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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

木结构中的弯扭屈曲 | 示例 2

在上一篇文章 Holzbau中的弯扭屈曲 | 示例 1 中，基于简单示例说明了用于确定临界弯矩 M_crit 或临界弯曲应力 σ_crit 的实际应用，以计算受弯构件的侧倾。本篇文章将考虑由稳定支撑体系产生的弹性约束来确定临界弯矩。

Holzbau中的弯扭屈曲 - 示例 1

静力模型

对于下图所示的体系，应对桁架进行倾覆稳定性分析。在屋面平面内，有六根作为平行梁的桁架，跨度 18 m，并设置两道支撑体系。山墙侧的梁由立柱支承，因此在计算中不予考虑。作用于桁架上的设计荷载 q_d 为 10 kN/m。这里主要是确定临界弯扭屈曲弯矩。对于承载能力极限状态以及正常使用极限状态的验算，不再进一步展开。

1 静力模型

模型数据

GL24h	-	-	符合 EN 14080 的材料
L	18	m	梁长
b	120	mm	梁宽
h	1.200	mm	梁高
I_z	172.800.000	mm⁴	惯性矩
I_T	647.654.753	mm⁴	扭转惯性矩
q_d	10	kN/m	设计荷载
a_z	600	mm	荷载作用位置
e	600	mm	支承位置

信息

尽管在下列公式中对于 E 和 G 并未在下标中明确注明引用 5% 分位值，但实际上仍已相应考虑。

无中间支撑的铰支单跨梁

2 无中间支撑的铰支单跨梁

为完整起见，首先对无侧向约束的桁架进行分析（见图 02）。当荷载作用于桁架上缘时，替代杆件长度由 a₁ = 1,13 和 a₂ = 1,44 得到：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	替代杆件长度
L	梁长，侧向支撑间距
a₁,a₂	倾覆系数
a_z	荷载作用点到剪切中心的距离
E_0,05	弹性模量的 5 % 分位数
G_0,05	剪切模量的 5 % 分位数
I_z	绕弱轴的惯性矩
I_T	扭转惯性矩

替代杆件长度

随后可按如下计算临界弯矩：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	临界弯矩
E_0,05	弹性模量的 5 % 分位数
G_0,05	剪切模量的 5 % 分位值
I_z	弱轴惯性矩
I_T	扭转惯性矩
l_ef	替代杆件长度

临界弯矩

由于胶合木梁的均质化，在这些示例中不考虑刚度参数 5% 分位值乘积的增大。

作用于桁架上的弯矩为：

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	设计弯矩
q_d	设计荷载
L	梁长

设计弯矩

特征值分析得到的分岔荷载因子为 0,32。据此可得临界弯矩

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

临界弯矩来自特征值求解器

因此与解析解结果完全一致。

3 临界荷载因子和临界弯矩输出的验算详情

正如预期，对于该无支撑的细长桁架，作用弯矩大于临界弯矩（约为 3 倍），因此该桁架对倾覆的约束不足。不过，现通过设置支撑体系来抵抗这一问题，下面在计算中予以考虑。

带刚性中间支撑的铰支单跨梁

4 带铰支承单跨梁，带刚性中间支撑

如果支撑体系足够刚，在实际中通常将侧向约束之间的距离（例如通过檩条）作为抗倾覆验算的替代杆件长度。此前文章 Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 中已经展示了这种做法。

木结构弯扭屈曲 | Beispiele 1

因此取 L = 2,25 m。对于 a₁ = 1,00 和 a₂ = 0,00，可得：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	替代杆件长度
L	梁长度，侧向支撑间距
a₁,a₂	倾覆系数
a_z	荷载作用点到剪心的距离
E_0,05	弹性模量的 5 % 分位数
G_0,05	剪切模量的 5 % 分位数
I_z	关于弱轴的惯性矩
I_T	扭转惯性矩

替换杆件长度

临界弯矩为：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	临界弯矩
E_0,05	弹性模量的 5% 分位数
G_0,05	剪切模量的 5% 分位数
I_z	弱轴惯性矩
I_T	扭转惯性矩
l_ef	替代杆件长度

