7610x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2024-09-19

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 2

W poprzednim artykule Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1 praktyczne zastosowanie do wyznaczania krytycznego momentu zginającego M_crit lub krytycznego naprężenia zginającego σ_crit dla wyboczenia bocznego belki zginanej zostało omówione na prostych przykładach. W tym artykule krytyczny moment zginający jest wyznaczany z uwzględnieniem sprężystego podparcia wynikającego z układu stężeń.

Wyboczenie boczno-skrętne w konstrukcjach drewnianych - przykłady 1

Model statyczny

Dla układu przedstawionego na kolejnym obrazku należy zbadać belki pod kątem przewrócenia. W płaszczyźnie dachu znajdują się sześć belek jako tragarze równoległe o długości 18 m oraz dwa stężenia usztywniające. Belki na ścianach szczytowych są podparte słupami i nie są uwzględniane w obliczeniach. Na belki działa obciążenie obliczeniowe q_d o wartości 10 kN/m. Chodzi przede wszystkim o wyznaczenie krytycznego momentu zwichrzeniowego. Nie omawia się dalej sprawdzenia w stanie granicznym nośności ani w stanie granicznym użytkowalności.

1 Model statyczny

Dane modelu

GL24h	-	-	Materiał zgodnie z EN 14080
L	18	m	Długość elementu
b	120	mm	Szerokość elementu
h	1.200	mm	Wysokość elementu
I_z	172.800.000	mm⁴	Moment bezwładności
I_T	647.654.753	mm⁴	Moment bezwładności przy skręcaniu
q_d	10	kN/m	Obciążenie obliczeniowe
a_z	600	mm	Położenie obciążenia
e	600	mm	Położenie podparcia

Informacje

Nawet jeśli w poniższych równaniach dla E i G nie podano wyraźnie w indeksie odniesienia do wartości kwantyla 5%, zostały one mimo to odpowiednio uwzględnione.

Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta bez podpór pośrednich

Belka jednoprzęsłowa na łożyskach widełkowych bez podpór pośrednich

2 Belka jednoprzęsłowa z łożyskowaniem widełkowym bez podpór pośrednich

Dla pełności najpierw analizuje się belkę bez bocznego podparcia (zob. obraz 02). Długość zastępcza pręta przy przyłożeniu obciążenia na górnej krawędzi belki przy a₁ = 1,13 i a₂ = 1,44 wynosi:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Długość pręta zastępczego

Krytyczny moment zginający można następnie obliczyć następująco:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Krytyczny moment zginający

W tych przykładach pomija się zwiększenie iloczynu 5-procentowych kwantyli parametrów sztywności ze względu na homogenizację belek z drewna klejonego warstwowo.

Moment zginający działający na belki wynosi:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Moment obliczeniowy

Analiza wartości własnych daje w wyniku współczynnik wyboczeniowy 0,32. Stąd wynika krytyczny moment zginający

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Krytyczny moment zginający z rozwiązania wartości własnych

a zatem jest on identyczny z wynikiem rozwiązania analitycznego.

Szczegół sprawdzenia z wyświetleniem krytycznego współczynnika obciążenia i krytycznego momentu zginającego

3 Szczegółowy wynik sprawdzenia z wyświetleniem krytycznego współczynnika obciążenia oraz krytycznego momentu zginającego

Jak należało się spodziewać dla tej niepodpartej, smukłej belki, działający moment zginający jest większy (o współczynnik 3) od krytycznego momentu zginającego, a belka nie jest więc dostatecznie zabezpieczona przed przewróceniem. Ma temu jednak przeciwdziałać stężenie, które zostanie teraz uwzględnione w obliczeniach.

Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta ze sztywnymi podpórkami pośrednimi

Jednoprzęsłowa belka na podporach widełkowych ze sztywnymi podporami pośrednimi

4 Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z sztywnymi podpórkami pośrednimi

Jeżeli stężenie usztywniające jest dostatecznie sztywne, w praktyce często jako długość zastępczą do sprawdzenia na zwichrzenie przyjmuje się rozstaw bocznych podparć (na przykład przez płatwie). Postępowanie to zostało już przedstawione we wcześniejszym artykule Wyboczenie boczno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1.

