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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 2

No artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1, foi explicada a aplicação prática para determinar o momento crítico de flexão M_crit ou a tensão crítica de flexão σ_crit para a encurvadura por flexão-torção de uma viga em flexão com base em exemplos simples. Neste artigo, o momento crítico de flexão é determinado tendo em conta uma fundação elástica, resultante de um reforço de contraventamento.

Encurvadura por flexão-torção na estruturas de madeira - Exemplos 1

Modelo estrutural

Para o sistema apresentado na imagem seguinte, os pórticos devem ser verificados quanto ao tombamento. No plano da cobertura existem seis pórticos como vigas simplesmente apoiadas com 18 m de comprimento e dois contraventamentos. As vigas nas extremidades em empena são suportadas por pilares e não são consideradas no cálculo. Sobre os pórticos atua uma carga de cálculo q_d de 10 kN/m. Trata-se, em primeiro lugar, de determinar o momento crítico de instabilidade por flexão-torção. Não se aborda mais a verificação no estado limite último nem no estado limite de serviço.

1 Modelo Estático

Dados do modelo

GL24h	-	-	Material de acordo com EN 14080
L	18	m	Comprimento da viga
b	120	mm	Largura da viga
h	1.200	mm	Altura da viga
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento de inércia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento de inércia de torção
q_d	10	kN/m	Carga de cálculo
a_z	600	mm	Posição da carga
e	600	mm	Posição do apoio

Informação

Embora nas equações seguintes para E e G a referência aos valores do quantil de 5% não seja explicitamente indicada no índice, estes foram, no entanto, considerados em conformidade.

Viga simplesmente apoiada com articulação sem apoios intermédios

Viga de vão simples com apoios articulados nas extremidades sem apoios intermédios

2 Viga de vão simples com apoio articulado nas extremidades, sem apoios intermédios

Por uma questão de completude, analisa-se primeiro o pórtico sem apoio lateral (ver imagem 02). O comprimento equivalente da barra, para uma aplicação de carga na face superior do pórtico com a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, resulta em:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Comprimento de barra equivalente

O momento de flexão crítico pode então ser calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento fletor crítico

Neste exemplo, não se considera um aumento do produto dos quantis de 5% dos parâmetros de rigidez devido à homogeneização de vigas de madeira lamelada colada.

O momento de flexão atuante nas barras resulta em:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento de dimensionamento

A análise modal fornece como resultado um fator de carga de bifurcação de 0,32. Daí resulta o momento de flexão crítico

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento fletor crítico de solucionador de valores próprios

e é, assim, idêntico ao resultado da solução analítica.

Detalhe de verificação com saída do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

3 Detalhe de verificação com indicação do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

Como seria de esperar para este pórtico esbelto sem apoio, o momento de flexão atuante é maior (por um fator de 3) do que o momento crítico de flexão, pelo que o pórtico não está suficientemente contraventado contra o tombamento. No entanto, pretende-se contrariar isso com um contraventamento, que será agora considerado para o cálculo.

Viga biapoiada com apoios intermédios rígidos

Viga de vão único apoiada em forquilha com apoios intermédios rígidos

4 Viga simplesmente apoiada com apoios intermédios rígidos

Se o contraventamento for suficientemente rígido, o espaçamento dos apoios laterais (por exemplo, por intermédio das madres) é geralmente utilizado na prática como o comprimento de barra equivalente para a verificação da encurvadura. Esta abordagem já foi apresentada no artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 1.

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1

Assim, utiliza-se L = 2,25 m. Para a₁ = 1,00 e a₂ = 0,00 resulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Comprimento de barra equivalente

Para o momento de flexão crítico obtém-se:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento fletor crítico

Como o momento de flexão atuante na viga é menor do que o momento de flexão crítico, a viga não está em risco de encurvar assumindo apoios intermédios rígidos.

A análise de valores próprios com o módulo de Dimensionamento em Madeira fornece como resultado um fator de carga de encurvadura de 2,86. Daí resulta o momento de flexão crítico

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	Fator de carga de bifurcação
M_d	Bemessungsmoment

Momento Crítico de Flexão

Detalhe da verificação com indicação do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

5 Detalhe de verificação com saída do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

Também aqui, os dois métodos coincidem muito bem.

Viga simplesmente apoiada com apoio elástico da barra

Viga biapoiada com apoio elástico da barra

6 Viga de vão único com apoio articulado e encastramento elástico de barra

Como explicado em Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira - Teoria, em [1 ] para barras apoiadas elasticamente, a determinação do comprimento de barra equivalente é ampliada com o fator α e β.

Desta forma, é possível considerar a rigidez de corte de um sistema de contraventamento para a encurvadura das asnas.

Rigidez de corte do contraventamento da cobertura

A determinação da rigidez ao corte do contraventamento pode, por exemplo, ser realizada de acordo com [2] Figura 6.34. Como se pode verificar, esta depende do tipo de contraventamento, da rigidez à axial das pernas e das escoras, da inclinação das diagonais (pernas) e da flexibilidade dos elementos de ligação. Para o contraventamento representado na Figura 01, obtém-se a rigidez ao corte:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

Aqui, E_D é o módulo de elasticidade das pernas A_D a respetiva área da secção transversal. Contudo, a equação acima não inclui a deformabilidade dos elementos de ligação das pernas. Esta e a deformação das barras diagonais (pernas) podem ser considerados através de uma área de secção transversal fictícia A_D'. Segue-se:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez ao Corte Equivalente da Contraventamento

com

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Área de secção transversal fictícia das diagonais

As diagonais têm a dimensão b/h = 120/200 mm e um comprimento L_D de 4,59 m. O módulo de deslocamento da ligação em cada lado das diagonais deve ser 110.000 N/mm.

