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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

木结构中的弯扭屈曲 | 示例 2

在上一篇文章 Holzbau中的弯扭屈曲 | 示例 1 中，基于简单示例说明了用于确定临界弯矩 M_crit 或临界弯曲应力 σ_crit 的实际应用，以计算受弯构件的侧倾。本篇文章将考虑由稳定支撑体系产生的弹性约束来确定临界弯矩。

Holzbau中的弯扭屈曲 - 示例 1

静力模型

对于下图所示的体系，需要对梁进行倾覆稳定性验算。屋面平面内有六根作为平行梁的梁，长度为 18 m，以及两道支撑体系。山墙侧的横梁由支柱支承，计算时不予考虑。作用于梁上的设计荷载 q_d 为 10 kN/m。主要目的是确定临界弯扭屈曲弯矩。对于承载能力极限状态和正常使用极限状态的验算，此处不再进一步讨论。

1 静力模型

模型数据

GL24h	-	-	符合 EN 14080 的材料
L	18	m	梁长度
b	120	mm	梁宽
h	1.200	mm	梁高
I_z	172.800.000	mm⁴	惯性矩
I_T	647.654.753	mm⁴	扭转惯性矩
q_d	10	kN/m	设计荷载
a_z	600	mm	荷载位置
e	600	mm	支承位置

信息

尽管在以下公式中对 E 和 G 未在下标中明确给出 5% 分位值的引用，但这些值仍已相应考虑。

无中间支撑的铰支单跨梁

2 无中间支撑的铰支单跨梁

为完整起见，首先对无侧向支撑的梁进行分析（见图 02）。当荷载作用于梁上缘时，代换杆件长度在 a₁ = 1,13 和 a₂ = 1,44 时为：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

替代杆件长度

随后临界弯矩可按如下计算：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

临界弯矩

由于胶合木梁的均质化，在这些示例中不考虑将 5% 分位值的刚度参数乘积进行增大。

作用于梁上的弯矩为：

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

设计弯矩

特征值分析得到的屈曲荷载系数为 0,32。由此得到临界弯矩

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

临界弯矩来自特征值求解器

因此与解析解的结果完全一致。

3 临界荷载因子和临界弯矩输出的验算详情

正如对这种无支撑、细长梁所预期的那样，作用弯矩大于临界弯矩（大 3 倍），因此该梁未能得到足够的防倾覆约束。不过，后续将考虑一道支撑体系来抵抗这种作用。

带刚性中间支撑的铰支单跨梁

4 带铰支承单跨梁，带刚性中间支撑

如果支撑体系足够刚，在实际中通常将侧向支撑间距（例如通过檩条）作为抗倾覆验算的代换杆件长度。该方法已在前一篇文章 Holzbau中的弯扭屈曲 | 示例 1 中介绍。

木结构弯扭屈曲 | Beispiele 1

因此取 L = 2,25 m。对于 a₁ = 1,00 和 a₂ = 0,00，有：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

替换杆件长度

临界弯矩为：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

临界弯矩

由于作用于梁上的弯矩小于临界弯矩，故在假定中间支撑刚性的情况下，该梁不存在倾覆危险。

采用木结构设计附加模块进行特征值分析，得到的屈曲荷载系数为 2,86。由此得到临界弯矩

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	分支荷载系数
M_d	Bemessungsmoment

临界弯矩

5 带有临界荷载系数和临界弯矩输出的验算细节

在此，两种方法也非常吻合。

带弹性杆件支承的铰支单跨梁

6 带叉形支承的单跨梁，带弹性杆床层

如 Holzbau中的弯扭屈曲 - 理论所述，在 [1 ] 中，对于弹性支承杆件，通过系数 α 和 β 扩展了代换杆件长度的确定方法。

因此，可以考虑支撑体系的剪切刚度对梁倾覆的影响。

屋面支撑体系的剪切刚度

支撑体系的剪切刚度可例如按 [2] 图 6.34 确定。如图所示，其取决于支撑类型、斜杆和立柱的拉伸刚度、斜杆的倾角以及连接件的柔度。对于图 01 所示的支撑体系，其剪切刚度为：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

加固支座的理想抗剪刚度

其中 E_D 为斜杆的弹性模量，A_D 为其截面面积。然而，上式未考虑斜杆连接件的柔度。可通过虚拟截面面积 A_D' 考虑此项以及斜杆的长度变形。则有：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

