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001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2020-12-18

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 2

No artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Os exemplos 1 explicam a aplicação prática para determinar o momento fletor crítico M_crit ou a tensão de flexão crítica σ-_crit para uma encurvadura lateral de viga em flexão com base em exemplos simples. Neste artigo, o momento fletor crítico é determinado tendo em conta uma fundação elástica resultante de um contraventamento de reforço.

Modelo estrutural

Para o sistema apresentado na Figura 01, as barras de treliça deveriam ser analisadas quanto à encurvadura lateral. No plano da cobertura estão disponíveis seis treliças como vigas paralelas com um comprimento de 18 m e dois contraventamentos de reforço. As vigas nos lados da empena são suportadas por pilares e não são consideradas para o cálculo. Sobre as barras da treliça atua uma carga de cálculo q_d de 10 kN/m.

1 Modelo estrutural

Dados do modelo

Viga de vão único com restrição lateral e torção com apoios intermédios rígidos	18	m	Comprimento da viga
B	120	mm	Largura da viga
h	1,200	mm	Altura da viga
GL24h	-	-	Material segundo a EN 14080
I_z	172.800.000	mm⁴	momento de inércia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento de inércia de torção
q_d	10	kN/m	carga de cálculo
a_z	600	mm	Posição da carga
e	600	mm	Posição da fundação

Atenção: Mesmo que as seguintes equações para E e G não se refiram explicitamente aos 5%-no índice, estas foram tidas em consideração em conformidade.

Viga de vão único com restrição à flexão e torção sem apoios intermédios

2 Viga de um vão com restrição lateral e torção sem apoios intermédios

Para completar, a treliça é analisada primeiro sem apoios laterais (ver Figura 02). O comprimento de barra equivalente resulta de uma aplicação de carga na parte superior da treliça com₁ = 1,13 e₂ = 1,44 como se segue:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	comprimento de barra equivalente
[LinkToImage04]	Comprimento da viga, espaçamento entre apoios laterais
a₁ , a₂	Coeficientes da encurvadura por flexão
a_z	distância da aplicação de carga a partir do centro de corte
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[LinkToImage06]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
I_T	Momento de inércia de torção

comprimento de barra equivalente

l_ef = 17,79 m

O momento fletor crítico pode então ser calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[LinkToImage06]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
I_T	Momento de inércia de torção
l_ef	comprimento de barra equivalente

Momento de flexão crítico

M_crit = 134,52 kNm

Estes exemplos efetuam sem um aumento do produto dos percentis de 5% das propriedades de rigidez devido à homogeneização das vigas feitas de madeira laminada colada.

O momento fletor que atua nas treliças resulta da seguinte forma:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_{[BUG.DESCRIPTION]}	Momento de cálculo
q_{[BUG.DESCRIPTION]}	carga de cálculo
[LinkToImage04]	Comprimento da viga

Momento de cálculo

M_d = 405,00 kNm

A análise de valores próprios com o módulo adicional RF‑/FE‑LTB fornece como resultado um fator de carga crítica de encurvadura de 0,3334. Isto resulta no momento fletor crítico

M_crit = 0,3334 ⋅ 405 kNm = 135,03 kNm

e é, por isso, idêntico ao resultado da solução analítica.

3 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

Como era de se esperar para esta treliça esbelta não apoiada, o momento fletor atuante é maior (por um fator de 3) do que o momento fletor crítico e a treliça não fica suficientemente restringida contra a encurvadura lateral. No entanto, deveria contraventar um contraventamento, o que agora é considerado para o cálculo.

Viga de vão único com restrição à flexão e torção com apoios intermédios rígidos

4 Viga de vão único com restrição lateral e torção com apoios intermédios rígidos

Se o contraventamento de reforço é suficientemente rígido, o espaçamento entre os apoios laterais (por exemplo, através de madres) é frequentemente utilizado como comprimento de barra equivalente para a verificação da encurvadura lateral. Este procedimento foi descrito no artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira. | Exemplos 1.

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1

Assim, é utilizado 2,25 m como L. Para₁ = 1,00 e₂ = 0,00, segue-se o seguinte:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	Comprimento da barra equivalente
[LinkToImage04]	Comprimento da viga, espaçamento entre apoios laterais
a₁ , a₂	Coeficientes da encurvadura por flexão
a_z	distância da aplicação de carga a partir do centro de corte
E_0,05	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5 % do módulo de corte
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
I_T	Constante de torção

Comprimento da barra equivalente

l_ef = 2,25 m

Veja os seguintes resultados para o momento fletor crítico:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5 % do módulo de corte
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
I_T	Momento de inércia de torção
l_ef	Comprimento da barra equivalente

Momento fletor crítico

M_crit = 1063,51 kNm

Uma vez que o momento fletor atuante na viga é menor do que o momento fletor crítico, a viga não é afetada pelo perigo de encurvadura lateral sob a hipótese de apoios intermédios rígidos.

