结构模型
图01中的结构体系需要分析桁架的屈曲问题。 In Dachebene befinden sich sechs Binder als Parallelträger mit 18 m Länge und zwei Aussteifungsverbände. Die Balken an den Giebelseiten sind durch Stützen unterstützt und werden für die Berechnung nicht berücksichtigt. Auf die Binder wirkt eine Bemessungslast qd von 10 kN/m.
模型数据
l | 18 | m | Länge des Trägers |
B | 120 | mm | 梁宽 |
[SCHOOL.] | 1.200 | mm | 梁高 |
GL24h | Material gemäß EN 14080 | ||
Iz | 172.800.000 | mm4 | 惯性矩 |
IT | 647.654.753 | mm4 | 抗扭惯性矩 |
qd | 10 | kN/m | 荷载计算值 |
az | 600 | mm | 荷载位置 |
e | 600 | mm | Lage der Bettung |
请注意: Auch wenn in den nachfolgenden Gleichungen für E und G nicht explizit im Index der Verweis auf die 5-%-Quantilwerte gegeben ist, wurden diese trotzdem entsprechend berücksichtigt.
Gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen
Der Vollständigkeit halber wird zunächst der Binder ohne seitliche Halterung untersucht (siehe Bild 02). Die Ersatzstablänge ergibt sich bei einem Lastangriff an der Oberseite des Binders mit a1 = 1,13 und a2 = 1,44 zu:
LF | 等效杆件长度 |
l | 梁长度,侧向支撑间距 |
a1 ,a2 | 横向屈曲系数 |
[LinkToImage02][SCHOOL.ZIP] | 荷载施加到剪切中心的距离 |
e0.05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
i[SCHOOL.ZIP] | 弱轴区域第二矩 |
iT | 抗扭惯性矩 |
lef = 17,79 m
Das kritische Biegemoment kann danach wie folgt berechnet werden:
M临界 | 临界弯矩 |
e0.05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
i[SCHOOL.ZIP] | 弱轴区域第二矩 |
iT | 抗扭惯性矩 |
LF | 等效杆件长度 |
Mcrit = 134,52 kNm
Auf eine Erhöhung des Produktes der 5-%-Quantilen der Steifigkeitskennwerte wegen der Homogenisierung von Trägern aus Brettschichtholz wird in diesen Beispielen verzichtet.
Das auf den Bindern einwirkende Biegemoment resultiert zu:
M[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS] | 设计弯矩 |
q[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS] | 荷载计算值 |
l | 梁长度 |
Md = 405,00 kNm
Die Eigenwertanalyse mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK liefert als Ergebnis einen Verzweigungslastfaktor von 0,3334. Daraus folgt das kritische Biegemoment
Mcrit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm
und ist somit identisch mit dem Ergebnis der analytischen Lösung.
Wie für diesen nichtgestützten, schlanken Binder zu erwarten war, ist das einwirkende Biegemoment größer (um Faktor 3) als das kritische Biegemoment, und der Binder ist somit nicht ausreichend gegen Kippen gehalten. Dem soll jedoch ein Verband entgegenwirken, welcher nun für die Berechnung berücksichtigt wird.
Gabelgelagerter Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen
Ist der Aussteifungsverband steif genug, wird in der Praxis häufig der Abstand der seitlichen Halterungen (zum Beispiel durch Pfetten) als Ersatzstablänge für den Kippnachweis verwendet. Dieses Vorgehen wurde bereits im vorherigen Beitrag Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 aufgezeigt. Als L wird demnach 2,25 m verwendet. Für a1 = 1,00 und a2 = 0,00 folgt:
lef | 等效杆件长度 |
l | 梁长度,侧向支撑间距 |
a1 ,a2 | 横向屈曲系数 |
az | 荷载施加到剪切中心的距离 |
e0.05 | 5 % 弹性模量分位数 |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 % 剪切模量分位数 |
Iz | 弱轴区域第二矩 |
IT | 扭转常数 |
lef = 2,25 m
Für das kritische Biegemoment ergibt sich:
M临界 | 临界弯矩 |
e0.05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
i[SCHOOL.ZIP] | 弱轴区域第二矩 |
iT | 抗扭惯性矩 |
LF | 等效杆件长度 |
Mcrit = 1.063,51 kNm
Da das auf den Träger einwirkende Biegemoment kleiner ist als das kritische Biegemoment, ist der Träger unter der Annahme von starren Zwischenabstützungen nicht kippgefährdet.
