292x

001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

2025-10-17

Calcolo del carico nell’analisi allo spettro di risposta e analisi sismiche semplificate

Un calcolo passo-passo viene condotto per comprendere come l'analisi dello spettro di risposta (RSA) calcola i carichi sismici. Osservando queste operazioni, è più facile comprendere le procedure successive per l'analisi sismica degli edifici, come l'analisi dei carichi equivalenti (ELA). Si assume che le forme modali siano già disponibili e inizialmente vengono riprodotti diversi risultati dell'analisi modale rilevanti per RSA.

Caso di Studio

Un edificio a tre piani può essere semplificato come un sistema a 3 gradi di libertà (DOF). Un modello idealizzato è sviluppato in RFEM, dove ogni elemento è impostato per avere punti di mesh solo alle estremità degli elementi. Le impostazioni della Matrice di Massa nell'RSA considerano solo i componenti di massa nella direzione X. Questo assicura che il calcolo in RFEM sia il più vicino possibile a un sistema "puro" a 3-DOF. Questa ipotesi corrisponde all'analisi classica di un edificio, dove si presume che tutti i DOF siano a livello della lastra.

KB 001985 | Calcolo del carico in Analisi di spettro di risposta e analisi sismiche semplificate

1 Caso di Studio - Edificio a 3 piani semplificato

I carichi verticali sono stati definiti nei nodi e utilizzati come fonte di massa. La sezione trasversale è selezionata per raggiungere un periodo fondamentale vicino al valore previsto per un edificio a tre piani, utilizzando la regola dell'approssimazione di circa 0.1 secondi per piano. La matrice di rigidezza non viene trattata in questo esempio, ma è implicita nei risultati delle forme modali.

KB 001985 | Calcolo del carico nell'analisi dello spettro di risposta e in analisi sismiche semplificate

2 Carichi e masse nel modello semplificato

Dati di Input: Forme Modali

Le seguenti informazioni vengono estratte dall'Analisi Modale in RFEM (LC2). Poiché ci sono solo 3 DOF nel sistema, le impostazioni dell'Analisi Modale devono essere configurate per trovare un massimo di tre modi.

Matrice di Massa

La tabella “Masse nei Punti di Mesh” in “Analisi Modale” riporta le masse assunte nel modello. Basandosi su questa tabella, può essere costruita la seguente matrice:

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Matrice delle masse

Matrice di massa per il sistema a 3 gradi di libertà

Forme Modali

La scheda “Nodi per Forma Modale” nella tabella “Risultati per Nodo” in “Analisi Modale” riassume gli spostamenti normalizzati per modo. Queste informazioni possono essere scritte come vettori:

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Deformata modale del modo 1
ϕ₂	Deformata modale del modo 2
ϕ₃	Deformata modale del modo 3

Deformate modali del sistema a 3 gradi di libertà

Periodi Naturali di Vibrazione

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Periodo di vibrazione del modo 1
T₂	Periodo di vibrazione del modo 2
T₃	Periodo di vibrazione del modo 3

Periodi naturali di vibrazione del sistema a 3 DOF

Come descritto nel Manuale Online - Analisi Modale (link sotto), è necessaria una matrice di trasformazione tra coordinate globali e locali. Poiché l'orientamento dei DOF coincide con l'asse globale X, questa matrice ha una definizione banale.

Frequenze naturali | Manuali online RFEM 6 / RSTAB 9 | Analisi dinamica

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Matrice di trasformazione

Matrice di trasformazione per il sistema a 3 gradi di libertà

Riproduzione dei Risultati dell'Analisi Modale

Questa sezione riproduce i risultati dell'Analisi Modale richiesti per l'RSA usando operazioni matriciali. I risultati possono essere confrontati con i valori LC2 di RFEM.

1. Massa Modale

La Massa Modale può essere ottenuta con la seguente operazione di prodotto incrociato della matrice. Per il primo modo, è mostrata l'operazione completa; per i modi 2 e 3, è riportato il valore. Questo formato è mantenuto per tutte le operazioni.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Massa modale per il numero di modo i

Calcolo della massa modale al sistema con 3 gradi di libertà

2. Fattori di Partecipazione

I Fattori di Partecipazione possono essere calcolati con la seguente operazione:

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Coefficiente di partecipazione per il numero di modo i

Calcolo dei fattori di partecipazione per il sistema a 3 gradi di libertà

3. Massa Modale Efficace

La Massa Modale Efficace per Modo è ottenuta basandosi sulle due quantità calcolate precedentemente.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Massa modale efficace della modalità n. i

Calcolo della massa modale efficace per il sistema a 3 gradi di libertà

4. Fattori di Massa Modale Efficaci

I Fattori di Massa Modale Efficaci possono essere calcolati come il rapporto tra la Massa Modale Efficace e la massa totale nel sistema. La massa totale nel sistema è la somma di tutte le voci nella matrice di massa.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Fattore di massa modale efficace del numero di modi i
∑M	Massa totale nel sistema

