7792x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Примеры 2

В предыдущей статье Потеря устойчивости при изгибно-крутильном выпучивании в деревянных конструкциях | Примеры 1 была на простых примерах объяснена практическая методика определения критического изгибающего момента M_crit или критического изгибного напряжения σ_crit для опрокидывания изгибаемой балки. В этой статье критический изгибающий момент определяется с учетом упругого основания, возникающего из системы раскрепления.

Biegedrillknicken im Holzbau - Beispiele 1

Статическая модель

Для системы, показанной на следующем изображении, требуется проверить фермы на опрокидывание. В плоскости крыши расположены шесть ферм как балочные элементы длиной 18 м и два раскрепляющих связевых пояса. Балки на торцевых сторонах опираются на стойки и в расчете не учитываются. На фермы действует расчетная нагрузка q_d 10 кН/м. В первую очередь необходимо определить критический момент потери устойчивости при изгибе с кручением. Проверка по предельному состоянию несущей способности, а также по предельному состоянию пригодности к эксплуатации далее не рассматривается.

1 Статическая модель

Данные модели

GL24h	-	-	Материал согласно EN 14080
L	18	m	Длина балки
b	120	mm	Ширина балки
h	1.200	mm	Высота балки
I_z	172.800.000	mm⁴	Момент инерции
I_T	647.654.753	mm⁴	Момент инерции при кручении
q_d	10	kN/m	Расчетная нагрузка
a_z	600	mm	Положение нагрузки
e	600	mm	Расположение опирания

Инфо

Auch wenn in den nachfolgenden Gleichungen für E und G nicht explizit im Index der Verweis auf die 5-%-Quantilwerte gegeben ist, wurden diese trotzdem entsprechend berücksichtigt.

Шарнирно опертая однопролетная балка без промежуточных опор

Однопролетная балка на шарнирных опорах без промежуточных опор

2 Однопролетная балка на вилочных опорах без промежуточных опор

Для полноты рассмотрения сначала исследуется ферма без бокового удержания (см. изображение 02). Эквивалентная длина стержня при приложении нагрузки к верхней стороне фермы при a₁ = 1,13 и a₂ = 1,44 определяется как:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Длина эквивалентного стержня

Критический момент изгиба затем можно рассчитать следующим образом:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Критический момент изгиба

В этих примерах не учитывается увеличение произведения 5 %-ных квантилей характеристик жесткости из-за гомогенизации балок из клееной древесины.

Изгибающий момент, действующий на фермы, составляет:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Расчетный момент

Собственный анализ дает в результате коэффициент критической нагрузки 0,32. Отсюда следует критический момент изгиба

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Критический момент изгиба из решателя собственных значений

и, таким образом, он идентичен результату аналитического решения.

Подробная проверка с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

3 Деталь проверки с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

Как и ожидалось для этой нераскрепленной, стройной фермы, действующий изгибающий момент больше (в 3 раза), чем критический момент изгиба, и, следовательно, ферма недостаточно закреплена от опрокидывания. Однако этому должен противодействовать связевой пояс, который теперь учитывается в расчете.

Шарнирно опертая однопролетная балка с жесткими промежуточными опорами

Однопролётная балка на шарнирных опорах с жёсткими промежуточными подпорками

4 Однопролётная балка на шарнирных опорах с жёсткими промежуточными раскреплениями

Если раскрепляющий связевой пояс достаточно жесткий, на практике часто расстояние между боковыми удерживающими элементами (например, через прогоны) принимают в качестве эквивалентной длины стержня для проверки на опрокидывание. Этот подход уже был показан в предыдущей статье Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1.

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Примеры 1

В качестве L, таким образом, принимается 2,25 м. Для a₁ = 1,00 и a₂ = 0,00 получается:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Длина заменяющего стержня

Для критического момента изгиба получается:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Критический момент изгиба

Поскольку изгибающий момент, действующий на балку, меньше критического момента изгиба, балка при условии жестких промежуточных опор не подвержена опасности потери устойчивости.

Собственный анализ с помощью дополнения Расчет деревянных конструкций дает в результате коэффициент критической нагрузки 2,86. Отсюда следует критический момент изгиба

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	Коэффициент потери устойчивости
M_d	Bemessungsmoment

Критический изгибающий момент

5 Деталь проверки с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

И здесь оба метода очень хорошо совпадают.

Шарнирно опертая однопролетная балка с упругой стержневой опорой

Однопролётная балка с шарнирным опиранием и упругим стержневым основанием

6 Однопролётная балка на вилочных опорах с упругой постелью стержня

Как поясняется в Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, в [1 ] для упруго опертых стержней определение эквивалентной длины стержня расширено коэффициентами α и β.

Таким образом можно учесть жесткость на сдвиг раскрепляющего связевого пояса при опрокидывании ферм.

Жесткость связевого пояса крыши на сдвиг

Определение жесткости связевого пояса на сдвиг может выполняться, например, по [2] рисунок 6.34. Как видно из него, она зависит от типа связевого пояса, от жесткости на растяжение диагоналей и стоек, от наклона диагоналей и от податливости соединительных элементов. Для раскрепляющего связевого пояса, показанного на рисунке 01, жесткость на сдвиг определяется следующим образом:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Идеальная жесткость поперечной связи

Здесь E_D — модуль упругости диагоналей, а A_D — их площадь поперечного сечения. Однако приведенное выше уравнение не учитывает податливость соединительных элементов диагоналей. Ее и удлинение стержня диагоналей можно учесть через фиктивную площадь поперечного сечения A_D'. Получаем:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Идеальная сдвиговая жесткость связевого раскоса

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Мнимая площадь поперечного сечения диагоналей

Диагонали имеют размеры b/h = 120/200 мм и длину L_D 4,59 м. Модуль смещения соединения с каждой стороны диагоналей должен составлять 110.000 Н/мм.

