木结构翘曲屈曲 | 示例2

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[EN] KB 001669 | 木结构翘曲屈曲 | 示例2

01
结构模型

02
无中间支座横向和扭转约束的单跨梁

03
无侧向和扭转约束的单跨梁的特征值分析结果

04
刚性和中间弯矩约束的单跨梁

05
刚性中间支撑支座扭转和扭转的单跨梁特征值分析结果

06
具有跨度和扭转约束的单跨梁和杆件弹性地基

07
柔性杆件作用下横向和扭转的单跨梁特征值计算结果

08
支撑的水平挠度

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2020年12月18日

001669

上一篇文章木结构翘曲扭转屈曲实施例1说明了用于确定的临界弯曲力矩M_的爆击或通过使用简单的例子为曲束的侧向屈曲临界弯曲应力σ_爆击的实际应用。在本文中的临界弯矩是通过考虑加固支撑产生的。

结构模型

对于图01中所示的系统，应该分析桁架杆件的侧向屈曲。在屋盖平面中有6个桁架杆件成为平行梁，并且有2个加劲支撑。墙体在梁的一侧由柱子支撑，在计算中不考虑。桁架杆件的设计荷载q_d取值10 kN/m。

结构模型

模型数据

#table.symbol#
L | 18 | m |梁的长度
b | 120 | mm |梁的宽度
h | 1200 | mm |梁的深度
GL24h | | |按照规范EN 14080的材料
I_z | 172,800,000 | mm ⁴ |面积的第二弯矩
I_T | 647654753 | mm ⁴ |扭转常数
q_d | 10 | kN/m |设计荷载
a_z | 600 | mm |荷载位置
e | 600 | mm |基础的位置
＃/＃

注意：即使下面关于E和G的公式没有明确地引用指数中的5分位数，也已经相应考虑它们。

无中间支座横向和扭转约束的单跨梁

无中间支座横向和扭转约束的单跨梁

为了完整起见，首先在没有侧向支撑的情况下分析桁架杆件（见图02）。桁架上部荷载计算的等效杆件长度为₁ = 1.13，a₂ = 1.44：

等效杆件长度

$l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}$

_LF	等效杆件长度
l	梁长度，侧向支撑间距
a₁ ，a₂	横向屈曲系数
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩

l_ef = 17.79 m

临界弯矩可以按照下列方法计算：

临界弯矩

$M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}$

M_临界	临界弯矩
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
_LF	等效杆件长度

M_crit = 134,52 kNm

这些例题的结果并未增加层板胶合木梁均化后刚度的5％。

桁架上的弯矩为：

设计弯矩

$M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}$

M_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	设计弯矩
q_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	荷载计算值
l	梁长度

M_d = 405.00 kNm

使用附加模块RF-/FE-LTB进行特征值分析得出的临界屈曲荷载系数为0.3334。由此得出临界弯矩

M_crit = 0.3334⋅405 kNm = 135,03 kNm

，结果与解析解的结果相同。

无侧向和扭转约束的单跨梁的特征值分析结果

如在该无支撑的细长桁架杆件上预期的那样，作用的弯矩比临界弯矩大（3倍），因此桁架没有足够的侧向屈曲限制。但是支撑必须抵消，计算中现在考虑。

刚性和中间弯矩约束的单跨梁

刚性和中间弯矩约束的单跨梁

如果加固支座的刚度足够大，那么在侧向屈曲分析时通常使用侧向支撑之间的距离（例如pur条）。木结构钢筋在之前的文章示例1 。因此使用2.25 m作为L。对于₁ = 1.00和a₂ = 0.00

