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001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

2025-10-17

反应谱分析及简化地震分析中的荷载计算

进行逐步计算以理解反应谱分析 (RSA) 如何计算地震荷载。通过查看这些操作，可以更容易地理解建筑地震分析的后续程序，例如等效荷载分析 (ELA)。假设模式形状已经可用，并且最初再现了几个与 RSA 相关的模态分析结果。

案例研究

一个三层建筑可以简化为一个具有3个自由度（DOF）的系统。在RFEM中开发了一个理想化模型，每个元素仅在元素的两端设置网格点。在RSA中的质量矩阵设置仅考虑X方向的质量分量，这确保RFEM计算尽可能接近于“纯”3-DOF系统。这一假设对应于建筑物的经典分析，其中所有DOFs均假设在楼板水平。

1 案例分析 - 3层简化建筑

垂直荷载定义在节点上，并用作质量来源。截面的选择是为了实现接近于三层建筑预计值的基本周期，使用每层约0.1秒的近似原则来计算。该示例中没有处理刚度矩阵，但在模态形状结果中是隐含的。

2 简化模型中的荷载和质量

输入数据: 模态形状

以下信息从RFEM中的模态分析(LC2)提取。由于系统中只有3个自由度，模态分析设置必须配置为查找最多三个模式。

质量矩阵

“模态分析”中的“网格点质量”表报告了模型中假设的质量。根据此表，可以构建以下矩阵：

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

质量矩阵

三自由度系统的质量矩阵

模态形状

“模态分析”表“节点结果”中的“按模态形状的节点”选项卡汇总了每种模式的归一化位移。此信息可以写成向量：

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	第 1 振型
ϕ₂	模态 2 的模态形状
ϕ₃	自振模态 3

3 自由度系统的模态

自然振动周期

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	模态1的振动周期
T₂	振型 2 的振动周期
T₃	振型 3 的振动周期

三自由度系统的自振周期

如在线手册 - 模态分析（下面链接）所述，需要一个全局与局部坐标之间的转换矩阵。由于自由度的方向与全局X轴相一致，因此该矩阵有一个平凡的定义。

自振频率 | RFEM 6 / RSTAB 9 在线手册 | 动力分析

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

转化矩阵

三自由度系统的变换矩阵

模态分析结果的再现

此部分通过矩阵运算重现RSA所需的模态分析结果。结果可与LC2 RFEM值进行比较。

1. 模态质量

模态质量可以通过以下交叉乘积矩阵运算获得。对于第一模式，展示了完整操作；对于模式2和3，仅报告数值。此格式适用于所有操作。

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

振型 i 的模态质量

3 自由度系统的模态质量计算

2. 参与因子

参与因子可以用以下操作计算：

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	模态序号 i 的参与系数

3 自由度系统的参与系数计算

3. 有效模态质量

基于先前计算的两个量得出每个模式的有效模态质量。

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

i阶振型的有效模态质量

3 自由度系统的有效模态质量计算

4. 有效模态质量因子

可通过有效模态质量与系统总质量的比率来计算有效模态质量因子。系统总质量是质量矩阵中所有条目的总和。

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	振型 i 的有效模态质量系数
∑M	结构中的总质量

三自由度系统的有效模态质量因子计算

RSA: 步骤详细计算

1. 评估模态分析结果

大多数抗震建筑规范要求在使用RSA时达到一定百分比的质量参与。最常见的规则是达到90%的有效模态质量因子之和。有效模态质量因子的计算旨在检查此要求。对于案例研究，该规则可写为：

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

建筑规范对质量参与的要求

2. 从响应谱读取每个周期的谱加速度

只要使用相应的谱加速度值，谱生成标准的选择对于计算来说是无关紧要的。以下信息直接从RFEM中的RSA分析(LC12)设置中提取。

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

振型 i 的反应谱加速度

3 自由度体系各振型的反应谱加速度值

3. 计算每个模式的响应力向量

该向量表示当施加到系统上时模拟一个模式在系统上的作用的力。换句话说，向量包含模拟给定模式动态问题的静态力。

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i

振型 i 的力矢量

每种模态的反应力向量计算

4. 响应力向量的替代程序

获取力向量的替换程序是计算每个模式的基底剪力，然后根据归一化的模态形状分配。这种表述更接近于现代抗震建筑规范的方法，其中基底剪力用于控制和检查动态分析的适宜性。以下步骤总结了这种方法；仅针对第一模式进行了计算：

