7792x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

6.5.2026

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 2

V předchozím článku Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1 na jednoduchých příkladech vysvětlují praktické použití pro stanovení kritického ohybového momentu M_crit nebo kritického ohybového napětí σ_crit pro klopení ohybového nosníku. V tomto příspěvku stanovíme kritický ohybový moment s přihlédnutím k pružnému uložení v důsledku ztužení.

Klopení při bočním vybočení v dřevěných konstrukcích - příklady 1

Statický model

Pro soustavu znázorněnou na následujícím obrázku se má provést posouzení nosníků na klopení. V rovině střechy se nachází šest nosníků jako paralelní nosníky o délce 18 m a dva ztužující vazníky. Prvky na štítových stranách jsou podepřeny sloupy a pro výpočet se neuvažují. Na nosníky působí návrhové zatížení q_d 10 kN/m. V první řadě jde o stanovení kritického klopného momentu. Na posouzení mezního stavu únosnosti ani mezního stavu použitelnosti se dále nejedná.

1 Statický model

Údaje o modelu

GL24h	-	-	Materiál dle EN 14080
L	18	m	Délka nosníku
b	120	mm	Šířka nosníku
h	1.200	mm	Výška nosníku
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment setrvačnosti
I_T	647.654.753	mm⁴	Torziční moment setrvačnosti
q_d	10	kN/m	Návrhové zatížení
a_z	600	mm	Poloha zatížení
e	600	mm	Poloha lože

Informace

I když v následujících rovnicích pro E a G není výslovně v indexu uveden odkaz na 5% kvantilové hodnoty, byly přesto odpovídajícím způsobem zohledněny.

Vidlicově uložený prostý nosník bez mezilehlých podpor

Jednoduše podepřený nosník s kloubovými podporami bez mezilehlých podpor

2 Paprskový nosník s kloubovým uložením na obou koncích bez mezilehlých podpor

Pro úplnost se nejprve posuzuje nosník bez bočního zajištění (viz obrázek 02). Náhradní délka prutu při působení zatížení na horní straně nosníku s a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44 vychází:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment lze poté vypočítat následovně:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritický moment ohybu

Na zvýšení součinu 5% kvantilových hodnot tuhostních veličin z důvodu homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva se v těchto příkladech rezignuje.

Ohybový moment působící na nosníky vychází:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Dimenzovací moment

Vlastní frekvenční analýza dává jako výsledek faktor vzpěrné zatížení 0,32. Z toho plyne kritický ohybový moment

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Kritický ohybový moment z vlastní hodnoty řešiče

a je tedy totožný s výsledkem analytického řešení.

Detail kontroly s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu

3 Detail průkazu s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu

Jak bylo u tohoto nepodepřeného, štíhlého nosníku očekáváno, je působící ohybový moment větší (o faktor 3) než kritický ohybový moment, a nosník tedy není dostatečně zajištěn proti převrácení. Tomu má však zabránit ztužující systém, který bude nyní zohledněn při výpočtu.

Vidlicově uložený prostý nosník s tuhými mezilehlými podporami

Jednoduše podepřený nosník s tuhými mezilehlými podporami

4 Jednodílný nosník s kloubovými podporami a tuhými mezilehlými podpěrami

Je-li ztužující systém dostatečně tuhý, používá se v praxi často vzdálenost bočních zajištění (například prostřednictvím vaznic) jako náhradní délka prutu pro posouzení klopení. Tento postup byl již ukázán v předchozím článku Klopení při bočním vybočení v dřevěných konstrukcích | příklady 1.

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

Jako L se tedy použije 2,25 m. Pro a₁ = 1,00 a a₂ = 0,00 platí:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Náhradní délka prutu

Pro kritický ohybový moment vychází:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritický moment vzpěru při ohybu

Jelikož ohybový moment působící na nosník je menší než kritický ohybový moment, není nosník při předpokladu tuhých mezilehlých podpor ohrožen klopením.

Vlastní frekvenční analýza s doplňkem Dřevěný návrh dává jako výsledek faktor vzpěrného zatížení 2,86. Z toho plyne kritický ohybový moment

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	Faktor zatížení větvení
M_d	Bemessungsmoment

Kritický moment vzpěru

5 Detail kontroly s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu

I zde se oba postupy velmi dobře shodují.

Vidlicově uložený prostý nosník s pružným ložením prutu

Nosník prostě podepřený na obou koncích s pružným podložením prutu

6 Jednopolový nosník s vidlicovým uložením a pružným uložení prutu

Jak je vysvětleno v Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, je v [1 ] pro pružně uložené pruty rozšířen výpočet náhradní délky o faktor α a β.

Tím je možné zohlednit smykovou tuhost ztužujícího systému pro klopení nosníků.

Smyková tuhost střešního ztužidla

Stanovení smykové tuhosti ztužidla lze například provést podle [2] obrázku 6.34. Jak je z něj patrné, závisí na typu ztužidla, na tahové tuhosti diagonál a sloupků, na sklonu diagonál a na poddajnosti spojovacích prostředků. Pro ztužidlo zobrazené na obrázku 01 vychází smyková tuhost:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideální smyková tuhost ztužení

Zde je E_D modul E diagonál a A_D jejich průřezová plocha. Výše uvedená rovnice však nezahrnuje poddajnost spojovacích prostředků diagonál. Tuto a prodloužení prutu diagonál lze zohlednit pomocí fiktivní průřezové plochy A_D'. Platí:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideální smyková tuhost ztužujícího ztužení

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Fiktivní průřezová plocha diagonál

Diagonály mají rozměr b/h = 120/200 mm a délku L_D 4,59 m. Deformační modul spoje na každé straně diagonál má činit 110.000 N/mm.

