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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2024-09-19

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 2

No artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1, foi explicada a aplicação prática para determinar o momento crítico de flexão M_crit ou, respetivamente, a tensão crítica de flexão σ_crit para a encurvadura por flexão-torção de uma viga em flexão com base em exemplos simples. Neste artigo, o momento crítico de flexão é determinado tendo em conta uma fundação elástica, resultante de um sistema de contraventamento.

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira - Exemplos 1

Modelo estrutural

Para o sistema apresentado na imagem seguinte, as barras em treliça devem ser verificadas para a encurvadura à flexão. No plano da cobertura existem seis barras em treliça como vigas paralelas com 18 m de comprimento e dois contraventamentos de estabilização. As vigas nos lados dos frontões são apoiadas por pilares e não são consideradas no cálculo. Sobre as barras de treliça atua uma carga de cálculo q_d de 10 kN/m. O objetivo principal é determinar o momento crítico de encurvadura por flexão torção. A verificação no estado limite último, bem como no estado limite de utilização, não será tratada em detalhe.

1 Modelo Estático

Dados do modelo

GL24h	-	-	Material de acordo com EN 14080
L	18	m	Comprimento da viga
b	120	mm	Largura da viga
h	1.200	mm	Altura da viga
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento de inércia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento de inércia de torção
q_d	10	kN/m	Carga de cálculo
a_z	600	mm	Posição da carga
e	600	mm	Posição da fundação

Informação

Embora nas equações seguintes para E e G não seja explicitamente indicado no índice a referência aos valores do quantil de 5 %, estes foram, no entanto, considerados em conformidade.

Viga simplesmente apoiada com restrições à flexão e torção sem apoios intermédios

Viga de vão simples com apoios articulados nas extremidades sem apoios intermédios

2 Viga de vão simples com apoio articulado nas extremidades, sem apoios intermédios

De forma a que fique completo, analisa-se primeiro a barra em treliça sem apoio lateral (ver imagem 02). O comprimento equivalente da barra, com aplicação da carga na face superior do pórtico, resulta, para a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, em:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Comprimento da barra de substituição

O momento crítico de flexão pode então ser calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento Crítico de Flexão

Neste exemplo, não se considera o aumento do produto dos quantis de 5 % dos parâmetros de rigidez devido à homogeneização de vigas em madeira laminada colada.

O momento fletor atuante nos pórticos resulta em:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento de Dimensionamento

A análise de autovalores fornece, como resultado, um fator de carga de bifurcação de 0,32. Daí resulta o momento crítico de flexão

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento crítico de flexão do solucionador de autovalores

e é, portanto, idêntico ao resultado da solução analítica.

Detalhe de verificação com saída do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

3 Detalhe de verificação com indicação do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

Como era de esperar para este pórtico esbelto sem apoio, o momento fletor atuante é superior (por um fator de 3) ao momento crítico de flexão, pelo que o pórtico não está suficientemente travado contra o tombamento. Contudo, será utilizado um contraventamento para contrariar essa situação, que passará agora a ser considerado no cálculo.

Viga simplesmente apoiada com apoios intermédios rígidos

Viga de vão único apoiada em forquilha com apoios intermédios rígidos

4 Viga simplesmente apoiada com apoios intermédios rígidos

Se o contraventamento for suficientemente rígido, o espaçamento entre os apoios laterais (por exemplo, por madres) é geralmente utilizado como o comprimento equivalente para a verificação à encurvadura. Este procedimento já foi apresentado no artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1.

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1

Assim, utiliza-se L = 2,25 m. Para a₁ = 1,00 e a₂ = 0,00 resulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Comprimento da barra equivalente

Para o momento crítico de flexão obtém-se:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento Crítico de Flexão

Como o momento fletor atuante na viga é menor do que o momento crítico de flexão, a viga, assumindo apoios intermédios rígidos, não está em risco de encurvadura lateral.

A análise dos valores próprios com o módulo adicional RF-/FE-BGDK fornece, como resultado, um fator de carga de bifurcação de 2,7815. Daí resulta o momento crítico de flexão

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Momento de flexão crítico

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Viga simplesmente apoiada com apoio elástico da barra

Viga de um vão com restrição lateral e torção e fundação elástica de barra

Como explicado em Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Teoria, em [1] a determinação do comprimento equivalente para barras com apoio elástico é ampliada pelos fatores α e β.

Flambagem lateral-torcional em estruturas de madeira | Teoria

Dessa forma, é possível considerar a rigidez ao corte de um contraventamento para o tombamento dos pórticos. A determinação da rigidez ao corte do contraventamento pode, por exemplo, ser efetuada de acordo com [2] Figura 6.34. Como se pode ver daí, esta depende do tipo de contraventamento, da rigidez axial das diagonais e dos montantes, da inclinação das diagonais e da deformabilidade dos elementos de ligação. Para o contraventamento representado na imagem 01, obtém-se a rigidez ao corte:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

Aqui, E_D é o módulo E das diagonais e A_D a respetiva área da secção. Contudo, a equação acima não inclui a deformabilidade dos elementos de ligação das diagonais. Esta e o alongamento das barras das diagonais podem ser considerados através de uma área de secção fictícia A_D'. Segue-se:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

com

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Área de secção transversal nocional das diagonais

As diagonais têm a dimensão b/h = 120/200 mm e um comprimento L_D de 4,59 m. O módulo de deslocamento da ligação em cada lado das diagonais deve ser de 110.000 N/mm.

