473x

001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

17.10.2025

Výpočet zatížení pomocí metody spektra odezvy a v jednoduché seizmické analýze

Pro pochopení toho, jak se pomocí analýzy spektra odezvy (RSA) počítá seizmické zatížení, provedeme výpočet krok za krokem. Na základě těchto operací je snazší pochopit následné postupy pro seizmickou analýzu budov, jako je například analýza náhradních zatížení (ELA). Předpokládáme, že vlastní tvary jsou již k dispozici, a nejprve znovu vytvoříme několik výsledků modální analýzy relevantních pro RSA.

Případová studie

Třípodlažní budovu lze zjednodušeně posuzovat jako systém se 3 stupni volnosti (3 DOF). V programu RFEM se vytvoří idealizovaný model, ve kterém jsou všechny prvky nastaveny tak, aby měly body sítě pouze na koncích prvků. Nastavení matice hmot v analýze spektra odezvy zohledňuje pouze hmotnostní komponenty ve směru X. Tím se zajistí, že výpočet v programu RFEM bude co nejblíže „čistému“ systému se 3 stupni volnosti. Tento předpoklad odpovídá klasické analýze budovy, kde se předpokládá, že všechny stupně volnosti jsou na úrovni desky.

KB 001985 | Výpočet zatížení při analýze spektra odezvy a při zjednodušených seizmických analýzách

1 Případová studie - Jednoduchá třípatrová budova

Vertikální zatížení se definovalo v uzlech a použilo jako zdroj hmotnosti. Průřez je zvolen tak, aby se dosáhlo základní periody blížící se očekávané hodnotě pro třípodlažní budovu, přičemž se používá aproximační pravidlo přibližně 0,1 sekundy na podlaží. Matice tuhosti se v tomto příkladu nezohledňuje, ale je implicitně zahrnuta ve výsledcích vlastních tvarů.

KB 001985 | Výpočet zatížení analýzou spektra odezv a zjednodušenými seizmickými analýzami

2 Zatížení a hmoty ve zjednodušeném modelu

Vstupní data: vlastní tvary

Následující informace jsou získány z modální analýzy v programu RFEM (LC2). Vzhledem k tomu, že systém má pouze 3 stupně volnosti, je nutné nastavit modální analýzu tak, aby našla maximálně tři tvary.

Matice hmot

Tabulka „Hmoty v bodech sítě“ v „Modální analýze“ uvádí předpokládané hmoty v modelu. Na základě této tabulky lze sestavit následující matici:

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Matice hmot

Matice hmot pro systém se 3 stupni volnosti

Vlastní tvary

Záložka „Vlastního tvary po uzlech“ v tabulce „Výsledky po uzlech“ v „Modální analýze“ shrnuje normalizované posuny po tvarech. Tyto informace lze zapsat jako vektory posunu:

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Vlastní tvar módu 1
ϕ₂	Vlastní tvar módu 2
ϕ₃	Vlastní tvar módu 3

Vlastní tvary systému se třemi stupni volnosti

Vlastní vibrační periody

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Perioda kmitání tvaru 1
T₂	Perioda kmitání pro tvar 2
T₃	Perioda kmitání pro tvar 3

Vlastní periody kmitání systému se 3 stupni volnosti

Jak je popsáno v online manuálu k addonu Modální analýza (odkaz níže), je zapotřebí transformační matice mezi globálními a lokálními souřadnicemi. Vzhledem k tomu, že orientace stupňů volnosti se shoduje s globální osou X, má tato matice triviální definici.

Vlastní frekvence | Online manuály RFEM 6 / RSTAB 9 | Dynamická analýza

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Matice transformace

Transformační matice pro systém se 3 stupni volnosti

Reprodukce výsledků modální analýzy

Tato část reprodukuje výsledky modální analýzy, které jsou potřebné pro analýzu spektra odezvy pomocí maticových operací. Výsledky lze porovnat s hodnotami ZS2 v RFEM.

1. Modální hmota

Modální hmotu lze získat pomocí následující maticové operace s vektorovým součinem. Pro první tvar je zobrazena kompletní operace; pro tvary 2 a 3 je uvedena hodnota. Tento formát je zachován pro všechny operace.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Modální hmotnost pro číslo tvaru i

Výpočet modální hmoty pro systém se 3 stupni volnosti

2. Součinitele kombinace

Součinitele kombinace lze vypočítat pomocí následující operace:

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Faktor účasti pro číslo tvaru i

Výpočet součinitelů kombinace pro systém se 3 stupni volnosti

3. Účinná modální hmota

Účinná modální hmota pro každý tvar se získá na základě dvou výše vypočítaných veličin.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Účinná modální hmota tvaru číslo i

