Modello strutturale
Per il sistema mostrato nell'immagine 01, le aste reticolari dovrebbero essere analizzate per instabilità laterale. In Dachebene befinden sich sechs Binder als Parallelträger mit 18 m Länge und zwei Aussteifungsverbände. Die Balken an den Giebelseiten sind durch Stützen unterstützt und werden für die Berechnung nicht berücksichtigt. Auf die Binder wirkt eine Bemessungslast qd von 10 kN/m.
Dati modello
18 | m | Länge des Trägers | |
b | 120 | mm | Larghezza trave |
h | 1.200 | mm | Altezza trave |
GL24h | Material gemäß EN 14080 | ||
iZ | 172.800.000 | mm4 | Momento d'inerzia |
iT | 647.654.753 | mm4 | Costante torsionale |
qd | 10 | kN/m | carico di progetto |
az | 600 | mm | posizione del carico |
e | 600 | mm | Lage der Bettung |
Nota: Auch wenn in den nachfolgenden Gleichungen für E und G nicht explizit im Index der Verweis auf die 5-%-Quantilwerte gegeben ist, wurden diese trotzdem entsprechend berücksichtigt.
Gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen
Der Vollständigkeit halber wird zunächst der Binder ohne seitliche Halterung untersucht (siehe Bild 02). Die Ersatzstablänge ergibt sich bei einem Lastangriff an der Oberseite des Binders mit a1 = 1,13 und a2 = 1,44 zu:
lef | lunghezza dell'asta equivalente |
[LinkToImage01] | Lunghezza della trave, spaziatura tra i vincoli laterali |
un1 , un2 | Fattori di instabilità laterali |
az | Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[LinkToImage01]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
iT | Costante torsionale |
lef = 17,79 m
Das kritische Biegemoment kann danach wie folgt berechnet werden:
Mcrit | Momento flettente critico |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[LinkToImage01]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
iT | Costante torsionale |
lef | lunghezza dell'asta equivalente |
Mcrit = 134,52 kNm
Auf eine Erhöhung des Produktes der 5-%-Quantilen der Steifigkeitskennwerte wegen der Homogenisierung von Trägern aus Brettschichtholz wird in diesen Beispielen verzichtet.
Das auf den Bindern einwirkende Biegemoment resultiert zu:
Md | Momento fattorizzato |
qd | carico di progetto |
[LinkToImage01] | Lunghezza trave |
Md = 405,00 kNm
Die Eigenwertanalyse mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK liefert als Ergebnis einen Verzweigungslastfaktor von 0,3334. Daraus folgt das kritische Biegemoment
Mcrit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm
und ist somit identisch mit dem Ergebnis der analytischen Lösung.
Wie für diesen nichtgestützten, schlanken Binder zu erwarten war, ist das einwirkende Biegemoment größer (um Faktor 3) als das kritische Biegemoment, und der Binder ist somit nicht ausreichend gegen Kippen gehalten. Dem soll jedoch ein Verband entgegenwirken, welcher nun für die Berechnung berücksichtigt wird.
Gabelgelagerter Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen
Ist der Aussteifungsverband steif genug, wird in der Praxis häufig der Abstand der seitlichen Halterungen (zum Beispiel durch Pfetten) als Ersatzstablänge für den Kippnachweis verwendet. Dieses Vorgehen wurde bereits im vorherigen Beitrag Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 aufgezeigt. Als L wird demnach 2,25 m verwendet. Für a1 = 1,00 und a2 = 0,00 folgt:
lef | Lunghezza dell'asta equivalente |
[LinkToImage01] | Lunghezza della trave, spaziatura tra i vincoli laterali |
un1 , un2 | Fattori di instabilità laterali |
az | Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio |
E0,05 | 5 % quantile del modulo di elasticità |
[LinkToImage01]0,05 | 5 % quantile del modulo di taglio |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
iT | Costante torsionale |
lef = 2,25 m
Für das kritische Biegemoment ergibt sich:
Mcrit | Momento flettente critico |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[LinkToImage01]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
iT | Costante torsionale |
lef | lunghezza dell'asta equivalente |
Mcrit = 1.063,51 kNm
Da das auf den Träger einwirkende Biegemoment kleiner ist als das kritische Biegemoment, ist der Träger unter der Annahme von starren Zwischenabstützungen nicht kippgefährdet.
