8003x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 2

W poprzednim artykule Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 praktyczne zastosowanie do wyznaczania krytycznego momentu zginającego M_crit lub krytycznego naprężenia zginającego σ_crit dla wyboczenia bocznego belki zginanej zostało omówione na prostych przykładach. W tym artykule krytyczny moment zginający jest wyznaczany z uwzględnieniem sprężystego podparcia wynikającego z układu stężeń.

Wyboczenie skrętne belek drewnianych - przykłady 1

Model statyczny

Dla układu przedstawionego na kolejnym rysunku należy przeprowadzić analizę stateczności belek pod kątem przewrócenia. W płaszczyźnie dachu znajdują się sześć belek jako dźwigary równoległe o długości 18 m oraz dwa stężenia usztywniające. Belki na szczytach są podparte słupami i nie są uwzględniane w obliczeniach. Na belki działa obciążenie obliczeniowe q_d wynoszące 10 kN/m. Chodzi przede wszystkim o wyznaczenie krytycznego momentu krytycznego wyboczenia skrętnego. Kwestia nośności w stanie granicznym nośności oraz w stanie granicznym użytkowalności nie jest dalej omawiana.

1 Model statyczny

Dane modelu

GL24h	-	-	Materiał zgodnie z EN 14080
L	18	m	Długość belki
b	120	mm	Szerokość belki
h	1.200	mm	Wysokość belki
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment bezwładności
I_T	647.654.753	mm⁴	Moment bezwładności na skręcanie
q_d	10	kN/m	Obciążenie obliczeniowe
a_z	600	mm	Położenie obciążenia
e	600	mm	Położenie oparcia

Informacje

Nawet jeśli w poniższych równaniach dla E i G nie podano wyraźnie w indeksie odniesienia do wartości kwantyla 5%, to i tak zostały one odpowiednio uwzględnione.

Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta bez podpór pośrednich

Belka jednoprzęsłowa na łożyskach widełkowych bez podpór pośrednich

2 Belka jednoprzęsłowa z łożyskowaniem widełkowym bez podpór pośrednich

Dla pełności najpierw analizowana jest belka bez bocznego podparcia (patrz rys. 02). Długość zastępcza pręta przy przyłożeniu obciążenia na górnej krawędzi belki, przy a₁ = 1,13 i a₂ = 1,44, wynosi:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Długość zastępcza
L	Długość belki, odstęp podpory bocznej
a₁,a₂	Współczynniki wyboczenia bocznego
a_z	Odległość punktu przyłożenia obciążenia od środka ścinania
E_0,05	5 % kwantyla modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności skrętny

Długość pręta zastępczego

Krytyczny moment zginający można następnie obliczyć następująco:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności na skręcanie
l_ef	Długość zastępcza

Krytyczny moment zginający

W tych przykładach pominięto zwiększenie iloczynu 5%-kwantyli parametrów sztywności ze względu na homogenizację belek z drewna klejonego warstwowo.

Moment zginający działający na belkach wynika jako:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Moment obliczeniowy
q_d	Obciążenie obliczeniowe
L	Długość belki

Moment obliczeniowy

Analiza wartości własnych daje w wyniku współczynnik obciążenia wyboczeniowego równy 0,32. Z tego wynika krytyczny moment zginający

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Krytyczny moment zginający z rozwiązania wartości własnych

a więc jest identyczny z wynikiem rozwiązania analitycznego.

Szczegół sprawdzenia z wyświetleniem krytycznego współczynnika obciążenia i krytycznego momentu zginającego

3 Szczegółowy wynik sprawdzenia z wyświetleniem krytycznego współczynnika obciążenia oraz krytycznego momentu zginającego

Jak można było oczekiwać dla tej niepodpartej, smukłej belki, działający moment zginający jest większy (o współczynnik 3) od krytycznego momentu zginającego, a belka nie jest zatem dostatecznie zabezpieczona przed przewróceniem. Ma temu jednak przeciwdziałać stężenie, które zostanie teraz uwzględnione w obliczeniach.

Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta ze sztywnymi podpórkami pośrednimi

Jednoprzęsłowa belka na podporach widełkowych ze sztywnymi podporami pośrednimi

4 Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z sztywnymi podpórkami pośrednimi

Jeżeli stężenie usztywniające jest wystarczająco sztywne, w praktyce często jako długość zastępczą do sprawdzenia na przewrócenie przyjmuje się odległość bocznych podparć (na przykład przez płatwie). Podejście to zostało już przedstawione we wcześniejszym artykule Wyboczenie skrętne belek drewnianych | Przykłady 1.

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1

Jako L przyjmuje się zatem 2,25 m. Dla a₁ = 1,00 i a₂ = 0,00 otrzymuje się:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Długość zastępcza pręta
L	Długość belki, odstęp bocznego podparcia
a₁,a₂	Współczynniki wyboczenia bocznego
a_z	Odległość przyłożenia obciążenia od środka ścinania
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności skręcania

Długość zastępcza

Dla krytycznego momentu zginającego otrzymuje się:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności na skręcanie
l_ef	Długość zastępcza

Krytyczny moment zginający

Ponieważ moment zginający działający na belkę jest mniejszy od krytycznego momentu zginającego, belka przy założeniu sztywnych podpór pośrednich nie jest zagrożona przewróceniem.

Analiza wartości własnych z Add-Onem Wymiarowanie konstrukcji drewnianych daje w wyniku współczynnik obciążenia wyboczeniowego równy 2,86. Z tego wynika krytyczny moment zginający

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
α	Współczynnik obciążenia rozgałęzienia
M_d	Moment wymiarowy

Krytyczny moment zginający

5 Szczegół sprawdzenia z wynikiem krytycznego współczynnika obciążenia i krytycznego momentu zginającego

Również tutaj oba metody bardzo dobrze się zgadzają.

Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z elastycznym łożyskowaniem pręta

Jednoprzęsłowa belka swobodnie podparta z elastycznym podparciem prętowym

6 Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z elastycznym podparciem pręta

Jak wyjaśniono w Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, w [1 ] dla prętów sprężyście łożyskowanych wyznaczanie długości zastępczej rozszerzono o współczynniki α i β.

Umożliwia to uwzględnienie sztywności na ścinanie stężenia usztywniającego przy przewróceniu belek.

Sztywność na ścinanie stężenia dachowego

Wyznaczenie sztywności na ścinanie stężenia można przeprowadzić na przykład według [2] rys. 6.34. Jak z tego wynika, zależy ona od typu stężenia, od sztywności rozciągającej krzyżulców i słupków, od nachylenia krzyżulców oraz od podatności łączników. Dla stężenia usztywniającego przedstawionego na rys. 01 otrzymuje się sztywność na ścinanie:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego
E_D	5 % kwantyla modułu sprężystości przekątnych
A_D	Pole przekroju przekątnych
α	Kąt między przekątną a pasami

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

Przy czym E_D jest modułem E krzyżulców, a A_D ich polem przekroju. Powyższe równanie nie uwzględnia jednak podatności łączników krzyżulców. Można ją oraz wydłużenie prętów krzyżulców uwzględnić za pomocą fikcyjnej powierzchni przekroju A_D'. Otrzymuje się:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
A_D'	Fikcyjna powierzchnia przekroju przekątnych
α	Kąt między przekątną a pasami

Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fikcyjna powierzchnia przekroju przekątnych
A_D	Pole przekroju przekątnej
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
L_D	Długość przekątnych
K_ser	Moduł przemieszczenia połączenia

Fikcyjna powierzchnia przekroju ukośnic

Krzyżulce mają wymiary b/h = 120/200 mm oraz długość L_D równą 4,59 m. Moduł przemieszczenia połączenia po każdej stronie krzyżulców ma wynosić 110.000 N/mm.

