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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Instabilità per flesso-torsionale nelle strutture in legno | Esempi 2

Nel precedente articolo "Instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | Esempi 1", è stata illustrata l'applicazione pratica per la determinazione del momento flettente critico M_crit o della tensione di flessione critica σ_crit per il ribaltamento di una trave inflessa mediante semplici esempi. In questo contributo, il momento flettente critico viene determinato tenendo conto di un appoggio elastico, risultante da un sistema di controventamento.

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | Esempi 1

Modello strutturale

Per il sistema strutturale mostrato nella figura seguente, le travi devono essere verificate nei confronti dell'instabilità flesso-torsionale. Il piano di copertura è composto da sei travi disposte in parallelo con una lunghezza di 18 m e da due controventi di irrigidimento. Le travi poste sulle pareti a timpano sono sostenute da colonne e non vengono considerate nel calcolo. Sulle travi agisce un carico di progetto q_d di 10 kN/m. L'obiettivo principale è determinare il momento critico di instabilità flesso-torsionale. Non verranno trattate le successive verifiche allo stato limite ultimo né allo stato limite di esercizio.

1 Modello statico

Dati del modello

GL24h	-	-	Materiale secondo EN 14080
L	18	m	Lunghezza della trave
b	120	mm	Larghezza della trave
h	1.200	mm	Altezza della trave
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento d'inerzia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento d'inerzia torsionale
q_d	10	kN/m	Carico di progetto
a_z	600	mm	Posizione del carico
e	600	mm	Posizione dell'appoggio

Informazione

Anche se nelle equazioni seguenti per E e G non è esplicitamente indicato nell'indice il riferimento ai valori del quantile del 5%, questi sono comunque stati presi in considerazione.

Trave a campata singola con vincoli laterali e torsionali senza vincolo intermedio

2 Trave a campata singola su vincoli laterali e torsionali

Per completezza, si esamina innanzitutto la trave priva di vincoli laterali intermedi (vedi Figura 02). La lunghezza dell'asta equivalente, considerando l'applicazione del carico sulla parte superiore della trave con a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, risulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Lunghezza equivalente dell'asta
L	Lunghezza della trave, distanza del supporto laterale
a₁,a₂	Coefficienti di instabilità laterale
a_z	Distanza del punto di applicazione del carico dal centro di taglio
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
I_z	Momento d'inerzia rispetto all'asse debole
I_T	Momento d'inerzia torsionale

Lunghezza dell’asta sostitutiva

Il momento flettente critico può quindi essere calcolato come segue:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Momento critico di inflessione
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
I_z	Momento d'inerzia rispetto all'asse debole
I_T	Momento d'inerzia torsionale
l_ef	Lunghezza equivalente della barra

Momento Critico di Flessione

L'aumento del prodotto dei quantili del 5% dei parametri di rigidezza dovuto all'omogeneizzazione delle travi in legno lamellare incollato non viene considerato in questi esempi.

Il momento flettente agente sulle travi risulta:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	momento di progetto
q_d	Carico di progetto
L	Lunghezza della trave

Momento di progetto

L'analisi agli autovalori fornisce come risultato un moltiplicatore critico del carico pari a 0,32. Ne segue il momento flettente critico

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento critico di inflessione dall'analisi agli autovalori

ed è quindi identico al risultato ottenuto per via analitica.

3 Dettaglio della verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

Come previsto per questa trave snella non controventata, il momento flettente agente è maggiore (di un fattore 3) del momento flettente critico e la trave non è quindi sufficientemente protetta nei confronti dello sbandamento laterale. A tale scopo deve però intervenire un sistema di controvento, che viene ora considerato nel calcolo.

Trave a campata singola con vincoli laterali e torsionali con vincoli intermedi rigidi

Trave semplice appoggiata su forche con controventi intermedi rigidi

4 Trave appoggiata a forchetta a campata singola con controventi intermedi rigidi

Se il controvento è sufficientemente rigido, nella pratica professionale si adotta spesso l'interasse dei vincoli laterali (ad esempio la distanza tra gli arcarecci) come lunghezza dell'asta equivalente per la verifica a instabilità flesso-torsionale. Questa procedura è già stata illustrata nel precedente articolo "Instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | Esempi 1".