Die Eigenwertanalyse mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK liefert als Ergebnis einen Verzweigungslastfaktor von 2,7815. Daraus folgt das kritische Biegemoment
Mcrit | Momento flettente critico |
η | coefficiente di carico critico |
Md | Momento fattorizzato |
Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm
Gabelgelagerter Einfeldträger mit elastischer Stabbettung
Wie in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie erläutert ist, wird in [1] für elastisch gebettete Stäbe die Ermittlung der Ersatzstablänge mit dem Faktor α und β erweitert. Damit ist es möglich, die Schubsteifigkeit eines Aussteifungsverbandes für das Kippen der Binder zu berücksichtigen. Die Ermittlung der Schubsteifigkeit des Verbandes kann beispielsweise nach [2] Bild 6.34 erfolgen. Wie daraus zu erkennen ist, ist diese abhängig vom Typ des Verbandes, von der Dehnsteifigkeit der Diagonalen und der Pfosten, von der Neigung der Diagonalen und von der Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel. Für den in Bild 01 abgebildeten Aussteifungsverband ergibt sich die Schubsteifigkeit zu:
sid | Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento |
Ed | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
[LinkToImage01]d | Area sezione diagonale |
α | Angolo tra diagonali e corde |
Hierbei ist ED der E-Modul der Diagonalen und AD deren Querschnittsfläche. Die obige Gleichung enthält jedoch nicht die Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel der Diagonalen. Diese und die Stablängung der Diagonalen kann über eine fiktive Querschnittsfläche AD' berücksichtigt werden. Es folgt:
sid | Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento |
Ed | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
[LinkToImage01]d' | Area della sezione trasversale nozionale delle diagonali |
α | Angolo tra diagonali e corde |
dove
[LinkToImage01]d' | Area della sezione trasversale nozionale delle diagonali |
[LinkToImage01]d | Area sezione diagonale |
Ed | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
Ld | Lunghezza delle diagonali |
Kser | Modulo di collegamento a scorrimento |
Die Diagonalen haben die Abmessung b/h = 120/200 mm und eine Länge LD von 4,59 m. Der Verschiebungsmodul des Anschlusses auf jeder Seite der Diagonalen soll 110.000 N/mm betragen.
Die ideelle Fläche beträgt demnach
AD' = 12.548 mm²
und damit die Schubsteifigkeit eines Verbandes, mit einem Winkel der Diagonalen zum Gurt von 60,64 °,
sid | Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento |
Ed | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
[LinkToImage01]d' | Area della sezione trasversale nozionale delle diagonali |
α | Angolo tra diagonali e corde |
sid = 44.864 kN
Die Stabbettung pro Verband lässt sich daraus gemäß [2] Formel 7.291 wie folgt überführen:
Ky' | Fondazione dell'asta elastica per controvento |
sid | Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento |
[LinkToImage01] | Lunghezza del controvento |
Für zwei Verbände und sechs Binder steht pro Binder folgende Federkonstante zur Verfügung:
Ky | Fondazione dell'asta elastica per asta di travatura reticolare |
Ky' | Fondazione dell'asta elastica per controvento |
Ky = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²
Unter der Voraussetzung, dass KG = ∞, Kθ = 0, Ky = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a1 = 1,13 und a2 = 1,44 ist, ergibt sich die Ersatzstablänge zu:
lef | lunghezza dell'asta equivalente |
[LinkToImage01] | Lunghezza della trave, spaziatura tra i vincoli laterali |
un1 , un2 | Fattori di instabilità laterali |
az | Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[LinkToImage01]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
iT | Costante torsionale |
α, β | Fattori per considerare la fondazione di un membro |
lef = 0,13
Das kritische Biegemoment ergibt sich damit zu einem utopischen Wert von:
Mcrit | Momento flettente critico |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[LinkToImage01]0,05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
iT | Costante torsionale |
lef | lunghezza dell'asta equivalente |
Mcrit = 18.482,84 kNm
Zu erwarten wäre ein Wert ähnlich des Systems mit starren Zwischenabstützungen. Wie in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie erläutert, ist die Anwendung der erweiterten Formel mit α und β in Ihrer Anwendung eingeschränkt. Diese hat streng genommen nur Gültigkeit, wenn eine Auslenkung in einem großen Sinusbogen vorliegt. Also dann, wenn die Bettung sehr weich ist. Dies ist in diesem Beispiel nicht mehr gegeben. Mehrwellige Eigenfunktionen, die bei größeren Federkonstanten zur kleinsten Verzweigungslast führen, sind in der besagten Gleichung nicht erfasst, da diese auf eingliedrigen Sinusansätzen basiert.
Wie auf Bild 07 zu sehen ist, resultiert aus der Eigenwertanalyse eine mehrwellige Eigenform.