等效杆件长度

$l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}$

_LF	等效杆件长度
l	梁长度，侧向支撑间距
a₁ ，a₂	横向屈曲系数
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩

l_ef = 2.25 m

计算得出临界弯矩：

临界弯矩

$M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}$

M_临界	临界弯矩
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
_LF	等效杆件长度

M_crit = 1,063.51 kNm

因为作用在梁上的弯矩小于临界弯矩，所以在假设节点为刚性中间支座的情况下梁不受到侧向屈曲危险。

使用附加模块RF-/FE-LTB的特征值分析得出的临界屈曲荷载系数为2.7815。由此得出临界弯矩

临界弯矩

$M_{crit} = η \cdot M_{d}$

M_临界	临界弯矩
η	临界荷载系数
M_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	设计弯矩

M_crit = 2.7815⋅405 kNm = 1,126.50 kNm

刚性中间支撑支座扭转和扭转的单跨梁特征值分析结果

具有跨度和扭转约束的单跨梁和杆件弹性地基

具有跨度和扭转约束的单跨梁和杆件弹性地基

如[1] 中木结构的纵向-屈曲屈曲中所述，[1]将对弹性地基上杆件的等效杆件长度的确定扩展了系数α和β。因此，可以在桁架构件的横向屈曲时考虑加固支撑的抗剪刚度。支撑的抗剪刚度可以根据例如[2]图6.34确定。从上面可以看出，这取决于支撑的类型，对角线和柱子的抗拉刚度，对角线的倾角以及紧固件的延展性。对于如图01所示的加劲肋，抗剪刚度为：

加固支座的理想抗剪刚度

$s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)$

s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
[THESIS.TITEL]_D	对角线的截面面积
α	对角线和弦杆之间的夹角

这里E_D是对角线的弹性模量，A_D是其截面面积。但是，上等式不包括对角线紧固件的延展性。对角线的该杆件长度和杆件的杆件截面伸长率可以通过名义截面面积A_D '考虑。因此：

加固支座的理想抗剪刚度

$s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)$

s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
[THESIS.TITEL]_D'	对角线的名义截面面积
α	对角线和弦杆之间的夹角

值:

对角线名义截面面积

$A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}$

[THESIS.TITEL]_D'	对角线的名义截面面积
[THESIS.TITEL]_D	对角线的截面面积
L_D	对角线长度
_ķSER	滑动连接模量

对角线的尺寸为w/h = 120/200 mm，长度L_D为4.59 m。该连接的滑移模量应该为110,000 N/mm。

理想区域为

A_D '= 12548mm²

弦与弦顶角为60.64°的支撑的抗剪刚度为

加固支座的理想抗剪刚度

$s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)$

s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
[THESIS.TITEL]_D'	对角线的名义截面面积
α	对角线和弦杆之间的夹角

s_id = 44,864 kN

各个支撑的杆件基础可以按照[2]公式7.291进行转换：

弹性杆件基础每个支撑

$K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}} K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}$

_Ky '	每种支座的弹性杆件基础
s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
l	支撑长度

对于两个支撑和六个桁架杆件，每个桁架具有以下弹簧常数：

每个桁架杆件的弹性杆件基础

$K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}$

_ķÿ	每个桁架杆件的弹性杆件基础
_Ky '	每种支座的弹性杆件基础

K_y = 455.6 kN/m²= 0.456 N/mm²

假设K_G =∞，_Kθ = 0，K_y = 0.456 N/mm²，e = 600 mm，a₁ = 1.13，a₂ = 1.44，等效杆件长度为：

等效杆件长度

$l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}$

_LF	等效杆件长度
l	梁长度，侧向支撑间距
a₁ ，a₂	横向屈曲系数
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
α，β	考虑杆件基础的因素

l_ef = 0.13

因此，临界弯矩得出的值不切实际：

临界弯矩

$M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}$

M_临界	临界弯矩
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
_LF	等效杆件长度

M_crit = 18482.84 kNm

得出的值与带有刚性中间支座的体系的值相似。如在木结构翘曲屈曲：理论中所描述的，扩展计算公式只有α和β，其应用是有限的。严格意义上讲只有大的正弦圆弧上才有挠度。也就是说，如果基础非常柔和，在示例中不再给出该数值。导致多弹簧振型作用的临界屈曲荷载较小的多波振型，按照一阶多项式方法，不包含在上述多振型函数中。

