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Victor Hidalgo, M.Sc.

17.10.2025

Calcul des charges dans les analyses du spectre de réponse et les analyses sismiques simplifiées

Un calcul étape par étape est effectué pour comprendre comment l’analyse du spectre de réponse calcule les charges sismiques. En examinant ces opérations, il est plus facile de comprendre les procédures ultérieures pour l'analyse sismique des bâtiments, telles que l’analyse des charges équivalentes. Les modes propres sont présumés disponibles, et plusieurs résultats d'analyse modale pertinents pour l’analyse du spectre de réponse sont initialement reproduits.

Étude de cas

Un bâtiment de trois étages peut être simplifié en un système à 3 degrés de liberté (DDL). Un modèle idéalisé, où chaque élément est configuré pour avoir des points de maillage uniquement à ses extrémités est développé dans RFEM. Les paramètres de la matrice de masse dans l’analyse du spectre de réponse ne prennent en compte que les composants de masse en direction X. Cela permet d’assurer que le calcul RFEM est aussi proche que possible d'un système à 3 DDL « pur ». Cette hypothèse correspond à l’analyse classique d’un bâtiment, où tous les DDL sont présumés au niveau de la dalle.

KB 001985 | Calcul de charge dans l’analyse du spectre de réponse et les analyses sismiques simplifiées

1 Étude de cas - Bâtiment simplifié de 3 étages

Des charges verticales ont été définies aux nœuds et utilisées comme source de masse. La section est sélectionnée pour atteindre une période fondamentale proche de la valeur attendue pour un bâtiment de trois étages, en utilisant la règle d’approximation de 0,1 seconde par étage. La matrice de rigidité n’est pas traitée dans cet exemple, mais elle est implicite dans les résultats des formes modales.

KB 001985 | Calcul des charges dans l’analyse du spectre de réponse
et analyses sismiques simplifiées

2 Charges et masses dans un modèle simplifié

Données d'entrée : Modes propres

Les informations suivantes sont extraites de l’analyse modale dans RFEM (CC2). Étant donné qu’il n’y a que 3 DDL dans le système, les paramètres pour l’analyse modale doivent être configurés pour trouver un maximum de trois modes.

Matrice de masse

Le tableau « Masses aux points de maillage » dans « Analyse modale » rapporte les masses présumées dans le modèle. À partir de ce tableau, la matrice suivante peut être constituée :

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Matrice de masse

Matrice des masses pour le système 3 DDL

Modes propres

L’onglet « Nœuds par mode propre » dans le tableau « Résultats par nœud » dans « Analyse modale » résume les déplacements normalisés par mode. Ces informations peuvent être écrites sous forme de vecteurs :

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Déformée du mode 1
ϕ₂	Mode propre 2
ϕ₃	Déformée du mode 3

Déformées modales du système à 3 DDL

Périodes naturelles de vibration

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Période de vibration du mode 1
T₂	Période de vibration pour le mode 2
T₃	Période propre du mode 3

Périodes propres de vibrations du système à 3 DDL

Comme le décrit le manuel en ligne du module complémentaire Analyse modale (lien ci-dessous), une matrice de transformation entre les coordonnées globales et locales est requise. Étant donné que l’orientation des DDL coïncide avec l’axe X global, cette matrice a une définition triviale.

Fréquences propres | Manuels en ligne RFEM 6 / RSTAB 9 | Analyse dynamique

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Matrice de transformation

Matrice de transformation pour le système à 3 DDL

Reproduction des résultats de l’analyse modale

Cette section reproduit les résultats de l’analyse modale nécessaires pour l’analyse du spectre de réponse en utilisant des opérations matricielles. Les résultats peuvent être comparés avec les valeurs RFEM du CC2.

1. Masse modale

La masse modale peut être obtenue avec l’opération matricielle de produit en croix suivante. Pour le premier mode, l’opération complète est présentée ; pour les modes 2 et 3, la valeur est rapportée. Ce format est maintenu pour toutes les opérations.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Masse modale pour le numéro de mode i

Calcul de la masse modale pour le système à 3 DDL

2. Facteurs de participation

Les facteurs de participation peuvent être calculés avec l’opération suivante :

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Facteur de participation pour le numéro de mode i

Calcul des facteurs de participation pour un système à 3 DDL

3. Masse modale effective

La masse modale effective par mode est obtenue en fonction des deux quantités calculées précédemment.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Masse modale efficace du mode i

Calcul des masses modales effectives pour système à 3 DDL

4. Facteurs de masse modale effective

Les facteurs de masse modale effective peuvent être calculés comme le rapport de la masse modale effective à la masse totale dans le système. La masse totale dans le système est la somme de toutes les entrées dans la matrice de masse.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Facteur de masse modale efficace du numéro de mode i
∑M	Masse totale dans le système

Calcul du facteur de masse modale effective pour le système à 3 degrés de liberté

