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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2020-12-18

Pandeo lateral en estructuras de madera | Ejemplos 2

En el artículo anterior, Vuelco lateral en estructuras de madera | El ejemplo 1 explica la aplicación práctica para determinar el momento crítico de flexión M_crit o la tensión crítica de flexión σ_crit para el pandeo lateral de una viga a flexión utilizando ejemplos simples. En este artículo, el momento flector crítico se determina teniendo en cuenta un apoyo elástico resultante de un arriostramiento rigidizador.

Modelo estructural

Para el sistema que se muestra en la imagen 01, se deberían analizar las barras de la cercha para el vuelco lateral. En el plano de la cubierta, hay seis barras de celosía disponibles como vigas paralelas con una longitud de 18 m y dos arriostramientos de refuerzo. Las vigas en los lados del hastial están apoyadas por pilares y no se consideran para el cálculo. Una carga de cálculo q_d de 10 kN/m actúa sobre las barras de la cercha.

1 Modelo estructural

Datos del modelo

L	18	m	Longitud de la viga
b	120	mm	Anchura de la viga
h	1,200	mm	Altura de la viga
GL24h	-	-	Material según EN 14080
I_z	172.800.000	mm⁴	momento de inercia
I_T	647.654.753	mm⁴	Módulo de torsión
q_d	10	kN/m	carga de cálculo
a_z	600	mm	posición de la carga
e	600	mm	Posición de la cimentación

Nota: Incluso si las siguientes ecuaciones para E y G no se refieren explícitamente a los cuantiles del 5% en el índice, se han tenido en cuenta en consecuencia.

Viga de vano simple con coacción lateral y torsional sin apoyos intermedios

2 Viga de un solo vano con coacción lateral y torsional sin apoyos intermedios

En aras de la integridad, la barra de la cercha se analiza primero sin apoyos laterales (ver Imagen 02). La longitud equivalente de la barra resulta de una aplicación de la carga en el lado superior de la cercha con a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44 como sigue:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

longitud de la barra equivalente

l_ef = 17,79 m

El momento crítico de flexión se puede calcular de la siguiente manera:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento crítico de flexión

M_crit = 134,52 kNm

Estos ejemplos prescinden de un aumento del producto de los cuantiles del 5% de las propiedades de rigidez debido a la homogeneización de las vigas de madera laminada encolada.

El momento flector que actúa sobre las cerchas resulta como sigue:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento factorizado

M_d = 405,00 kNm

El análisis de valores propios con el módulo adicional RF-/FE-LTB proporciona un factor de carga crítica de pandeo de 0,3334 como resultado. Esto da como resultado el momento flector crítico

M_crit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

y por lo tanto es idéntico al resultado de la solución analítica.

3 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Como era de esperar para esta barra de celosía esbelta y sin apoyo, el momento flector actuante es mayor (con un factor de 3) que el momento flector crítico y, por lo tanto, la cercha no está suficientemente sujeta contra el vuelco lateral. Sin embargo, un arriostramiento debería contrarrestar, el cual ahora se considera para el cálculo.

Viga de un vano con coacción lateral y torsional con apoyos intermedios rígidos

4 Viga de un vano con coacción lateral y torsional con apoyos intermedios rígidos

Si el arriostramiento de rigidización es lo suficientemente rígido, la separación entre los apoyos laterales (por ejemplo, por correas) se usa a menudo como una longitud de barra equivalente para el análisis del vuelco lateral. Este procedimiento se describió en el artículo anterior, Pandeo lateral en construcciones de madera | Ejemplos 1.

Pandeo lateral en estructuras de madera | Ejemplos 1

Por lo tanto, se usa 2,25 m como L. Para a₁ = 1,00 y a₂ = 0,00 sigue:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

longitud de la barra equivalente

l_ef = 2,25 m

Para el momento flector crítico, se obtienen los siguientes resultados:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento flector crítico

M_crit = 1.063,51 kNm

Dado que el momento flector que actúa sobre la viga es menor que el momento flector crítico, la viga no se ve amenazada por pandeo (vuelco) lateral bajo la suposición de apoyos intermedios rígidos.

El análisis de valores propios con el módulo adicional RF-/FE-LTB proporciona como resultado un factor de carga crítica de pandeo de 2,7815. Esto da como resultado el momento flector crítico

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Momento crítico de flexión

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Viga de un vano con coacción lateral y torsional y apoyo elástico en la barra

Como en el pandeo lateral en construcciones de madera | la teoría, la determinación de las longitudes de barra equivalentes se amplía mediante los factores α y β para barras con apoyos elásticos en [1].

Pandeo lateral en estructuras de madera | Procedimiento de cálculo

Por lo tanto, es posible considerar la rigidez a cortante de un arriostramiento de refuerzo para el pandeo lateral de las barras de la cercha. La rigidez a cortante del arriostramiento se puede determinar, por ejemplo, según la [2] figura 6.34. Como se puede ver en lo anterior, depende del tipo de arriostramiento, la rigidez de la deformación de las diagonales y los postes, la inclinación de las diagonales y la ductilidad de los medios de fijación. Para el arriostramiento de rigidización que se muestra en la imagen 01, la rigidez a cortante da como resultado:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

Aquí, E_D es el módulo de elasticidad de las diagonales y A_D es su área de la sección transversal. Sin embargo, la ecuación anterior no incluye la ductilidad de los elementos de fijación de las diagonales. Esto y el alargamiento de las diagonales de la barra se pueden considerar por medio de un área de la sección transversal teórica A_D'. Lo que sigue es esto:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

Donde

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Área de la sección transversal teórica de las diagonales

Las diagonales tienen una dimensión de a/h = 120/200 mm y una longitud L_D de 4,59 m. El módulo de deslizamiento de la conexión en cada lado de las diagonales debería ser de 110.000 N/mm.