Calcolo del fattore di massa modale efficace per il sistema a 3 DOF

RSA: Calcolo Passo-passo

1. Valutazione dei Risultati dell'Analisi Modale

La maggior parte dei codici edilizi resistenti ai terremoti richiede una certa percentuale di partecipazione di massa quando si utilizza l'RSA. La regola più comune è raggiungere il 90% nella somma dei Fattori di Massa Modale Efficaci. Il calcolo dei Fattori di Massa Modale Efficaci serve per verificare questo requisito. La regola può essere scritta per il caso studio come segue:

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Requisito del codice edilizio per la partecipazione di massa

2. Lettura dell'Accelerazione Spettrale dallo Spettro di Risposta per Ogni Periodo

La selezione dello standard per la generazione dello spettro è irrilevante per il calcolo, purché vengano utilizzati i corrispondenti valori di Accelerazione Spettrale. Le seguenti informazioni sono estratte direttamente dalle Impostazioni dell'Analisi RSA (LC12) in RFEM.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Accelerazione spettrale del modo i

Valori di accelerazione spettrale per ciascuna modalità del sistema a 3 GL

3. Calcolo del Vettore di Forza di Risposta per Ogni Modo

Questo vettore rappresenta le forze che, se applicate al sistema, simulano l'azione di un modo sul sistema. In altre parole, il vettore contiene le forze statiche che simulano il problema dinamico per un dato modo.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Vettore di forza del modo i

Calcolo del vettore di forza di risposta per ogni modo

4. Procedura Alternativa per il Vettore di Forza di Risposta

Una procedura alternativa per ottenere il vettore forza è calcolare il taglio alla base per ogni modo e quindi distribuirlo secondo la forma modale normalizzata. Questa formulazione è più vicina all'approccio dei moderni codici di costruzione resistenti ai terremoti, nei quali il taglio alla base è utilizzato per controllare e verificare l'idoneità dell'analisi dinamica. I passaggi seguenti riassumono questo approccio; il calcolo è effettuato solo per il primo modo:

Calcolare il taglio alla base

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Taglio alla base per la modalità i

Taglio di base per metodo alternativo

Calcolare la forza massima sui piani

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Forza massima del modo i

Forza massima del solaio per metodo alternativo

Calcolare il vettore forza

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Vettore di risposta per il processo alternativo

5. Soluzione Statica per Ogni Vettore di Forza e Interpretazione Fisica del Segno

Il passo successivo è applicare i vettori forza per modo al sistema e risolvere il sistema staticamente. La soluzione statica fornisce lo spostamento stimato e le forze interne sul sistema per ogni modo. Due condizioni importanti delle forze calcolate non sono state ancora considerate. In primo luogo, come la risposta è una vibrazione, il valore massimo potrebbe verificarsi sia in direzione meno X che in direzione più X. In secondo luogo, il terremoto può provenire sia dalla direzione +X che -X. Perciò, le forze calcolate per modo devono essere applicate anche dopo essere state moltiplicate per meno uno. Per questo, vengono definiti due casi di carico per modo, considerando le direzioni meno e più X. LC3 attraverso LC8 contengono l'insieme completo di forze per tre modi e le direzioni più-meno X. L'immagine seguente riassume i carichi.

KB 001985 | Calcolo dei carichi nell'analisi dello spettro di risposta e analisi sismiche semplificate

Vettori di forza applicati su modello semplificato

I risultati delle forze interne sono mostrati nella sezione successiva, dove sono direttamente confrontati con i risultati corrispondenti RSA.

6. Confronto dei Risultati tra RSA in RFEM e LC Statici Generati con Vettori di Forza

Tre casi RSA sono definiti nel modello RFEM per il confronto dei risultati con i casi di carico statici dalla sezione precedente. LC9, LC10 e LC11 sono RSA per il Modo 1, il Modo 2 e il Modo 3, rispettivamente. Le seguenti tre immagini confrontano i risultati di un insieme di forze per modo con i risultati RSA LC nel programma. Per orientamento, ogni finestra contiene informazioni sul numero LC e le forze interne visualizzate. La corrispondenza tra i risultati dimostra che le forze interne RSA calcolate da RFEM corrispondono alle forze vettoriali passo-passo.

