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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

06.05.2026

Déversement dans les structures bois | Exemples 2

Le premier article de cette série « Déversement dans les structures bois | Exemple 1 » explique l'application pratique de la détermination du moment fléchissant critique M_crit ou de la contrainte de flexion critique σ_crit pour le déversement d’une poutre en flexion à l’aide d’exemples simples. Dans cet article, le moment fléchissant critique est déterminé en considérant une fondation élastique résultant d’un contreventement.

Déversement dans les structures en bois - Exemples 1

Modèle de structure

Pour la structure représentée sur l’image suivante, les poutres en treillis doivent faire l’objet d’une vérification du déversement. Au niveau du plan de toiture, six poutres en treillis sont disposées comme poutres parallèles d’une longueur de 18 m ainsi que deux contreventements. Les poutres sur les côtés des pignons sont soutenues par des poteaux et ne sont pas prises en compte pour le calcul. Une charge de calcul q_d de 10 kN/m agit sur les poutres en treillis. Il s’agit en premier lieu de déterminer le moment critique de déversement. Le vérification à l'état limite ultime ainsi qu'à l’état limite de service ne sont pas plus détaillés.

1 Modèle statique

Données du modèle

GL24h	-	-	Matériau selon EN 14080
L	18	m	Longueur de la poutre
b	120	mm	Largeur de la poutre
h	1.200	mm	Hauteur de la poutre
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment d’inertie
I_T	647.654.753	mm⁴	Moment d’inertie de torsion
q_d	10	kN/m	Charge de calcul
a_z	600	mm	Position de la charge
e	600	mm	Position de l'appui

Informations

Même si, dans les équations ci-après pour E et G, la référence aux valeurs du quantile à 5 % n'est pas explicitement indiquée dans l'indice, celles-ci ont néanmoins été prises en compte en conséquence.

Poutre à travée unique articulée sans appuis intermédiaires

Poutre à travée unique articulée aux extrémités sans appuis intermédiaires

2 Poutre à travée unique sur appui articulé sans appuis intermédiaires

Par souci d'exhaustivité, la poutre en treillis sans maintien latéral est d'abord étudiée (voir image 02). La longueur de barre équivalente, en cas d'application d'une charge sur la face supérieure de la poutre en treillis, avec a₁ = 1,13 et a₂ = 1,44, s'obtient comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Longueur de barre de remplacement
L	Longueur de la poutre, distance du support latéral
a₁,a₂	Coefficients de déversement
a_z	Distance du point d'application de la charge au centre de cisaillement
E_0,05	5 % quantile du module d'élasticité
G_0,05	5 % quantile du module de cisaillement
I_z	Moment d'inertie autour de l'axe faible
I_T	Moment d'inertie en torsion

Longueur de barre de remplacement

Le moment critique de flexion peut ensuite être calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Moment critique de flexion
E_0,05	Quantile à 5 % du module d'élasticité
G_0,05	5 % quantile du module de cisaillement
I_z	Moment d'inertie autour de l'axe faible
I_T	Moment d'inertie en torsion
l_ef	Longueur de barre de remplacement

Moment critique de flexion

Dans ces exemples, on renonce à augmenter le produit des quantiles à 5 % des paramètres de rigidité en raison de l'homogénéisation des poutres en bois lamellé-collé.

Le moment fléchissant agissant sur les poutres en treillis résulte de :

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Moment de dimensionnement
q_d	Charge de dimensionnement
L	Longueur de la poutre

Moment de dimensionnement

L'analyse aux valeurs propres fournit un facteur de charge critique de 0,32. Il en résulte le moment critique de flexion

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Moment critique de flambement par flexion issu du solveur de valeurs propres

et est donc identique au résultat de la solution analytique.

Détail de vérification avec affichage du facteur de charge critique et du moment fléchissant critique

3 Détail de justification avec affichage du facteur de charge critique et du moment de flexion critique

Comme on pouvait s'y attendre pour cette poutre élancée non maintenue, le moment fléchissant agissant est supérieur (d'un facteur 3) au moment critique de flexion, et la poutre en treillis n'est donc pas suffisamment maintenue contre le basculement. Un contreventement doit cependant y remédier, et sera désormais pris en compte dans le calcul.

