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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

19-09-2024

Pandeo lateral torsional en estructuras de madera | Ejemplos 2

En el artículo anterior Pandeo lateral-torsional en construcciones de madera | Ejemplos 1 se explicó la aplicación práctica para la determinación del momento crítico de flexión M_crit o bien de la tensión crítica de flexión σ_crit para el vuelco de una viga a flexión mediante ejemplos sencillos. En este artículo se determina el momento crítico de flexión teniendo en cuenta una base elástica, resultante de un arriostramiento.

Inestabilidad por flexión-torsión en construcciones de madera - Ejemplos 1

Modelo estático

Para el sistema representado en la siguiente imagen se debe estudiar el vuelco de las vigas. En el plano de cubierta hay seis vigas como vigas paralelas con 18 m de longitud y dos cruces de arriostramiento. Las vigas en los testeros están apoyadas por pilares y no se tienen en cuenta para el cálculo. Sobre las vigas actúa una carga de cálculo q_d de 10 kN/m. Se trata principalmente de determinar el momento crítico de pandeo lateral-torsional. No se tratará más en detalle la verificación en el estado límite último ni en el estado límite de servicio.

1 Modelo estático

Datos del modelo

GL24h	-	-	Material según EN 14080
L	18	m	Longitud de la viga
b	120	mm	Anchura de la viga
h	1.200	mm	Altura de la viga
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento de inercia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento de inercia torsional
q_d	10	kN/m	Carga de cálculo
a_z	600	mm	Posición de la carga
e	600	mm	Posición del apoyo

Información

Aunque en las siguientes ecuaciones para E y G no se indica explícitamente en el subíndice la referencia a los valores cuantiles del 5 %, estos se han tenido en cuenta en consecuencia.

Viga simplemente apoyada con rótulas sin apoyos intermedios

Viga de un solo tramo con apoyo articulado en ambos extremos sin apoyos intermedios

2 Viga de un solo vano con apoyo en horquilla sin apoyos intermedios

Por completitud, en primer lugar se estudia la viga sin sujeción lateral (véase la imagen 02). La longitud de barra equivalente resulta, con una aplicación de la carga en la parte superior de la viga, con a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, en:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Longitud de barra equivalente

El momento crítico de flexión puede calcularse a continuación de la siguiente manera:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento crítico de flexión

En estos ejemplos se prescinde de un aumento del producto de los cuantiles del 5 % de los parámetros de rigidez debido a la homogeneización de las vigas de madera laminada encolada.

El momento flector que actúa sobre las vigas resulta de:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento de diseño

El análisis de autovalores proporciona como resultado un factor de carga de pandeo de 0,32. De ello se deduce el momento crítico de flexión

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento crítico de pandeo lateral-torsional del solucionador de autovalores

y es, por tanto, idéntico al resultado de la solución analítica.

Detalle de verificación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

3 Detalle de comprobación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

Como era de esperar para esta viga esbelta sin apoyo, el momento flector actuante es mayor (por un factor 3) que el momento crítico de flexión, por lo que la viga no está suficientemente arriostrada frente al vuelco. Sin embargo, se pretende contrarrestarlo mediante un arriostramiento, que ahora se tendrá en cuenta para el cálculo.

Viga simplemente apoyada con apoyos intermedios rígidos

Viga de un solo vano con apoyos intermedios rígidos y apoyada en horquillas

4 Viga de una sola luz apoyada con horquillas con apoyos intermedios rígidos

Si el arriostramiento es suficientemente rígido, en la práctica a menudo se utiliza la distancia de los apoyos laterales (por ejemplo, mediante correas) como longitud de barra equivalente para la verificación al vuelco. Este procedimiento ya se mostró en el artículo anterior Pandeo lateral-torsional en construcciones de madera | Ejemplos 1.

Pandeo lateral en estructuras de madera | Ejemplos 1

Por tanto, se utiliza L = 2,25 m. Para a₁ = 1,00 y a₂ = 0,00 se obtiene:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Longitud de barra de sustitución

Para el momento crítico de flexión resulta:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento crítico de flexión

Dado que el momento flector actuante sobre la viga es menor que el momento crítico de flexión, la viga no presenta peligro de vuelco suponiendo apoyos intermedios rígidos.

El análisis de autovalores con el módulo adicional RF-/FE-BGDK proporciona como resultado un factor de carga de pandeo de 2,7815. De ello se deduce el momento crítico de flexión

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Momento crítico de flexión

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Viga simplemente apoyada con apoyo elástico de barra

Viga de un vano con coacción lateral y torsional y apoyo elástico en la barra

Como se explicó en Pandeo lateral-torsional en construcciones de madera | Teoría, en [1] la determinación de la longitud de barra equivalente para barras con apoyo elástico se amplía con el factor α y β.