El área ideal es en consecuencia

A_D'= 12,548 mm²

y por lo tanto la rigidez a cortante de un arriostramiento con un ángulo de diagonales a la cuerda de 60,64 ° es

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

s_id = 44.864 kN

La cimentación en barra por arriostramiento se puede convertir según la [2] fórmula 7.291 de la siguiente manera:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Cimentación de barra elástica por arriostramiento

Para dos arriostramientos y seis barras de celosía, está disponible la siguiente constante elástica por celosía:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Cimentación de barra elástica por barra de celosía

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Siempre que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, la longitud de barra equivalente da como resultado:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

longitud de la barra equivalente

l_ef = 0,13

Por lo tanto, el momento flector crítico da como resultado un valor poco realista de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento flector crítico

M_crit = 18.482,84 kNm

Se esperaría un valor similar al del sistema con apoyos intermedios rígidos. Como en el pandeo lateral en construcciones de madera | teoría, la aplicación de la fórmula extendida con α y β está limitada en su aplicación.

Pandeo lateral en estructuras de madera | Procedimiento de cálculo

Estrictamente hablando, solo es válido si hay una deformación en un arco sinusoidal grande. En otras palabras, si la base es muy blanda. Esto ya no se da en este ejemplo. Las funciones propias de ondas múltiples, que conducen a una pequeña carga crítica de pandeo para cualquier constante elástica más grande, no se incluyen en la ecuación anterior, ya que se basa en aproximaciones del seno monomio.

Como puede ver en la figura 07, un vector propio de ondas múltiples resulta del análisis de valores propios.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

En este caso, se puede aplicar el método derivado por el Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). El momento flector crítico se calcula de la siguiente manera:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento flector crítico

La constante n designa la primera, segunda, tercera, etc. solución propia. Por lo tanto, se deben analizar varias soluciones propias, y luego es determinante el momento flector crítico más pequeño. Los siguientes momentos flectores críticos son el resultado para n = 1…30.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

_Mcrit se vuelve mínimo para n = 6 y es de aproximadamente 1.282,70 kNm.

La solución de valores propios del módulo adicional RF-/FE-LTB (ver figura 07) da como resultado:

Mcrit =_3,4376 ⋅ 405 kNm = 1 397,25 kNm

Ambos resultados coinciden muy bien. Sin embargo, la solución analítica está en el lado seguro, ya que este método se basa en una distribución de momentos flectores constante. Luego, se asigna una carga crítica qcrit al momento flector_crítico constante Mcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Carga crítica

Dado que la cimentación de la barra en este ejemplo se considera muy rígida y se distribuye constantemente a lo largo de la longitud de la barra de la cercha, se producen momentos flectores críticos que son ligeramente más altos que para los apoyos individuales rígidos.

Según el [3] Capítulo 9.2.5.3 (2), los arriostramientos de rigidización deben ser lo suficientemente rígidos para que no superen la flecha horizontal de L/500. El cálculo se debe realizar con los valores de cálculo de las rigideces (véase el [1] capítulo NCI hasta 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m y q_p = 0,65 kN/m² como presión de la velocidad de la ráfaga, resultan las siguientes cargas (ver [3] Capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Fuerza estabilizadora para cuerda de compresión

_Nd = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carga de rigidez

_qd = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carga de cálculo del viento

q_d,viento = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5/2 = 2,44 kN/m

La deformación del arriostramiento de refuerzo se muestra en la imagen 08. Las cargas se dividieron por la mitad porque hay dos arriostramientos de refuerzo.

Desplazamiento horizontal de los arriostramientos de rigidización

La deformación admisible es:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformación admisible

El resultado confirma la suposición de un arriostramiento muy rígido y es consistente con los momentos flectores críticos casi idénticos del sistema con apoyos intermedios rígidos y el sistema con apoyo elástico en barra.

Conclusión

Se mostró qué posibilidades en la construcción de madera se pueden utilizar para analizar el pandeo lateral de las vigas de flexión. Para los métodos comunes, es importante asegurarse de que los arriostramientos de rigidización sean lo suficientemente rígidos para aceptar apoyos rígidos. En este artículo se han mostrado opciones para los casos en los que no se aplica esta suposición. Básicamente, las vigas de flexión y los arriostramientos de refuerzo se deben calcular para su capacidad de carga y servicio según la norma correspondiente. Sin embargo, esto está más allá del alcance de este artículo.

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Autor

El Sr. Rehm es responsable del desarrollo de productos para estructuras de madera y proporciona soporte técnico a los clientes.

Enlaces

Referencias

Anejo Nacional - Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; DIN EN 1995-1-1/NA: 2013-08
Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2ª edición. Wiesbaden: Vieweg.
Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; EN 1995-1-1: 2010-12

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