Poutre à travée unique articulée avec appuis intermédiaires rigides

4 Poutre à travée unique avec appuis intermédiaires rigides articulés en tête

Si le contreventement est suffisamment rigide, on utilise souvent en pratique l'espacement des maintiens latéraux (par exemple via des pannes) comme longueur de barre équivalente pour la vérification au déversement. Cette procédure a déjà été présentée dans l'article précédent Déversement dans la construction en bois | Exemples 1.

Phénomène de déversement dans les structures bois | Exemples 1

On utilise donc L = 2,25 m. Pour a₁ = 1,00 et a₂ = 0,00, on obtient :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Longueur de barre de remplacement
L	Longueur de la poutre, distance du support latéral
a₁,a₂	Coefficients de déversement
a_z	Distance du point d'application de la charge par rapport au centre de cisaillement
E_0,05	5 % quantiles du module d'élasticité
G_0,05	Quantile à 5 % du module de cisaillement
I_z	Moment d'inertie par rapport à l'axe faible
I_T	Moment d'inertie en torsion

Longueur de barre de remplacement

Le moment critique de flexion s'obtient comme suit :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Moment critique de flexion
E_0,05	5 % quantiles du module d'élasticité
G_0,05	Quantile à 5 % du module de cisaillement
I_z	Moment d’inertie par rapport à l’axe faible
I_T	Moment quadratique de torsion
l_ef	Longueur de barre équivalente

Moment critique de flambement latéral-torsionnel

Comme le moment fléchissant agissant sur la poutre est inférieur au moment critique de flexion, la poutre n'est pas menacée de déversement sous l'hypothèse d'appuis intermédiaires rigides.

L'analyse aux valeurs propres avec l'Add-On Dimensionnement bois fournit comme résultat un facteur de charge critique de 2,86. Il en résulte le moment critique de flexion

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Moment critique de flambement latéral-torsionnel
α	Facteur de charge de bifurcation
M_d	Moment de dimensionnement

Moment critique de flexion

5 Détail de vérification avec affichage du facteur de charge critique et du moment fléchissant critique

Ici aussi, les deux méthodes concordent très bien.

Poutre à travée unique articulée avec appui élastique de la barre

Poutre à travée unique articulée avec appui élastique des barres

6 Poutre à travée unique à appuis articulés avec appui élastique des barres

Comme expliqué dans Déversement dans la construction en bois - théorie, la référence [1 ] élargit, pour les barres à appui élastique, la détermination de la longueur de barre équivalente avec les facteurs α et β.

Cela permet de tenir compte de la raideur au cisaillement d'un contreventement pour le déversement des poutres en treillis.

Raideur au cisaillement du contreventement de toiture

La détermination de la raideur au cisaillement du contreventement peut par exemple être effectuée selon [2] figure 6.34. Comme on peut le voir, celle-ci dépend du type de contreventement, de la raideur en traction des diagonales et des montants, de l'inclinaison des diagonales et de la souplesse des éléments d'assemblage. Pour le contreventement représenté à l'image 01, la raideur au cisaillement s'obtient comme suit :

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidité au cisaillement idéale du contreventement
E_D	5 % quantile du module d'élasticité des diagonales
A_D	Section transversale des diagonales
α	Angle entre la diagonale et les membrures

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

Ici, E_D est le module d'élasticité des diagonales et A_D leur section. L'équation ci-dessus ne prend toutefois pas en compte la souplesse des éléments d'assemblage des diagonales. Celle-ci ainsi que l'allongement des diagonales peuvent être pris en compte au moyen d'une section fictive A_D'. On obtient alors :

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidité idéale au cisaillement du contreventement
E_D	5 % quantile du module d'élasticité des diagonales
A_D'	Surface de section fictive des diagonales
α	Angle entre la diagonale et les membrures

Raideur idéale en cisaillement du contreventement

avec

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Section fictive des diagonales
A_D	Section transversale des diagonales
E_D	5 % quantile du module d'élasticité des diagonales
L_D	Longueur des diagonales
K_ser	Module de déplacement de la connexion

Section fictive des diagonales

Les diagonales ont une section b/h = 120/200 mm et une longueur L_D de 4,59 m. Le module de déplacement de l'assemblage de chaque côté des diagonales doit être de 110.000 N/mm.

