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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Instabilità per flesso-torsione nelle strutture in legno | Esempi 2

Nel precedente contributo Instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | Esempi 1, è stata illustrata l'applicazione pratica per la determinazione del momento flettente critico M_crit o della tensione di flessione critica σ_crit per il ribaltamento di una trave inflessa mediante semplici esempi. In questo contributo, il momento flettente critico viene determinato tenendo conto di un appoggio elastico, risultante da un sistema di controventamento.

Instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno - Esempi 1

Modello statico

Per il sistema rappresentato nella figura successiva, le travi principali devono essere analizzate rispetto al ribaltamento. Nel piano di copertura sono presenti sei travi principali come travi parallele con una lunghezza di 18 m e due controventi di irrigidimento. Le travi sui lati a capanna sono sostenute da colonne e non vengono considerate nel calcolo. Sulle travi principali agisce un carico di progetto q_d pari a 10 kN/m. L’obiettivo principale è determinare il momento critico di instabilità flesso-torsionale. Non si entrerà ulteriormente nel merito della verifica allo stato limite ultimo né allo stato limite di esercizio.

1 Modello statico

Dati del modello

GL24h	-	-	Materiale secondo EN 14080
L	18	m	Lunghezza della trave
b	120	mm	Larghezza della trave
h	1.200	mm	Altezza della trave
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento d'inerzia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento d'inerzia torsionale
q_d	10	kN/m	Carico di progetto
a_z	600	mm	Posizione del carico
e	600	mm	Posizione dell’appoggio

Informazione

Anche se nelle equazioni seguenti per E e G non viene esplicitamente indicato nell’indice il riferimento ai valori del 5-% quantile, questi sono comunque stati considerati di conseguenza.

Trave semplicemente appoggiata con cerniere alle estremità senza controventi intermedi

Trave semplicemente appoggiata a un solo tratto con supporti a forcella senza appoggi intermedi

2 Trave a campata singola su appoggi a forcella senza appoggi intermedi

Per completezza, viene dapprima analizzata la trave principale senza ritegno laterale (vedi figura 02). La lunghezza equivalente dell’asta, con un punto di applicazione del carico nella parte superiore della trave principale e con a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, risulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Lunghezza dell’asta sostitutiva

Il momento critico di instabilità flesso-torsionale può quindi essere calcolato come segue:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento Critico di Flessione

In questi esempi si rinuncia ad aumentare il prodotto dei quantili del 5% dei parametri di rigidezza a causa dell’omogeneizzazione delle travi in legno lamellare.

Il momento flettente agente sulle travi risulta:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento di progetto

L’analisi agli autovalori fornisce come risultato un fattore di carico di instabilità pari a 0,32. Ne consegue il momento critico di instabilità flesso-torsionale

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento critico di inflessione dall'analisi agli autovalori

ed è quindi identico al risultato della soluzione analitica.

3 Dettaglio della verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

Come prevedibile per questa trave snella non controventata, il momento flettente agente è maggiore (di un fattore 3) del momento critico di instabilità flesso-torsionale, e la trave non è quindi sufficientemente vincolata contro il ribaltamento. A tale situazione dovrebbe però porre rimedio un controvento, che viene ora considerato nel calcolo.

Trave semplicemente appoggiata con controventi intermedi rigidi

Trave semplice appoggiata su forche con controventi intermedi rigidi

4 Trave appoggiata a forchetta a campata singola con controventi intermedi rigidi

Se il controvento di irrigidimento è sufficientemente rigido, nella pratica si usa spesso la distanza dei ritegni laterali (ad esempio tramite arcarecci) come lunghezza equivalente dell’asta per la verifica al ribaltamento. Questo approccio è già stato illustrato nel precedente articolo Instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | Esempi 1.