A análise de valores próprios com o módulo adicional RF-/FE-LTB fornece como resultado um fator de carga crítica de encurvadura de 2,7815. Isto resulta no momento fletor crítico

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Momento de flexão crítico
η	fator de carga crítica
M_{[BUG.DESCRIPTION]}	Momento de cálculo

Momento de flexão crítico

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Viga de vão único com restrição em forquilha e torção e fundação elástica de barra

Viga de um vão com restrição lateral e torção e fundação elástica de barra

Como na encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Em teoria, a determinação dos comprimentos de barra equivalente é aumentada pelos fatores α e β para barras com fundações elásticas em {%>

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Método de análise

Assim, é possível considerar a rigidez ao corte de um contraventamento de reforço para a encurvadura lateral das barras em treliça. A rigidez de corte do contraventamento's pode ser determinada, por exemplo, de acordo com [2] Figura 6.34. Como se pode ver pelo exposto, depende do tipo de contraventamento, da rigidez das diagonais e dos postes, das inclinações das diagonais' e da ductilidade dos elementos de ligação. Para o contraventamento de reforço apresentado na Figura 01, a rigidez ao corte resulta em:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidez de corte ideal de contraventamentos de reforço
E_D	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade das diagonais
A_D	Área de secção das diagonais
α	Ângulo entre diagonais e cordas

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

Aqui, E_D é o módulo de elasticidade das diagonais' e A_D é a sua área de secção. No entanto, a equação acima não inclui a ductilidade dos ligadores diagonais'. Isto e o alongamento da barra das diagonais podem ser considerados através de uma área de secção fictícia A_D '. O que se segue é o seguinte:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidez de corte ideal de contraventamentos de reforço
E_D	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade das diagonais
A_D'	Área de secção transversal nocional das diagonais
α	Ângulo entre diagonais e cordas

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

Onde

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Área de secção transversal nocional das diagonais
A_D	Área de secção das diagonais
E_D	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade das diagonais
L_D	Comprimento das diagonais
K_ser	Módulo de deslizamento da ligação

Área de secção transversal nocional das diagonais

As diagonais têm uma dimensão de l/a = 120/200 mm e um comprimento L_D de 4,59 m. O módulo de deslizamento da ligação em cada lado das diagonais deve ser de 110 000 N/mm.

A área ideal é, em concordância,

A_D ' = 12,548 mm²

e, assim, a rigidez ao corte de um contraventamento com um ângulo de 60,64 ° entre as diagonais em relação à corda é

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidez de corte ideal de contraventamentos de reforço
E_D	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade das diagonais
A_D'	Área de secção transversal nocional das diagonais
α	Ângulo entre diagonais e cordas

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

s_id = 44,864 kN

A fundação elástica de barras por contraventamento pode ser convertida de acordo com a Fórmula {%>

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_Y'	Fundação elástica de barra por contraventamento
s_id	Rigidez de corte ideal de contraventamentos de reforço
[LinkToImage04]	Comprimento da contraventamento

Base elástica de barra por contraventamento

Para dois contraventamentos e seis treliças, dispõe da seguinte constante de mola por treliça:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_Y	Fundação elástica de barra por treliça
K_Y'	Fundação elástica de barra por contraventamento

Fundação de barra elástica por barra de treliça

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Se K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, o comprimento de barra equivalente resulta em:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	comprimento de barra equivalente
[LinkToImage04]	Comprimento da viga, espaçamento entre apoios laterais
a₁ , a₂	Coeficientes da encurvadura por flexão
a_z	distância da aplicação de carga a partir do centro de corte
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[LinkToImage06]_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
I_T	Momento de inércia de torção
α, β	Fatores para considerar uma fundação de barras

comprimento de barra equivalente

l_ef = 0,13

Assim, o momento fletor crítico resulta num valor irrealista de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5 % do módulo de corte
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
I_T	Momento de inércia de torção
l_ef	Comprimento da barra equivalente

Momento fletor crítico

M_crit = 18 482,84 kNm

Seria de esperar um valor semelhante ao sistema com apoios intermédios rígidos. Como na encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Em teoria, a aplicação da fórmula prolongada com α e β é limitada na sua aplicação.