Powierzchnia idealna wynosi zatem

A_D' = 12.548 mm²

a tym samym sztywność na ścinanie jednego stężenia, przy kącie krzyżulców względem pasa wynoszącym 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego
E_D	5 % kwantyl modułu sprężystości przekątnych
A_D'	Fikcyjna powierzchnia przekroju przekątnych
α	Kąt między przekątną a pasami

Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego

Łożyskowanie pręta na jedno stężenie można z tego przekształcić zgodnie ze wzorem 7.291 z [2] następująco:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastyczne podparcie pręta na jedno stężenie
s_id	Idealna sztywność na ścinanie stężenia usztywniającego
L	Długość stężenia

Sprężyste podparcie pręta na stężenie

Dla dwóch stężeń i sześciu belek na jedną belkę przypada następująca stała sprężystości:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastyczne podparcie pręta na każdy dźwigar
K_y'	Sprężyste podparcie prętowe na każde stężenie

Sprężyste podparcie pręta na dźwigar

Przy założeniu, że K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 i a₂ = 1,44, otrzymuje się długość zastępczą pręta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Długość zastępcza
L	Długość belki, odległość bocznego zamocowania
a₁,a₂	Współczynniki wyboczenia bocznego
a_z	Odległość punktu przyłożenia obciążenia od środka ścinania
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności na skręcanie
α, β	Współczynniki do uwzględnienia osadzenia pręta

Długość zastępcza elementu

Krytyczny moment zginający przyjmuje zatem absurdalną wartość:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
G_0,05	5 % kwantyl modułu ścinania
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
I_T	Moment bezwładności skrętny
l_ef	Długość zastępcza

Krytyczny moment zginający

Można by oczekiwać wartości zbliżonej do układu ze sztywnymi podpórkami pośrednimi.
Jak wyjaśniono w Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, stosowanie rozszerzonego wzoru z α i β ma ograniczenia w zastosowaniu.

Ściśle rzecz biorąc, ma on ważność tylko wtedy, gdy występuje ugięcie w postaci dużego łuku sinusoidalnego. Czyli wtedy, gdy łożyskowanie jest bardzo miękkie. W tym przykładzie nie ma to już miejsca. Wielofalowe postacie własne, które przy większych sztywnościach sprężyn prowadzą do najmniejszego obciążenia krytycznego, nie są ujęte w tym równaniu, ponieważ opiera się ono na jednookresowych przybliżeniach sinusoidalnych.

Jak widać na rys. 7, z analizy wartości własnych wynika wielofalowa postać własna przy współczynniku obciążenia wyboczeniowego 3,49.

Wynik analizy wartości własnych dla belki swobodnie podpartej na obu końcach z elastycznym podparciem prętowym

7 Wynik analizy wartości własnych dla belki jednoprzęsłowej podpartej przegubowo z elastycznym podparciem prętowym

Dla porównania można zastosować metodę wyprowadzoną przez prof. dr. Heinricha Kreuzingera (2020). Krytyczny moment zginający oblicza się następująco:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Krytyczny moment zginający
a_z	Odległość punktu przyłożenia obciążenia od środka ścinania
e	Odległość osadzenia pręta od środka ścinania
K_y	Sprężyste podparcie pręta na każdy dźwigar
L	Długość belki
n	n-ta postać własna
E_0,05	5 % kwantyl modułu sprężystości
I_z	Moment bezwładności względem słabej osi
G_0,05	5 %-kwantyl modułu ścinania
I_T	Moment bezwładności skrętny

Krytyczny moment zginający

Stała n oznacza 1., 2., 3.… rozwiązanie własne. Należy zatem zbadać kilka rozwiązań własnych, a najmniejszy krytyczny moment zginający jest miarodajny. Dla n = 1…30 otrzymuje się następujące krytyczne momenty zginające.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Dla n = 6 M_crit jest minimalny i wynosi 1.282,70 kNm.

