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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

19.09.2024

Déversement dans les structures bois | Exemples 2

Le premier article de cette série « Déversement dans les structures bois | Exemple 1 » explique l'application pratique de la détermination du moment fléchissant critique M_crit ou de la contrainte de flexion critique σ_crit pour le déversement d’une poutre en flexion à l’aide d’exemples simples. Dans cet article, le moment fléchissant critique est déterminé en considérant une fondation élastique résultant d’un contreventement.

Déversement dans la construction en bois - Exemples 1

Modèle de structure

Pour le système représenté ci-dessous, le déversement des poutres doit être vérifié. Au niveau du plan de toiture, six poutres sont disposées comme poutres parallèles de 18 m de long, ainsi que deux contreventements. Les poutres situées sur les pignons sont supportées par des poteaux et ne sont pas prises en compte pour le calcul. Une charge de calcul q_d de 10 kN/m agit sur les poutres principales. Il s’agit avant tout de déterminer le moment critique de déversement. Les vérifications à l'état limite ultime ainsi qu’à l'état limite de service ne sont pas détaillées.

1 Modèle statique

Données du modèle

GL24h	-	-	Matériau selon EN 14080
L	18	m	Longueur de la poutre
b	120	mm	Largeur de la poutre
h	1.200	mm	Hauteur de la poutre
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment d’inertie
I_T	647.654.753	mm⁴	Moment d’inertie de torsion
q_d	10	kN/m	Charge de calcul
a_z	600	mm	Position de la charge
e	600	mm	Position de l’appui

Informations

Même si, dans les équations suivantes pour E et G, la référence aux valeurs du quantile à 5 % n'est pas indiquée explicitement dans l'indice, celles-ci ont néanmoins été prises en compte en conséquence.

Poutre avec maintien latéral et en torsion sans appuis intermédiaires

Poutre à travée unique articulée aux extrémités sans appuis intermédiaires

2 Poutre à travée unique sur appui articulé sans appuis intermédiaires

Par souci d’exhaustivité, la poutre sans maintien latéral étudiée en premier (voir figure 02). La longueur de barre équivalente, pour une application de la charge sur la face supérieure de la poutre principale avec a₁ = 1,13 et a₂ = 1,44, est obtenue comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Longueur de barre de remplacement

Le moment critique de déversement peut ensuite être calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Moment critique de flexion

Une augmentation du produit des quantiles à 5 % des caractéristiques de rigidité en raison de l'homogénéisation des poutres en bois lamellé-collé n'est pas prise en compte dans ces exemples.

Il en résulte le moment fléchissant agissant sur les poutres principales :

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Moment de dimensionnement

L’analyse des valeurs propres donne comme résultat un facteur de charge critique de 0,32. Il en résulte le moment critique de déversement

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Moment critique de flambement par flexion issu du solveur de valeurs propres

et il est donc identique au résultat de la solution analytique.

Détail de vérification avec affichage du facteur de charge critique et du moment fléchissant critique

3 Détail de justification avec affichage du facteur de charge critique et du moment de flexion critique

Comme on pouvait s'y attendre pour cette poutre élancée non maintenue, le moment fléchissant appliqué est supérieur (d’un facteur 3) au moment critique de déversement, et la poutre n'est donc pas suffisamment maintenue contre le basculement. Un contreventement doit toutefois y remédier, et celui-ci est désormais pris en compte dans le calcul.

Poutre avec maintien latéral et en torsion avec appuis intermédiaires rigides

Poutre à travée unique articulée avec appuis intermédiaires rigides

4 Poutre à travée unique avec appuis intermédiaires rigides articulés en tête

Si le contreventement est suffisamment rigide, il est souvent admis en pratique d’utiliser l’espacement des maintiens latéraux (par exemple par des pannes) comme longueur de barre équivalente pour la vérification du déversement. Cette procédure a déjà été présentée dans l’article technique précédent, Déversement dans les structures en bois | Exemples 1.

Phénomène de déversement dans les structures bois | Exemples 1

On utilise donc L = 2,25 m. Pour a₁ = 1,00 et a₂ = 0,00, comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Longueur de barre de remplacement

Le moment fléchissant critique est alors :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Moment critique de flambement latéral-torsionnel

Comme le moment fléchissant agissant sur la poutre est inférieur au moment fléchissant critique, la poutre n’est pas susceptible de basculer en supposant des appuis intermédiaires rigides.

L’analyse des valeurs propres à l’aide du module additionnel RF-/FE-LTB donne comme résultat un facteur de charge critique de 2,7815. Il en résulte le moment fléchissant critique

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Moment fléchissant critique

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Résultat de l’analyse des valeurs propres pour la poutre à travée simple avec maintien latéral intermédiaire

Poutre avec maintien latéral et en torsion et fondations élastiques

Poutre à travée simple avec maintien latéral et de torsion et fondation élastique de barre

Comme expliqué dans Déversement dans la construction en bois | Théorie, l'évaluation de la longueur de barre équivalente pour les barres à fondation élastique est étendue, dans [1], par les facteurs α et β.