临界弯矩

由于作用于梁上的弯矩小于临界弯矩，在假定中间支撑为刚性的情况下，该梁不发生倾覆失稳。

采用木结构设计附加模块进行特征值分析，得到的分岔荷载因子为 2,86。据此可得临界弯矩

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	临界弯矩
α	分支荷载系数
M_d	设计弯矩

临界弯矩

5 带有临界荷载系数和临界弯矩输出的验算细节

这里两种方法也高度一致。

带弹性杆件支承的铰支单跨梁

6 带叉形支承的单跨梁，带弹性杆床层

如 Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie 中所述，在 [1 ] 中，对于弹性支承杆件，通过系数 α 和 β 扩展替代杆件长度的确定。

这样便可考虑支撑体系的剪切刚度对桁架倾覆的影响。

屋面支撑体系的剪切刚度

支撑体系的剪切刚度可例如按 [2] 图 6.34 确定。由此可知，它取决于支撑类型、斜撑和立杆的拉伸刚度、斜撑倾角以及连接件的柔度。对于图 01 所示的支撑体系，其剪切刚度为：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	理想支撑体系的抗剪刚度
E_D	斜杆弹性模量的 5 % 分位值
A_D	斜杆的截面面积
α	斜线与弦杆之间的角度

加固支座的理想抗剪刚度

其中 E_D 为斜撑的弹性模量，A_D 为其截面面积。然而，上式未考虑斜撑连接件的柔度。这一柔度以及斜撑的杆件伸长可通过一个虚拟截面面积 A_D' 来考虑。于是：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	理想支撑体系的抗剪刚度
E_D	对角杆弹性模量的 5 % 分位数
A_D'	对角杆的假想截面面积
α	对角线与弦杆之间的角度

理想支撑体系剪切刚度

其中

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	对角线的虚拟截面积
A_D	对角线的截面面积
E_D	对角杆弹性模量的 5 % 分位值
L_D	对角线长度
K_ser	连接的位移模量

对角杆的虚拟截面面积

斜撑尺寸为 b/h = 120/200 mm，长度 L_D 为 4,59 m。斜撑两端连接的位移模量取 110.000 N/mm。

因此，虚拟面积为

A_D' = 12.548 mm²

据此，当斜撑与弦杆夹角为 60,64 ° 时，一个支撑体系的剪切刚度为：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	理想支撑体系的抗剪刚度
E_D	对角杆弹性模量的 5 % 分位数
A_D'	对角杆的假想截面面积
α	对角线与弦杆之间的角度

理想支撑体系剪切刚度

按 [2] 式 7.291，可将单个支撑体系的杆件支承刚度换算如下：

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	每个支撑的弹性杆件约束
s_id	理想支撑体系的剪切刚度
L	支撑长度

弹性杆件基础每个支撑

对于两个支撑体系和六根桁架，每根桁架可获得如下弹簧刚度：

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	每根梁的弹性杆支承
K_y'	每个支撑组的弹性杆件支承

每根梁的弹性杆支承

在假定 K_G = ∞、K_θ = 0、K_y = 0,456 N/mm²、e = 600 mm、a₁ = 1,13 和 a₂ = 1,44 的条件下，替代杆件长度为：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	替换杆件长度
L	梁长，侧向支撑间距
a₁,a₂	倾覆系数
a_z	荷载作用点与剪切中心的距离
E_0,05	弹性模量的 5 % 分位数
G_0,05	剪切模量的 5 % 分位值
I_z	弱轴惯性矩
I_T	扭转惯性矩
α, β	用于考虑杆件嵌入的系数

替换杆长度

因此，临界弯矩达到一个不现实的数值：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	临界弯矩
E_0,05	弹性模量的 5 % 分位数
G_0,05	剪切模量的 5% 分位数
I_z	关于弱轴的惯性矩
I_T	扭转惯性矩
l_ef	替代杆长

临界弯矩

理论上应得到与带刚性中间支撑体系类似的数值。如 Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie 中所述，带 α 和 β 的扩展公式在应用上存在限制。