Pandeo por flexión-torsión en construcciones de madera | Teoría

De este modo es posible tener en cuenta la rigidez a cortante de un arriostramiento para el vuelco de las vigas. La determinación de la rigidez a cortante del arriostramiento puede realizarse, por ejemplo, según [2] imagen 6.34. Como se puede apreciar, esta depende del tipo de arriostramiento, de la rigidez axial de las diagonales y de los montantes, de la inclinación de las diagonales y de la deformabilidad de los medios de unión. Para el arriostramiento mostrado en la imagen 01, la rigidez a cortante resulta:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

Aquí, E_D es el módulo E de las diagonales y A_D su área de sección. Sin embargo, la ecuación anterior no incluye la deformabilidad de los medios de unión de las diagonales. Esta y el alargamiento de la barra de las diagonales pueden tenerse en cuenta mediante un área de sección ficticia A_D'. Se obtiene:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

con

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Área de la sección transversal teórica de las diagonales

Las diagonales tienen la dimensión b/h = 120/200 mm y una longitud L_D de 4,59 m. El módulo de desplazamiento de la unión en cada lado de las diagonales debe ser de 110.000 N/mm.

Por tanto, el área ideal es

A_D' = 12.548 mm²

y con ello la rigidez a cortante de un arriostramiento, con un ángulo de las diagonales respecto al cordón de 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

s_id = 44.864 kN

El apoyo de barra por arriostramiento puede transformarse a partir de ello según la fórmula 7.291 de [2] de la siguiente manera:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Cimentación de barra elástica por arriostramiento

Para dos arriostramientos y seis vigas, la siguiente constante de resorte está disponible por viga:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Cimentación de barra elástica por barra de celosía

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Bajo la premisa de que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, la longitud de barra equivalente resulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

longitud de la barra equivalente

l_ef = 0,13

El momento crítico de flexión resulta así en un valor utópico de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento crítico de flexión

M_crit = 18.482,84 kNm

Cabe esperar un valor similar al del sistema con apoyos intermedios rígidos. Como se explicó en Pandeo lateral-torsional en construcciones de madera | Teoría, la aplicación de la fórmula ampliada con α y β está limitada en su aplicación.

Pandeo por flexión-torsión en construcciones de madera | Teoría

Estríctamente hablando, solo es válida cuando existe una deformación en un gran arco sinusoidal. Es decir, cuando el apoyo elástico es muy blando. Esto ya no se cumple en este ejemplo. Las funciones propias multinodo, que para constantes elásticas mayores conducen a la menor carga de pandeo, no están contempladas en dicha ecuación, ya que se basa en aproximaciones sinusoidales unímodas.

Como se ve en la imagen 07, del análisis de autovalores resulta una forma propia multinodo.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Para este caso puede aplicarse el procedimiento derivado por el Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). El momento crítico de flexión se calcula de la siguiente manera:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento flector crítico

La constante n identifica la 1.ª, 2.ª, 3.ª… solución propia. Por tanto, deben estudiarse varias soluciones propias y de ellas será determinante el menor momento crítico de flexión. Para n = 1…30 se obtienen los siguientes momentos críticos de flexión.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Para n = 6, M_crit es mínimo y vale 1.282,70 kNm.

La solución de autovalores del módulo adicional RF-/FE-BGDK (véase la imagen 07) da:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Los dos resultados presentan una muy buena concordancia. Sin embargo, la solución analítica es más conservadora, ya que en este procedimiento se asume simplificadamente una distribución constante del momento flector. Al momento crítico de flexión constante M_crit se le asigna entonces una carga crítica qcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Carga crítica

Dado que en este ejemplo el apoyo elástico de barra debe considerarse muy rígido y se reparte de manera constante a lo largo de la longitud de la viga, se obtienen momentos críticos de flexión algo mayores que en el apoyo individual rígido.

Según [3] capítulo 9.2.5.3 (2), los arriostramientos deben ser lo suficientemente rígidos para que la desviación horizontal no supere L/500. El cálculo debe realizarse con los valores de cálculo de las rigideces (véase [1] capítulo NCI respecto a 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m y q_p = 0,65 kN/m² como presión dinámica de ráfaga, se obtienen las siguientes cargas (véase [3] capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Fuerza estabilizadora para cuerda de compresión

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carga de rigidez

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carga de cálculo del viento

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

La deformación del arriostramiento se muestra en la imagen 08. En este caso, las cargas se han dividido de nuevo por la mitad, ya que existen dos arriostramientos.

Desplazamiento horizontal de los arriostramientos de rigidización

La deformación admisible es:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformación admisible

Esto confirma la hipótesis de un arriostramiento muy rígido y está en consonancia con los momentos críticos de flexión casi idénticos del sistema con apoyo intermedio rígido y del sistema con apoyo elástico de barra.

Resumen

Se ha mostrado con qué posibilidades en la construcción en madera puede estudiarse el vuelco de elementos sometidos a flexión. Para los métodos habituales debe prestarse atención a que los arriostramientos sean suficientemente rígidos para poder asumir apoyos rígidos. Se han mostrado, en consecuencia, variantes en caso de que esta hipótesis no se cumpla. En principio, los elementos sometidos a flexión y los arriostramientos deben examinarse también, según la norma correspondiente, en cuanto a su resistencia y aptitud para el servicio. Sin embargo, esto no es objeto de este artículo.

Autor

El Sr. Rehm es responsable del desarrollo de productos para estructuras de madera y proporciona soporte técnico a los clientes.

Enlaces

Referencias

Anejo Nacional - Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; DIN EN 1995-1-1/NA: 2013-08
Petersen, C.: Estática y estabilidad de estructuras, 2.ª ed. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normas austriacas. (2015). Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; EN 1995-1-1: 2010-12

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