7785x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 2

W poprzednim artykule Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 praktyczne zastosowanie do wyznaczania krytycznego momentu zginającego M_crit lub krytycznego naprężenia zginającego σ_crit dla wyboczenia bocznego belki zginanej zostało omówione na prostych przykładach. W tym artykule krytyczny moment zginający jest wyznaczany z uwzględnieniem sprężystego podparcia wynikającego z układu stężeń.

Biegedrillknicken im Holzbau - Beispiele 1

Model statyczny

Dla układu przedstawionego na kolejnym rysunku należy sprawdzić stateczność belek na zwichrzenie. W płaszczyźnie dachu znajdują się sześć belek jako belki równoległe o długości 18 m oraz dwa stężenia usztywniające. Belki na ścianach szczytowych są podparte słupami i nie są uwzględniane w obliczeniach. Na belki działa obciążenie obliczeniowe q_d o wartości 10 kN/m. Chodzi przede wszystkim o wyznaczenie krytycznego momentu zwichrzeniowego. Na sprawdzenie w stanie granicznym nośności oraz w stanie granicznym użytkowalności nie będziemy tutaj szerzej wchodzić.

1 Model statyczny

Dane modelu

GL24h	-	-	Materiał zgodnie z EN 14080
L	18	m	Długość belki
b	120	mm	Szerokość belki
h	1.200	mm	Wysokość belki
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment bezwładności
I_T	647.654.753	mm⁴	Biegunowy moment bezwładności na skręcanie
q_d	10	kN/m	Obciążenie obliczeniowe
a_z	600	mm	Położenie obciążenia
e	600	mm	Położenie podparcia

Informacje

Auch wenn in den nachfolgenden Gleichungen für E und G nicht explizit im Index der Verweis auf die 5-%-Quantilwerte gegeben ist, wurden diese trotzdem entsprechend berücksichtigt.

Belka swobodnie podparta przegubowo bez podparć pośrednich

Belka jednoprzęsłowa na łożyskach widełkowych bez podpór pośrednich

2 Belka jednoprzęsłowa z łożyskowaniem widełkowym bez podpór pośrednich

Dla kompletności najpierw analizowana jest belka bez bocznego podparcia (patrz rysunek 02). Długość zastępcza pręta przy przyłożeniu obciążenia w górnej części belki przy a₁ = 1,13 oraz a₂ = 1,44 wynosi:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Długość pręta zastępczego

Krytyczny moment zginający można następnie obliczyć w następujący sposób:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Krytyczny moment zginający

W tych przykładach pominięto zwiększenie iloczynu 5-% kwantyli parametrów sztywności ze względu na homogenizację belek z drewna klejonego warstwowo.

Moment zginający działający na belki wynosi:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Moment obliczeniowy

Analiza wartości własnych daje w wyniku współczynnik obciążenia krytycznego 0,32. Stąd krytyczny moment zginający wynosi

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Krytyczny moment zginający z rozwiązania wartości własnych

a więc jest identyczny z wynikiem rozwiązania analitycznego.

Szczegół sprawdzenia z wyświetleniem krytycznego współczynnika obciążenia i krytycznego momentu zginającego

3 Szczegółowy wynik sprawdzenia z wyświetleniem krytycznego współczynnika obciążenia oraz krytycznego momentu zginającego

Jak należało oczekiwać dla tej niepodpartej, smukłej belki, działający moment zginający jest większy (o współczynnik 3) od krytycznego momentu zginającego, a więc belka nie jest wystarczająco zabezpieczona przed zwichrzeniem. Ma temu jednak przeciwdziałać stężenie, które zostanie teraz uwzględnione w obliczeniach.

Belka swobodnie podparta przegubowo ze sztywnymi podparciami pośrednimi

Jednoprzęsłowa belka na podporach widełkowych ze sztywnymi podporami pośrednimi

4 Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z sztywnymi podpórkami pośrednimi

Jeżeli stężenie usztywniające jest wystarczająco sztywne, w praktyce często jako długość zastępczą do sprawdzenia zwichrzenia przyjmuje się odległość bocznych podparć (na przykład przez płatwie). Takie postępowanie zostało już pokazane w poprzednim artykule Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1.

