8016x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

6.5.2026

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 2

V předchozím článku Klopení dřevěných konstrukcí - Příklady 1 se na jednoduchých příkladech vysvětluje praktický postup pro stanovení kritického ohybového momentu M_crit nebo kritického ohybového napětí σ_crit pro klopení ohybového nosníku. V tomto příspěvku stanovíme kritický ohybový moment s přihlédnutím k pružnému uložení v důsledku ztužení.

Klopení dřevěných konstrukcí - Příklady 1

Model konstrukce

U konstrukce znázorněné na následujícím obrázku posoudíme vazník na klopení. V rovině střechy se nachází šest vazníků jako rovnoběžných nosníků o délce 18 m se dvěma ztuženími. Nosníky na stranách štítu jsou podepřeny sloupy a při výpočtu se nezohlední. Na příhradové vazníky působí návrhové zatížení q_d 10 kN/m. Jde především o stanovení kritického momentu při klopení. Posouzením v mezním stavu únosnosti a použitelnosti se již dále nebudeme zabývat.

1 Statický model

Údaje o modelu

GL24h	-	-	Materiál podle EN 14080
L	18	m	Délka prutu
b	120	mm	Šířka prutu
h	1,200	mm	Výška prutu
Iz	172 800 000	mm⁴	Moment setrvačnosti
I_T	647 654 753	mm⁴	Moment tuhosti v prostém kroucení
q_d	10	kN/m	Návrhové zatížení
a_z	600	mm	Poloha břemene
e	600	mm	Poloha uložení

Informace

I když následující rovnice pro E a G výslovně v indexu neodkazují na hodnoty 5% kvantilu, zohlednili jsme je odpovídajícím způsobem.

Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlého podepření

2 Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlého podepření

Pro úplnost nejdříve analyzujeme příhradový vazník bez příčného podepření (viz obrázek 2). Délka náhradního prutu se stanoví při působení zatížení na horní stranu příhradového vazníku s a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44 následovně:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Délka náhradního prutu
L	Délka nosníku, vzdálenost příčného podepření
a₁,a₂	Součinitele klopení
a_z	Vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
E_0,05	5% kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5% kvantil smykového modulu
I_z	Moment setrvačnosti okolo hlavní osy nejmenší tuhosti
I_T	Moment tuhosti v prostém kroucení

Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment lze pak spočítat následovně:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritický ohybový moment
E_0,05	5% kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5% kvantil smykového modulu
I_z	Moment setrvačnosti okolo hlavní osy nejmenší tuhosti
I_T	Moment tuhosti v prostém kroucení
l_ef	Délka náhradního prutu

Kritický ohybový moment

V našem příkladu nebudeme uvažovat zvýšení součinu 5% kvantilů tuhosti v důsledku homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva.

Výsledný ohybový moment působící na příhradové vazníky je tak:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Návrhový moment
q_d	Návrhové zatížení
L	Délka nosníku

Návrhový moment

Výsledkem analýzy vlastních čísel je součinitel kritického zatížení 0,32. Z toho plyne kritický ohybový moment

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Kritický ohybový moment z řešiče vlastních čísel

a shoduje se tedy s výsledkem analytického řešení.

3 Detail posouzení se zobrazením součinitele kritického zatížení a kritického ohybového momentu

Jak se u tohoto nepodepřeného štíhlého příhradového vazníku dalo očekávat, je působící ohybový moment větší (3krát) než kritický ohybový moment, a příhradový vazník tak není dostatečně zajištěn proti klopení. Proti tomu by však mělo působit ztužení, které nyní při výpočtu zohledníme.

Prostý nosník s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami

4 Prostý nosník s vidlicovým uložením a tuhými mezilehlými podporami

Pokud je ztužení dostatečně tuhé, uvažuje se v praxi často jako náhradní délka prutu pro posouzení klopení vzdálenost bočních podpor (například vaznic). Tento postup jsme již popsali v předchozím článku Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1.