Die Eigenwertanalyse mit dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK liefert als Ergebnis einen Verzweigungslastfaktor von 2,7815. Daraus folgt das kritische Biegemoment
M临界 | 临界弯矩 |
η | 临界荷载系数 |
M[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS] | 设计弯矩 |
Mcrit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm
Gabelgelagerter Einfeldträger mit elastischer Stabbettung
Wie in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie erläutert ist, wird in [1] für elastisch gebettete Stäbe die Ermittlung der Ersatzstablänge mit dem Faktor α und β erweitert. Damit ist es möglich, die Schubsteifigkeit eines Aussteifungsverbandes für das Kippen der Binder zu berücksichtigen. Die Ermittlung der Schubsteifigkeit des Verbandes kann beispielsweise nach [2] Bild 6.34 erfolgen. Wie daraus zu erkennen ist, ist diese abhängig vom Typ des Verbandes, von der Dehnsteifigkeit der Diagonalen und der Pfosten, von der Neigung der Diagonalen und von der Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel. Für den in Bild 01 abgebildeten Aussteifungsverband ergibt sich die Schubsteifigkeit zu:
sID | 加固支撑的理想抗剪刚度 |
eD | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
[THESIS.TITEL]D | 对角线的截面面积 |
α | 对角线和弦杆之间的夹角 |
Hierbei ist ED der E-Modul der Diagonalen und AD deren Querschnittsfläche. Die obige Gleichung enthält jedoch nicht die Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel der Diagonalen. Diese und die Stablängung der Diagonalen kann über eine fiktive Querschnittsfläche AD' berücksichtigt werden. Es folgt:
sID | 加固支撑的理想抗剪刚度 |
eD | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
[THESIS.TITEL]D' | 对角线的名义截面面积 |
α | 对角线和弦杆之间的夹角 |
值:
[THESIS.TITEL]D' | 对角线的名义截面面积 |
[THESIS.TITEL]D | 对角线的截面面积 |
eD | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
LD | 对角线长度 |
ķSER | 滑动连接模量 |
Die Diagonalen haben die Abmessung b/h = 120/200 mm und eine Länge LD von 4,59 m. Der Verschiebungsmodul des Anschlusses auf jeder Seite der Diagonalen soll 110.000 N/mm betragen.
Die ideelle Fläche beträgt demnach
AD' = 12.548 mm²
und damit die Schubsteifigkeit eines Verbandes, mit einem Winkel der Diagonalen zum Gurt von 60,64 °,
sID | 加固支撑的理想抗剪刚度 |
eD | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen |
[THESIS.TITEL]D' | 对角线的名义截面面积 |
α | 对角线和弦杆之间的夹角 |
sid = 44.864 kN
Die Stabbettung pro Verband lässt sich daraus gemäß [2] Formel 7.291 wie folgt überführen:
Ky ' | 每种支座的弹性杆件基础 |
sID | 加固支撑的理想抗剪刚度 |
l | 支撑长度 |
Für zwei Verbände und sechs Binder steht pro Binder folgende Federkonstante zur Verfügung:
ķÿ | 每个桁架杆件的弹性杆件基础 |
Ky ' | 每种支座的弹性杆件基础 |
Ky = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²
Unter der Voraussetzung, dass KG = ∞, Kθ = 0, Ky = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a1 = 1,13 und a2 = 1,44 ist, ergibt sich die Ersatzstablänge zu:
LF | 等效杆件长度 |
l | 梁长度,侧向支撑间距 |
a1 ,a2 | 横向屈曲系数 |
[LinkToImage02][SCHOOL.ZIP] | 荷载施加到剪切中心的距离 |
e0.05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
i[SCHOOL.ZIP] | 弱轴区域第二矩 |
iT | 抗扭惯性矩 |
α,β | 考虑杆件基础的因素 |
lef = 0,13
Das kritische Biegemoment ergibt sich damit zu einem utopischen Wert von:
M临界 | 临界弯矩 |
e0.05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 % Quantile des Schubmoduls |
i[SCHOOL.ZIP] | 弱轴区域第二矩 |
iT | 抗扭惯性矩 |
LF | 等效杆件长度 |
Mcrit = 18.482,84 kNm
Zu erwarten wäre ein Wert ähnlich des Systems mit starren Zwischenabstützungen. Wie in Biegedrillknicken im Holzbau | Theorie erläutert, ist die Anwendung der erweiterten Formel mit α und β in Ihrer Anwendung eingeschränkt. Diese hat streng genommen nur Gültigkeit, wenn eine Auslenkung in einem großen Sinusbogen vorliegt. Also dann, wenn die Bettung sehr weich ist. Dies ist in diesem Beispiel nicht mehr gegeben. Mehrwellige Eigenfunktionen, die bei größeren Federkonstanten zur kleinsten Verzweigungslast führen, sind in der besagten Gleichung nicht erfasst, da diese auf eingliedrigen Sinusansätzen basiert.
Wie auf Bild 07 zu sehen ist, resultiert aus der Eigenwertanalyse eine mehrwellige Eigenform.
