемент достаточно жёсткий, на практике часто расстояние между боковыми удерживающими элементами (например, за счёт прогонов) принимают за эквивалентную длину для проверки на опрокидывание. Такой подход уже был показан в предыдущей статье Боковой крутильный изгиб в деревянных конструкциях | Примеры 1.

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Примеры 1

В качестве L, таким образом, принимается 2,25 m. При a₁ = 1,00 и a₂ = 0,00 получаем:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Длина заменяющего стержня

Для критического изгибающего момента получается:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Критический момент изгиба

Поскольку изгибающий момент, действующий на балку, меньше критического изгибающего момента, балка при предположении жёстких промежуточных раскреплений не подвержена опасности опрокидывания.

Анализ собственных значений с дополнительным модулем RF-/FE-BGDK даёт в результате коэффициент потери устойчивости 2,7815. Отсюда следует критический изгибающий момент

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Критический изгибающий момент

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Результаты расчета методом собственных чисел у однопролетной балки с вильчатым опиранием и жесткими промежуточными опорами

Однопролётная балка с упругим стержневым опиранием

Однопролетная балка с вильчатым опиранием и упругим основанием стержня

Как поясняется в Боковой крутильный изгиб в деревянных конструкциях | Теория, в [1] для упруго опёртых стержней определение эквивалентной длины стержня дополняется коэффициентами α и β.

Изгибно-крутильная потеря устойчивости в деревянных конструкциях | Теория

Это позволяет учесть жёсткость сдвига связевого элемента при опрокидывании ригелей. Определение жёсткости сдвига связевого элемента, например, может быть выполнено по [2] рисунку 6.34. Как видно, она зависит от типа связевого элемента, от жёсткости на растяжение диагоналей и стоек, от наклона диагоналей и от податливости соединительных элементов. Для связевого элемента, показанного на рисунке 01, жёсткость сдвига составляет:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Идеальная жесткость поперечной связи

Здесь E_D — модуль упругости диагоналей, а A_D — площадь их поперечного сечения. Однако приведённое выше уравнение не учитывает податливость соединительных элементов диагоналей. Эту податливость и удлинение стержней диагоналей можно учесть через фиктивную площадь поперечного сечения A_D'. Получаем:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Идеальная жесткость поперечной связи

где

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Условная площадь сечения диагоналей

Диагонали имеют размеры b/h = 120/200 mm и длину L_D 4,59 m. Модуль сдвига соединения с каждой стороны диагоналей должен составлять 110.000 N/mm.

Таким образом, идеальная площадь составляет

A_D' = 12.548 mm²

и, следовательно, жёсткость сдвига одного связевого элемента при угле диагоналей к поясу 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Идеальная жесткость поперечной связи

s_id = 44.864 kN

Опирание стержня на один связевой элемент можно преобразовать согласно [2] формуле 7.291 следующим образом:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Упругое основание стержня на отдельных связях

Для двух связевых элементов и шести ригелей на один ригель имеется следующая жёсткость пружины:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Упругое основание стержня на отдельные фермы

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

При условии, что K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 и a₂ = 1,44, эквивалентная длина стержня составляет:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Длина эквивалентного стержня

l_ef = 0,13

Таким образом, критический изгибающий момент принимает нереально большое значение:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Критический момент изгиба

M_crit = 18.482,84 kNm

Следовало бы ожидать значение, близкое к системе с жёсткими промежуточными раскреплениями. Как поясняется в Боковой крутильный изгиб в деревянных конструкциях | Теория, применение расширенной формулы с α и β ограничено.

Изгибно-крутильная потеря устойчивости в деревянных конструкциях | Теория

Строго говоря, она действительна только при прогибе по большой синусоиде. То есть тогда, когда опирание очень податливо. В данном примере это уже не выполняется. Многоволновые собственные формы, которые при больших жёсткостях пружины приводят к наименьшей нагрузке потери устойчивости, в упомянутом уравнении не учитываются, поскольку оно основано на одноволновом синусоидальном приближении.

Как видно на рисунке 07, в результате анализа собственных значений получается многоволновая собственная форма.

6 Результаты расчета методом собственных чисел у однопролетной балки с вильчатым опиранием и упругим основанием стержня

Для этого случая можно применить метод, выведенный проф. д-ром Хайнрихом Кройцингером (2020). Критический изгибающий момент рассчитывается следующим образом:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Критический изгибающий момент

Константа n обозначает 1-е, 2-е, 3-е… собственное решение. Следовательно, необходимо исследовать несколько собственных решений, и из них определяющим является наименьший критический изгибающий момент. Для n = 1…30 получаются следующие критические изгибающие моменты.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Для n = 6 M_crit минимален и составляет 1.282,70 kNm.

Решение по собственным значениям из дополнительного модуля RF-/FE-BGDK (см. рисунок 07) даёт:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Оба результата показывают очень хорошее совпадение. Однако аналитическое решение находится на безопасной стороне, поскольку в этом методе упрощённо принимается постоянное распределение изгибающего момента. К постоянному критическому изгибающему моменту M_crit затем относится критическая нагрузка qcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Критическая нагрузка

Поскольку в этом примере опирание стержня следует считать очень жёстким и оно равномерно распределяется по длине ригеля, получаются несколько более высокие критические изгибающие моменты, чем при жёстком одиночном раскреплении.

Согласно [3] глава 9.2.5.3 (2) связевые элементы должны быть настолько жёсткими, чтобы горизонтальное перемещение не превышало L/500. Расчёт при этом должен выполняться по расчётным значениям жёсткостей (см. [1] глава NCI к 9.2.5.3).

При k_crit = 0,195, H = 5 m и q_p = 0,65 kN/m² в качестве динамического скоростного давления получаются следующие нагрузки (см. [3] глава 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Стабилизирующая сила для сжатого пояса

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Нагрузка на крепь

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Расчетная ветровая нагрузка

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

Деформация связевого элемента показана на рисунке 08. При этом нагрузки были вновь уменьшены вдвое, так как имеются два связевых элемента.

Горизонтальное перемещение связей жесткости

Допустимая деформация составляет:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Допустимая деформация

Это подтверждает предположение о весьма жёстком связевом элементе и соответствует практически идентичным критическим изгибающим моментам системы с жёстким промежуточным раскреплением и системы с упругим стержневым опиранием.

Итог

Показано, какими способами в деревянных конструкциях можно исследовать опрокидывание изгибаемых элементов. Для распространённых методов следует следить за тем, чтобы связевые элементы были достаточно жёсткими, чтобы можно было принять жёсткие опоры. Соответственно были показаны варианты на случай, если это предположение не выполняется. В принципе, изгибаемые элементы и связевые элементы согласно соответствующей норме всё же должны быть проверены на несущую способность и эксплуатационную пригодность. Однако это не является предметом данной статьи.

Автор

Г-н Рем отвечает за разработку продуктов для деревянных конструкций и оказывает техническую поддержку заказчикам.

Ссылки

DIN. (2013). Национальное приложение – Еврокод 5: Проектирование деревянных конструкций - Часть 1‑1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Статика и устойчивость строительных конструкций, 2-е изд. Висбаден: Vieweg, 1982
Еврокод 5: Проектирование деревянных конструкций - Часть 1‑1: Общее - Общие правила и правила для надземных сооружений; DIN EN 1995‑1‑1:2010‑12

;