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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 2

No artigo anterior "Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1", foi explicada a aplicação prática para determinar o momento fletor crítico M_crit ou a tensão de flexão crítica σ_crit para a encurvadura lateral de uma viga em flexão utilizando exemplos simples. Neste artigo, o momento fletor crítico é determinado tendo em conta uma fundação elástica resultante de um contraventamento.

Encurvadura por flexão-torção na estruturas de madeira - Exemplos 1

Modelo estrutural

Para o sistema apresentado na Figura seguinte, as treliças devem ser analisadas quanto à encurvadura lateral. No plano da cobertura, existem seis treliças como vigas paralelas com 18 m de comprimento e dois contraventamentos. As vigas nas extremidades da empena são suportadas por pilares e não são consideradas no cálculo. Sobre as treliças atua uma carga de dimensionamento q_d de 10 kN/m. Trata-se, em primeiro lugar, de determinar o momento crítico da encurvadura por flexão-torção. As verificações no estado limite último e no estado limite de utilização não serão abordadas.

1 Modelo estrutural

Dados do modelo

GL24h	-	-	Material de acordo com EN 14080
L	18	m	Comprimento da viga
b	120	mm	Largura da viga
h	1200	mm	Altura da viga
I_z	172 800,000	mm⁴	Momento de inércia
I_T	647 654,753	mm⁴	Momento de inércia de torção
q_d	10	kN/m	Carga de dimensionamento
a_z	600	mm	Posição da carga
e	600	mm	Posição da fundação

Informação

Embora nas equações seguintes para E e G a referência aos valores do quantil de 5% não seja explicitamente indicada no índice, estes foram, no entanto, considerados em conformidade.

Viga de vão único com restrição lateral e de torção sem apoios intermédios

2 Viga de vão único com restrição lateral e de torção com apoios intermédios

Por uma questão de integridade, analisa-se primeiro a treliça sem apoio lateral (ver Figura 02). O comprimento de barra equivalente, para uma aplicação de carga na parte superior da treliça com a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, resulta em:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Comprimento da barra equivalente
L	Comprimento da viga, distância do apoio lateral
a₁,a₂	Coeficientes de encurvadura lateral
a_z	Distância da aplicação da carga ao centro de corte
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia de torção

Comprimento de barra equivalente

O momento fletor crítico pode então ser calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia de torção
l_ef	Comprimento de barra equivalente

Momento fletor crítico

Neste exemplo, não se considera um aumento do produto dos quantis de 5% dos parâmetros de rigidez devido à homogeneização de vigas de madeira lamelada colada.

O momento fletor atuante nas treliças resulta em:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Momento de dimensionamento
q_d	Carga de dimensionamento
L	Comprimento da viga

Momento de dimensionamento

A análise de valores próprios fornece como resultado um fator de carga crítica de 0,32. Daí resulta o momento fletor crítico

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento fletor crítico de solucionador de valores próprios

e é, assim, idêntico ao resultado da solução analítica.

Detalhe de verificação com saída do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

3 Detalhe de verificação com indicação do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

Como seria de esperar para esta treliça esbelta sem apoio, o momento fletor atuante é maior (por um fator de 3) do que o momento fletor crítico, pelo que a treliça não está suficientemente protegida contra uma encurvadura lateral. No entanto, pretende-se contrariar isso com um contraventamento, que será agora considerado para o cálculo.

Viga de vão único com restrição lateral e de torção com apoios intermédios rígidos

Viga de vão único apoiada em forquilha com apoios intermédios rígidos

4 Viga simplesmente apoiada com apoios intermédios rígidos

Se o contraventamento for suficientemente rígido, o espaçamento dos apoios laterais (por exemplo, por intermédio das madres) é geralmente utilizado na prática como o comprimento de barra equivalente para a verificação da encurvadura lateral. Esta abordagem já foi apresentada no artigo anterior Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplos 1.

Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira | Exemplo 1

Assim sendo, utiliza-se L = 2,25 m. Para a₁ = 1,00 e a₂ = 0,00 resulta o seguinte:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Comprimento de barra equivalente
L	Comprimento da viga, distância do apoio lateral
a₁,a₂	Coeficientes de encurvadura lateral
a_z	Distância do ponto de aplicação da carga ao centro de corte
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia de torção

Comprimento de barra equivalente

O momento fletor crítico é:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia de torção
l_ef	Comprimento de barra equivalente

Momento fletor crítico

Como o momento fletor atuante na viga é menor do que o momento fletor crítico, a viga não está em risco de encurvadura, partindo do princípio de que os apoios intermédios são rígidos.

A análise de valores próprios com o módulo Dimensionamento de madeira fornece como resultado um fator de carga crítica de 2,86. Daí resulta o momento fletor crítico

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Momento fletor crítico
α	Fator de carga crítica
M_d	Momento de dimensionamento

Momento fletor crítico

5 Detalhe da verificação com indicação do fator de carga crítico e do momento fletor crítico

Também aqui, os dois métodos coincidem muito bem.