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

Jako L se tedy uvažuje 2,25 m. V případě a₁ = 1,00 a a₂ = 0,00 platí:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Délka náhradního prutu
L	Délka nosníku, vzdálenost příčného podepření
a₁,a₂	Součinitele klopení
a_z	Vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
E_0,05	5% kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5% kvantil smykového modulu
I_z	Moment setrvačnosti okolo hlavní osy nejmenší tuhosti
I_T	Moment tuhosti v prostém kroucení

Délka náhradního prutu

Kritický ohybový moment je tak:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritický ohybový moment
E_0,05	5% kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5% kvantil smykového modulu
I_z	Moment setrvačnosti okolo hlavní osy nejmenší tuhosti
I_T	Moment tuhosti v prostém kroucení
l_ef	Délka náhradního prutu

Kritický ohybový moment

Vzhledem k tomu, že ohybový moment působící na nosník je menší než kritický ohybový moment, není nosník při uvažování tuhých mezilehlých podpor náchylný ke klopení.

Výsledkem analýzy vlastních čísel v addonu Posouzení dřevěných konstrukcí je součinitel kritického zatížení 2,86. Z toho plyne kritický ohybový moment

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritický ohybový moment
α	Součinitel kritického zatížení
M_d	Návrhový moment

Kritický ohybový moment

DDetail posouzení se zobrazením součinitele kritického zatížení a kritického ohybového momentu

5 Detail posouzení se zobrazením součinitele kritického zatížení a kritického ohybového momentu

I zde si výsledky stanovené oběma metodami výborně odpovídají.

Prostý nosník s vidlicovým podepřením a pružným uložením

6 Prostý nosník s vidlicovým podepřením a pružným uložením

Jak jsme popsali v příspěvku Klopení dřevěných konstrukcí - teorie, v [1 ] se v případě prutů s pružným uložením výpočet délky náhradního prutu rozšiřuje o součinitele α a β.

Lze tak zohlednit smykovou tuhost ztužení pro klopení příhradových vazníků.

Smyková tuhost střešního ztužení

Smykovou tuhost ztužení lze stanovit například podle [2], obr. 6.34. Jak je zřejmé, závisí na typu ztužení, osové tuhosti diagonál a svislic, na sklonu diagonál a na poddajnosti spojovacích prostředků. V případě ztužení znázorněného na obr. 1 je smyková tuhost:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideální smyková tuhost ztužení
E_D	5% kvantil modulu pružnosti diagonál
A_D	Průřezová plocha diagonál
α	Úhel mezi diagonálou a pásnicí

Ideální smyková tuhost ztužení

Přitom E_D je modul pružnosti diagonál a A_D jejich průřezová plocha. Výše uvedená rovnice ovšem nezahrnuje poddajnost spojovacích prostředků diagonál. Lze ji spolu s protažením diagonál zohlednit pomyslnou průřezovou plochou A_D'. Z toho plyne:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideální smyková tuhost ztužení
E_D	5% kvantil modulu pružnosti diagonál
A_D'	Pomyslná průřezová plocha diagonál
α	Úhel mezi diagonálou a pásnicí

Ideální smyková tuhost ztužení

kde

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Pomyslná průřezová plocha diagonál
A_D	Průřezová plocha diagonál
E_D	5% kvantil modulu pružnosti diagonál
L_D	Délka diagonál
K_ser	Modul prokluzu spoje

Pomyslná průřezová plocha diagonál

Diagonály mají rozměry š/v = 120/200 mm a délku L_D 4,59 m. Modul prokluzu spoje na každé straně diagonál by měl být 110 000 N/mm.

