Étude de cas
Un bâtiment de trois étages peut être simplifié en un système à 3 degrés de liberté (DOF). Un modèle idéalisé est développé dans RFEM, où chaque élément est configuré pour avoir des points de maillage uniquement aux extrémités des éléments. Les paramètres de la matrice de masse dans le RSA ne prennent en compte que les composants de masse dans la direction X. Cela garantit que le calcul RFEM est aussi proche que possible d'un système « pur » à 3 DOF. Cette hypothèse correspond à l'analyse classique d'un bâtiment, où tous les DOF sont supposés au niveau de la dalle.
Des charges verticales ont été définies aux nœuds et utilisées comme source de masse. La section transversale est sélectionnée pour atteindre une période fondamentale proche de la valeur attendue pour un bâtiment de trois étages, en utilisant la règle d'approximativement 0,1 seconde par étage. La matrice de rigidité n'est pas traitée dans cet exemple, mais elle est implicite dans les résultats des formes modales.
Données d'entrée : Formes modales
Les informations suivantes sont extraites de l'analyse modale dans RFEM (LC2). Étant donné qu'il n'y a que 3 DOF dans le système, les paramètres de l'analyse modale doivent être configurés pour trouver un maximum de trois modes.
- Matrice de masse
Le tableau « Masses dans les points de maillage » dans « Analyse modale » rapporte les masses supposées dans le modèle. À partir de ce tableau, la matrice suivante peut être construite :
- Formes modales
L’onglet « Nœuds par forme modale » dans le tableau « Résultats par nœud » dans « Analyse modale » résume les déplacements normalisés par mode. Ces informations peuvent être écrites sous forme de vecteurs :
- Périodes naturelles de vibration
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T1 |
Période de vibration du mode 1 |
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T2 |
Période de vibration pour le mode 2 |
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T3 |
Période propre du mode 3 |
Reproduction des résultats de l'analyse modale
Cette section reproduit les résultats de l'analyse modale nécessaires pour le RSA en utilisant des opérations matricielles. Les résultats peuvent être comparés avec les valeurs RFEM du LC2.
1. Masse modale
La masse modale peut être obtenue avec l'opération matricielle de produit croisé suivante. Pour le premier mode, l'opération complète est présentée ; pour les modes 2 et 3, la valeur est rapportée. Ce format est maintenu pour toutes les opérations.
2. Facteurs de participation
Les facteurs de participation peuvent être calculés avec l'opération suivante :
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Facteur de participation pour le numéro de mode i |
3. Masse modale effective
La masse modale effective par mode est obtenue en fonction des deux quantités calculées précédemment.
4. Facteurs de masse modale effective
Les facteurs de masse modale effective peuvent être calculés comme le rapport de la masse modale effective à la masse totale dans le système. La masse totale dans le système est la somme de toutes les entrées dans la matrice de masse.
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feff-i |
Facteur de masse modale efficace du numéro de mode i |
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Masse totale dans le système |
RSA : Calcul étape par étape
1. Évaluation des résultats de l'analyse modale
La plupart des codes de construction résistants aux séismes exigent un certain pourcentage de participation de masse lorsque le RSA est utilisé. La règle la plus courante est d'atteindre 90 % dans la somme des facteurs de masse modale effective. Le calcul des facteurs de masse modale effective sert à vérifier cette exigence. La règle peut être écrite pour l'étude de cas comme suit :
2. Lire l’accélération spectrale du spectre de réponse pour chaque période
La sélection de la norme pour la génération du spectre est non pertinente pour le calcul, tant que les valeurs d'accélération spectrale correspondantes sont utilisées. Les informations suivantes sont directement extraites des paramètres d'analyse RSA (LC12) dans RFEM.
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Sa-i |
Accélération spectrale du mode i |
3. Calculer le vecteur de force de réponse pour chaque mode
Ce vecteur représente les forces qui, lorsqu'elles sont appliquées au système, simulent l'action d'un mode sur le système. En d'autres termes, le vecteur contient les forces statiques qui simulent le problème dynamique pour un mode donné.
4. Procédure alternative pour le vecteur de force de réponse
Une procédure alternative pour obtenir le vecteur de force consiste à calculer la force de base pour chaque mode et à la distribuer ensuite selon la forme modale normalisée. Cette formulation est plus proche de l'approche des codes de construction modernes résistant aux séismes, où la force de base est utilisée pour contrôler et vérifier l'adéquation de l'analyse dynamique. Les étapes suivantes résument cette approche ; le calcul est effectué uniquement pour le premier mode :
- Calculer la force de base
- Calculer la force maximale des étages
- Calculer le vecteur de force
5. Solution statique pour chaque vecteur de force et interprétation physique du signe
La prochaine étape consiste à appliquer les vecteurs de force par mode au système et à résoudre le système statiquement. La solution statique fournit le déplacement estimé et les forces internes sur le système pour chaque mode. Deux conditions importantes des forces calculées n'ont pas encore été prises en compte. Premièrement, comme la réponse est une vibration, la valeur maximale pourrait se produire soit dans la direction négative X, soit dans la direction positive X. Deuxièmement, le séisme peut provenir soit de la direction +X, soit de la direction -X. Par conséquent, les forces calculées par mode doivent également être appliquées après avoir été multipliées par moins un. Pour cela, deux cas de charges sont définis par mode, en tenant compte des directions -X et +X. Les LC3 à LC8 contiennent l'ensemble complet de forces pour trois modes et les directions plus-moins X. L'image suivante résume les charges.