KB 001985 | Calcolo del carico in Analisi con spettro di risposta e analisi sismiche semplificate

Confronto dei risultati del modo 1

KB 001985 | Calcolo del carico nell'analisi allo spettro di risposta e analisi sismiche semplificate

Confronto dei risultati per il modo 2

KB 001985 | Calcolo del carico in Analisi con spettro di risposta

Confronto dei risultati per Modi 3

7. Risultati Finali: Metodo di Combinazione Modale

Secondo le assunzioni RSA, i risultati dei modi individuali devono essere combinati utilizzando una regola appropriata. Il manuale online (link sotto) fornisce una panoramica delle regole di combinazione disponibili in RFEM. In questo esempio, verrà usata la regola SRSS per la sua semplicità e idoneità per il calcolo manuale. La seguente tabella riassume il calcolo del Taglio di Piano (Vz) utilizzando la regola SRSS, con l'operazione scritta sotto forma di equazione.

Impostazioni per analisi modale | Manuale online RFEM 6 / RSTAB 9 | Analisi delle vibrazioni

Nodo	Taglio Piani Modo 1	Taglio Piani Modo 2	Taglio Piani Modo 3	Taglio piani combinato
1	6664.94 N	-965.07 N	134.55 N	6735.79 N
2	10210.68 N	486.37 N	-300.90 N	10226.69 N
3	11255.74 N	1716.50 N	318.44 N	11390.33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Taglio di piano nel nodo 2 utilizzando il metodo di combinazione modale SRSS

Calcolo del taglio di piano nel Nodo 2 - Regola SRSS

Un altro importante requisito dell'RSA è che le operazioni tra risultati combinati non sono consentite. Un esempio di un parametro che richiede particolare attenzione secondo questa regola è l'Inter-Story Drift, che è lo spostamento relativo tra la parte superiore e inferiore di un piano definito. Lo spostamento relativo del piano deve essere calcolato per modo, e quindi può essere applicato il metodo di combinazione modale. È contro i principi RSA usare risultati "combinati" per lo spostamento quando si calcola questo parametro. Per ulteriori approfondimenti su questo argomento, consulta il nostro articolo della Knowledge Base:

KB 1885 | Valutazione della deriva del piano sotto carichi sismici secondo ASCE 7-22 e modello di edificio

Analisi dei Carichi Equivalenti (ELA) e RSA

In questa sezione, viene fornita una breve panoramica dei risultati alla luce della procedura ELA.

I carichi creati manualmente da LC3 a LC8 sarebbero il risultato principale dell'ELA. Inoltre, verrebbe definita una combinazione di risultati con il metodo di combinazione modale selezionato. L'ELA utilizza le forze RSA e non calcola i carichi sismici in modo indipendente. Così, si può concludere che l'ELA si basa su analisi modali e RSA. L'ELA è popolare tra gli ingegneri pratici perché è "capace di conservare il segno" e "più facile da comprendere rispetto all'RSA". Mentre la seconda affermazione è per lo più vera, è discutibile affermare che il metodo RSA non conserva il segno. È chiaro, per esempio, che i risultati di LC3 e LC4 sono completamente riprodotti in LC9, incluso il loro segno.

Un'altra particolarità dell'ELA è che i casi di carico generati possono considerare le non-linearità. Come risultato, spesso si assume che la procedura ELA abbia meno limitazioni rispetto all'RSA. Tuttavia, la base delle forze RSA e ELA è l'analisi modale, che linearizza la struttura se è definita una qualsiasi non-linearità nel modello. Pertanto, quando si utilizza l'ELA su una struttura con non-linearità, non tutte le assunzioni dell'analisi vengono preservate: le forze calcolate su una struttura linearizzata vengono applicate a una struttura con non-linearità. Questo potrebbe portare a risultati divergenti, ed è necessario prestare attenzione quando si esegue questo tipo di analisi. La validità di questa affermazione dipende dal tipo di non-linearità e da quanto essa influisce sulla risposta complessiva del sistema. Una discussione più dettagliata su questo argomento è fornita nel seguente articolo della Knowledge Base:

KB 1833 | Utilizzo delle non linearità nell'analisi dello spettro di risposta in RFEM 6

Osservazioni Finali

Questo calcolo passo-passo RSA fornisce chiarezza sull'origine delle forze RSA. L'RSA può essere meglio compreso come un'applicazione dell'Analisi Modale, piuttosto che come una procedura completa in sé. La chiave per risultati RSA significativi è un'Analisi Modale accuratamente esaminata, poiché l'RSA esegue operazioni basate sui risultati modali senza ricalcolare le proprietà strutturali. L'ELA mira a riprodurre i risultati RSA offrendo una rappresentazione semplificata delle forze o un'analisi più semplificata. Questo articolo aiuta a chiarire la correlazione tra RSA, ELA e Analisi Modale.

73x

12x

Colonna con sistema a 3 gDL per generazione di carichi RSA

Autore

Il signor Hidalgo si occupa dello sviluppo nel campo della dinamica.

Link

Bibliografia

American Society of Civil Engineers. (2022). Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures, ASCE/SEI 7-22.

;