298x

001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

2025-10-17

Вычисление нагрузок в спектрально-динамическом анализе и упрощённом сейсмическом анализе

Пошаговый расчет выполняется для понимания того, как анализ спектра ответа (RSA) рассчитывает сейсмические нагрузки. Рассматривая эти операции, легче понять последующие процедуры для проведения сейсмического анализа, такие как анализ эквивалентных нагрузок (ELA). Формы колебаний предполагаются уже доступными, и несколько результатов модального анализа, относящихся к RSA, первоначально воспроизводятся.

Исследование

Трехэтажное здание может быть упрощено до системы с тремя степенями свободы (3-SDF). В RFEM разработана идеализированная модель, где каждый элемент настроен таким образом, чтобы иметь точки сетки только на концах элементов. Настройки матрицы масс в RSA учитывают только компоненты массы в направлении X. Это гарантирует, что расчет RFEM максимально приближен к "чистой" системе с 3-SDF. Это предположение соответствует классическому анализу здания, где все степени свободы считаются на уровне плит.

KB 001985 | Рассчёт нагрузок в анализе спектра реакций и упрощённом сейсмическом расчёте

1 Тематическое исследование - Упрощённое 3-этажное здание

Вертикальные нагрузки были заданы в узлах и использовались как источник массы. Поперечное сечение выбрано таким образом, чтобы достичь основного периода, близкого к ожидаемому значению для трехэтажного здания, используя правило приблизительно 0.1 секунды на этаж. Матрица жесткости не рассматривается в этом примере, но она подразумевается в результатах модальных форм.

KB 001985 | Вычесление продгрузок в динамическом анализе и упрощённых сеизмических расчётах

2 Нагрузки и массы в упрощённой модели

Входные данные: Модальные формы

Следующая информация извлечена из модального анализа в RFEM (LC2). Поскольку в системе есть только 3 степени свободы, настройки модального анализа должны быть сконфигурированы для поиска не более трех мод.

Матрица масс

В таблице "Массы в точках сетки" в "Модальном анализе" приведены предполагаемые массы в модели. На основе этой таблицы может быть построена следующая матрица:

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Матрица масс

Массматрица для системы 3-DOF

Модальные формы

Вкладка "Узлы по модальным формам" в таблице "Результаты по узлам" в "Модальном анализе" суммирует нормализованные перемещения по модам. Эта информация может быть записана в виде векторов:

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Собственная форма для режима 1
ϕ₂	Форма колебаний для 2 собственного состояния
ϕ₃	Собственная форма для с собственной частотой 3

Формы колебаний ССК с 3 ССSD

Естественные периоды вибрации

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Период колебаний для первой формы
T₂	Период колебаний формы 2
T₃	Период колебаний 3-й формы

Периоды собственных колебаний системы с тремя СТС

Как описано в Онлайн-мануале - Модальный анализ (ссылка ниже), требуется матрица преобразования между глобальными и локальными координатами. Поскольку ориентация степеней свободы совпадает с глобальной осью X, эта матрица имеет тривиальное определение.

Собственные частоты | Онлайн-руководства RFEM 6 / RSTAB 9 | Динамический расчёт

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Матрица преобразования

Матрица преобразования для системы с 3 СОС

Воспроизведение результатов модального анализа

В этом разделе воспроизводятся результаты модального анализа, которые требуются для RSA с использованием матричных операций. Результаты могут быть сравнены со значениями LC2 в RFEM.

1. Модальная масса

Модальная масса может быть получена с помощью следующей операции поперечного произведения. Для первой моды показана полная операция; для мод 2 и 3 значение указано. Этот формат сохраняется для всех операций.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Масса Модальный для номера формы колебаний i

Расчёт модальных масс для системы с 3 степенями свободы

2. Коэффициенты участия

Коэффициенты участия могут быть рассчитаны с помощью следующей операции:

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Коэффициент участия для i-го номера формы

Вычисление коэффициентов участия для системы с 3 ССО

3. Эффективная модальная масса

Эффективная модальная масса на моду получается на основе двух ранее рассчитанных величин.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Эффективная масса формы с номером i

Расчёт приведённой массы форм собственного колебания для системы с тремя степенями свободы

4. Коэффициенты эффективной модальной массы

Коэффициенты эффективной модальной массы могут быть рассчитаны как отношение эффективной модальной массы к общей массе в системе. Общая масса в системе равна сумме всех элементов в матрице масс.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Коэффициент эффективнй модальной массы для частоты форм i
∑M	Общая масса в системе