计算基底剪力

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

振型 i 的剪力

替代方法的基底剪力

计算最大楼层力

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

最大模态力

替代方法的楼层最大受力

计算力向量

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

替代计算方法响应向量

5. 每个力向量的静态解和符号的物理解释

下一步是将每种模式的力向量施加到系统上并静态求解系统。静态解提供了每个模式下系统的估计位移和内力。到目前为止，计算力的两个重要条件尚未考虑。首先，由于反应是振动的，最大值可能出现在负X或正X方向。其次，地震可能来自+X方向或-X方向。因此，计算的每种模式下也必须施加倍乘以负一后的力。为此，每种模式定义了两个荷载案例，分别考虑负和正X方向。LC3到LC8包含了三种模式和正负X方向的完整力集。下图总结了荷载情况。

简化模型上施加的力矢量

内力的结果显示在下一节中，直接与对应的RSA结果进行比较。

6. RSA在RFEM中的结果与生成的带有力向量的静态荷载案例之间的结果比较

在RFEM模型中定义了三个RSA案例，以便与前一节中的静态荷载案例结果进行比较。LC9、LC10和LC11分别为模式1、模式2和模式3的RSA。以下三幅图像比较了每种模式下一套力与程序中RSA LC结果的对比。为便于定位，每个窗口包含LC编号和显示的内力的信息。结果之间的一致性证明了由RFEM计算的RSA内力与逐步矢量力相匹配。

模态 1 结果对比

模态 2 结果比较

振型 3 的结果比较

7. 最终结果: 模态组合方法

根据RSA假设，必须使用适当的规则来组合各个模式的结果。在线手册（下方链接）提供了关于RFEM中可用组合规则的概述。在本例中，由于其简单性和适合于手工计算，将使用SRSS规则。以下表总结了使用SRSS规则的层间剪力（Vz）计算，操作写成方程形式。

谱分析设置 | RFEM 6 / RSTAB 9 在线手册 | 动力分析

Node	模式1-层间剪力	模式2-层间剪力	模式3-层间剪力	层间剪力组合
1	6664.94 N	-965.07 N	134.55 N	6735.79 N
2	10210.68 N	486.37 N	-300.90 N	10226.69 N
3	11255.74 N	1716.50 N	318.44 N	11390.33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

使用 SRSS 模态组合方法计算节点 2 的层剪力

节点 2 - SRSS 规则下的楼层剪力计算

RSA的另一个重要要求是，不允许对组合结果之间进行操作。根据该规则需要特别注意的一个参数是层间位移漂移，这是指定楼层顶部和底部之间的相对位移。相对楼层位移必须按模式计算，然后可以应用模态组合方法。当计算该参数时，使用“组合”结果进行位移计算是违反RSA原则的。要了解更多有关此主题的信息，请查看我们的知识库文章：

知识库 1885 | 按照 ASCE 7-22 和建筑模型评估地震作用下的楼层位移

等效荷载分析（ELA）和RSA

本部分简要概述了ELA程序结果的情况。

LC3到LC8的手动创建荷载将是ELA的核心结果。此外，还将使用选定的模态组合方法定义结果组合。ELA使用RSA力，而不是独立计算地震荷载。因此，可以得出结论，ELA基于模态分析和RSA。ELA在工程师中很受欢迎，因为它“能够保留符号”和“比RSA更容易理解”。尽管第二个说法大多属实，但声称RSA方法不保留符号则有商讨余地。例如，很明显LC3和LC4的结果在LC9中完全重现，包括其符号。

ELA的另一个特点是生成的荷载案例可以考虑非线性。因此，通常认为ELA程序比RSA具有更少的限制。尽管如此，RSA和ELA力的基础是模态分析，如果模型中定义了任何非线性，它将线性化结构。因此，当对具有非线性的结构使用ELA时，分析的所有假设未被保留：在线性化结构上计算的力被施加到具有非线性的结构上。这可能导致不同结果，并在执行此类分析时需特别注意。该断言的有效性取决于非线性的类型及其对系统整体响应的影响。以下知识库文章提供了有关此主题的更详细讨论：

知识库 1833 | RFEM 6 - 反应谱分析中非线性的使用

最后备注

此RSA逐步计算提供了关于RSA力来源的清晰认识。RSA可以更好地理解为模态分析的应用，而不是其本身的完整过程。显著RSA结果的关键在于彻底检查的模态分析，因为RSA在基于模态结果的操作中不重新计算结构属性。ELA旨在重现RSA结果，同时提供力量简化图或更简化的分析。本文有助于澄清RSA、ELA与模态分析之间的相关性。

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柱子代表3-DOF 系统用于 RSA 荷载生成

作者

Hidalgo 先生负责动态领域的发展。

链接

参考

美国土木工程师学会. (2022). 建筑与其他结构的最小设计荷载和相关标准, ASCE/SEI 7-22.

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