Wyboczenie giętno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Przykłady 1

Jako L przyjmuje się zatem 2,25 m. Dla a₁ = 1,00 i a₂ = 0,00 otrzymuje się:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Długość zastępcza

Dla krytycznego momentu zginającego otrzymuje się:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Krytyczny moment zginający

Ponieważ moment zginający działający na belkę jest mniejszy od krytycznego momentu zginającego, belka przy założeniu sztywnych podpór pośrednich nie jest zagrożona zwichrzeniem.

Analiza wartości własnych z dodatkiem RF-/FE-BGDK daje w wyniku współczynnik wyboczeniowy 2,7815. Stąd wynika krytyczny moment zginający

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_crit	Kritisches Biegemoment
η	Verzweigungslastfaktor
M_d	Bemessungsmoment

Krytyczny moment zginający

M_crit = 2,7815 ⋅ 405 kNm = 1.126,50 kNm

5 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

Belka jednoprzęsłowa przegubowo podparta z elastycznym łożyskowaniem pręta

Belka jednoprzęsłowa z podparciem bocznym i skrętnym oraz sprężystym podłożem prętowym

Jak wyjaśniono w Wyboczenie boczno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Teoria, w [1] dla prętów elastycznie podpartych wyznaczanie długości zastępczej rozszerza się o współczynniki α i β.

Wyboczenie z wyboczeniem skrętnym przy zginaniu w konstrukcjach drewnianych | Teoria

Dzięki temu możliwe jest uwzględnienie sztywności na ścinanie stężenia usztywniającego dla zwichrzenia belek. Wyznaczenie sztywności na ścinanie stężenia można przeprowadzić na przykład według [2] rys. 6.34. Jak z tego wynika, zależy ona od typu stężenia, od sztywności osiowej krzyżulców i słupków, od nachylenia krzyżulców oraz od podatności łączników. Dla stężenia przedstawionego na rysunku 01 otrzymuje się sztywność na ścinanie:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

Przy czym E_D jest modułem E krzyżulców, a A_D ich polem przekroju. Powyższe równanie nie uwzględnia jednak podatności łączników krzyżulców. Tę oraz wydłużenie prętów krzyżulców można uwzględnić przez fikcyjne pole przekroju A_D'. Otrzymuje się:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Umowne pole przekroju przekątnych

Krzyżulce mają wymiary b/h = 120/200 mm i długość L_D równą 4,59 m. Moduł przemieszczeniowy połączenia po każdej stronie krzyżulców ma wynosić 110.000 N/mm.

Pole idealne wynosi zatem

A_D' = 12.548 mm²

a więc sztywność na ścinanie stężenia, przy kącie krzyżulców do pasa równym 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Idealna sztywność usztywnienia na ścinanie

s_id = 44.864 kN

Łożyskowanie pręta na jedno stężenie można z tego zgodnie z [2] wzorem 7.291 przekształcić następująco:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Sprężyste podparcie pręta na stężenie

Dla dwóch stężeń i sześciu belek dla każdej belki dostępna jest następująca stała sprężyny:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Sprężyste podłoże pręta na pręt kratownicy

K_y = 455,6 kN/m² = 0,456 N/mm²

Przy założeniu, że K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 oraz a₂ = 1,44, długość zastępcza wynosi:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

długość pręta zastępczego

l_ef = 0,13

Krytyczny moment zginający przyjmuje w ten sposób utopijną wartość:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Krytyczny moment zginający

M_crit = 18.482,84 kNm

Można by oczekiwać wartości podobnej do układu ze sztywnymi podpórkami pośrednimi. Jak wyjaśniono w Wyboczenie boczno-skrętne w konstrukcjach drewnianych | Teoria, stosowanie rozszerzonego wzoru z α i β jest ograniczone w użyciu.

Wyboczenie z wyboczeniem skrętnym przy zginaniu w konstrukcjach drewnianych | Teoria

Ściśle rzecz ujmując, ma on zastosowanie tylko wtedy, gdy występuje ugięcie w postaci dużego łuku sinusoidalnego. Czyli wtedy, gdy łożyskowanie jest bardzo podatne. W tym przykładzie nie ma już takiego przypadku. Wielofalowe postacie własne, które przy większych sztywnościach sprężyn prowadzą do najmniejszego współczynnika wyboczeniowego, nie są uwzględnione w tym równaniu, ponieważ opiera się ono na jednofalowym przebiegu sinusoidalnym.

