7610x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

19.9.2024

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 2

V předchozím článku Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1 na jednoduchých příkladech vysvětlují praktické použití pro stanovení kritického ohybového momentu M_crit nebo kritického ohybového napětí σ_crit pro klopení ohybového nosníku. V tomto příspěvku stanovíme kritický ohybový moment s přihlédnutím k pružnému uložení v důsledku ztužení.

Klopení v ohybem u dřevěných konstrukcí - příklady 1

Statický model

Pro soustavu zobrazenou na následujícím obrázku mají být nosníky posouzeny na klopení. V úrovni střechy se nachází šest nosníků jako paralelní nosníky o délce 18 m a dva ztužující systémy. Vzpěry na štítových stranách jsou podepřeny sloupy a pro výpočet se neuvažují. Na nosníky působí návrhové zatížení q_d o velikosti 10 kN/m. Jde především o určení kritického klopného momentu. Na posouzení mezního stavu únosnosti ani na mezní stav použitelnosti se dále neplývá.

1 Statický model

Údaje modelu

GL24h	-	-	Materiál podle EN 14080
L	18	m	Délka nosníku
b	120	mm	Šířka nosníku
h	1.200	mm	Výška nosníku
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment setrvačnosti
I_T	647.654.753	mm⁴	Torzný moment setrvačnosti
q_d	10	kN/m	Návrhové zatížení
a_z	600	mm	Poloha zatížení
e	600	mm	Poloha uložení

Informace

Ačkoliv v následujících rovnicích pro E a G není ve индексu výslovně uveden odkaz na hodnoty 5% kvantilu, byly i přesto odpovídajícím způsobem zohledněny.

Kloubově uložený prostý nosník bez mezilehlých podepření

Jednoduše podepřený nosník s kloubovými podporami bez mezilehlých podpor

2 Paprskový nosník s kloubovým uložením na obou koncích bez mezilehlých podpor

Pro úplnost je nejprve posouzen nosník bez bočního zajištění (viz obrázek 02). Náhradní délka prutu při působení zatížení na horní straně nosníku s a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44 vychází:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment lze poté vypočítat následovně:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritický moment ohybu

Zvýšení součinu 5% kvantilů charakteristik tuhosti z důvodu homogenizace prvků z lepeného lamelového dřeva se v těchto příkladech neuvažuje.

Ohybový moment působící na nosníky vychází:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Dimenzovací moment

Analýza vlastních čísel dává jako výsledek součinitel vzpěrné délky 0,32. Z toho vyplývá kritický ohybový moment

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Kritický ohybový moment z vlastní hodnoty řešiče

a je tedy shodný s výsledkem analytického řešení.

Detail kontroly s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu

3 Detail průkazu s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu

Jak bylo pro tento nepodepřený štíhlý nosník očekáváno, působící ohybový moment je větší (o faktor 3) než kritický ohybový moment, a nosník tedy není dostatečně zajištěn proti klopení. Tomuto má však zabránit ztužení, které je nyní pro výpočet zohledněno.

Kloubově uložený prostý nosník s tuhými mezilehlými podepřeními

Jednoduše podepřený nosník s tuhými mezilehlými podporami

4 Jednodílný nosník s kloubovými podporami a tuhými mezilehlými podpěrami

Je-li ztužující systém dostatečně tuhý, používá se v praxi často vzdálenost bočních podepření (například pomocí vaznic) jako náhradní délka prutu pro posouzení na klopení. Tento postup byl již ukázán v předchozím příspěvku Klopení v ohybem u dřevěných konstrukcí | Příklady 1.

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

Jako L se proto použije 2,25 m. Pro a₁ = 1,00 a a₂ = 0,00 vychází:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Náhradní délka prutu

Pro kritický ohybový moment vychází:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritický moment vzpěru při ohybu

Protože ohybový moment působící na nosník je menší než kritický ohybový moment, není nosník při předpokladu tuhých mezilehlých podepření ohrožen klopením.

Analýza vlastních čísel s přídavným modulem RF-/FE-BGDK dává jako výsledek součinitel vzpěrné délky 2,7815. Z toho vyplývá kritický ohybový moment

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Kritický ohybový moment

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Výsledek analýzy vlastních čísel u prostého nosníku s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami

Kloubově uložený prostý nosník s elastickým uložením prutu

Prostý nosník s vidlicovým podepřením a pružným uložením prutu

Jak bylo vysvětleno v článku Klopení v ohybem u dřevěných konstrukcí | Teorie, je v [1] pro pružně podepřené pruty rozšířeno stanovení náhradní délky prutu o faktory α a β.

Klopení dřevěných konstrukcích | Teorie

Tím je možné zohlednit smykovou tuhost ztužujícího systému pro klopení nosníků. Stanovení smykové tuhosti ztužení může být například provedeno podle [2] obrázku 6.34. Z toho je patrné, že závisí na typu ztužení, na tahové tuhosti diagonál a sloupků, na sklonu diagonál a na poddajnosti spojovacích prostředků. Pro ztužující systém zobrazený na obrázku 01 vychází smyková tuhost:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideální smyková tuhost ztužení

Přitom E_D je modul pružnosti diagonál a A_D jejich průřezová plocha. Výše uvedená rovnice však nezahrnuje poddajnost spojovacích prostředků diagonál. Ta a prodloužení diagonál lze zohlednit pomocí fiktivní průřezové plochy A_D'. Platí:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideální smyková tuhost ztužení

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Fiktivní průřezová plocha diagonál

Diagonály mají rozměr b/h = 120/200 mm a délku L_D 4,59 m. Posuvový modul napojení na každé straně diagonál má činit 110.000 N/mm.