Rozwiązanie własne z Add-Onu Wymiarowanie konstrukcji drewnianych (patrz rys. 7) daje:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Krytyczny moment zginający
α	Współczynnik obciążenia rozwidlenia
M_d	Moment obliczeniowy

Krytyczny moment zginający

Oba wyniki wykazują dobrą zgodność. Rozwiązanie analityczne znajduje się jednak po bezpiecznej stronie, ponieważ w tej metodzie upraszcza się, przyjmując stały przebieg momentu zginającego. Stałemu krytycznemu momentowi zginającemu M_crit przypisuje się następnie krytyczne obciążenie q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Obciążenie krytyczne
M_crit	Krytyczny moment zginający
L	Długość belki

Obciążenie krytyczne

Ponieważ łożyskowanie pręta w tym przykładzie należy uznać za bardzo sztywne i jest ono rozłożone równomiernie na całej długości belek, uzyskuje się nieco wyższe krytyczne momenty zginające niż przy sztywnym podparciu pojedynczym.

Sprawdzenie odkształceń stężenia dachowego

Zgodnie z [3] rozdz. 9.2.5.3 (2) stężenia usztywniające muszą być na tyle sztywne, aby nie została przekroczona pozioma wartość przemieszczenia L/500. Obliczenia należy przy tym wykonywać z wartościami obliczeniowymi sztywności (patrz [1] rozdz. NCI do 9.2.5.3).

Dla k_crit = 0,195, H = 5 m oraz q_p = 0,65 kN/m² jako ciśnienia prędkości porywów otrzymuje się następujące obciążenia (patrz [3] rozdz. 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Siła stabilizująca dla pasa ściskanego
k_crit	Współczynnik wyboczenia bocznego
M_d	Moment wymiarowy
h	Wysokość belki

Siła stabilizująca dla pasa ściskanego

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Obciążenie usztywniające
n	Liczba dźwigarów
L	Długość belki
k_f,3	Współczynnik modyfikacji dla odporności stężenia

Obciążenie usztywniające

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Obciążenie obliczeniowe od wiatru
γ_Q	Współczynnik częściowy bezpieczeństwa dla oddziaływania zmiennego
c_pe	Współczynnik ciśnienia zewnętrznego
q_p	Ciśnienie prędkości porywów wiatru
h	Wysokość budynku

Obciążenie obliczeniowe od wiatru

Odkształcenie stężenia usztywniającego przedstawiono na rys. 8. Obciążenia zostały przy tym ponownie o połowę zmniejszone, ponieważ występują dwa stężenia usztywniające.

8 Poziome przemieszczenie stężenia usztywniającego

Dopuszczalne odkształcenie wynosi:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dozwolone odkształcenie

Potwierdza to założenie o bardzo sztywnym stężeniu i jest zgodne z niemal identycznymi krytycznymi momentami zginającymi układu ze sztywnymi podpórkami pośrednimi oraz układu z elastycznym łożyskowaniem pręta.

Podsumowanie

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
bez podpór pośrednich	134,52 kNm	136,39 kNm
ze sztywnymi podpórkami pośrednimi	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
z elastycznym łożyskowaniem pręta	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Pokazano, jakie możliwości w budownictwie drewnianym istnieją do badania przewrócenia belek zginanych. W przypadku powszechnie stosowanych metod należy zwrócić uwagę, aby stężenia usztywniające były wystarczająco sztywne, tak aby można było przyjąć sztywne podparcia. W zależności od tego pokazano odpowiednie warianty, jeśli to założenie nie jest spełnione. Zasadniczo belki zginane oraz stężenia usztywniające muszą być jeszcze sprawdzone pod względem nośności i użytkowalności zgodnie z odpowiednią normą. Nie jest to jednak przedmiotem tego artykułu.

Autor

Gerhard pracuje w dziale Product Engineering w obszarze konstrukcji drewnianych i dodatkowo wspiera Customer Support. Swoje doświadczenie w zakresie rozwoju wykorzystuje do tworzenia praktycznych i możliwych do wdrożenia rozwiązań.

Odnośniki

Odniesienia

DIN. (2013). Załącznik krajowy – Eurokod 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statyka i stateczność konstrukcji budowlanych, 2. wydanie. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normy austriackie. (2015). Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlin: Beuth Verlag GmbH.

Pobrane

Model artykułu bazy wiedzy | Przykłady 2

1,05 MB

;