A área ideal é, portanto,

A_D' = 12.548 mm²

e, assim, a rigidez ao corte de um sistema de contraventamento, com um ângulo das diagonais em relação ao banzo de 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez ao Corte Equivalente da Contraventamento

O apoio elástico por sistema de contraventamento pode então ser convertido, de acordo com [2] fórmula 7.291, da seguinte forma:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Base elástica de barra por contraventamento

Para dois sistemas de contraventamentos e seis asnas, está disponível por asna a seguinte constante de mola:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Apoio Elástico de Barra por Viga

Partindo da condição de que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, obtém-se o comprimento equivalente da barra:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Comprimento de Barra Substituto

O momento de flexão resulta assim num valor irreal de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	5 % quantis do módulo de elasticidade
G_0,05	5 % quantil do módulo de cisalhamento
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia à torção
l_ef	Comprimento da barra de substituição

Momento Fletor Crítico

Seria de esperar um valor semelhante ao do sistema com apoios intermédios rígidos.
Como explicado em Encurvadura por flexão-torção na estruturas de madeira - Teoria, a aplicação da fórmula alargada com α e β é limitada na sua utilização.

Estritamente falando, esta só é válida quando existe uma deformação numa grande onda sinusoidal. Ou seja, quando o apoio elástico é muito flexível. Tal já não ocorre neste exemplo. Funções próprias com várias ondas, que para constantes elásticas maiores conduzem à menor carga de encurvadura, não são abrangidas pela referida equação, uma vez que esta se baseia em aproximações sinusoidais de uma única onda.

Como se pode ver na imagem 7, a análise modal resulta numa forma própria com várias ondas, para um fator de carga de bifurcação de 3,49.

Resultado da análise de autovalores para a viga de vão único biapoiada articuladamente com apoio elástico de barra

7 Resultado da análise de autovalores para a viga de vão único apoiada em garfos com apoio elástico de barra

Para comparação, pode ser aplicado o método derivado pelo Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). O momento de flexão crítico é calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento fletor crítico

A constante n identifica a 1.ª, 2.ª, 3.… solução própria. Assim, devem ser investigadas várias soluções próprias, sendo o menor momento de flexão crítico o valor determinante. Para n = 1…30, obtêm-se os seguintes momentos críticos de flexão.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Para n = 6, M_crit é mínimo e é 1.282,70 kNm.

A solução dos valores próprios do módulo de Dimensionamento de madeira (ver imagem 7) resulta em:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Momento crítico de flexão
α	Fator de carga de bifurcação
M_d	Momento de dimensionamento

Momento Crítico de Flexão

Os dois resultados apresentam uma boa concordância. No entanto, a solução analítica é mais conservadora, uma vez que, neste método, se assume simplificadamente uma distribuição constante do momento de flexão. Ao momento crítico de flexão constante M_crit é então atribuída uma carga crítica q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

carga crítica

Como o apoio elástico da barra neste exemplo pode ser considerado muito rígido e é distribuído uniformemente ao longo do comprimento do pórtico, resultam momentos críticos de flexão ligeiramente superiores aos do apoio individual rígido.

Verificação da deformação do contraventamento da cobertura

De acordo com [3] capítulo 9.2.5.3 (2), os contraventamentos devem ser suficientemente rígidos para que a deslocação horizontal L/500 não seja excedida. O cálculo deve ser efetuado com os valores de cálculo das rigidezes (ver [1] capítulo NCI Zu 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² como pressão dinâmica do vento, obtêm-se as seguintes cargas (ver [3] capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Força de estabilização para a corda comprimida

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carga de Travamento

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carga de Dimensionamento do Vento

A deformação do sistema de contraventamento é apresentada na Figura 8. Neste caso, as cargas foram novamente reduzidas para metade, uma vez que existem dois sistemas de contraventamento.

Deslocamento horizontal do contraventamento de rigidez

8 Deslocamento horizontal da contraventamento de estabilização

A deformação admissível é:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformação permitida

Isto confirma a hipótese de um sistema de contraventamento muito rígido e é consistente com os momentos de flexão críticos praticamente idênticos do sistema com apoio intermédio rígido e do sistema com apoio elástico da barra.

Resumo

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
sem apoio intermédio	134,52 kNm	136,39 kNm
com apoios intermédios rígidos	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
com apoio elástico da barra	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Foi demonstrado quais as possibilidades que se encontram disponíveis na construção em madeira para analisar a encurvadura de vigas. Para os métodos usuais, deve-se ter atenção para que os sistemas de contraventamentos sejam suficientemente rígidos para poder assumir apoios rígidos. Foram apresentadas variantes adequadas caso esta suposição não se verifique. Em princípio, as vigas e os sistemas de contraventamentos devem ainda ser verificados quanto à sua capacidade de carga resistente e ao estado limite de utilização, de acordo com a respetiva norma. No entanto, isto não é objeto deste artigo.

Autor

Gerhard trabalha na área de Engenharia de Produto no setor de construção em madeira e também apoia o Suporte ao Cliente. Ele utiliza sua experiência em desenvolvimento para soluções práticas e viáveis.

Ligações

Referências

DIN. (2013). Anexo nacional – Eurocódigo 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. (1982), "Statik und Stabilität der Baukonstruktionen" (2.ª ed.). Wiesbaden, Vieweg.
Normas austríacas. (2015). Eurocódigo 5: Dimensionamento de estruturas de madeira – Parte 1-1: Geral – Regras comuns e regras para edifícios; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlim: Beuth Verlag GmbH.

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