Ideální plocha tak činí

A_D' = 12 548 mm²

a tedy tuhost ztužení ve smyku s úhlem diagonál k pásnici 60,64 °

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideální smyková tuhost ztužení
E_D	5% kvantil modulu pružnosti diagonál
A_D'	Pomyslná průřezová plocha diagonál
α	Úhel mezi diagonálou a pásnicí

Ideální smyková tuhost ztužení

Uložení prutu na ztužení lze převést podle [2], vztahu 7.291 následovně:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44 864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1 367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Pružné uložení prutu na ztužení
s_id	Ideální smyková tuhost ztužení
L	Délka ztužení

Pružné uložení prutu na jednotlivá ztužení

Pro dvě ztužení a šest příhradových nosníků lze u každého nosníku uvažovat následující konstantu tuhosti:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Pružné uložení prutu na vazník
K_y'	Pružné uložení prutu na jednu ztužující soustavu

Pružné uložení prutu na nosník

Za předpokladu, že K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 a a₂ = 1,44, je délka náhradního prutu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Náhradní délka prutu
L	Délka nosníku, vzdálenost bočního uchycení
a₁,a₂	Součinitele klopení
a_z	Vzdálenost působiště zatížení od středu smyku
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti ve smyku
I_z	Moment setrvačnosti kolem slabé osy
I_T	Moment torzní setrvačnosti
α, β	Součinitele pro zohlednění vetknutí prutu

Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment má tak ideální hodnotu:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Kritický moment klopení
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
G_0,05	5 % kvantil smykového modulu
I_z	Moment setrvačnosti kolem slabé osy
I_T	Torzní moment setrvačnosti
l_ef	Náhradní délka prutu

Kritický ohybový moment

Očekávat bychom mohli podobnou hodnotu jako u systému s tuhými mezilehlými podporami.
Jak jsme již zmínili v článku Klopení dřevěných konstrukcí - teorie, platí pro uplatnění rovnice rozšířené o součinitele α a β omezení.

Přísně vzato tato rovnice platí pouze v případě, že dochází k podélnému zakřivení v jediném velkém sinusovém oblouku. To znamená, pokud je podloží velmi měkké. V našem příkladu se ovšem nejedná o tento případ. Vlastní funkce o několika vlnách, které vedou při větších konstantách tuhosti k minimálnímu kritickému zatížení, uvedená rovnice nepostihuje, protože je založena na jednoduchém sinusovém průběhu.

Jak vidíme na obr. 7, výsledkem analýzy vlastních čísel je vlastní tvar s několika vlnami při součiniteli kritického zatížení 3,49.

Výsledek analýzy vlastních tvarů pro prostý nosník uložený na vidlicových podporách s elastickým podložením prutu

7 Výsledek analýzy vlastních tvarů pro jednoduše podepřený nosník s vidlicovým uložením a pružným uložením prutu

Pro porovnání lze použít odvozenou metodu prof. Dr. Heinricha Kreuzingera (2020). Kritický ohybový moment se vypočítá následovně:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritický ohybový moment
a_z	Vzdálenost působení zatížení od středu smyku
e	Vzdálenost uložení prutu od smykového středu
K_y	pružné uložení prutu na nosník
L	Délka nosníku
n	n-té vlastní řešení
E_0,05	5 % kvantil modulu pružnosti
I_z	Moment setrvačnosti kolem slabé osy
G_0,05	5 % kvantily smykového modulu
I_T	Moment setrvačnosti při torzi

Kritický ohybový moment

Konstanta n označuje 1., 2., 3.… vlastní číslo. Je tak třeba vyšetřit několik vlastních čísel a rozhodující je pak nejmenší kritický ohybový moment. Pro n = 1…30 se stanoví následující kritické ohybové momenty.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9 523,25	16	2 214,63
2	4 281,26	17	2 339,17
3	2 294,32	18	2 464,92
4	1 605,56	19	2 591,63
5	1 354,68	20	2 719,14
6	1 282,70	21	2 847,30
7	1 294,12	22	2 976,00
8	1 348,81	23	3 105,16
9	1 428,05	24	3 234,71
10	1 522,29	25	3 364,60
11	1 626,24	26	3 494,77
12	1 736,77	27	3 625,20
13	1 851,94	28	3 755,84
14	1 970,50	29	3 886,67
15	2 091,60	30	4 017,68

Pro n = 6 dostaneme minimální hodnotu M_crit, a to 1 282,70 kNm.