Вычисление коэффициента эффективной массы колебаний для системы с 3 СС

RSA: поэтапный расчет

1. Оценка результатов модального анализа

Большинство норм для зданий, устойчивых к землетрясениям, требуют определенного процента участия массы при использовании RSA. Наиболее распространенное правило - достигнуть 90% в сумме коэффициентов эффективной модальной массы. Расчет коэффициентов эффективной модальной массы служит целью проверки этого требования. Для рассматриваемого исследования правило может быть записано следующим образом:

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Строительное положение об участии масс

2. Чтение спектрального ускорения из спектра отклика для каждого периода

Выбор стандарта для генерации спектра не имеет значения для расчета, при условии использования соответствующих значений спектрального ускорения. Следующая информация прямо извлечена из настроек анализа RSA (LC12) в RFEM.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Спектральное ускорение формы i

Значения спектрального ускорения для каждой формы 3-СОС системы

3. Расчет вектора сил реакции для каждой моды

Этот вектор представляет силы, которые, будучи приложены к системе, симулируют действие моды на систему. Другими словами, вектор содержит статические силы, которые симулируют динамическую проблему для заданной моды.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Вектор силы во времени i

Вычесление векторов ответных сил для каждой формы

4. Альтернативная процедура для вектора сил реакции

Альтернативная процедура получения вектора сил заключается в расчете базового сдвига для каждой моды, а затем распределении его согласно нормализованной модальной форме. Эта формулировка ближе к подходу современных норм для зданий, устойчивых к землетрясениям, в которых базовый сдвиг используется для контроля и проверки пригодности динамического анализа. Следующие шаги кратко описывают этот подход; расчет выполняется только для первой моды:

Рассчитать базовый сдвиг

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Базовый сдвиг для формы i

Базовая сдвиговая сила для альтернативной процедуры

Рассчитать максимальную силовую нагрузку на этаж

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Максимальная сила формы колебаний i

Максимальное усилие перекрытия для альтернативного метода

Рассчитать вектор сил

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Вектор отклика для альтернативной процедуры

5. Статическое решение для каждого вектора сил и физическая интерпретация знака

Следующим шагом является применение векторов сил по модам к системе и статическое решение системы. Статическое решение предоставляет оценку перемещений и внутренних сил в системе для каждой моды. Два важных условия вычисленных сил еще не были учтены. Во-первых, поскольку ответ является вибрацией, максимальное значение может произойти как в минус X, так и в плюс X направлении. Во-вторых, землетрясение может прийти как с +X направления, так и с -X направления. Соответственно, вычисленные силы по модам также должны быть приложены после умножения на минус один. Для этого по модам определяются два случая нагрузок, учитывающие минус и плюс X направления. LC3 по LC8 содержат полный набор сил для трех мод и плюс-минус X направлений. Следующее изображение суммирует нагрузки.

KB 001985 | Расчёт нагрузок в анализе спектра реакций и упрощённых сейсмических расчётах

Векторы сил, приложенные к упрощённой модели

Результаты внутренних сил показаны в следующем разделе, где они напрямую сравниваются с соответствующими результатами RSA.

6. Сравнение результатов между RSA в RFEM и генерируемыми статическими LC с векторами сил

Три случая RSA определены в модели RFEM для сравнения результатов со статическими случаями нагрузки из предыдущего раздела. LC9, LC10 и LC11 соответствуют RSA для моды 1, моды 2 и моды 3 соответственно. Следующие три изображения сравнивают результаты одного набора сил на моду с результатами RSA LC в программе. Для ориентации каждое окно содержит информацию о номере LC и отображаемых внутренних силах. Соответствие между результатами доказывает, что внутренние силы RSA, рассчитанные RFEM, совпадают со степ-бай-степ векторами сил.

