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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2024-09-19

Instabilità per flesso-torsione nelle strutture in legno | Esempi 2

Nel precedente contributo Instabilità flesso-torsionale nelle costruzioni in legno | Esempi 1, è stata illustrata l'applicazione pratica per la determinazione del momento flettente critico M_crit o della tensione di flessione critica σ_crit per il ribaltamento di una trave inflessa mediante semplici esempi. In questo contributo, il momento flettente critico viene determinato tenendo conto di un appoggio elastico, risultante da un sistema di controventamento.

Biegedrillknicken nelle strutture in legno - esempi 1

Modello statico

Per il sistema mostrato nella figura seguente, si dovranno esaminare i travi principali per instabilità laterale. Nel piano di copertura sono presenti sei travi principali come travi semplicemente appoggiate di 18 m di lunghezza e due controventi di controvento. Le travi sui lati a timpano sono sostenute da pilastri e non vengono considerate nel calcolo. Sulle travi principali agisce un carico di progetto q_d di 10 kN/m. L'obiettivo principale è determinare il momento critico di instabilità laterale-torsionale. Non si entra ulteriormente nel dettaglio della verifica allo stato limite ultimo e allo stato limite di esercizio.

1 Modello statico

Dati del modello

GL24h	-	-	Materiale secondo EN 14080
L	18	m	Lunghezza della trave
b	120	mm	Larghezza della trave
h	1.200	mm	Altezza della trave
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento d'inerzia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento d'inerzia torsionale
q_d	10	kN/m	Carico di progetto
a_z	600	mm	Posizione del carico
e	600	mm	Posizione dell'appoggio

Informazione

Anche se nelle equazioni seguenti per E e G non è indicato esplicitamente nell'indice il riferimento ai valori quantili del 5%, questi sono stati comunque considerati di conseguenza.

Trave semplicemente appoggiata a forcella senza controventi intermedi

Trave semplicemente appoggiata a un solo tratto con supporti a forcella senza appoggi intermedi

2 Trave a campata singola su appoggi a forcella senza appoggi intermedi

Per completezza, viene dapprima esaminata la trave senza ritegno laterale (vedere figura 02). La lunghezza equivalente dell'asta, con un carico applicato sulla parte superiore della trave con a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, risulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Lunghezza dell’asta sostitutiva

Il momento critico di flessione può quindi essere calcolato come segue:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento Critico di Flessione

In questi esempi si rinuncia all'incremento del prodotto dei quantili del 5% dei parametri di rigidezza dovuto all'omogeneizzazione delle travi in legno lamellare.

Il momento flettente agente sulle travi risulta:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento di progetto

L'analisi agli autovalori fornisce come risultato un fattore di carico di biforcazione pari a 0,32. Ne deriva il momento critico di flessione

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento critico di inflessione dall'analisi agli autovalori

e pertanto è identico al risultato della soluzione analitica.

3 Dettaglio della verifica con output del fattore di carico critico e del momento flettente critico

Come prevedibile per questa trave snella non controventata, il momento flettente agente è maggiore (di un fattore 3) del momento critico di flessione e la trave non è quindi adeguatamente vincolata contro l'instabilità laterale. A contrastarlo dovrebbe tuttavia intervenire un controvento, che ora viene considerato nel calcolo.

Trave semplicemente appoggiata a forcella con controventi intermedi rigidi

Trave semplice appoggiata su forche con controventi intermedi rigidi

4 Trave appoggiata a forchetta a campata singola con controventi intermedi rigidi

Se il controvento è sufficientemente rigido, nella pratica spesso si utilizza la distanza dei ritegni laterali (ad esempio tramite arcarecci) come lunghezza equivalente dell'asta per la verifica all'instabilità laterale. Questo procedimento è già stato illustrato nel precedente contributo Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1.

Instabilità flesso-torsionale nelle strutture di legno | Esempi 1

Come L si utilizza quindi 2,25 m. Per a₁ = 1,00 e a₂ = 0,00 si ottiene:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Lunghezza dell'asta sostitutiva

Per il momento critico di flessione risulta:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento critico di instabilità flessionale

Poiché il momento flettente agente sulla trave è minore del momento critico di flessione, la trave, assumendo controventi intermedi rigidi, non è soggetta a rischio di instabilità laterale.

L'analisi agli autovalori con il modulo aggiuntivo RF-/FE-BGDK fornisce come risultato un fattore di carico di biforcazione pari a 2,7815. Ne deriva il momento critico di flessione

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Momento flettente critico

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Trave semplicemente appoggiata a forcella con appoggio elastico dell'asta

Trave a campata singola con vincolo laterale e torsionale e fondazione elastica dell'asta

Come spiegato in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie, in [1] per aste con appoggio elastico la determinazione della lunghezza equivalente dell'asta viene estesa con i fattori α e β.