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Esempi 1

Come L si utilizza quindi 2,25 m. Per a₁ = 1,00 e a₂ = 0,00 segue:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Lunghezza equivalente dell'asta
L	Lunghezza della trave, distanza del sostegno laterale
a₁,a₂	Coefficienti di instabilità laterale
a_z	Distanza del punto di applicazione del carico dal centro di taglio
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	Quintile del 5 % del modulo di taglio
I_z	Momento d’inerzia rispetto all’asse debole
I_T	Momento d’inerzia torsionale

Lunghezza dell'asta sostitutiva

Per il momento flettente critico si ricava:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Momento critico di instabilità flessionale
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
I_z	Momento d'inerzia rispetto all'asse debole
I_T	Momento d'inerzia torsionale
l_ef	Lunghezza dell’asta sostitutiva

Momento critico di instabilità flessionale

Poiché il momento flettente agente sulla trave è inferiore al momento flettente critico, la trave – ipotizzando appoggi intermedi rigidi – non è a rischio di sbandamento laterale.

L'analisi agli autovalori eseguita con l'add-on Verifica legno fornisce un moltiplicatore critico del carico pari a 2,86. Ne segue un momento flettente critico pari a:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Momento critico di inflessione
α	fattore di carico di biforcazione
M_d	Momento di progetto

Momento critico di inflessione

Dettaglio di verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

5 Dettaglio della verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

Anche in questo caso i due procedimenti concordano molto bene.

Trave a campata singola con vincoli laterali e torsionali con vincolo esterno elastico dell'asta

Trave a campata singola semplicemente appoggiata con vincolo a forcella e letto elastico dell’asta

6 Trave a campata singola con supporto a forcella e incastro elastico del tirante

Come spiegato in Instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | Metodo di analisi, in [1 ] la determinazione della lunghezza dell'asta equivalente per aste con vincolo elastico viene ampliata introducendo i fattori α e β.

Ciò consente di tenere conto della rigidezza a taglio del controvento per il contrasto dello sbandamento laterale delle travi.

Rigidezza a taglio del controvento di copertura

La determinazione della rigidezza a taglio del controvento può essere effettuata, ad esempio, secondo [2] figura 6.34. Come si può notare, essa dipende dalla tipologia di controvento, dalla rigidezza assiale di diagonali e montanti, dall'inclinazione delle diagonali e dalla cedevolezza dei collegamenti. Per il sistema di controvento mostrato nella Figura 01, si ottiene la seguente rigidezza a taglio:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidezza ideale a taglio del controvento di stabilizzazione
E_D	Quantile del 5 % del modulo di elasticità delle diagonali
A_D	Area della sezione trasversale delle diagonali
α	Angolo tra la diagonale e le aste del corrente

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

Qui E_D è il di elasticità (E) delle diagonali e A_D la loro area della sezione trasversale.L'equazione precedente, tuttavia, non include la cedevolezza dei mezzi di collegamento delle diagonali. Questa componente, insieme all'allungamento delle aste diagonali, può essere considerata definendo un'area efficace fittizia A_D'. Segue:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidità ideale a taglio del controvento di irrigidimento
E_D	5 % quantile del modulo elastico delle diagonali
A_D'	Area della sezione trasversale fittizia delle diagonali
α	Angolo tra la diagonale e le aste del corrente

Rigidezza a Taglio Ideale del Controvento di Stabilizzazione

con

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Sezione trasversale fittizia delle diagonali
A_D	Area della sezione trasversale delle diagonali
E_D	5 % quantile del modulo di elasticità delle diagonali
L_D	Lunghezza delle diagonali
K_ser	Modulo di spostamento del collegamento

Sezione trasversale fittizia delle diagonali

Le diagonali hanno dimensioni b/h = 120/200 mm e una lunghezza L_D di 4,59 m. Il modulo di scorrimento del collegamento su ciascun lato delle diagonali è pari a 110.000 N/mm.