Flambement latéral-torsionnel dans la construction en bois | Théorie

Cela permet de prendre en compte la rigidité au cisaillement d’un contreventement pour le déversement des poutres. La détermination de la rigidité en cisaillement du contreventement peut, par exemple, être effectuée selon [2] figure 6.34. Comme on peut le voir, celle-ci dépend du type de contreventement, de la rigidité en traction des diagonales et des montants, de l’inclinaison des diagonales et de la souplesse des organes d’assemblage. Pour le contreventement représenté sur la figure 01, la rigidité en cisaillement est obtenue comme suit :

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

Ici, E_D est le module d’élasticité des diagonales et A_D leur aire de section. Cependant, l’équation ci-dessus ne tient pas compte de la souplesse des organes d'assemblage des diagonales. Celle-ci ainsi que l’allongement des diagonales peuvent être pris en compte au moyen d’une aire de section fictive A_D'. Il en résulte :

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

avec

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Aire de section théorique des diagonales

Les diagonales ont des dimensions b/h = 120/200 mm et une longueur L_D de 4,59 m. Le module de glissement de l’assemblage de chaque côté des diagonales doit être de 110.000 N/mm.

La section idéale est donc de

A_D' = 12.548 mm²

et donc la rigidité au cisaillement d’un contreventement, avec un angle des diagonales par rapport à la semelle de 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidité de cisaillement idéale pour les contreventements

s_id = 44.864 kN

La fondation élastique par contreventement peut être converti comme suit selon [2] formule 7.291 :

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Fondation de barre élastique par contreventement

Pour deux contreventements et six poutres principales, la constante de ressort suivante est disponible par poutre principale :

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Fondation de barre élastique par barre de treillis

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Sous l’hypothèse que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 et a₂ = 1,44, la longueur de barre équivalente est obtenue comme suit :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

longueur de barre équivalente

l_ef = 0,13

Le moment critique de déversement prend ainsi une valeur utopique de :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Moment critique de flambement latéral-torsionnel

M_crit = 18.482,84 kNm

On s'attendrait à une valeur proche de celle du système avec appuis intermédiaires rigides. Comme expliqué dans Déversement dans la construction en bois | Théorie, l'application de la formule étendue avec α et β est limitée dans son utilisation.

Flambement latéral-torsionnel dans la construction en bois | Théorie

Strictement parlant, celle-ci n’est valable que lorsqu'il existe une flèche en grand arc sinusoïdal. C’est-à-dire lorsque la fondation élastique est très souple. Ce n’est plus le cas dans cet exemple. Les modes propres à plusieurs ondes, qui conduisent à la plus petite charge critique pour des constantes de ressort plus élevées, ne sont pas pris en compte dans cette équation, car celle-ci repose sur des approches sinusoïdales à une seule onde.

Comme le montre la figure 07, l’analyse aux valeurs propres conduit à un mode propre à plusieurs ondes.

6 Résultat de l’analyse des valeurs propres pour la poutre à travée simple avec fondation élastique de barre

Dans ce cas, la méthode dérivée par le Professeur Heinrich Kreuzinger (2020) peut être appliquée. Le moment critique de déversement est calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Moment fléchissant critique

La constante n désigne la 1re, 2e, 3e… solution propre. Il convient donc d’examiner plusieurs solutions propres et le plus petit moment critique de déversement est alors déterminant. Pour n = 1…30, on obtient les moments critiques de déversement suivants.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Pour n = 6, M_crit est minimal et vaut 1.282,70 kNm.

La solution aux valeurs propres du module additionnel RF-/FE-LTB (voir figure 07) donne :

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Les deux résultats présentent une très bonne concordance. Cependant, la solution analytique se situe du côté de la sécurité, car cette méthode suppose de manière simplifiée un diagramme de moment fléchissant constant. À ce moment fléchissant critique constant M_crit est ensuite associée une charge critique q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Charge critique

Comme la fondation élastique dans cet exemple peut être considérée comme très rigide et distribuée de manière uniforme sur la longueur des poutres, on obtient des moments critiques de déversement légèrement plus élevés que pour l’appui ponctuel rigide.

Conformément à [3] 9.2.5.3 (2), les contreventements doivent être suffisamment rigides pour que la déformation horizontale ne dépasse pas L/500. Le calcul doit être effectué avec les valeurs de calcul des rigidités (voir [1] chapitre NCI à 9.2.5.3).

Pour k_crit = 0,195, H = 5 m et q_p = 0,65 kN/m² comme pression dynamique de rafale, on obtient les charges suivantes (voir [3] chapitre 9.2.5.3) :

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Force de stabilisation de la membrure en compression

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Charge raidissante

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Charge de calcul due au vent

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

La déformation du contreventement est représentée sur la figure 08. Les charges ont été à nouveau divisées par deux, car il existe deux contreventements.

Déplacement horizontal du contreventement de raidissement

La déformation admissible s’élève à :

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Déformation admissible

Cela confirme l’hypothèse d’un contreventement très rigide et concorde avec les moments critiques de déversement presque identiques du système avec appuis intermédiaires rigides et du système avec fondation élastique.

Résumé

Nous avons montré quelles options permettent, dans les structures en bois, d’étudier le déversement des poutres en flexion. Pour les méthodes courantes, il convient de veiller à ce que les contreventements soient suffisamment rigides pour pouvoir considérer des appuis rigides. Des variantes ont été présentées en conséquence si cette hypothèse n'est pas satisfaite. En principe, les poutres en flexion et les contreventements doivent encore être vérifiés à l’ELS et à l’ELU selon la norme correspondante. Cet article ne couvre toutefois pas cet aspect.

Auteur

M. Rehm est responsable du développement de produits pour les structures en bois et il fournit une assistance technique aux clients.

Liens

Références

DIN. (2013). Annexe Nationale - Eurocode 5 : Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. : Calcul de structure et stabilité des structures, 2e édition. Wiesbaden : Vieweg, 1982
Normes autrichiennes. (2015). Eurocode 5 : calcul des structures en bois - Partie 1-1 : Général – Règles courantes et règles pour les bâtiments ; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlin : Beth Verlag GmbH.

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