Instabilità flesso-torsionale nella costruzione in legno | Teoria

In questo modo è possibile considerare la rigidezza a taglio di un controvento per l'instabilità laterale delle travi principali. La determinazione della rigidezza a taglio del controvento può, ad esempio, avvenire secondo [2] figura 6.34. Come si può notare, essa dipende dal tipo di controvento, dalla rigidezza assiale delle diagonali e dei montanti, dall'inclinazione delle diagonali e dalla deformabilità degli elementi di connessione. Per il controvento mostrato nella figura 01 si ottiene la rigidezza a taglio come segue:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

Qui E_D è il modulo elastico delle diagonali e A_D la loro area della sezione. Tuttavia, l'equazione sopra non considera la deformabilità degli elementi di connessione delle diagonali. Questa e l'allungamento delle diagonali possono essere considerate mediante un'area di sezione fittizia A_D'. Ne segue:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

con

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Area nozionale della sezione trasversale delle diagonali

Le diagonali hanno dimensioni b/h = 120/200 mm e una lunghezza L_D di 4,59 m. Il modulo di spostamento del collegamento su ciascun lato delle diagonali deve essere pari a 110.000 N/mm.

L'area ideale risulta quindi

A_D' = 12.548 mm²

e quindi la rigidezza a taglio di un controvento, con un angolo delle diagonali rispetto all'ala pari a 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidezza a taglio ideale dei controventi di irrigidimento

s_id = 44.864 kN

L'appoggio dell'asta per controvento può quindi essere convertito come segue, secondo [2] formula 7.291:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Fondazione dell'asta elastica per controvento

Per due controventi e sei travi principali, per ciascuna trave è disponibile la seguente costante elastica:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Fondazione dell'asta elastica per asta di travatura reticolare

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Assumendo K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, la lunghezza equivalente dell'asta risulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

lunghezza dell'asta equivalente

l_ef = 0,13

Il momento critico di flessione assume quindi un valore utopico pari a:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento critico di instabilità flessionale

M_crit = 18.482,84 kNm

Ci si aspetterebbe un valore simile a quello del sistema con controventi intermedi rigidi. Come spiegato in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie, l'applicazione della formula estesa con α e β è limitata nel suo utilizzo.

Instabilità flesso-torsionale nella costruzione in legno | Teoria

In senso stretto, essa è valida solo quando si verifica una deformata a grande arco sinusoidale. Cioè quando l'appoggio elastico è molto cedevole. Questo in questo esempio non è più il caso. Le forme modali a più onde, che per costanti elastiche maggiori conducono al minimo carico di biforcazione, non sono considerate nella suddetta equazione, poiché questa si basa su funzioni sinusoidali a un solo tratto.

Come si vede nella figura 07, dall'analisi agli autovalori risulta una forma modale a più onde.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Per questo caso può essere applicato il procedimento derivato dal prof. dr. Heinrich Kreuzinger (2020). Il momento critico di flessione si calcola come segue:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento flettente critico

La costante n indica la 1., 2., 3.… soluzione agli autovalori. Di conseguenza, occorre esaminare più soluzioni agli autovalori e il minimo momento critico di flessione è quello determinante. Per n = 1…30 si ottengono i seguenti momenti critici di flessione.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Per n = 6, M_crit è minimo e vale 1.282,70 kNm.

La soluzione agli autovalori del modulo aggiuntivo RF-/FE-BGDK (vedere figura 07) fornisce:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

I due risultati mostrano un ottimo accordo. Tuttavia, la soluzione analitica è dalla parte della sicurezza, poiché in questo procedimento si assume in modo semplificato un andamento costante del momento flettente. Al momento flettente critico costante M_crit viene quindi assegnato un carico critico qcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Carico critico

Poiché in questo esempio l'appoggio elastico può essere considerato molto rigido e viene distribuito in modo costante lungo la lunghezza della trave, si ottengono momenti critici di flessione leggermente superiori rispetto all'appoggio singolo rigido.

Secondo [3] capitolo 9.2.5.3 (2), i controventi devono essere così rigidi che lo spostamento orizzontale non superi L/500. Il calcolo deve essere eseguito con i valori di progetto delle rigidezze (vedere [1] capitolo NCI Zu 9.2.5.3).

Per k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² come pressione dinamica del vento, si ottengono i seguenti carichi (vedere [3] capitolo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Forza stabilizzante per corda di compressione

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carico di irrigidimento

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carico di progetto dal vento

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

La deformazione del controvento è mostrata nella figura 08. I carichi sono stati nuovamente dimezzati, poiché sono presenti due controventi.

Spostamento orizzontale dei controventi di irrigidimento

La deformazione ammissibile è:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Spostamento ammissibile

Ciò conferma l'ipotesi di un controvento molto rigido ed è coerente con i momenti critici di flessione praticamente identici del sistema con controventi intermedi rigidi e del sistema con appoggio elastico dell'asta.

Sintesi

È stato mostrato con quali possibilità, nelle strutture in legno, si può esaminare l'instabilità laterale dei tratti flessi. Per i metodi comuni occorre prestare attenzione affinché i controventi siano sufficientemente rigidi da poter assumere appoggi rigidi. Sono state mostrate di conseguenza varianti nel caso in cui questa ipotesi non sia soddisfatta. In linea generale, i tratti flessi e i controventi devono inoltre essere verificati, secondo la relativa norma, per la loro capacità portante e la loro idoneità all'esercizio. Tuttavia, questo non è oggetto del presente articolo.

Autore

Il signor Rehm è responsabile dello sviluppo di prodotti per strutture in legno e fornisce supporto tecnico ai clienti.

Link

Bibliografia

DIN. (2013). Appendice nazionale - Eurocodice 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statica e stabilità delle strutture, 2a edizione. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Norme austriache. (2015). Eurocodice 5: Progettazione di strutture in legno - Parte 1-1: Generale - Regole comuni e regole per edifici; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlino: Beuth Verlag GmbH.

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