L'area ideale è quindi

A_D' = 12.548 mm²

di conseguenza, la rigidezza a taglio di un singolo controvento, con un angolo delle diagonali rispetto ai correnti pari 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidità ideale a taglio del controvento di irrigidimento
E_D	5 % quantile del modulo elastico delle diagonali
A_D'	Area della sezione trasversale fittizia delle diagonali
α	Angolo tra la diagonale e le aste del corrente

Rigidezza a Taglio Ideale del Controvento di Stabilizzazione

Il vincolo elastico per ciascun controvento si può quindi trasformare secondo [2] formula 7.291 come segue:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Incastro elastico delle aste per controvento
s_id	Rigidità ideale a taglio del controvento di irrigidimento
L	Lunghezza del controvento

Fondazione dell'asta elastica per controvento

Considerando due controventi e sei travi, per ogni trave si ha a disposizione la seguente costante elastica rotazionale:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Ancoraggio elastico dell’asta per trave reticolare
K_y'	Fissaggio elastico di aste per controvento

Incastro elastico per trave

Assumendo K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, si ottiene la lunghezza dell'asta equivalente:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Lunghezza della barra sostitutiva
L	Lunghezza della trave, distanza del supporto laterale
a₁,a₂	Coefficienti di instabilità laterale
a_z	Distanza dell'applicazione del carico dal centro di taglio
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	Quantile del 5 % del modulo di taglio
I_z	Momento d'inerzia rispetto all'asse debole
I_T	Momento d'inerzia torsionale
α, β	Coefficienti per tenere conto di un’imbottitura dell’asta

Lunghezza dell'asta sostitutiva

Il momento flettente critico assume così un valore utopico di:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Momento critico di inflessione
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
G_0,05	5 % quantile del modulo di taglio
I_z	Momento d'inerzia rispetto all'asse debole
I_T	Momento d'inerzia torsionale
l_ef	Lunghezza equivalente dell'asta

Momento Critico di Inflessione

Ci si aspetterebbe un valore simile al sistema con appoggi intermedi rigidi.
Come spiegato in Instabilità flesso-torsionale nelle strutture in legno | Metodo di analisi, l'applicazione della formula estesa con α e β è limitata nel suo utilizzo.

A rigore, essa è valida solo quando la deformazione avviene secondo un'unica semionda sinusoidale, ossia quando il vincolo elastico è molto cedevole. In questo esempio, tale condizione non si verifica. Le deformazioni modali plurionda (a più onde), che in presenza di costanti elastiche elevate conducono al carico critico minimo, non sono contemplate nella formula sopra citata, poiché quest'ultima si basa su un approccio semplificato a singola onda (monomodale).

Come si vede in figura 7, dall'analisi agli autovalori risulta una forma modale plurionda con un coefficiente di carico critico pari a 3,49.

Risultato dell'analisi agli autovalori per la trave a campata singola con appoggi a forcella e letto elastico dell'asta

7 Risultato dell'analisi degli autovalori per la trave a campata singola con vincolo a forcella e letto elastico dell'asta

A titolo di confronto può essere applicato il procedimento derivato dal Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). Il momento critico di inflessione si calcola come segue:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Momento critico di flessione
a_z	Distanza dell’applicazione del carico dal centro di taglio
e	Distanza dell'ancoraggio dell'asta dal centro di taglio
K_y	appoggio elastico dell’asta per trave reticolare
L	Lunghezza della trave
n	n-esima soluzione propria
E_0,05	5 % quantile del modulo di elasticità
I_z	Momento d’inerzia rispetto all’asse debole
G_0,05	Quintili del 5 % del modulo di taglio
I_T	Momento d'inerzia torsionale

Momento flettente critico

La costante n identifica la 1a, 2a, 3a… soluzione propria. Pertanto occorre esaminare più soluzioni proprie e da esse ricavare il momento flettente critico minimo. Per n = 1…30 si ottengono i seguenti momenti flettenti critici.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Per n = 6, M_crit è minimo e vale 1.282,70 kNm.