Výpočet účinné modální hmoty pro systém se 3 stupni volnosti

4. Účinná modální hmota

Účinná modální hmota lze vypočítat jako poměr účinné modální hmoty k celkové hmotnosti v systému. Celková hmotnost v systému je součtem všech položek v matici hmot.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Účinný součinitel modální hmoty pro číslo tvaru i
∑M	Celková hmota v systému

Výpočet součinitele účinné hmoty pro systém se 3 stupni volnosti

RSA: Výpočet krok za krokem

1. Vyhodnocení výsledků modální analýzy

Většina stavebních předpisů pro seizmickou odolnost vyžaduje při použití analýzy spektra odezvy (RSA) určitý podíl hmoty. Nejběžnějším pravidlem je dosáhnout 90 % v součtu účinných modálních hmotností. Výpočet účinných modálních hmotností slouží k ověření tohoto požadavku. Pravidlo lze pro případovou studii zapsat následovně:

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Požadavek stavebního předpisu pro zapojení hmoty

2. Import spektrálního zrychlení z spektra odezvy pro každou periodu

Výběr normy pro generování spektra není pro výpočet relevantní, pokud se použijí odpovídající hodnoty spektrálního zrychlení. Následující informace jsou přímo extrahovány z nastavení analýzy spektra odezvy (ZS12) v programu RFEM.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Spektrální zrychlení tvaru i

Hodnoty spektrální akcelerace pro každý tvar sytému se 3 stupni volnosti

3. Výpočet vektoru odezvy síly pro každý tvar

Tento vektor představuje síly, které při působení na systém simulují působení tvaru na systém. Jinými slovy, vektor obsahuje statické síly, které simulují dynamický problém pro daný tvar.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Vektor síly tvaru i

Výpočet vektorů odezvy síly pro každý tvar

4. Alternativní postup pro vektor odezvy síly

Alternativním postupem pro získání vektoru síly je výpočet smyku v základu pro každý tvar a jeho následné rozložení podle normalizovaného vlastního tvaru. Tato formulace se blíží přístupu moderních stavebních předpisů pro seizmickou odolnost, ve kterých se smyk v základu používá pro kontrolu a ověření vhodnosti dynamické analýzy. Následující kroky shrnují tento přístup; výpočet se provádí pouze pro první tvar:

Výpočet smykové síly v základu

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Základní smyk pro tvar i

Základová smyková síla pro alternativní postup

Výpočet maximální síly na podlaží

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Maximální síla tvaru i

Maximální síla podlaží pro alternativní postup

Výpočet vektoru síly

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Vektor odezvy pro alternativní postup

5. Statické řešení pro každý vektor síly a fyzikální interpretace znaménka

Dalším krokem je použití vektorů síly po tvarech na systém a statické řešení systému. Statické řešení poskytuje odhadované posuny a vnitřní síly působící na systém pro každý tvar. Dosud nebyly zohledněny dvě důležité podmínky vypočítaných sil. Za prvé, jelikož odezva je kmitání, maximální hodnota může nastat buď v záporném směru X, nebo v kladném směru X. Za druhé, zemětřesení může přijít buď ze směru +X, nebo ze směru -X. V důsledku toho musí být vypočítané síly pro každý režim rovněž aplikovány po vynásobení minus jedna. Z tohoto důvodu se pro každý tvar definují dva zatěžovací stavy, které zohledňují směry minus a plus X. ZS3 až ZS8 obsahují kompletní sadu sil pro tři tvary a směry plus-minus X. Následující obrázek uvádí přehled zatížení.

KB 001985 | Výpočet zatížení pro analýzu spektra odezvy a pro zjednodušené seizmické analýzy

Vektor síly aplikovaný na zjednodušený model

Výsledky vnitřních sil jsou uvedeny v následující části, kde jsou přímo porovnány s odpovídajícími výsledky analýzy spektra odezvy.

6. Porovnání výsledků mezi RSA v programu RFEM a generovaným statickým ZS s vektory sil

V modelu RFEM jsou definovány tři RSA stavy pro porovnání výsledků se statickými zatěžovacími stavy z předchozí části. ZS9, ZS10 a ZS11 jsou RSA pro Tvar 1, Tvar 2 a Tvar 3. Následující tři obrázky porovnávají výsledky jedné sady sil pro každý tvar s výsledky RSA ZS v programu. Pro orientaci obsahuje každé okno informace o čísle ZS a zobrazených vnitřních silách. Shoda mezi výsledky dokazuje, že vnitřní síly při analýze spektra odezvy vypočítané programem RFEM odpovídají postupným vektorovým silám.