Viga de vão único com restrição lateral e de torção com fundação elástica de barra

6 Viga de vão único com restrição lateral e de torção com fundação elástica de barra

Conforme explicado em Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira – Teoria, em [1 ] para barras de fundação elástica, a determinação do comprimento de barra equivalente é ampliada com o fator α e β.

Desta forma, é possível considerar a rigidez de corte de um contraventamento para a encurvadura lateral das treliças.

Rigidez de corte do contraventamento da cobertura

A determinação da rigidez de corte do contraventamento pode, por exemplo, ser realizada de acordo com [2] Figura 6.34. Como se pode verificar, esta depende do tipo de contraventamento, da rigidez de deformação das diagonais e dos postes, da inclinação das diagonais e da flexibilidade dos elementos de ligação. Para o contraventamento representado na Figura 01, obtém-se a rigidez de corte:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidez de corte ideal do contraventamento
E_D	Quantil de 5% do módulo de elasticidade das diagonais
A_D	Área de secção transversal das diagonais
α	Ângulo entre diagonais e banzos

Rigidez de corte ideal do contraventamento

Aqui, E_D é o módulo de elasticidade das diagonais e A_D é a respetiva área da secção transversal. Contudo, a equação acima não inclui a flexibilidade dos elementos de ligação das diagonais. Esta e o alongamento das barras diagonais podem ser considerados através de uma área de secção transversal fictícia A_D'. Segue-se:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidez de corte ideal do contraventamento
E_D	Quantil de 5% do módulo de elasticidade das diagonais
A_D'	Área fictícia da secção transversal das diagonais
α	Ângulo entre diagonais e banzos

Rigidez de corte ideal do contraventamento

com

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Área fictícia da secção transversal das diagonais
A_D	Área da secção transversal das diagonais
E_D	Quantil de 5% do módulo de elasticidade das diagonais
L_D	Comprimento das diagonais
K_ser	Módulo de deslocamento da ligação

Área fictícia da secção transversal das diagonais

As diagonais têm a dimensão b/h = 120/200 mm e um comprimento L_D de 4,59 m. O módulo de deslocamento da ligação em cada lado das diagonais deve ser 110 000 N/mm.

A área ideal é, portanto,

A_D' = 12,548 mm²

e, assim, a rigidez de corte de um contraventamento, com um ângulo das diagonais em relação ao banzo de 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidez de corte ideal do contraventamento
E_D	Quantil de 5% do módulo de elasticidade das diagonais
A_D'	Área fictícia da secção transversal das diagonais
α	Ângulo entre diagonais e banzos

Rigidez de corte ideal do contraventamento

A fundação elástica de barra por contraventamento pode então ser convertida, de acordo com [2] fórmula 7,291, da seguinte forma:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Fundação elástica de barra por contraventamento
s_id	Rigidez de corte ideal do contraventamento
L	Comprimento do contraventamento

Fundação elástica de barra por contraventamento

Para dois contraventamentos e seis treliças, está disponível por treliça a seguinte constante de mola:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Fundação elástica de barra por treliça
K_y'	Fundação elástica de barra por contraventamento

Fundação elástica de barra por treliça

Partindo da condição de que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 e a₂ = 1,44, obtém-se o comprimento de barra equivalente:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Comprimento de barra equivalente
L	Comprimento da viga, distância do apoio lateral
a₁,a₂	Coeficientes de encurvadura lateral
a_z	Distância do ponto de aplicação da carga ao centro de corte
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia de torção
α, β	Coeficientes para consideração de uma fundação de barra

Comprimento de barra equivalente

O momento de flexão resulta assim num valor irreal de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Momento fletor crítico
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
I_T	Momento de inércia de torção
l_ef	Comprimento de barra equivalente

Momento fletor crítico

Seria de esperar um valor semelhante ao do sistema com apoios intermédios rígidos.
Como explicado em Encurvadura por flexão-torção em estruturas de madeira – Teoria, a aplicação da fórmula alargada com α e β é limitada na sua utilização.

Em rigor, esta só é válida quando existe uma deformação numa grande onda sinusoidal. Ou seja, quando a fundação elástica é muito flexível. Tal já não ocorre neste exemplo. Funções próprias com várias ondas, que em constantes de mola maiores conduzem à menor carga crítica, não são abrangidas pela referida equação, uma vez que esta se baseia em aproximações sinusoidais de uma única onda.

Como se pode ver na Figura 07, a análise modal resulta numa forma própria com várias ondas, para um fator de carga crítica de 3,49.