La section théorique s'élève donc à

A_D' = 12.548 mm²

et donc la raideur au cisaillement d'un contreventement, avec un angle des diagonales par rapport à la membrure de 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidité idéale au cisaillement du contreventement
E_D	5 % quantile du module d'élasticité des diagonales
A_D'	Surface de section fictive des diagonales
α	Angle entre la diagonale et les membrures

Raideur idéale en cisaillement du contreventement

La détermination de l'appui élastique par contreventement peut être transformée comme suit, selon [2] formule 7.291 :

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Liaison élastique des barres par contreventement
s_id	Rigidité idéale au cisaillement du contreventement
L	Longueur de contreventement

Fondation de barre élastique par contreventement

Pour deux contreventements et six poutres en treillis, la raideur de ressort suivante est disponible par poutre en treillis :

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Appui élastique des barres par poutre
K_y'	Appui élastique des barres par contreventement

Appui élastique des barres par poutre

Sous l'hypothèse que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 et a₂ = 1,44, la longueur de barre équivalente s'obtient comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Longueur de barre équivalente
L	Longueur de la poutre, espacement du support latéral
a₁,a₂	Coefficients de déversement
a_z	Distance du point d'application de la charge au centre de cisaillement
E_0,05	5 % quantile du module d'élasticité
G_0,05	5 % quantile du module de cisaillement
I_z	Moment d’inertie autour de l’axe faible
I_T	Moment d'inertie en torsion
α, β	Coefficients pour la prise en compte d’un encastrement de barre

Longueur de barre de remplacement

Le moment critique de flexion s'élève ainsi à une valeur utopique de :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Moment critique de flambement latéral-torsional
E_0,05	5 % quantile du module d'élasticité
G_0,05	5 % quantile du module de cisaillement
I_z	Moment d'inertie autour de l'axe faible
I_T	Moment d’inertie en torsion
l_ef	Longueur de barre de remplacement

Moment critique de flexion

Une valeur similaire à celle du système avec appuis intermédiaires rigides serait à prévoir.
Comme expliqué dans Déversement dans la construction en bois - théorie, l'application de la formule étendue avec α et β est limitée dans son utilisation.

À proprement parler, elle n'est valable que lorsqu'un déplacement se produit selon une grande sinusoïde. Donc lorsque l'appui est très souple. Ce n'est plus le cas dans cet exemple. Les formes propres multiondées, qui conduisent à la plus petite charge critique pour des constantes de ressort plus élevées, ne sont pas prises en compte dans l'équation mentionnée, car celle-ci repose sur une approche sinusoïdale mono-mode.

Comme on peut le voir sur l'image 7, l'analyse aux valeurs propres donne une forme propre multiondée pour un facteur de charge critique de 3,49.

Résultat de l'analyse des valeurs propres pour la poutre à travée unique articulée aux extrémités avec appui élastique de la barre

7 Résultat de l'analyse modale pour la poutre simplement appuyée à rotule avec appui élastique des barres

À titre de comparaison, on peut appliquer la méthode dérivée par le professeur Dr Heinrich Kreuzinger (2020). Le moment critique de flexion est calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Moment critique de flambement latéral-torsionnel
a_z	Distance d’application de la charge par rapport au centre de cisaillement
e	Distance de l’encastrement de barre par rapport au centre de cisaillement
K_y	fondation élastique des barres par poutre
L	Longueur de la poutre
n	nième solution propre
E_0,05	5 % quantile du module d'élasticité
I_z	Moment d'inertie autour de l'axe faible
G_0,05	Quantiles à 5 % du module de cisaillement
I_T	Moment d'inertie de torsion

Moment fléchissant critique

La constante n désigne la 1re, 2e, 3e… solution propre. Il convient donc d'étudier plusieurs solutions propres, et le plus petit moment critique de flexion est alors déterminant. Pour n = 1…30, on obtient les moments critiques de flexion suivants.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Pour n = 6, M_crit est minimal et vaut 1.282,70 kNm.