Следовательно, идеальная площадь составляет

A_D' = 12.548 мм²

и, таким образом, жесткость на сдвиг одного связевого пояса при угле диагоналей к поясу 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Идеальная сдвиговая жесткость связевого раскоса

Приведенную к опоре стержневую жесткость одного связевого пояса согласно [2] формуле 7.291 можно определить следующим образом:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Упругое основание стержня на отдельных связях

Для двух связевых поясов и шести ферм на одну ферму доступна следующая константа пружины:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Упругая опора стержня на каждую балку

При условии, что K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 Н/мм², e = 600 мм, a₁ = 1,13 и a₂ = 1,44, эквивалентная длина стержня составляет:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Длина заменяющего стержня

Критический момент изгиба в результате принимает утопическое значение:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	5 % квантиль модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении
l_ef	Длина заменяющего стержня

Критический момент изгиба

Ожидалось бы значение, аналогичное системе с жесткими промежуточными опорами. Как поясняется в Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, применение расширенной формулы с α и β ограничено.

Строго говоря, она действительна только тогда, когда имеет место отклонение в виде большой синусоиды. То есть когда опирание очень мягкое. В этом примере это уже не выполняется. Многоволновые собственные формы, которые при больших жесткостях пружин приводят к наименьшей критической нагрузке, в указанном уравнении не учитываются, поскольку оно основано на одночленных синусоидальных приближениях.

Как видно на рисунке 7, результатом собственного анализа является многоволновая собственная форма при коэффициенте критической нагрузки 3,49.

Результат анализа собственных форм для однопролётной балки с шарнирным опиранием на концах и упругим стержневым основанием

7 Результат анализа собственных форм для шарнирно-опертой однопролетной балки с упругим стержневым основанием

Для сравнения можно применить метод, выведенный проф. д-ром Генрихом Кройцингером (2020). Критический момент изгиба рассчитывается следующим образом:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Критический изгибающий момент

Константа n обозначает 1-е, 2-е, 3-е… собственное решение. Следовательно, необходимо исследовать несколько собственных решений, и из них определяющим является наименьший критический момент изгиба. Для n = 1…30 получаются следующие критические моменты изгиба.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Для n = 6 M_crit минимален и составляет 1.282,70 kNm.

Собственное решение из дополнения Расчет деревянных конструкций (см. рисунок 7) дает:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
α	Коэффициент нагрузки ветвления
M_d	Расчетный момент

Критический момент изгиба

Оба результата показывают хорошее совпадение. Однако аналитическое решение находится на стороне запаса, поскольку в этом методе упрощенно принимается постоянное распределение изгибающего момента. Постоянному критическому изгибающему моменту M_crit затем сопоставляется критическая нагрузка q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Критическая нагрузка

Поскольку стержневая опора в этом примере считается очень жесткой и равномерно распределенной по длине фермы, получаются несколько более высокие критические моменты изгиба, чем при жесткой одиночной опоре.

Проверка деформаций связевого пояса крыши

Согласно [3] главе 9.2.5.3 (2), раскрепляющие связевые пояса должны быть достаточно жесткими, чтобы горизонтальное отклонение не превышало L/500. Расчет при этом должен выполняться с расчетными значениями жесткостей (см. [1] глава NCI Zu 9.2.5.3).

Для k_crit = 0,195, H = 5 м и q_p = 0,65 кН/м² как ветрового динамического давления получаются следующие нагрузки (см. [3] глава 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Сила стабилизации для сжатого пояса

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Нагрузка от раскрепления

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Расчетная нагрузка от ветра

Деформация раскрепляющего связевого пояса показана на рисунке 8. При этом нагрузки были еще раз уменьшены вдвое, так как имеются два раскрепляющих связевых пояса.

Горизонтальное отклонение раскрепляющей системы

8 Горизонтальное смещение связевого раскрепления

Допустимая деформация составляет:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Допустимая деформация

Это подтверждает предположение о очень жестком связевом поясе и согласуется с практически идентичными критическими моментами изгиба системы с жесткой промежуточной опорой и системы с упругой стержневой опорой.

Итог

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
без промежуточных опор	134,52 kNm	136,39 kNm
с жесткими промежуточными опорами	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
с упругой стержневой опорой	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Было показано, какими способами в деревянных конструкциях можно исследовать опрокидывание изгибаемых балок. Для распространенных методов следует обращать внимание на то, чтобы раскрепляющие связевые пояса были достаточно жесткими, чтобы можно было принять жесткие опоры. Соответственно были показаны варианты на случай, если это предположение не выполняется. В принципе изгибаемые балки и раскрепляющие связевые пояса в соответствии с соответствующей нормой должны еще проверяться на несущую способность и пригодность к эксплуатации. Однако это не является предметом данной статьи.

Автор

Герхард работает в Product Engineering в области деревянного строительства и дополнительно оказывает поддержку в Customer Support. Он использует свой опыт разработки для практичных и реализуемых решений.

Ссылки

DIN. (2013). Национальное приложение – Еврокод 5: Проектирование деревянных конструкций - Часть 1‑1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Статика и устойчивость строительных конструкций, 2-е изд. Висбаден: Vieweg, 1982
Еврокод 5: Проектирование деревянных конструкций - Часть 1‑1: Общее - Общие правила и правила для надземных сооружений; DIN EN 1995‑1‑1:2010‑12

Скачивания

Модель статьи базы знаний | Примеры 2

1,05 MB

;