严格来说，该公式仅在存在较大正弦波形挠曲时才有效，即支承非常柔软时。而本例已不再满足这一条件。对于较大弹簧刚度会导致最小分岔荷载的多波形特征函数，该方程未予考虑，因为它基于单波正弦假定。

如图 7 所示，特征值分析得到分岔荷载因子为 3,49 的多波形特征模态。

7 带有弹性杆件支承的铰支单跨梁的特征值分析结果

作为比较，可采用 Heinrich Kreuzinger 教授（2020）推导的方法。临界弯矩按如下计算：

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	临界弯矩
a_z	荷载作用点到剪切中心的距离
e	杆件嵌入点到剪切中心的距离
K_y	每根梁的弹性杆支承
L	梁长度
n	第 n 个特征解
E_0,05	5%弹性模量分位值
I_z	关于弱轴的惯性矩
G_0,05	剪切模量的 5% 分位数
I_T	扭转惯性矩

临界弯矩

常数 n 表示第 1、第 2、第 3……特征解。因此需要考察多个特征解，并取其中最小的临界弯矩为控制值。对于 n = 1…30，可得如下临界弯矩。

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

对于 n = 6，M_crit 达到最小值，为 1.282,70 kNm。

木结构设计附加模块的特征值解（见图 7）为：

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	临界弯矩
α	分支载荷系数
M_d	设计弯矩

临界弯矩

两种结果吻合良好。不过，解析解更偏于安全侧，因为该方法简化假定弯矩沿跨径为常值。随后将该恒定临界弯矩 M_crit 关联到临界荷载 q_crit。

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	临界荷载
M_crit	临界弯矩
L	梁长度

临界荷载

由于本例中的杆件支承被视为非常刚性，并沿桁架长度均匀分布，因此得到的临界弯矩比刚性单点支撑时略大。

屋面支撑体系的变形验算

根据 [3] 第 9.2.5.3 (2) 章，支撑体系必须足够刚，使水平位移不超过 L/500。计算应采用刚度的设计值进行（见 [1] 第 NCI Zu 9.2.5.3 章）。

对于 k_crit = 0,195、H = 5 m 以及阵风速度压 q_p = 0,65 kN/m²，可得以下荷载（见 [3] 第 9.2.5.3 章）：

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	受压弦杆的稳定力
k_crit	倾覆系数
M_d	设计弯矩
h	梁高

受压翼缘的稳定力

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	支撑荷载
n	桁架数量
L	梁长度
k_f,3	加劲抗力的修正系数

支撑荷载

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	风荷载设计值
γ_Q	可变作用的分项安全系数
c_pe	外压系数
q_p	阵风速度压强
h	建筑物高度

风荷载设计值

支撑体系的变形如图 8 所示。由于存在两道支撑体系，荷载再次减半。

8 水平支撑体系的水平位移

允许变形为：

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

容许变形

这证实了支撑体系极为刚性的假定，并且与刚性中间支撑体系和弹性杆件支承体系几乎相同的临界弯矩相一致。

总结

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
无中间支撑	134,52 kNm	136,39 kNm
带刚性中间支撑	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
带弹性杆件支承	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

本文展示了在木结构中如何利用哪些方法来研究弯曲构件的倾覆稳定性。对于常用方法，应注意支撑体系必须足够刚，以便可假定为刚性支承。若该假定不成立，则相应展示了其他变体。原则上，弯曲构件和支撑体系仍必须按照相应规范验算其承载能力和正常使用性能。但这不属于本文讨论范围。

作者

Gerhard 在产品工程部从事木结构领域工作，并同时支持客户支持工作。他利用自己的开发经验提供贴近实践且可实施的解决方案。

链接

参考

德国规范(2013)。国家附录 – 欧洲规范 5： Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: 建筑结构的静力分析与稳定性, 第二版. Wiesbaden: Vieweg, 1982
奥地利规范。 (2015)。欧洲规范 5：木结构设计 - 第1-1部分：总则 – 通用规范和建筑规范DIN EN 1995-1-1:2010-12。柏林：Beuth Verlag GmbH。

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