A área ideal resulta, portanto,

A_D' = 12.548 mm²

e, com isso, a rigidez ao corte de um contraventamento, com um ângulo das diagonais em relação ao banzo de 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez de corte ideal do contraventamento de reforço

s_id = 44.864 kN

O apoio da barra por contraventamento pode então ser transformado, de acordo com [2] fórmula 7.291, da seguinte forma:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Base elástica de barra por contraventamento

Para dois contraventamentos e seis pórticos, está disponível por pórtico a seguinte constante elástica:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Fundação de barra elástica por barra de treliça

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Assumindo que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, obtém-se o comprimento equivalente da barra:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

comprimento de barra equivalente

l_ef = 0,13

O momento crítico de flexão resulta assim num valor utópico de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento Crítico de Flexão

M_crit = 18.482,84 kNm

Seria de esperar um valor semelhante ao do sistema com apoios intermédios rígidos. Como explicado em Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Teoria, a aplicação da fórmula ampliada com α e β é limitada na sua utilização.

Flambagem lateral-torcional em estruturas de madeira | Teoria

Em rigor, esta só é válida quando existe uma deformação em grande arco sinusoidal. Ou seja, quando o apoio elástico é muito flexível. Isso já não se verifica neste exemplo. Modos próprios multimodais, que para constantes elásticas maiores conduzem à menor carga de bifurcação, não são abrangidos pela referida equação, uma vez que esta se baseia em formas sinusoidais de um único modo.

Como se pode ver na imagem 07, a análise de autovalores resulta num modo próprio multimodal.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

Para este caso, pode ser aplicado o procedimento deduzido pelo Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). O momento crítico de flexão é calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento fletor crítico

A constante n identifica a 1.ª, 2.ª, 3.ª… solução própria. Assim, devem ser analisadas várias soluções próprias e o menor momento crítico de flexão é então o determinante. Para n = 1…30 obtêm-se os seguintes momentos críticos de flexão.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Para n = 6, M_crit é mínimo e vale 1.282,70 kNm.

A solução de autovalores obtida com o módulo adicional RF-/FE-BGDK (ver imagem 07) resulta em:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Os dois resultados apresentam uma excelente concordância. No entanto, a solução analítica está do lado seguro, pois neste procedimento se assume simplificadamente uma distribuição constante do momento fletor. Ao momento crítico de flexão constante M_crit associa-se então uma carga crítica qcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

carga crítica

Como neste exemplo o apoio da barra pode ser considerado muito rígido e é distribuído de forma constante ao longo do comprimento do pórtico, obtêm-se momentos críticos de flexão ligeiramente superiores aos do apoio pontual rígido.

De acordo com [3] capítulo 9.2.5.3 (2), os contraventamentos devem ser suficientemente rígidos para que a deslocação horizontal L/500 não seja ultrapassada. O cálculo deve ser efetuado com os valores de cálculo das rigidezes (ver [1] capítulo NCI Zu 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² como pressão dinâmica de rajada, resultam as seguintes ações (ver [3] capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Força de estabilização para corda de compressão

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carga de reforço

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carga de cálculo do vento

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

A deformação do contraventamento é apresentada na imagem 08. As cargas foram novamente reduzidas para metade, uma vez que existem dois contraventamentos.

Deslocamento horizontal do contraventamento de reforço

A deformação admissível é:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformação permitida

Isto confirma a hipótese de um contraventamento muito rígido e está em consonância com os momentos críticos de flexão praticamente idênticos do sistema com apoio intermédio rígido e do sistema com apoio elástico da barra.

Resumo

Foi demonstrado com que possibilidades na construção em madeira podem ser utilizadas para analisar a encurvadura por flexão de barras. Para os métodos usuais, deve-se ter atenção para que os contraventamentos sejam suficientemente rígidos para que possam ser assumidos apoios rígidos. Foram mostradas, em conformidade, variantes para o caso de tal hipótese não se verificar. Em princípio, as barras fletidas e os contraventamentos devem ainda ser dimensionados para a sua capacidade de carga resistente e o seu estado limite de utilização, de acordo com a respetiva norma. No entanto, isso não é objeto deste artigo.

Autor

O Eng. Rehm participa nos desenvolvimentos da área das estruturas de madeira e presta apoio técnico a clientes.

Ligações

Referências

DIN. (2013). Anexo nacional – Eurocódigo 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Estática e estabilidade nas estruturas de edifícios, segunda edição. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normas austríacas. (2015). Eurocódigo 5: Dimensionamento de estruturas de madeira – Parte 1-1: Geral – Regras comuns e regras para edifícios; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlim: Beuth Verlag GmbH.

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