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Esempi 1

Pertanto, come L viene utilizzato 2,25 m. Per a₁ = 1,00 e a₂ = 0,00 si ottiene:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Lunghezza dell'asta sostitutiva

Per il momento critico di instabilità flesso-torsionale si ottiene:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento critico di instabilità flessionale

Poiché il momento flettente agente sulla trave è minore del momento critico di instabilità flesso-torsionale, la trave, assumendo controventi intermedi rigidi, non è a rischio di ribaltamento.

L’analisi agli autovalori con l’Add-On Verifica legno fornisce come risultato un fattore di carico di instabilità pari a 2,86. Ne consegue il momento critico di instabilità flesso-torsionale

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	fattore di carico di biforcazione
M_d	Bemessungsmoment

Momento critico di inflessione

Dettaglio di verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

5 Dettaglio della verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

Anche in questo caso entrambi i procedimenti coincidono molto bene.

Trave semplicemente appoggiata con vincolo elastico dell’asta

Trave a campata singola semplicemente appoggiata con vincolo a forcella e letto elastico dell’asta

6 Trave a campata singola con supporto a forcella e incastro elastico del tirante

Come spiegato in Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, in [1 ] per aste appoggiate elasticamente la determinazione della lunghezza equivalente viene ampliata con i fattori α e β.

In questo modo è possibile considerare la rigidezza a taglio di un controvento di irrigidimento per il ribaltamento delle travi principali.

Rigidezza a taglio del controvento di copertura

La determinazione della rigidezza a taglio del controvento può, ad esempio, essere eseguita secondo [2] figura 6.34. Come si può notare, questa dipende dal tipo di controvento, dalla rigidezza a trazione delle diagonali e dei puntoni, dall’inclinazione delle diagonali e dalla cedevolezza dei mezzi di collegamento. Per il controvento di irrigidimento mostrato in figura 01 si ottiene la rigidezza a taglio:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

Qui E_D è il modulo elastico delle diagonali e A_D la loro area della sezione trasversale. L’equazione sopra riportata non include tuttavia la cedevolezza dei mezzi di collegamento delle diagonali. Questa, così come l’allungamento delle diagonali, può essere considerata mediante un’area fittizia della sezione A_D'. Ne segue:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidezza a Taglio Ideale del Controvento di Stabilizzazione

con

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Sezione trasversale fittizia delle diagonali

Le diagonali hanno dimensioni b/h = 120/200 mm e una lunghezza L_D di 4,59 m. Il modulo di scorrimento del collegamento su ciascun lato delle diagonali deve essere pari a 110.000 N/mm.

L’area ideale è quindi

A_D' = 12.548 mm²

e quindi la rigidezza a taglio di un controvento, con un angolo delle diagonali rispetto all’orditura di 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidezza a Taglio Ideale del Controvento di Stabilizzazione

Il vincolo dell’asta per ciascun controvento si può quindi trasformare secondo [2] formula 7.291 come segue:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Fondazione dell'asta elastica per controvento

Per due controventi e sei travi principali, per ogni trave principale è disponibile la seguente costante elastica:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Incastro elastico per trave

Assumendo che K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, si ottiene la lunghezza equivalente dell’asta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Lunghezza dell'asta sostitutiva

Il momento critico di instabilità flesso-torsionale risulta quindi in un valore utopico di:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Momento critico di inflessione
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
I_z	Momento d'inerzia rispetto all'asse debole
I_T	Momento d'inerzia torsionale
l_ef	Lunghezza equivalente dell'asta

Momento Critico di Inflessione

Ci si attenderebbe un valore simile a quello del sistema con controventi intermedi rigidi. Come spiegato in Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, l’applicazione della formula estesa con α e β è limitata nel suo impiego.

In senso stretto, essa è valida solo quando è presente una deformazione secondo un ampio arco sinusoidale, cioè quando il vincolo è molto cedevole. In questo esempio ciò non è più il caso. Le funzioni proprie multi-ondulate, che per costanti elastiche maggiori conducono al più piccolo carico di instabilità, non sono incluse nella suddetta equazione, poiché questa si basa su approcci sinusoidali a un solo termine.

Come si vede in figura 7, dall’analisi agli autovalori risulta una forma propria multi-ondulata con un fattore di carico di instabilità pari a 3,49.