Řešením vlastních čísel v addonu Posouzení dřevěných konstrukcí (viz obr. 7) se stanoví:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Kritický ohybový moment
α	Faktor zatížení při bifurkaci
M_d	Dimenzovací moment

Kritický ohybový moment

Oba výsledky se téměř shodují. Nicméně analytické řešení je na straně bezpečnosti, protože se při něm zjednodušeně vychází z konstantního průběhu ohybového momentu. Konstantnímu kritickému ohybovému momentu M_crit se pak přiřadí kritické zatížení q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritické zatížení
M_crit	Kritický ohybový moment
L	Délka nosníku

Kritická síla

Protože uložení prutu v našem příkladu se má uvažovat jako velmi tuhé a konstantní po délce příhradového nosníku, dostaneme mírně vyšší kritické ohybové momenty než v případě tuhých bodových podpor.

Posouzení deformace střešního ztužení

Podle [3] kap. 9.2.5.3 (2) musí být ztužení tak tuhá, aby nebyl překročen vodorovný průhyb L/500. Při výpočtu se přitom musí vycházet z návrhových hodnot tuhostí (viz [1], kap. NCI k 9.2.5.3).

Pro k_crit = 0,195, H = 5 m a q_p = 0,65 kN/m² jako maximální dynamický tlak se stanoví následující zatížení (viz [3] kap. 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilizační síla pro tlakový pás
k_crit	Součinitel klopení
M_d	Návrhový moment
h	Výška nosníku

Stabilizační síla pro tlačený pás

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Zatížení ztužení
n	Počet příhradových nosníků
L	Délka nosníku
k_f,3	Modifikační součinitel pro odpor ztužení

Ztužující zatížení

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Zatížení návrhu od větru
γ_Q	Dílčí součinitel spolehlivosti pro proměnné zatížení
c_pe	Součinitel vnějšího tlaku
q_p	Rázový tlak rychlosti větru
h	Výška budovy

Zatížení od větru

Deformace ztužení je znázorněna na obr. 8. Zatížení se přitom opět rozdělila na polovinu, protože jsou zde dvě ztužení.

8 Vodorná deformace ztužujícího ztužení

Dovolená deformace činí:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dovolená deformace

Tím se potvrzuje předpoklad velmi tuhého ztužení, což je v souladu s téměř stejnými kritickými ohybovými momenty konstrukce s tuhým mezilehlým podepřením a konstrukce s pružným uložením prutu.

Závěr a výhled

Systém	M_{crit,analyticky}	M_{crit,vlastní čísla}
bez mezilehlého podepření	134,52 kNm	136,39 kNm
s tuhými mezilehlými podporami	1 063,51 kNm	1 158,92 kNm
s pružným uložením prutu	1 282,70 kNm	1413,71 kNm

Ukázali jsme, jaké možnosti máme pro analýzu klopení ohybových nosníků v dřevěných konstrukcích. U běžných metod je důležité zjistit, aby ztužení bylo dostatečně tuhé, a bylo tak možné uvažovat tuhé podepření. Obdobně jsme předvedli varianty, pokud tento předpoklad neplatí. V zásadě je třeba je třeba pruty namáhané ohybem a ztužení posoudit podle příslušné normy také na jejich únosnost a použitelnost, což ovšem není předmětem našeho článku.

Autor

Gerhard působí v Product Engineering v oblasti dřevěných konstrukcí a navíc podporuje Customer Support. Své zkušenosti z vývoje využívá pro praktická a realizovatelná řešení.

Odkazy

Reference

Nationaler Anhang - Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, (2. vyd.). Wiesbaden: Vieweg, 1982.
Eurokód 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Obecná pravidla – Společná pravidla a pravidla pro pozemní stavby; ČSN EN 1995-1-1:2006-12

Stahování

Model článku Knowledge Base | Příklady 2

1,05 MB

;