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1

Jako L przyjmuje się zatem 2,25 m. Dla a₁ = 1,00 i a₂ = 0,00 otrzymuje się:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Długość zastępcza

Dla krytycznego momentu zginającego otrzymuje się:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Krytyczny moment zginający

Ponieważ moment zginający działający na belkę jest mniejszy od krytycznego momentu zginającego, belka przy założeniu sztywnych podparć pośrednich nie jest zagrożona zwichrzeniem.

Analiza wartości własnych z dodatkiem Projektowanie konstrukcji drewnianych daje w wyniku współczynnik obciążenia krytycznego 2,86. Stąd wynika krytyczny moment zginający

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	Współczynnik obciążenia rozgałęzienia
M_d	Bemessungsmoment

Krytyczny moment zginający

5 Szczegół sprawdzenia z wynikiem krytycznego współczynnika obciążenia i krytycznego momentu zginającego

Również tutaj oba podejścia bardzo dobrze się zgadzają.

Belka swobodnie podparta przegubowo z elastycznym łożyskowaniem pręta

Jednoprzęsłowa belka swobodnie podparta z elastycznym podparciem prętowym

6 Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z elastycznym podparciem pręta

Jak wyjaśniono w Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, w [1 ] dla prętów z elastycznym łożyskowaniem wyznaczanie długości zastępczej zostało rozszerzone o współczynniki α i β.

Umożliwia to uwzględnienie sztywności na ścinanie stężenia usztywniającego przy zwichrzeniu belek.

Sztywność na ścinanie stężenia dachowego

Wyznaczenie sztywności na ścinanie stężenia można przeprowadzić na przykład zgodnie z [2] rys. 6.34. Jak widać, zależy ona od typu stężenia, od sztywności na rozciąganie krzyżulców i słupków, od nachylenia krzyżulców oraz od podatności łączników. Dla stężenia usztywniającego przedstawionego na rys. 01 otrzymuje się sztywność na ścinanie:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

Przy czym E_D jest modułem E krzyżulców, a A_D ich polem przekroju. Powyższe równanie nie uwzględnia jednak podatności łączników krzyżulców. Można ją oraz wydłużenie pręta krzyżulców uwzględnić za pomocą fikcyjnego pola przekroju A_D'. Otrzymuje się:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego

przy czym

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Fikcyjna powierzchnia przekroju ukośnic

Krzyżulce mają wymiary b/h = 120/200 mm i długość L_D równą 4,59 m. Moduł przemieszczenia połączenia po każdej stronie krzyżulców powinien wynosić 110.000 N/mm.

Pole idealne wynosi zatem

A_D' = 12.548 mm²

a więc sztywność na ścinanie jednego stężenia, przy kącie krzyżulców do pasa wynoszącym 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego

Łożyskowanie pręta na jedno stężenie można z tego wyprowadzić zgodnie z [2] wzorem 7.291 w następujący sposób:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Sprężyste podparcie pręta na stężenie

Dla dwóch stężeń i sześciu belek na jedną belkę przypada następująca stała sprężystości:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Sprężyste podparcie pręta na dźwigar

Przy założeniu, że K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 oraz a₂ = 1,44, długość zastępcza wynosi:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Długość zastępcza elementu

Krytyczny moment zginający przyjmuje zatem utopijną wartość:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności skrętny
l_ef	Długość zastępcza

Krytyczny moment zginający

Należałoby oczekiwać wartości zbliżonej do układu ze sztywnymi podparciami pośrednimi.
Jak wyjaśniono w Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, zastosowanie rozszerzonego wzoru z α i β jest ograniczone w użyciu.

Ściśle rzecz biorąc, ma on zastosowanie tylko wtedy, gdy występuje odkształcenie w postaci dużej sinusoidy. Zatem wtedy, gdy łożyskowanie jest bardzo miękkie. W tym przykładzie tak już nie jest. Wielofalowe funkcje własne, które przy większych sztywnościach sprężyn prowadzą do najmniejszego obciążenia krytycznego, nie są ujęte w tym równaniu, ponieważ opiera się ono na jednookresowych założeniach sinusoidalnych.

Jak widać na rys. 7, z analizy wartości własnych wynika wielofalowa postać własna przy współczynniku obciążenia krytycznego 3,49.