La soluzione agli autovalori dell'add-on Verifica legno (vedi figura 7) fornisce:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Momento critico di inflessione
α	Fattore di carico di instabilità
M_d	Momento di calcolo

Momento critico di inflessione

I due risultati presentano una buona corrispondenza. La soluzione analitica è tuttavia dalla parte della sicurezza, poiché in questo procedimento si assume in modo semplificato un andamento costante del momento flettente. Al momento flettente critico costante M_crit viene poi assegnato un carico critico q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Carico critico
M_crit	Momento critico di inflessione
L	Lunghezza della trave

Carico critico

Poiché in questo esempio il vincolo elastico è da considerarsi molto rigido e resulta uniformemente distribuito lungo la lunghezza delle travi, si ottengono momenti flettenti critici di instabilità leggermente più elevati rispetto al caso con singolo appoggio intermedio rigido.

Verifica delle deformazioni del controvento di copertura

Secondo [3] capitolo 9.2.5.3 (2),sistemi di controvento devono possedere una rigidezza tale per cui la deformazione orizzontale non superi il limite di L/500. Il calcolo deve essere eseguito con i valori di progetto delle rigidezze (vedi [1] capitolo NCI Zu 9.2.5.3).

Per k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² come pressione dinamica di raffica si ottengono i seguenti carichi (vedi [3] capitolo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Forza di stabilizzazione per l'ala compressa
k_crit	Coefficiente di instabilità laterale
M_d	Momento di progetto
h	Altezza della trave

Forza di stabilizzazione per l'ala compressa

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Carico di controventamento
n	Numero di travi reticolari
L	Lunghezza della trave
k_f,3	Coefficiente di modifica per la resistenza all'irrigidimento

Carico di controventatura

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Carico di progetto da vento
γ_Q	Coefficiente parziale di sicurezza per l’azione variabile
c_pe	Coefficiente di pressione esterna
q_p	pressione dinamica del vento di raffica
h	Altezza dell'edificio

Carico di progetto del vento

La deformazione del controvento è mostrata in figura 8. I carichi sono stati nuovamente dimezzati, poiché sono presenti due controventi.

8 Spostamento orizzontale del controvento di irrigidimento

La deformazione ammissibile è pari a:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Spostamento ammissibile

Questo risultato conferma l'ipotesi iniziale di un controvento molto rigido ed è coerente con i valori quasi identici del momento flettente critico ottenuti sia nel sistema ad appoggi intermedi rigidi, sia nel sistema con vincolo elastico continuo.

Sintesi

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
senza appoggi intermedi	134,52 kNm	136,39 kNm
con appoggi intermedi rigidi	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
con vincolo elastico dell'asta	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Sono state lllustrate le diverse metodologie per l'analisi dell'instabilità flesso-torsionale di travi inflesse nelle strutture in legno. Quando si applicano i metodi di calcolo tradizionali, è fondamentale accertarsi che i controventi siano sufficientemente rigidi da poter giustificare l'ipotesi di appoggio rigido. Sono state quindi presentate le relative alternative nel caso in cui tale assunzione non sia valida. In linea generale, le travi inflesse e i relativi sistemi di controvento devono essere verificati in termini di capacità portante e di idoneità all'esercizio secondo le normative vigenti; tuttavia, tali verifiche esulano dallo scopo del presente articolo.

Autore

Gerhard lavora nel Product Engineering nel settore delle costruzioni in legno e supporta inoltre il Customer Support. Utilizza la sua esperienza di sviluppo per soluzioni pratiche e realizzabili.

Link

Bibliografia

DIN. (2013). Appendice nazionale - Eurocodice 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statica e stabilità delle strutture, 2a edizione. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Norme austriache. (2015). Eurocodice 5: Progettazione di strutture in legno - Parte 1-1: Generale - Regole comuni e regole per edifici; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlino: Beuth Verlag GmbH.

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