7 Resultado da análise de valores próprios para a viga de vão único com restrição lateral e de torção com fundação elástica de barra

Para comparação, pode ser aplicado o método derivado pelo Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). O momento fletor crítico é calculado da seguinte forma:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Momento fletor crítico
a_z	Distância do ponto de aplicação da carga ao centro de corte
e	Distância da fundação elástica de barra ao centro de corte
K_y	Fundação elástica de barras por treliça
L	Comprimento da viga
n	n-ésima solução própria
E_0,05	Quantil de 5% do módulo de elasticidade
I_z	Momento de inércia em torno do eixo fraco
G_0,05	Quantil de 5% do módulo de corte
I_T	Momento de inércia de torção

Momento fletor crítico

A constante n identifica a 1.ª, 2.ª, 3.ª… solução própria. Assim, devem ser investigadas várias soluções próprias, sendo o menor momento fletor crítico resultante o valor determinante. Para n = 1…30, obtêm-se os seguintes momentos fletores críticos.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9523,25	16	2214,63
2	4281,26	17	2339,17
3	2294,32	18	2464,92
4	1605,56	19	2591,63
5	1354,68	20	2719,14
6	1282,70	21	2847,30
7	1294,12	22	2976,00
8	1348,81	23	3105,16
9	1428,05	24	3234,71
10	1522,29	25	3364,60
11	1626,24	26	3494,77
12	1736,77	27	3625,20
13	1851,94	28	3755,84
14	1970,50	29	3886,67
15	2091,60	30	4017,68

Para n = 6, M_crit é mínimo e tem 1282,70 kNm.

A solução dos valores próprios do módulo Dimensionamento de madeira (ver Figura 07) resulta em:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Momento fletor crítico
α	Fator de carga crítica
M_d	Momento de dimensionamento

Momento fletor crítico

Os dois resultados apresentam uma boa concordância. No entanto, a solução analítica é mais conservadora, uma vez que, neste método, se assume simplificadamente uma distribuição constante do momento fletor. Ao momento fletor crítico constante M_crit é então atribuída uma carga crítica q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Carga crítica
M_crit	Momento fletor crítico
L	Comprimento da viga

Carga crítica

Como a fundação elástica de barra neste exemplo pode ser considerada muito rígida e é distribuída uniformemente ao longo do comprimento da treliça, resultam momentos fletores críticos ligeiramente superiores aos do apoio individual rígido.

Verificação da deformação do contraventamento da cobertura

De acordo com [3] capítulo 9.2.5.3 (2), os contraventamentos devem ser suficientemente rígidos para que a deslocação horizontal L/500 não seja excedida. O cálculo deve ser efetuado com os valores de dimensionamento das rigidezes (ver [1] capítulo NCI para 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m e q_p = 0,65 kN/m² como pressão dinâmica do vento, obtêm-se as seguintes cargas (ver [3] capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Força de estabilização para o banzo comprimido
k_crit	Coeficiente de encurvadura lateral
M_d	Momento de dimensionamento
h	Altura da viga

Força de estabilização para o banzo comprimido

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Carga de contraventamento
n	Número de treliças
L	Comprimento da viga
k_f,3	Coeficiente de modificação para a resistência de contraventamento

Carga de contraventamento

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Carga de dimensionamento do vento
γ_Q	Coeficiente de segurança parcial para ação variável
c_pe	Coeficiente de pressão externa
q_p	Pressão da velocidade de rajada
h	Altura do edifício

Carga de dimensionamento do vento

A deformação do contraventamento é apresentada na Figura 08. Neste caso, as cargas foram novamente reduzidas para metade, uma vez que existem dois contraventamentos.

8 Deslocamento horizontal do contraventamento

A deformação admissível é:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformação permitida

Isto confirma a hipótese de um contraventamento muito rígido e é consistente com os momentos fletores críticos praticamente idênticos do sistema com apoio intermédio rígido e do sistema com fundação elástica de barra.

Resumo

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
sem apoio intermédio	134,52 kNm	136,39 kNm
com apoios intermédios rígidos	1063,51 kNm	1158,92 kNm
com fundação elástica de barra	1282,70 kNm	1413,71 kNm

Foi demonstrado quais as possibilidades que existem para analisar a encurvadura lateral de vigas em flexão em estruturas de madeira. No que diz respeito aos métodos convencionais, deve-se ter em atenção que os contraventamentos sejam suficientemente rígidos para poderem suportar apoios rígidos. Foram apresentadas variantes adequadas para o caso de tal pressuposto não se verificar. Em princípio, a capacidade de carga e a aptidão para utilização das vigas em flexão e dos contraventamentos devem ainda ser analisados de acordo com a norma aplicável. No entanto, isso não é objeto deste artigo.

Autor

Gerhard trabalha na área de Engenharia de Produto no setor de construção em madeira e também apoia o Suporte ao Cliente. Ele utiliza sua experiência em desenvolvimento para soluções práticas e viáveis.

Ligações

Referências

Anexo nacional – Eurocódigo 5: Dimensionamento de estruturas de madeira – Parte 1-1: Geral – Regras comuns e regras para edifícios, DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C. (1982), "Statik und Stabilität der Baukonstruktionen" (2.ª ed.). Wiesbaden, Vieweg.
Normas austríacas. (2015). Eurocódigo 5: Dimensionamento de estruturas de madeira – Parte 1-1: Geral – Regras comuns e regras para edifícios; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlim: Beuth Verlag GmbH.

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