Wynik analizy wartości własnych dla belki swobodnie podpartej na obu końcach z elastycznym podparciem prętowym

7 Wynik analizy wartości własnych dla belki jednoprzęsłowej podpartej przegubowo z elastycznym podparciem prętowym

Dla porównania można zastosować metodę, wyprowadzoną przez prof. dr. Heinricha Kreuzingera (2020). Krytyczny moment zginający oblicza się następująco:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Krytyczny moment zginający

Stała n oznacza 1., 2., 3.… rozwiązanie własne. Należy zatem sprawdzić kilka rozwiązań własnych, a następnie miarodajny jest najmniejszy krytyczny moment zginający. Dla n = 1…30 otrzymuje się następujące krytyczne momenty zginające.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Dla n = 6 M_crit osiąga wartość minimalną i wynosi 1.282,70 kNm.

Rozwiązanie wartości własnej z dodatku Projektowanie konstrukcji drewnianych (patrz rys. 7) daje:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
α	Współczynnik obciążenia rozwidlenia
M_d	Moment obliczeniowy

Krytyczny moment zginający

Oba wyniki wykazują dobrą zgodność. Rozwiązanie analityczne znajduje się jednak po bezpiecznej stronie, ponieważ w tej metodzie przyjmuje się w uproszczeniu stały przebieg momentu zginającego. Stałemu krytycznemu momentowi zginającemu M_crit przypisuje się następnie krytyczne obciążenie q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Obciążenie krytyczne

Ponieważ łożyskowanie pręta w tym przykładzie należy uznać za bardzo sztywne i jest ono równomiernie rozłożone na całej długości belki, otrzymuje się nieco wyższe krytyczne momenty zginające niż przy sztywnym pojedynczym podparciu.

Sprawdzenie odkształceń stężenia dachowego

Zgodnie z [3] rozdział 9.2.5.3 (2) stężenia usztywniające muszą być na tyle sztywne, aby poziome przemieszczenie nie przekroczyło L/500. Obliczenia należy przy tym przeprowadzić z użyciem wartości obliczeniowych sztywności (patrz [1] rozdział NCI do 9.2.5.3).

Dla k_crit = 0,195, H = 5 m oraz q_p = 0,65 kN/m² jako ciśnienie prędkości porywu otrzymuje się następujące obciążenia (patrz [3] rozdział 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Siła stabilizująca dla pasa ściskanego

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Obciążenie usztywniające

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Obciążenie obliczeniowe od wiatru

Odkształcenie stężenia usztywniającego przedstawiono na rys. 8. Obciążenia zostały przy tym ponownie podzielone przez dwa, ponieważ występują dwa stężenia usztywniające.

8 Poziome przemieszczenie stężenia usztywniającego

Dopuszczalne odkształcenie wynosi:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dozwolone odkształcenie

Potwierdza to założenie o bardzo sztywnym stężeniu i jest zgodne z niemal identycznymi krytycznymi momentami zginającymi układu ze sztywnym podparciem pośrednim oraz układu z elastycznym łożyskowaniem pręta.

Podsumowanie

System	M_{crit,analitycznie}	M_{crit,wartości własne}
bez podparć pośrednich	134,52 kNm	136,39 kNm
ze sztywnymi podparciami pośrednimi	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
z elastycznym łożyskowaniem pręta	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Pokazano, jakie możliwości w konstrukcjach drewnianych istnieją do sprawdzania zwichrzenia belek zginanych. W przypadku powszechnie stosowanych metod należy zwrócić uwagę, aby stężenia usztywniające były wystarczająco sztywne, by można było przyjąć sztywne podparcia. Pokazano odpowiednio warianty na wypadek, gdyby to założenie nie było spełnione. Zasadniczo belki zginane oraz stężenia usztywniające muszą być jeszcze sprawdzone pod względem nośności i użytkowalności zgodnie z odpowiednią normą. Nie jest to jednak przedmiotem niniejszego artykułu.

Autor

Gerhard pracuje w dziale Product Engineering w obszarze konstrukcji drewnianych i dodatkowo wspiera Customer Support. Swoje doświadczenie w zakresie rozwoju wykorzystuje do tworzenia praktycznych i możliwych do wdrożenia rozwiązań.

Odnośniki

Odniesienia

DIN. (2013). Załącznik krajowy – Eurokod 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statyka i stateczność konstrukcji budowlanych, 2. wydanie. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normy austriackie. (2015). Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlin: Beuth Verlag GmbH.

Pobrane

Model artykułu bazy wiedzy | Przykłady 2

1,05 MB

;