Analyse du spectre de réponse : Calcul étape par étape

1. Évaluation des résultats de l’analyse modale

La plupart des codes de construction antisismique exigent un certain pourcentage de participation de masse lorsque l’analyse du spectre de réponse est utilisée. La règle la plus courante est d’atteindre 90 % dans la somme des facteurs de masse modale effective. Le calcul des facteurs de masse modale effective sert à vérifier cette exigence. La règle peut être écrite pour l’étude de cas comme suit :

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Exigence du code du bâtiment pour la participation des masses

2. Lire l’accélération spectrale du spectre de réponse pour chaque période

La sélection de la norme pour la génération du spectre n’a pas d’importance pour le calcul, tant que les valeurs d’accélération spectrale correspondantes sont utilisées. Les informations suivantes sont directement extraites des paramètres d’analyse du spectre de réponse (CC12) dans RFEM.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Accélération spectrale du mode i

Valeurs d’accélération spectrale pour chaque mode du système à 3 DDL

3. Calculer le vecteur de force de réponse pour chaque mode

Ce vecteur représente les forces qui, lorsqu’elles sont appliquées au système, simulent l’action d’un mode sur le système. En d’autres termes, le vecteur contient les forces statiques qui simulent le problème dynamique pour un mode donné.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Vecteur de forces du mode i

Calcul des vecteurs de forces de réponse pour chaque mode

4. Procédure alternative pour le vecteur de force de réponse

Une procédure alternative pour obtenir le vecteur de force consiste à calculer la force de base pour chaque mode et à la distribuer ensuite selon le mode propre normalisée. Cette formulation est plus proche de l'approche des codes de construction antisismique modernes, où l’effort tranchant à la base est utilisée pour contrôler et vérifier l’adéquation de l’analyse dynamique. Les étapes suivantes résument cette approche, le calcul est effectué uniquement pour le premier mode :

Calculer l’effort tranchant à la base

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Effort tranchant à la base pour le mode i

Effort tranchant de base pour procédure alternative

Calculer la force maximale des étages

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Force maximale du mode i

Force maximale au plancher pour méthode alternative

Calculer le vecteur de force

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Vecteur de réponse pour méthode alternative

5. Solution statique pour chaque vecteur de force et interprétation physique du signe

La prochaine étape consiste à appliquer les vecteurs de force par mode au système et à résoudre le système statiquement. La solution statique fournit le déplacement estimé et les efforts internes sur le système pour chaque mode. Deux conditions importantes des forces calculées n’ont pas encore été prises en compte.

Premièrement, comme la réponse est une vibration, la valeur maximale pourrait se produire soit en direction négative X, soit en direction positive X.

Deuxièmement, le séisme peut provenir soit de la direction +X, soit de la direction -X. Par conséquent, les forces calculées par mode doivent également être appliquées après avoir été multipliées par moins un. Pour cela, deux cas de charges sont définis par mode, en tenant compte des directions -X et +X. Les CC3 à CC8 contiennent l’ensemble complet de forces pour trois modes et les directions plus-moins X. L’image suivante résume les charges.

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Vecteurs de force appliqués sur un modèle simplifié

Les résultats des efforts internes sont présentés dans la section suivante, où ils sont directement comparés aux résultats correspondants de l’analyse du spectre de réponse.

6. Comparaison des résultats entre l’analyse du spectre de réponse dans RFEM et les CC statiques générées avec les vecteurs de force

Trois cas d’analyse du spectre de réponse sont définis dans le modèle RFEM pour la comparaison des résultats avec les cas de charge statiques de la section précédente. CC9, CC10 et CC11 sont l’analyse du spectre de réponse pour le Mode 1, le Mode 2 et le Mode 3, respectivement. Les trois images suivantes comparent les résultats d’un ensemble de forces par mode avec les résultats des cas de charge de l’analyse du spectre de réponse dans le logiciel. Pour l’orientation, chaque fenêtre contient des informations sur le numéro de CC et les efforts internes affichées. La correspondance entre les résultats prouve que les efforts internes de l’analyse du spectre de réponse calculés par RFEM correspondent aux forces vectorielles étape par étape.

KB 001985 | Calcul de charge dans l’analyse du spectre de réponse et analyse sismique simplifiée

Comparaison des résultats pour le mode 1

KB 001985 | Calcul des charges pour l’analyse du spectre de réponse et les analyses sismiques simplifiées

Comparaison des résultats pour le mode 2

KB 001985 | Calcul des charges dans l’analyse du spectre de réponse et les analyses sismiques simplifiées

Comparaison des résultats pour le mode 3

7. Résultats finaux : Méthode de combinaison modale

Selon les hypothèses RSA, les résultats des modes individuels doivent être combinés à l’aide d’une règle appropriée. Le manuel en ligne (lien ci-dessous) fournit un aperçu des règles de combinaison disponibles dans RFEM. Dans cet exemple, la règle SRSS sera utilisée en raison de sa simplicité et de sa pertinence pour le calcul manuel. Le tableau suivant résume le calcul des forces de cisaillement des étages (Vz) en utilisant la règle SRSS, avec l’opération écrite sous la forme d’une équation.