La solution aux valeurs propres de l'Add-On Dimensionnement bois (voir image 7) donne :

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Moment critique de flexion
α	Facteur de charge de branchement
M_d	Moment de dimensionnement

Moment critique de flambement en flexion

Les deux résultats présentent une bonne concordance. La solution analytique se situe cependant du côté de la sécurité, car cette méthode suppose, de manière simplifiée, un moment fléchissant constant. La charge critique q_crit est ensuite associée au moment critique constant M_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Charge critique
M_crit	Moment critique de flambement latéral-torsional
L	Longueur de poutre

Charge critique

Comme l'appui de barre dans cet exemple peut être considéré comme très rigide et est réparti de manière uniforme sur la longueur de la poutre en treillis, on obtient des moments critiques de flexion légèrement plus élevés que pour l'appui unique rigide.

Vérification de la déformation du contreventement de toiture

Selon [3] chapitre 9.2.5.3 (2), les contreventements doivent être suffisamment rigides pour que la déformation horizontale L/500 ne soit pas dépassée. Le calcul doit être effectué avec les valeurs de calcul des rigidités (voir [1] chapitre NCI Zu 9.2.5.3).

Pour k_crit = 0,195, H = 5 m et q_p = 0,65 kN/m² comme pression dynamique de pointe, on obtient les charges suivantes (voir [3] chapitre 9.2.5.3) :

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Force de stabilisation pour la membrure comprimée
k_crit	Coefficient de déversement
M_d	Moment de dimensionnement
h	Hauteur de la poutre

Force de stabilisation pour la membrure comprimée

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Charge de contreventement
n	Nombre de fermes
L	Longueur de la poutre
k_f,3	Coefficient de modification pour la résistance au contreventement

Charge de contreventement

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Charge de calcul due au vent
γ_Q	Coefficient de sécurité partiel pour action variable
c_pe	Coefficient de pression extérieure
q_p	Pression de vitesse de rafale
h	Hauteur du bâtiment

Charge de dimensionnement due au vent

La déformation du contreventement est représentée à l'image 8. Les charges ont ici été à nouveau divisées par deux, car deux contreventements sont présents.

Déviation horizontale du contreventement

8 Déviation horizontale de contreventement

La déformation admissible est de :

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Déformation admissible

Cela confirme l'hypothèse d'un contreventement très rigide et est en accord avec les moments critiques de flexion presque identiques du système avec appui intermédiaire rigide et du système avec appui élastique de la barre.

Résumé

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
ohne Zwischenabstützung	134,52 kNm	136,39 kNm
mit starren Zwischenabstützungen	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
mit elastischer Stabbettung	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Il a été montré quelles possibilités, dans la construction en bois, permettent d'étudier le basculement des poutres fléchies. Pour les méthodes courantes, il faut veiller à ce que les contreventements soient suffisamment rigides pour pouvoir admettre des appuis rigides. Des variantes ont été montrées en conséquence si cette hypothèse n'est pas vérifiée. En principe, les poutres fléchies et les contreventements doivent encore être vérifiés, conformément à la norme correspondante, vis-à-vis de leur capacité portante et de leur aptitude au service. Cela ne fait toutefois pas l'objet de cet article.

Auteur

Gerhard travaille dans le Product Engineering dans le domaine de la construction en bois et apporte également son soutien au Customer Support. Il met à profit son expérience en développement pour proposer des solutions pratiques et réalisables.

Liens

Références

DIN. (2013). Annexe Nationale - Eurocode 5 : Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. : Calcul de structure et stabilité des structures, 2e édition. Wiesbaden : Vieweg, 1982
Normes autrichiennes. (2015). Eurocode 5 : calcul des structures en bois - Partie 1-1 : Général – Règles courantes et règles pour les bâtiments ; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlin : Beth Verlag GmbH.

Téléchargements

Modèle de l’article de la base de connaissances | Exemples 2

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