Jak widać na rysunku 07, analiza wartości własnych daje wielofalową postać własną.

6 Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

W tym przypadku można zastosować procedurę wyprowadzoną przez prof. dr. Heinricha Kreuzingera (2020). Krytyczny moment zginający oblicza się następująco:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Krytyczny moment zginający

Stała n oznacza 1., 2., 3.… rozwiązanie własne. Należy zatem zbadać kilka rozwiązań własnych, a najmniejszy krytyczny moment zginający jest wtedy rozstrzygający. Dla n = 1…30 otrzymuje się następujące krytyczne momenty zginające.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Dla n = 6 M_crit ma wartość minimalną i wynosi 1.282,70 kNm.

Rozwiązanie z analizy wartości własnych z dodatku RF-/FE-BGDK (zob. rysunek 07) daje:

M_crit = 3,4376 ⋅ 405 kNm = 1.397,25 kNm

Oba wyniki bardzo dobrze się pokrywają. Rozwiązanie analityczne znajduje się jednak po bezpiecznej stronie, ponieważ w tej procedurze zakłada się uproszczony, stały przebieg momentu zginającego. Stałemu krytycznemu momentowi zginającemu M_crit przypisuje się następnie krytyczne obciążenie qcrit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Obciążenie krytyczne

Ponieważ łożyskowanie pręta w tym przykładzie należy uznać za bardzo sztywne i jest ono rozłożone równomiernie na długości belki, otrzymuje się nieco wyższe krytyczne momenty zginające niż przy sztywnym pojedynczym podparciu.

Zgodnie z [3] rozdział 9.2.5.3 (2) stężenia usztywniające muszą być tak sztywne, aby nie została przekroczona pozioma deformacja L/500. Obliczenia należy przy tym przeprowadzić z wartościami obliczeniowymi sztywności (zob. [1] rozdział NCI do 9.2.5.3).

Dla k_crit = 0,195, H = 5 m oraz q_p = 0,65 kN/m² jako ciśnienie prędkości podmuchu otrzymuje się następujące obciążenia (zob. [3] rozdział 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Siła stabilizująca dla cięciwy ściskanej

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405 / 1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Obciążenie usztywniające

q_d = 2,76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Obliczenia obciążenia wiatrem

q_d,wind = 1,5 ⋅ (0,7 + 0,3) ⋅ 0,65 ⋅ 5 / 2 = 2,44 kN/m

Odkształcenie stężenia usztywniającego przedstawiono na rysunku 08. Obciążenia zostały przy tym jeszcze raz o połowę zmniejszone, ponieważ występują dwa stężenia usztywniające.

Poziome przemieszczenie stężenia usztywniającego

Dopuszczalne odkształcenie wynosi:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Dozwolone odkształcenie

Potwierdza to założenie bardzo sztywnego stężenia i jest zgodne z niemal identycznymi krytycznymi momentami zginającymi układu ze sztywnymi podpórkami pośrednimi oraz układu z elastycznym łożyskowaniem pręta.

Podsumowanie

Pokazano, jakimi sposobami w konstrukcjach drewnianych można badać przewrócenie belek zginanych. W przypadku powszechnie stosowanych metod należy zwracać uwagę na to, aby stężenia usztywniające były dostatecznie sztywne, by można było przyjąć sztywne podpory. Odpowiednio pokazano warianty na wypadek, gdyby to założenie nie było spełnione. Zasadniczo belki zginane oraz stężenia usztywniające muszą być jeszcze zgodnie z odpowiednią normą sprawdzone pod względem nośności i użytkowalności. Nie jest to jednak przedmiotem tego artykułu.

Autor

Pan Rehm jest odpowiedzialny za rozwój produktów do konstrukcji drewnianych i zapewnia wsparcie techniczne dla klientów.

Odnośniki

Odniesienia

DIN. (2013). Załącznik krajowy – Eurokod 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statyka i stateczność konstrukcji budowlanych, 2. wydanie. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normy austriackie. (2015). Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków; DIN EN 1995-1-1:2010-12. Berlin: Beuth Verlag GmbH.

;