Ideální plocha tedy činí

A_D' = 12.548 mm²

a tím smyková tuhost jednoho ztužení při úhlu diagonál k pásnici 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Ideální smyková tuhost ztužení

s_id = 44.864 kN

Uložení prutu na jedno ztužení lze podle [2] vzorce 7.291 převést následovně:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44 864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1 367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení

Pro dvě ztužení a šest nosníků je k dispozici na jeden nosník následující tuhost pružiny:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Pružné uložení prutu na jednotlivé příhradové nosníky

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Za předpokladu, že K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44, vychází náhradní délka prutu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Délka náhradního prutu

l_ef = 0,13

Kritický ohybový moment tak vychází na utopickou hodnotu:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Kritický moment vzpěru při ohybu

M_crit = 18.482,84 kNm

Očekával by se přitom hodnota podobná systému s tuhými mezilehlými podepřeními. Jak bylo vysvětleno v článku Klopení v ohybem u dřevěných konstrukcí | Teorie, je použití rozšířeného vzorce s α a β v praxi omezené.

Klopení dřevěných konstrukcích | Teorie

Přísně vzato má platnost pouze tehdy, pokud dochází k vybočení ve velkém sinusovém oblouku. Tedy tehdy, když je uložení velmi měkké. To v tomto příkladu již neplatí. Vícevlnné vlastní tvary, které při větších tuhostech pružin vedou k nejmenšímu vzpěrnému zatížení, nejsou v uvedené rovnici zahrnuty, protože vychází z jednovlnných sinusových průběhů.

Jak je vidět na obrázku 07, výsledkem analýzy vlastních čísel je vícevlnný vlastní tvar.

6 Výsledek analýzy vlastních čísel u prostého nosníku s vidlicovým podepřením a pružným uložením

Pro tento případ lze použít postup, který odvodil prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). Kritický ohybový moment se vypočítá následovně:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Kritický ohybový moment

Konstanta n označuje 1., 2., 3.… vlastní řešení. Je tedy nutné zkoumat více vlastních řešení a z nich pak rozhoduje nejmenší kritický ohybový moment. Pro n = 1…30 vycházejí následující kritické ohybové momenty.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Pro n = 6 je M_crit minimální a činí 1.282,70 kNm.

Řešení vlastních čísel z přídavného modulu RF-/FE-BGDK (viz obrázek 07) dává:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Oba výsledky vykazují velmi dobrou shodu. Analytické řešení je však na bezpečné straně, protože se v tomto postupu zjednodušeně předpokládá konstantní průběh ohybového momentu. Ke konstantnímu kritickému ohybovému momentu M_crit se poté přiřadí kritické zatížení qcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Kritická síla

Protože se uložení prutu v tomto příkladu považuje za velmi tuhé a rovnoměrně rozložené po délce nosníku, vycházejí o něco vyšší kritické ohybové momenty než u tuhého jednotlivého podepření.

Podle [3] kapitoly 9.2.5.3 (2) musí být ztužující systémy dostatečně tuhé, aby horizontální vychýlení nepřekročilo L/500. Výpočet musí přitom být proveden s návrhovými hodnotami tuhostí (viz [1] kapitola NCI k 9.2.5.3).

Pro k_crit = 0,195, H = 5 m a q_p = 0,65 kN/m² jako nárazový rychlostní tlak vycházejí následující zatížení (viz [3] kapitola 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Stabilizační síla pro tlačený pás

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Zatížení výztuže

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, vítr} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Návrhové zatížení větrem

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

Deformace ztužujícího systému je znázorněna na obrázku 08. Zatížení byla přitom znovu zredukována na polovinu, protože jsou k dispozici dva ztužující systémy.

Vodorovný průhyb ztužení

Přípustná deformace činí:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dovolená deformace

To potvrzuje předpoklad velmi tuhé soustavy a je to v souladu s téměř totožnými kritickými ohybovými momenty soustavy s tuhým mezilehlým podepřením a soustavy s elastickým uložením prutu.

Shrnutí

Bylo ukázáno, jakými možnostmi lze v dřevěných konstrukcích zkoumat klopení ohybových nosníků. U běžných metod je třeba dbát na to, aby ztužující systémy byly dostatečně tuhé a bylo možné předpokládat tuhá podepření. Byly proto uvedeny také varianty pro případ, že tento předpoklad neplatí. Obecně je nutné ohybové nosníky a ztužující systémy podle příslušné normy ještě posoudit na únosnost a použitelnost. To však není předmětem tohoto článku.

Autor

Ing. Rehm se podílí na vývoji programů pro dřevěné konstrukce a zajišťuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Reference

Nationaler Anhang - Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, (2. vyd.). Wiesbaden: Vieweg, 1982.
Eurokód 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Obecná pravidla – Společná pravidla a pravidla pro pozemní stavby; ČSN EN 1995-1-1:2006-12

;