Les résultats des forces internes sont présentés dans la section suivante, où ils sont directement comparés aux résultats RSA correspondants.
6. Comparaison des résultats entre le RSA dans RFEM et les LC statiques générées avec les vecteurs de force
Trois cas RSA sont définis dans le modèle RFEM pour la comparaison des résultats avec les cas de charge statiques de la section précédente. LC9, LC10 et LC11 sont RSA pour le Mode 1, le Mode 2 et le Mode 3, respectivement. Les trois images suivantes comparent les résultats d'un ensemble de forces par mode avec les résultats LC RSA dans le programme. Pour l'orientation, chaque fenêtre contient des informations sur le numéro de LC et les forces internes affichées. La correspondance entre les résultats prouve que les forces internes RSA calculées par RFEM correspondent aux forces vectorielles étape par étape.
7. Résultats finaux : Méthode de combinaison modale
Selon les hypothèses RSA, les résultats des modes individuels doivent être combinés en utilisant une règle appropriée. Le manuel en ligne (lien ci-dessous) fournit un aperçu des règles de combinaison disponibles dans RFEM. Dans cet exemple, la règle SRSS sera utilisée en raison de sa simplicité et de sa pertinence pour le calcul manuel. Le tableau suivant résume le calcul des forces de cisaillement des étages (Vz) en utilisant la règle SRSS, avec l'opération écrite sous la forme d'une équation.
| Nœud | Cisaillement d'étage Mode 1 | Cisaillement d'étage Mode 2 | Cisaillement d'étage Mode 3 | Cisaillement d'étage combiné |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6664.94 N | -965.07 N | 134.55 N | 6735.79 N |
| 2 | 10210.68 N | 486.37 N | -300.90 N | 10226.69 N |
| 3 | 11255.74 N | 1716.50 N | 318.44 N | 11390.33 N |
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Vz-2 |
Effort tranchant dans l’étage au nœud 2 à l’aide de la méthode de combinaison modale SRSS |
Une autre exigence RSA importante est que les opérations entre les résultats combinés ne sont pas autorisées. Un exemple d'un paramètre qui nécessite une attention particulière conformément à cette règle est le déplacement inter-étage, qui est le déplacement relatif entre le haut et le bas d'un étage défini. Le déplacement relatif de l'étage doit être calculé par mode, puis la méthode de combinaison modale peut être appliquée. Il va à l'encontre des principes RSA d'utiliser des résultats “combinés” pour le déplacement lors du calcul de ce paramètre. Pour de plus amples informations sur ce sujet, consultez notre article de la base de connaissances :
Analyse des charges équivalentes (ELA) et RSA
Dans cette section, un aperçu des résultats à la lumière de la procédure ELA est présenté.
Les charges manuellement créées des LC3 à LC8 constitueraient le résultat central de l’ELA. De plus, une combinaison de résultats serait également définie avec la méthode de combinaison modale sélectionnée. L’ELA utilise les forces RSA et ne calcule pas indépendamment les charges sismiques. Ainsi, on peut conclure que l’ELA est basée sur l'analyse modale et le RSA. L’ELA est populaire parmi les ingénieurs praticiens parce qu’elle est « capable de conserver le signe » et « plus facile à comprendre que le RSA ». Bien que la deuxième affirmation soit en grande partie vraie, il est discutable de prétendre que la méthode RSA ne préserve pas le signe. Il est clair, par exemple, que les résultats de LC3 et LC4 sont entièrement reproduits dans LC9, y compris leur signe.
Une autre particularité de l’ELA est que les cas de charge générés peuvent prendre en compte des non-linéarités. En conséquence, il est souvent supposé que la procédure ELA a moins de limitations que le RSA. Néanmoins, la base des forces du RSA et de l’ELA est l'analyse modale, qui linéarise la structure si une non-linéarité est définie dans le modèle. Par conséquent, lors de l'utilisation de l’ELA sur une structure avec des non-linéarités, toutes les hypothèses de l'analyse ne sont pas préservées : les forces calculées sur une structure linéarisée sont appliquées à une structure avec des non-linéarités. Cela peut conduire à des résultats divergents, et il faut faire preuve de prudence lors de la réalisation de ce type d'analyse. La validité de cette assertion dépend du type de non-linéarité et de l'impact qu’elle a sur la réponse globale du système. Une discussion plus détaillée sur ce sujet est fournie dans l'article de la base de connaissances suivante :
Remarques finales
Ce calcul pas à pas du RSA apporte de la clarté sur l'origine des forces RSA. Le RSA peut être mieux compris comme une application de l’analyse modale, plutôt que comme une procédure complète en soi. La clé pour des résultats RSA significatifs est une analyse modale soigneusement examinée, car le RSA effectue des opérations basées sur les résultats modaux sans recalculer les propriétés structurelles. L’ELA vise à reproduire les résultats du RSA tout en offrant une représentation simplifiée des forces ou une analyse plus simplifiée. Cet article aide à clarifier la corrélation entre le RSA, l’ELA et l’analyse modale.