KB 001985 | Výpočet zatížení při analýze spektra odezvy a zjednodušené seizmické analýzy

Porovnání výsledků pro vlastní tvar 1

Porovnání výsledků pro tvar 2

Porovnání výsledků pro tvar 3

7. Konečné výsledky: Metoda modální kombinace

Dle předpokladů analýzy spektra odezvy musí být výsledky jednotlivých tvarů kombinovány pomocí vhodného kombinačního pravidla. Online manuál (odkaz níže) poskytuje přehled kombinačních pravidel dostupných v programu RFEM. V tomto příkladu bude použito pravidlo SRSS kvůli jeho jednoduchosti a vhodnosti pro ruční výpočet. Následující tabulka shrnuje výpočet smykového napětí (Vz) pomocí pravidla SRSS, přičemž operace je zapsána ve formě rovnice.

Nastavení spektrální analýzy | Online manuály RFEM 6 / RSTAB 9 | Dynamická analýza

Uzel	Tvar 1 - Smyk podlaží	Tvar 2 - Smyk podlaží	Tvar 3 - Smyk podlaží	Kombinovaný smyk podlaží
1	6 664,94 N	-965,07 N	134,55 N	6 735,79 N
2	10 210,68 N	486,37 N	-300,90 N	10 226,69 N
3	11 255,74 N	1 716,50 N	318,44 N	11 390,33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Smyk podlaží v uzlu 2 pomocí metody modální kombinace SRSS

Výpočet smyku podlaží v uzlu 2 – Pravidlo SRSS

Dalším důležitým požadavkem analýzy spektra odezvy je nemožnost kombinace výsledků. Příkladem parametru, který vyžaduje zvláštní pozornost podle tohoto pravidla, je mezipatrový posun, což je relativní posun mezi horní a dolní částí definovaného podlaží. Relativní posun podlaží musí být vypočítán pro každý tvar a poté lze použít metodu modální kombinace. Použití „kombinovaných“ výsledků pro posun při výpočtu tohoto parametru je v rozporu s principy analýzy spektra odezvy. Další informace k tomuto tématu najdete v článku naší databáze znalostí:

KB 1885 | Posouzení posunu podlaží při seizmickém zatížení podle ASCE 7-22 a modelu budovy

Analýza náhradního zatížení (ELA) a RSA

V této části je uveden stručný přehled výsledků z hlediska postupu ELA.

Ručně vytvořená zatížení ZS3 až ZS8 by byla hlavním výsledkem ELA. Kromě toho by byla definována také kombinace výsledků s vybranou metodou modální kombinace. ELA používá síly RSA a nevypočítává seizmická zatížení samostatně. Lze tedy dojít k závěru, že ELA je založena na modální analýze a analýze spektra odezvy. ELA je mezi inženýry oblíbená, protože „dokáže zachovat znaménko“ a „je srozumitelnější než analýza spektra odezvy“. Zatímco druhé tvrzení je většinou pravdivé, je sporné tvrdit, že metoda analýzy spektra odezvy nezachovává znaménko. Je například zřejmé, že výsledky ZS3 a ZS4 jsou v ZS9 plně reprodukovány, včetně jejich znaménka.

Další zvláštností ELA je, že generované zatěžovací stavy mohou zohledňovat nelinearity. V důsledku toho se často předpokládá, že postup ELA má méně omezení než analýza spektra odezvy. Nicméně základem sil RSA i ELA je modální analýza, která linearizuje konstrukci, pokud je v modelu definována nějaká nelinearita. Při použití ELA na konstrukci s nelinearitami tedy nejsou zachovány všechny předpoklady analýzy: síly vypočítané na linearizované konstrukci jsou aplikovány na konstrukci s nelinearitami. To může vést k rozdílným výsledkům, a proto je při provádění tohoto typu analýzy třeba postupovat opatrně. Platnost tohoto tvrzení závisí na typu nelinearity a na tom, jak moc ovlivňuje celkovou odezvu systému. Podrobnější informace k tomuto tématu naleznete v následujícím článku databáze znalostí:

KB 1833 | Využití nelinearit při analýze spektra odezvy v programu RFEM 6

Závěrečné poznámky

Tento podrobný výpočet analýzy spektra odezvy nabízí jasný pohled na původ sil analýzy spektra odezvy (RSA). Analýzu spektra odezvy lze lépe pochopit jako použití modální analýzy, než jako samostatný kompletní postup. Klíčem k dosažení smysluplných výsledků RSA je důkladně prověřená modální analýza, protože RSA provádí operace na základě modálních výsledků bez přepočítávání únosnosti konstrukce. ELA si klade za cíl reprodukovat výsledky RSA a zároveň nabízí zjednodušené znázornění sil nebo zjednodušenou analýzu. Tento článek pomáhá objasnit souvislost mezi RSA, ELA a modální analýzou.

KB 001985 | Výpočet zatížení při analýze spektra odezvy a zjednodušené seizmické analýze

103x

18x

Sloup jako systém se 3 stupni volnosti pro generování zatížení RSA

Autor

Pan Hidalgo se stará o vývoj v oblasti dynamiky.

Odkazy

Reference

American Society of Civil Engineers. Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures. ASCE/SEI 7-22, 2022.

;