理想支撑体系剪切刚度

其中

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

对角杆的虚拟截面面积

斜杆尺寸为 b/h = 120/200 mm，长度 L_D 为 4,59 m。每侧斜杆连接的位移模量取 110.000 N/mm。

因此，等效面积为

A_D' = 12.548 mm²

由此得到一道支撑体系的剪切刚度，斜杆与上弦的夹角为 60,64 °，

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

理想支撑体系剪切刚度

由此按照 [2] 公式 7.291，可将每道支撑体系的杆件支承刚度转换为：

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

弹性杆件基础每个支撑

对于两道支撑体系和六根梁，每根梁可得如下弹簧刚度：

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

每根梁的弹性杆支承

在假设 K_G = ∞、K_θ = 0、K_y = 0,456 N/mm²、e = 600 mm、a₁ = 1,13 和 a₂ = 1,44 的条件下，代换杆件长度为：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

替换杆长度

因此临界弯矩得到一个不切实际的值：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	临界弯矩
E_0,05	弹性模量的 5 % 分位数
G_0,05	剪切模量的 5% 分位数
I_z	关于弱轴的惯性矩
I_T	扭转惯性矩
l_ef	替代杆长

临界弯矩

理论上应得到一个与刚性中间支撑体系相近的数值。如 Holzbau中的弯扭屈曲 - 理论所述，含 α 和 β 的扩展公式在应用上是受限的。

严格来说，该公式仅在大正弦波形挠度时才适用。也就是说，当支承非常柔软时才成立。本例中已不再满足这一条件。对于较大的弹簧刚度，导致最小屈曲荷载的多波形特征函数在该公式中未被考虑，因为该公式基于单波正弦假定。

如图 7 所示，特征值分析得出在屈曲荷载系数为 3,49 时出现多波形特征模态。

7 带有弹性杆件支承的铰支单跨梁的特征值分析结果

作为对比，可采用 Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger（2020）推导的方法。临界弯矩按如下计算：

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

临界弯矩

常数 n 表示第 1、2、3……阶特征解。因此需要考察多个特征解，并取其中最小的临界弯矩作为控制值。对于 n = 1…30，得到以下临界弯矩。

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

对于 n = 6，M_crit 最小，为 1.282,70 kNm。

木结构设计附加模块中的特征值解（见图 7）为：

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	临界弯矩
α	分支载荷系数
M_d	设计弯矩

临界弯矩

两种结果吻合良好。不过解析解更偏于安全一侧，因为该方法简化地假定了恒定弯矩分布。随后将恒定临界弯矩 M_crit 赋予相应的临界荷载 q_crit。

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

临界荷载

由于本示例中的杆件支承可视为非常刚，并沿梁长均匀分布，因此得到的临界弯矩略高于刚性单点支撑情况下的结果。

屋面支撑体系的变形验算

根据 [3] 第 9.2.5.3 (2) 章，支撑体系必须足够刚，以使水平位移不超过 L/500。计算时应采用刚度的设计值（见 [1] 第 NCI 至 9.2.5.3 章）。

当 k_crit = 0,195、H = 5 m，且 q_p = 0,65 kN/m² 为阵风速度压时，可得到以下荷载（见 [3] 第 9.2.5.3 章）：

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

受压翼缘的稳定力

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

支撑荷载

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

风荷载设计值

支撑体系的变形如图 8 所示。由于存在两道支撑体系，荷载再次减半。

8 水平支撑体系的水平位移

允许变形为：

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

容许变形

这证实了该支撑体系非常刚的假定，并且与刚性中间支撑体系和弹性杆件支承体系几乎相同的临界弯矩结果一致。

总结

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
无中间支撑	134,52 kNm	136,39 kNm
带刚性中间支撑	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
带弹性杆件支承	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

本文展示了在木结构中可用于研究弯曲构件倾覆稳定性的各种方法。对于常用方法，应确保支撑体系足够刚，以便可按刚性支座处理。如该假定不成立，则已相应给出了其他变体。原则上，弯曲构件和支撑体系仍须按相应规范验算其承载能力和正常使用性能。但这并非本文讨论的重点。

作者

Gerhard 在产品工程部从事木结构领域工作，并同时支持客户支持工作。他利用自己的开发经验提供贴近实践且可实施的解决方案。

链接

参考

德国规范(2013)。国家附录 – 欧洲规范 5： Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: 建筑结构的静力分析与稳定性, 第二版. Wiesbaden: Vieweg, 1982
奥地利规范。 (2015)。欧洲规范 5：木结构设计 - 第1-1部分：总则 – 通用规范和建筑规范DIN EN 1995-1-1:2010-12。柏林：Beuth Verlag GmbH。

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