KB 001985 | Расчёт нагрузок в методе спектров реакций и упрощённых сейсмических анализах

Сравнение результатов для 1-й формы

KB 001985 | Вычисление нагрузок при анализе спектра реакций и упрощённых сейсмических расчётах

Сравнение результатов для формы 2

KB 001985 | Вычисление нагрузок в спектрально-динамическом анализе и упрощённом сейсмическом анализе

Сравнение результатов для формы 3

7. Итоговые результаты: метод модальной комбинации

В соответствии с предположениями RSA, результаты от отдельных мод должны быть объединены с использованием соответствующего правила. Онлайн-мануал (ссылка ниже) предоставляет обзор доступных в RFEM правил комбинации. В этом примере будет использоваться правило SRSS из-за его простоты и пригодности для ручного расчета. Следующая таблица суммирует расчет сдвига истории (Vz) с использованием правила SRSS, с операцией, записанной в виде уравнения.

Настройки спектрального анализа

Node	Сдвиг 1-ой моды	Сдвиг 2-ой моды	Сдвиг 3-ой моды	Сдвиг истории совмещенный
1	6664.94 N	-965.07 N	134.55 N	6735.79 N
2	10210.68 N	486.37 N	-300.90 N	10226.69 N
3	11255.74 N	1716.50 N	318.44 N	11390.33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Сдвиг по этажам в узле 2 с применением метода модального комбинирования SRSS

Сюда,Пожалуйста,вWashington

Еще одним важным требованием RSA является то, что операции между совмещенными результатами не допускаются. Примером параметра, требующего особого внимания в соответствии с этим правилом, является межэтажный дрейф, который представляет собой относительное перемещение между верхом и низом определенной истории. Относительное смещение истории должно быть рассчитано по моде, а затем применено модальное правило комбинации. Противоречит принципам RSA использовать "совмещенные" результаты для перемещения при расчете данного параметра. Для более глубокого понимания этого вопроса ознакомьтесь с нашей статьей в базе знаний:

КБ 1885 | Оценка перемещения этажа при сейсмических нагрузках по норме ASCE 7-22 и модели здания

Анализ эквивалентных нагрузок (ELA) и RSA

В этом разделе предоставляется краткий обзор результатов в свете процедуры ELA.

Ручные нагрузки LC3 по LC8 будут основным результатом ELA. Кроме того, будет определена комбинация результатов с использованием выбранного метода модальной комбинации. ELA использует силы RSA и не рассчитывает сейсмические нагрузки отдельно. Таким образом, можно заключить, что ELA основана на модальном анализе и RSA. ELA популярна среди инженеров-практиков, поскольку "способна сохранять знак" и "проще для понимания, чем RSA". Хотя второе утверждение в основном верно, утверждение о том, что метод RSA не сохраняет знак, подлежит обсуждению. Ясно, например, что результаты LC3 и LC4 полностью воспроизводятся в LC9, включая их знак.

Еще одной особенностью ELA является то, что созданные случаи нагрузок могут учитывать нелинейности. В результате часто предполагается, что процедура ELA имеет меньше ограничений, чем RSA. Тем не менее, основой как сил RSA, так и ELA является модальный анализ, который линеаризует структуру, если в модели задана какая-либо нелинейность. Следовательно, при использовании ELA на структуре с нелинейностями, не все предположения анализа сохраняются: силы, рассчитанные на линеаризованной структуре, применяются к структуре с нелинейностями. Это может привести к разным результатам, и необходимо быть внимательным при выполнении этого типа анализа. Достоверность этого утверждения зависит от типа нелинейности и от того, насколько она влияет на общий ответ системы. Более подробное обсуждение этого вопроса предоставлено в следующей статье базы знаний:

КБ 1833 | Использование нелинейностей при анализе спектра реакций в RFEM 6

Заключительные замечания

Этот поэтапный расчет RSA предоставляет ясность в отношении происхождения сил RSA. RSA лучше понять как применение модального анализа, а не как полноценную процедуру саму по себе. Ключ к значительным результатам RSA - это тщательно изученный модальный анализ, поскольку RSA выполняет операции, основанные на модальных результатах, без пересчета структурных свойств. ELA стремится воспроизвести результаты RSA, предлагая при этом упрощенное представление сил или более упрощенный анализ. Эта статья помогает прояснить соотношение между RSA, ELA и модальным анализом.

KB 001985 | Вычисление нагрузок в анализе спектра реакций и упрощенном сейсмическом расчёте

75x

12x

Колонна, представляющая систему с 3 ССД для генерации нагрузок АСС

Автор

Господин Идальго отвечает за развитие в области динамики.

Ссылки

Американское общество инженеров-строителей (ASCE). (2022). «Минимальные проектные нагрузки и критерии для зданий и других сооружений», ASCE/SEI 7-22.

;