Für diesen Fall kann das Verfahren, welches von Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020) hergeleitet wurde, Anwendung finden. Das kritische Biegemoment wird wie folgt berechnet:
M临界 | 临界弯矩 |
[LinkToImage02][SCHOOL.ZIP] | 荷载施加到剪切中心的距离 |
e | 杆件弹性地基到剪切中心的距离 |
ķÿ | 每个桁架杆件的弹性杆件基础 |
l | 梁长度 |
n | n个本征求解 |
e0.05 | 5 % Quantile des Elastizitätsmoduls |
i[SCHOOL.ZIP] | 弱轴区域第二矩 |
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]0.05 | 5 %-Quantile des Schubmoduls |
iT | 抗扭惯性矩 |
Die Konstante n kennzeichnet die 1., 2., 3... Eigenlösung. Demnach sind mehrere Eigenlösungen zu untersuchen und daraus ist dann das kleinste kritische Biegemoment maßgebend. Für n = 1...30 ergeben sich folgende kritische Biegemomente.
n | M临界 [kNm] | n | M临界 [kNm] |
---|---|---|---|
1 | 9.523,25 | 16 | 2.214,63 |
2 | 4.281,26 | 17 | 2.339,17 |
3 | 2.294,32 | 18 | 2.464,92 |
4 | 1.605,56 | 19 | 2.591,63 |
5 | 1.354,68 | 20 | 2.719,14 |
6 | 1.282,70 | 21 | 2.847,30 |
7 | 1.294,12 | 22 | 2.976,00 |
8 | 1.348,81 | 23 | 3.105,16 |
9 | 1.428,05 | 24 | 3.234,71 |
10 | 1.522,29 | 25 | 3.364,60 |
11 | 1.626,24 | 26 | 3.494,77 |
12 | 1.736,77 | 27 | 3.625,20 |
13 | 1.851,94 | 28 | 3.755,84 |
14 | 1.970,50 | 29 | 3.886,67 |
15 | 2.091,60 | 30 | 4.017,68 |
Für n = 6 wird Mcrit minimal und beträgt 1.282,70 kNm.
Die Eigenwertlösung aus dem Zusatzmodul RF-/FE-BGDK (siehe Bild 07) ergibt:
Mcrit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm
Die beiden Ergebnisse erzielen eine sehr gute Übereinstimmung. Die analytische Lösung liegt jedoch auf der sicheren Seite, da bei diesem Verfahren vereinfacht von einem konstanten Biegemomentenverlauf ausgegangen wird. Dem konstanten kritischen Biegemoment Mcrit wird dann eine kritisch Belastung qcrit zugeordnet.
q临界 | 临界荷载 |
M临界 | 临界弯矩 |
l | 梁长度 |
Da die Stabbettung in diesem Beispiel als sehr steif anzusehen ist und konstant über die Binderlänge verschmiert wird, ergeben sich leicht höhere kritische Biegemomente als bei der starren Einzelabstützung.
Gemäß [3] Kapitel 9.2.5.3 (2) müssen Aussteifungsverbände so steif sein, dass die horizontale Auslenkung L/500 nicht überschritten wird. Die Berechnung muss dabei mit den Bemessungswerten der Steifigkeiten erfolgen (siehe [1] Kapitel NCI Zu 9.2.5.3).
Für kcrit = 0,195, H = 5 m und qp = 0,65 kN/m² als Böengeschwindigkeitsdruck ergeben sich folgende Lasten (siehe [3] Kapitel 9.2.5.3):
N[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS] | 受压翼缘稳定力 |
K临界 | 侧向稳定性系数 |
M[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS] | 设计弯矩 |
[SCHOOL.] | 梁高度 |
Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN
q[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS] | 加固荷载 |
n | 桁架数目 |
l | 梁长度 |
f | 抗弯刚度的修改系数 |
qd = 2,76 kN/m
qd,风 | 风荷载 |
γQ | 可变作用的分项系数 |
CPE | 外压系数 |
qp | 峰值风速压力 |
[SCHOOL.] | 结构高度 |
qd,Wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m
Die Verformung des Aussteifungsverbandes ist in Bild 08 dargestellt. Dabei wurden die Lasten nochmals halbiert, da zwei Aussteifungsverbände vorhanden sind.
Die zulässige Verformung beträgt:
Dies bestätigt die Annahme eines sehr steifen Verbandes und ist im Einklang mit den nahezu identischen kritischen Biegemomenten des Systems mit starrer Zwischenabstützung und des Systems mit elastischer Stabbettung.
小结
Es wurde gezeigt, mit welchen Möglichkeiten im Holzbau das Kippen von Biegeträgern untersucht werden kann. Für die gängigen Methoden sollte darauf geachtet werden, dass die Aussteifungsverbände steif genug sind, um starre Abstützungen annehmen zu können. Es wurden entsprechend Varianten gezeigt, falls diese Annahme nicht zutrifft. Grundsätzlich müssen die Biegeträger und die Aussteifungsverbände gemäß der entsprechenden Norm noch auf Ihre Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit untersucht werden. Dies ist jedoch nicht Gegenstand dieses Artikels.