正如在图07中看到的那样，通过特征值分析得到一个多波特征向量。

柔性杆件作用下横向和扭转的单跨梁特征值计算结果

在这种情况下，可以应用Heinrich Kreuzinger教授（2020年）提出的方法。临界弯矩计算如下：

临界弯矩

$M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2} c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}} a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}} B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*} T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2} n = 1, 2, 3 . . .$

M_临界	临界弯矩
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
e	杆件弹性地基到剪切中心的距离
_ķÿ	每个桁架杆件的弹性杆件基础
l	梁长度
n	n^个本征求解
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩

常数n表示第一，第二，第三等特征解。因此必须考虑多个特征解，并考虑最小的临界弯矩。下面的临界弯矩是n = 1 ... 30的结果。

n	M_临界 [kNm]	n	M_临界 [kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

当n = 6时M_crit变得最小值，大约为1282.7 kNm。

通过附加模块RF-/FE-LTB的特征值求解（见图07）：

M_crit = 3.4376⋅405 kNm = 1,397.25 kNm

两个结果吻合很好。但是解析方法是安全的，因为该方法是基于恒定的弯矩分布。然后，将临界荷载q_crit分配给恒定临界弯矩M_crit 。

临界荷载

$q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}$

q_临界	临界荷载
M_临界	临界弯矩
l	梁长度

因为在这个例子中杆件基础非常刚硬并在桁架杆件长度方向上恒定分布，所以出现的临界弯矩比刚度的单个支座大。

根据[3]中章节9.2.5.3（2），加劲肋的刚度必须小于L/500的水平挠度。计算中必须使用刚度的设计值（见[1] NCI 9.2.5.3章）。

当k_crit = 0.195，H = 5 m，并且q_p = 0.65 kN/m²作为阵风速度压力时，得出以下荷载（见[3] 9.2.5.3章）：

压缩弦的稳定力

$N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}$

N_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	受压翼缘稳定力
K_临界	侧向稳定性系数
M_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	设计弯矩
[SCHOOL.]	梁高度

N_d =（1 -0.195）⋅405/1.2 = 271.68 kN

加劲荷载

$q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}$

q_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	加固荷载
n	桁架数目
l	梁长度
_f	抗弯刚度的修改系数

q_d = 2.76 kN/m

风荷载

$q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}$

q_d，风	风荷载
_γQ	可变作用的分项系数
_CPE	外压系数
q_p	峰值风速压力
[SCHOOL.]	结构高度

q_d，wind = 1.5⋅（0.7 + 0.3）⋅0.65⋅5/2 = 2.44 kN/m

加固支撑的变形如图08所示。因为有两个加固支撑，所以荷载被分为两部分。

支撑的水平挠度

允许的变形为：

容许变形

$\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm$

该计算结果证实了该支撑的假设为非常刚性，并且与刚性和中间弹性支座体系的临界弯矩是一致的。

小结

实例表明，在木结构建筑中的各种应用可以用于分析弯梁的侧向屈曲。对于常用方法，重要的是确保加劲肋的刚度足以接收刚性支座。在本文中有多种情况可供选择，即可以采用这种假设。一般情况下弯矩梁和加固支座按照相应的规范进行验算。但是，这超出了本文的范围。

作者

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

Product Engineering & Customer Support

Rehm先生负责木结构产品的开发，并为客户提供技术支持。

关键词

侧向屈曲弯扭屈曲特征值具有弹性基础的屈曲构件

参考文献

[1]	National Annex - Eurocode 5: Design of timber structures - Part 1-1: General - Common rules and rules for buildings; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
[2]	Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. Auflage. Wiesbaden: Vieweg, 1982
[3]	Eurocode 5: Design of timber structures - Part 1-1: General - Common rules and rules for buildings; EN 1995-1-1:2010-12