Risultato dell'analisi agli autovalori per la trave a campata singola con appoggi a forcella e letto elastico dell'asta

7 Risultato dell'analisi degli autovalori per la trave a campata singola con vincolo a forcella e letto elastico dell'asta

A titolo di confronto può essere applicato il procedimento derivato dal Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). Il momento critico di instabilità flesso-torsionale viene calcolato come segue:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento flettente critico

La costante n indica la 1ª, 2ª, 3ª… soluzione propria. Di conseguenza devono essere esaminate più soluzioni proprie e il momento critico di instabilità più piccolo risulta essere determinante. Per n = 1…30 si ottengono i seguenti momenti critici di instabilità flesso-torsionale.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Per n = 6, M_crit è minimo e vale 1.282,70 kNm.

La soluzione agli autovalori dell’Add-On Verifica legno (vedi figura 7) fornisce:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Momento critico di inflessione
α	Fattore di carico di instabilità
M_d	Momento di calcolo

Momento critico di inflessione

I due risultati presentano una buona corrispondenza. Tuttavia, la soluzione analitica è dalla parte della sicurezza, poiché in questo procedimento si assume semplificativamente un andamento costante del momento flettente. Al momento flettente critico costante M_crit viene poi associato un carico critico q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Carico critico

Poiché il vincolo dell’asta in questo esempio può essere considerato molto rigido e viene distribuito uniformemente lungo la lunghezza delle travi principali, si ottengono momenti critici di instabilità leggermente maggiori rispetto al singolo appoggio rigido.

Verifica della deformazione del controvento di copertura

Secondo [3] capitolo 9.2.5.3 (2), i controventi di irrigidimento devono essere così rigidi che lo spostamento orizzontale L/500 non venga superato. Il calcolo deve essere eseguito con i valori di progetto delle rigidezze (vedi [1] capitolo NCI Zu 9.2.5.3).

Per k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² come pressione dinamica del vento si ottengono i seguenti carichi (vedi [3] capitolo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Forza di stabilizzazione per l'ala compressa

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carico di controventatura

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carico di progetto del vento

La deformazione del controvento di irrigidimento è mostrata in figura 8. In questo caso i carichi sono stati nuovamente dimezzati, poiché sono presenti due controventi di irrigidimento.

8 Spostamento orizzontale del controvento di irrigidimento

La deformazione ammissibile è:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Spostamento ammissibile

Ciò conferma l’ipotesi di un controvento molto rigido ed è in accordo con i momenti critici di instabilità quasi identici del sistema con controventi intermedi rigidi e del sistema con vincolo elastico dell’asta.

Riepilogo

Systema	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
senza controventi intermedi	134,52 kNm	136,39 kNm
con controventi intermedi rigidi	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
con vincolo elastico dell'asta	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

È stato mostrato con quali possibilità nelle costruzioni in legno può essere analizzato il ribaltamento delle travi flettenti. Per i metodi più comuni occorre prestare attenzione affinché i controventi di irrigidimento siano sufficientemente rigidi da poter assumere appoggi rigidi. Sono state pertanto illustrate varianti nel caso in cui tale ipotesi non sia soddisfatta. In linea di principio, le travi flettenti e i controventi di irrigidimento devono inoltre essere verificati, secondo la normativa corrispondente, per la loro capacità portante e per la loro idoneità all’uso. Tuttavia, ciò non è oggetto di questo articolo.

Autore

Gerhard lavora nel Product Engineering nel settore delle costruzioni in legno e supporta inoltre il Customer Support. Utilizza la sua esperienza di sviluppo per soluzioni pratiche e realizzabili.

Link

Bibliografia

DIN. (2013). Appendice nazionale - Eurocodice 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statica e stabilità delle strutture, 2a edizione. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Norme austriache. (2015). Eurocodice 5: Progettazione di strutture in legno - Parte 1-1: Generale - Regole comuni e regole per edifici; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlino: Beuth Verlag GmbH.

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