Ideální plocha tedy činí

A_D' = 12.548 mm²

a tím smyková tuhost jednoho ztužidla, s úhlem diagonál k hornímu pásu 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideální smyková tuhost ztužujícího ztužení

Lože prutu na jedno ztužidlo lze z toho podle [2] vzorce 7.291 převést následovně:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44 864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1 367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení

Pro dvě ztužidla a šest nosníků je pro jeden nosník k dispozici následující konstanta pružiny:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Pružné uložení prutu na nosník

Za předpokladu, že K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44, vychází náhradní délka prutu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment tak vychází na utopickou hodnotu:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Kritický moment klopení
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	Moment setrvačnosti kolem slabé osy
I_T	Torzní moment setrvačnosti
l_ef	Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment

Očekávaná by byla hodnota podobná systému s tuhými mezilehlými podporami. Jak je vysvětleno v Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, je použití rozšířeného vzorce s α a β ve svém použití omezené.

Ten má přísně vzato platnost pouze tehdy, když nastává vychýlení ve velkém sinusovém oblouku. Tedy tehdy, když je lože velmi měkké. To v tomto příkladu již neplatí. Vícevlnné vlastní funkce, které při větších konstantách pružin vedou k nejmenšímu vzpěrnému zatížení, nejsou v uvedené rovnici zachyceny, protože je založena na jednočlenných sinusových tvarech.

Jak je vidět na obrázku 7, plyne z vlastní frekvenční analýzy vícevlnný vlastní tvar při faktoru vzpěrného zatížení 3,49.

Výsledek analýzy vlastních tvarů pro prostý nosník uložený na vidlicových podporách s elastickým podložením prutu

7 Výsledek analýzy vlastních tvarů pro jednoduše podepřený nosník s vidlicovým uložením a pružným uložením prutu

Pro srovnání lze použít postup, který byl odvozen prof. dr. Heinrichem Kreuzingerem (2020). Kritický ohybový moment se vypočítá následovně:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Kritický ohybový moment

Konstanta n označuje 1., 2., 3.… vlastní řešení. Proto je třeba posoudit několik vlastních řešení a z nich je směrodatný nejmenší kritický ohybový moment. Pro n = 1…30 vycházejí následující kritické ohybové momenty.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Pro n = 6 je M_crit minimální a činí 1.282,70 kNm.

Vlastní frekvenční řešení z doplňku Dřevěný návrh (viz obrázek 7) dává:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Kritický ohybový moment
α	Faktor zatížení při bifurkaci
M_d	Dimenzovací moment

Kritický ohybový moment

Oba výsledky dosahují dobré shody. Analytické řešení je však na bezpečné straně, protože se při tomto postupu zjednodušeně uvažuje konstantní průběh ohybového momentu. Konstantnímu kritickému ohybovému momentu M_crit je poté přiřazeno kritické zatížení q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Kritická síla

Jelikož lze v tomto příkladu lože prutu považovat za velmi tuhé a je po délce nosníku rovnoměrně rozprostřeno, vycházejí mírně vyšší kritické ohybové momenty než při tuhé jednotlivé podpoře.

Průhybová kontrola střešního ztužidla

Podle [3] kapitoly 9.2.5.3 (2) musí být ztužující systémy tak tuhé, aby vodorovné vychýlení nepřekročilo L/500. Výpočet se přitom musí provést s návrhovými hodnotami tuhostí (viz [1] kapitola NCI k 9.2.5.3).

Pro k_crit = 0,195, H = 5 m a q_p = 0,65 kN/m² jako tlak rychlosti poryvu vycházejí následující zatížení (viz [3] kapitola 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Stabilizační síla pro tlačený pás

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Ztužující zatížení

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Zatížení od větru

Deformace ztužujícího systému je znázorněna na obrázku 8. Přitom byla zatížení ještě jednou zpoloviny, protože jsou přítomna dvě ztužidla.

8 Vodorná deformace ztužujícího ztužení

Přípustná deformace činí:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dovolená deformace

To potvrzuje předpoklad velmi tuhého ztužidla a je v souladu s téměř totožnými kritickými ohybovými momenty systému s tuhou mezilehlou podporou a systému s pružným ložením prutu.

Shrnutí

System	M_{crit,analyticky}	M_{crit,vlastní frekvence}
bez mezilehlých podpor	134,52 kNm	136,39 kNm
s tuhými mezilehlými podporami	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
s pružným ložením prutu	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Bylo ukázáno, jaké možnosti mají v dřevěných konstrukcích posouzení klopení ohybových nosníků. U běžně používaných metod je třeba dbát na to, aby ztužující systémy byly dostatečně tuhé a bylo možné předpokládat tuhé podpory. Byly odpovídajícím způsobem uvedeny varianty pro případ, že tento předpoklad neplatí. Obecně je však třeba ohybové nosníky i ztužující systémy podle příslušné normy ještě posoudit na únosnost a použitelnost. To však není předmětem tohoto článku.

Autor

Gerhard působí v Product Engineering v oblasti dřevěných konstrukcí a navíc podporuje Customer Support. Své zkušenosti z vývoje využívá pro praktická a realizovatelná řešení.

Odkazy

Reference

Nationaler Anhang - Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, (2. vyd.). Wiesbaden: Vieweg, 1982.
Eurokód 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Obecná pravidla – Společná pravidla a pravidla pro pozemní stavby; ČSN EN 1995-1-1:2006-12

Stahování

Model článku Knowledge Base | Příklady 2

1,05 MB

;