Paramètres pour l’analyse spectrale | Manuels en ligne pour RFEM 6 / RSTAB 9 | Analyse dynamique

Nœud	Cisaillement d’étage Mode 1	Cisaillement d’étage Mode 2	Cisaillement d’étage Mode 3	Cisaillement d’étage combiné
1	6664.94 N	-965.,07 N	134,55 N	6735,79 N
2	10210,68 N	486.37 N	-300.90 N	10226,69 N
3	11255,74 N	1716,50 N	318,44 N	11390,33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Effort tranchant dans l’étage au nœud 2 à l’aide de la méthode de combinaison modale SRSS

Calcul de cisaillement de la dalle dans le nœud 2 - Règle SRSS

Une autre exigence importante de l’analyse du spectre de réponse est que les opérations entre les résultats combinés ne sont pas autorisées. Un exemple d’un paramètre qui nécessite une attention particulière conformément à cette règle est le déplacement entre-étage, qui est le déplacement relatif entre le haut et le bas d'un étage défini. Le déplacement relatif de l’étage doit être calculé par mode, puis la méthode de combinaison modale peut être appliquée. Il va à l’encontre des principes de l’analyse du spectre de réponse d’utiliser des résultats « combinés » pour le déplacement lors du calcul de ce paramètre. Pour en savoir plus sur ce sujet, consultez l’article technique suivant :

ko 1885 | Évaluation du déplacement entre les étages sous charges sismiques selon l’ASCE 7-22 à l’aide du module complémentaire Modèle de bâtiment

Analyse des charges équivalentes (ELA) et analyse du spectre de réponse

Dans cette section, un aperçu des résultats à la lumière de la procédure ELA est présenté.

Les charges manuellement créées des CC3 à CC8 constitueraient le résultat central de l’ELA. De plus, une combinaison de résultats serait également définie avec la méthode de combinaison modale sélectionnée. L’ELA utilise les forces de l’analyse du spectre de réponse et ne calcule pas indépendamment les charges sismiques. Ainsi, on peut conclure que l’ELA est basée sur l’analyse modale et l’analyse du spectre de réponse. L’ELA est populaire parmi les ingénieurs praticiens parce qu’elle est « capable de conserver le signe » et « plus facile à comprendre que l’analyse du spectre de réponse ». Bien que la deuxième affirmation soit en grande partie vraie, il est discutable de prétendre que l’analyse du spectre de réponse ne préserve pas le signe. Il est clair, par exemple, que les résultats de CC3 et CC4 sont entièrement reproduits dans le CC9, y compris leur signe.

Une autre particularité de l’ELA est que les cas de charge générés peuvent prendre en compte des non-linéarités. Par conséquent, il est souvent présumé que la procédure ELA a moins de limitations que l’analyse du spectre de réponse. Néanmoins, la base des forces de l’analyse du spectre de réponse et de l’ELA est l’analyse modale, qui linéarise la structure si une non-linéarité est définie dans le modèle. Par conséquent, lors de l’utilisation de l’ELA sur une structure avec des non-linéarités, toutes les hypothèses de l’analyse ne sont pas préservées : les forces calculées sur une structure linéarisée sont appliquées à une structure avec des non-linéarités. Cela peut conduire à des résultats divergents, et il faut faire preuve de prudence lors de la réalisation de ce type d’analyse. La validité de cette assertion dépend du type de non-linéarité et de l’impact qu’elle a sur la réponse globale du système. Pour en savoir plus sur ce sujet, consultez l’article technique suivant :

KB 1833 | Utilisation des non-linéarités dans l’analyse du spectre de réponse dans RFEM 6

Conclusion

Ce calcul pas à pas de l’analyse du spectre de réponse apporte de la clarté sur l’origine des forces de l’analyse du spectre de réponse. L’analyse du spectre de réponse peut être mieux comprise comme une application de l’analyse modale, plutôt que comme une procédure complète en soi. La clé pour des résultats significatifs de l’analyse du spectre de réponse est une analyse modale soigneusement examinée, car l’analyse du spectre de réponse effectue des opérations basées sur les résultats modaux sans recalculer les propriétés structurelles. L’ELA vise à reproduire les résultats de l’analyse du spectre de réponse tout en offrant une représentation simplifiée des forces ou une analyse plus simplifiée. Cet article aide à clarifier la corrélation entre analyse du spectre de réponse, ELA et analyse modale.

KB 001985 | Calcul de charges dans l’analyse du spectre de réponse et analyses sismiques simplifiées

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Poteau représentant un système à 3 DDL pour la génération de charges RSA

Auteur

M. Hidalgo supervise le développement dans le domaine de la dynamique.

Liens

Références

American Society of Civil Engineers. (2022). « Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures », ASCE/SEI 7-22.

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