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Método de análise

A rigor, isso só é válido se ocorrer uma deformação num grande arco sinusoidal. Por outras palavras, se a fundação for muito macia. Neste exemplo, isto já não é dado neste exemplo. As funções próprias de multi-onda, que conduzem a uma pequena carga de encurvadura crítica para uma constante de mola maior, não estão incluídas na equação acima mencionada, uma vez que se baseia em abordagens de secções monóminas.

Como pode ser observado na Figura 07, um vetor próprio de ondas múltiplas resulta da análise de valores próprios.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Neste caso, pode ser aplicado o método descrito pelo Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). O momento fletor crítico é calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Momento fletor crítico
a_z	distância da aplicação de carga a partir do centro de corte
e	distância da barra de fundação elástica a partir do centro de corte
K_Y	Fundação elástica de barra por treliça
[LinkToImage04]	Comprimento da viga
n	n ^th eigensolution
E_0,05	Quantil de 5 % do módulo de elasticidade
I_z	momento de inércia sobre o eixo menor
G_0,05	Quantil de 5 % do módulo de corte
I_T	Momento de inércia de torção

Momento fletor crítico

A constante n designa a primeira, a segunda, a terceira etc. soluções próprias. Assim, têm de ser analisadas várias soluções próprias e o menor momento fletor crítico tem de ser determinante. Os seguintes momentos de flexão críticos são o resultado para n = 1...30.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

M_crit torna-se mínimo para n = 6 e é de cerca de 1282,70 kNm.

A solução de valores próprios do módulo adicional RF-/FE-LTB (ver Figura 07) resulta em:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1397,25 kNm

Ambos os resultados correspondem muito bem. No entanto, a solução analítica está do lado seguro, uma vez que este método é baseado numa distribuição constante do momento fletor. De seguida, é atribuída uma carga crítica qcrit ao momento de flexão crítico constante M_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Carga crítica
M_crit	Momento de flexão crítico
[LinkToImage04]	Comprimento da viga

carga crítica

Uma vez que a fundação de barras neste exemplo é considerada muito rígida e constantemente distribuída ao longo do comprimento da treliça, ocorrem momentos fletores críticos que são ligeiramente maiores do que para os apoios individuais rígidos.

De acordo com o {%>

Para k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² como pressão da velocidade de rajada, resultam as seguintes cargas (ver [3] Capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_{[BUG.DESCRIPTION]}	Força de estabilização para corda de compressão
k_crit	Fator de estabilidade lateral
M_{[BUG.DESCRIPTION]}	Momento de cálculo
[SCHOOL.]	Altura da viga

Força de estabilização para corda de compressão

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_{[BUG.DESCRIPTION]}	Carga de reforço
n	Número de barras de treliça
[LinkToImage04]	Comprimento da viga
k_{f, 3}	Fator de modificação para a resistência ao reforço

Carga de reforço

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_{d, vento}	Carga de cálculo do vento
γ_Q	Fator de segurança parcial para ação variável
c_pe	Coeficiente de pressão externa
q_p	Pressão da velocidade de pico
h	Altura do edifício

Carga de cálculo do vento

q_d,vento = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5/2 = 2,44 kN/m

A deformação dos contraventamentos de reforço é apresentada na Figura 08. As cargas foram divididas em metade porque existem dois contraventamentos de reforço.

Deslocamento horizontal do contraventamento de reforço

A deformação permitida é:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformação permitida

O resultado confirma a hipótese de um contraventamento muito rígido e é consistente com os momentos de flexão críticos quase idênticos do sistema com apoios intermédios rígidos e com a fundação elástica de barras.

Conclusão

Foram demonstradas as possibilidades na construção em madeira para a análise da encurvadura lateral de vigas em flexão. Para métodos comuns, é importante assegurar que os contraventamentos de reforço são suficientemente rígidos para aceitar apoios rígidos. Neste artigo, foram apresentadas opções para os casos em que esta suposição não se aplica. Basicamente, as vigas de flexão e os contraventamentos de reforço têm de ser dimensionados quanto à sua capacidade de carga e de utilização de acordo com a correspondente norma. No entanto, isso está além do âmbito deste artigo.

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Autor

O Eng. Rehm participa nos desenvolvimentos da área das estruturas de madeira e presta apoio técnico a clientes.

Ligações

Referências

Anexo nacional - Eurocódigo 5: Dimensionamento de estruturas de madeira - Parte 1-1: Geral – Regras comuns e regras para edifícios; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. (1982). Statik und Stabilität der Baukonstruktionen , (2ª ed.). Wiesbaden: Vista por exemplo
Eurocódigo 5: Dimensionamento de estruturas de madeira - Parte 1-1: Geral – Regras comuns e regras para edifícios; DIN EN 1995-1-1:2010-12

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