Für diesen Fall kann das Verfahren, welches von Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020) hergeleitet wurde, Anwendung finden. Das kritische Biegemoment wird wie folgt berechnet:
Mcrit | Momento flettente critico |
az | Distanza di applicazione del carico dal centro di taglio |
e | Distanza della fondazione elastica dell'asta dal centro di taglio |
Ky | Fondazione dell'asta elastica per asta di travatura reticolare |
[LinkToImage01] | Lunghezza trave |
n | n ° eigensolution |
E0,05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
iZ | Secondo momento dell'area intorno all'asse debole |
[LinkToImage01]0,05 | 5 %-Quantile des Schubmoduls |
iT | Costante torsionale |
Die Konstante n kennzeichnet die 1., 2., 3... Eigenlösung. Demnach sind mehrere Eigenlösungen zu untersuchen und daraus ist dann das kleinste kritische Biegemoment maßgebend. Für n = 1...30 ergeben sich folgende kritische Biegemomente.
n | Mcrit [kNm] | n | Mcrit [kNm] |
---|---|---|---|
1 | 9.523,25 | 16 | 2.214,63 |
2 | 4.281,26 | 17 | 2.339,17 |
3 | 2.294,32 | 18 | 2.464,92 |
4 | 1.605,56 | 19 | 2.591,63 |
5 | 1.354,68 | 20 | 2.719,14 |
6 | 1.282,70 | 21 | 2.847,30 |
7 | 1.294,12 | 22 | 2.976,00 |
8 | 1.348,81 | 23 | 3.105,16 |
9 | 1.428,05 | 24 | 3.234,71 |
10 | 1.522,29 | 25 | 3.364,60 |
11 | 1.626,24 | 26 | 3.494,77 |
12 | 1.736,77 | 27 | 3.625,20 |
13 | 1.851,94 | 28 | 3.755,84 |
14 | 1.970,50 | 29 | 3.886,67 |
15 | 2.091,60 | 30 | 4.017,68 |
Für n = 6 wird Mcrit minimal und beträgt 1.282,70 kNm.
Die Eigenwertlösung aus dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK (siehe Bild 07) ergibt:
Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm
Die beiden Ergebnisse erzielen eine sehr gute Übereinstimmung. Die analytische Lösung liegt jedoch auf der sicheren Seite, da bei diesem Verfahren vereinfacht von einem konstanten Biegemomentenverlauf ausgegangen wird. Dem konstanten kritischen Biegemoment Mcrit wird dann eine kritisch Belastung qcrit zugeordnet.
qcrit | carico critico |
Mcrit | Momento flettente critico |
[LinkToImage01] | Lunghezza trave |
Da die Stabbettung in diesem Beispiel als sehr steif anzusehen ist und konstant über die Binderlänge verschmiert wird, ergeben sich leicht höhere kritische Biegemomente als bei der starren Einzelabstützung.
Gemäß [3] Kapitel 9.2.5.3 (2) müssen Aussteifungsverbände so steif sein, dass die horizontale Auslenkung L/500 nicht überschritten wird. Die Berechnung muss dabei mit den Bemessungswerten der Steifigkeiten erfolgen (siehe [1] Kapitel NCI Zu 9.2.5.3).
Für kcrit = 0,195, H = 5 m und qp = 0,65 kN/m² als Böengeschwindigkeitsdruck ergeben sich folgende Lasten (siehe [3] Kapitel 9.2.5.3):
Nd | Forza stabilizzante per la corda di compressione |
kcrit | Coeff. di stabilità laterale |
Md | Momento fattorizzato |
h | Altezza trave |
Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN
qd | Carico di irrigidimento |
n | Numero di aste reticolari |
[LinkToImage01] | Lunghezza trave |
kf, 3 | Coefficiente di modifica per la resistenza all'irrigidimento |
qd = 2,76 kN/m
qd, vento | Carico di progetto dal vento |
γQ | Coefficiente di sicurezza parziale per azione variabile |
cpe | Coefficiente di pressione esterna |
qP | pressione cinetica di picco |
h | Altezza dell'edificio |
qd,Wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m
Die Verformung des Aussteifungsverbandes ist in Bild 08 dargestellt. Dabei wurden die Lasten nochmals halbiert, da zwei Aussteifungsverbände vorhanden sind.
Die zulässige Verformung beträgt:
Dies bestätigt die Annahme eines sehr steifen Verbandes und ist im Einklang mit den nahezu identischen kritischen Biegemomenten des Systems mit starrer Zwischenabstützung und des Systems mit elastischer Stabbettung.
Sommario
Es wurde gezeigt, mit welchen Möglichkeiten im Holzbau das Kippen von Biegeträgern untersucht werden kann. Für die gängigen Methoden sollte darauf geachtet werden, dass die Aussteifungsverbände steif genug sind, um starre Abstützungen annehmen zu können. Es wurden entsprechend Varianten gezeigt, falls diese Annahme nicht zutrifft. Grundsätzlich müssen die Biegeträger und die Aussteifungsverbände gemäß der entsprechenden Norm noch auf Ihre Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit untersucht werden. Dies ist jedoch nicht Gegenstand dieses Artikels.