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001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

17-10-2025

Cálculo de cargas en análisis de espectro de respuesta y en análisis sísmicos simplificados

Se realiza un cálculo paso a paso para comprender cómo el análisis de Espectro de Respuesta (RSA) calcula las cargas sísmicas. Al observar estas operaciones, es más fácil entender procedimientos subsecuentes para el análisis sísmico de edificios, como el Análisis de Cargas Equivalentes (ELA). Se asume que las formas modales ya están disponibles y, inicialmente, se reproducen varios resultados de Análisis Modal relevantes para RSA.

Estudio de Caso

Un edificio de tres pisos puede simplificarse como un sistema de 3 GDL (grados de libertad). Se desarrolla un modelo idealizado en RFEM, donde cada elemento se configura para tener puntos de malla solo en los extremos de los elementos. La Configuración de la Matriz de Masas en el RSA solo considera componentes de masa en la dirección X. Esto asegura que el cálculo de RFEM sea lo más cercano posible a un sistema "puro" de 3 GDL. Esta suposición corresponde al análisis clásico de un edificio, donde se asume que todos los GDL están a nivel de la losa.

KB 001985 | Cálculo de cargas en análisis de espectros de respuesta y análisis sísmicos simplificados

1 Estudio de caso - Edificio de 3 plantas simplificado

Se definieron cargas verticales en los nodos y se usaron como fuente de masa. La sección transversal se selecciona para lograr un período fundamental cercano al valor esperado para un edificio de tres pisos, utilizando la regla de aproximación de aproximadamente 0.1 segundos por piso. La matriz de rigidez no se trata en este ejemplo, pero está implícita en los resultados de la forma modal.

KB 001985 | Cálculo de cargas en análisis de espectro de respuesta y análisis sísmico simplificado

2 Cargas y masas en modelo simplificado

Datos de Entrada: Formas Modales

La siguiente información se extrae del Análisis Modal en RFEM (LC2). Dado que solo hay 3 GDL en el sistema, la configuración del Análisis Modal debe estar configurada para encontrar un máximo de tres modos.

Matriz de Masas

La tabla “Masas en Puntos de Malla” en “Análisis Modal” informa las masas asumidas en el modelo. Basado en esta tabla, se puede construir la siguiente matriz:

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Matriz de masas

Matriz de masas para el sistema de 3 GDL

Formas Modales

La pestaña “Nodos por Forma Modal” en la tabla “Resultados por Nodo” en “Análisis Modal” resume los desplazamientos normalizados por modo. Esta información puede escribirse como vectores:

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Propia del modo 1
ϕ₂	Deformada del modo 2
ϕ₃	Deformada del modo en el modo 3

Deformadas del modo para el sistema de 3 GDL

Períodos Naturales de Vibración

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Período de vibración del modo 1
T₂	Período de vibración del modo 2
T₃	Periodo de vibración del modo 3

Períodos de vibración naturales del sistema de 3 GDL

Como se describe en el Manual Online - Análisis Modal (enlace abajo), se requiere una matriz de transformación entre coordenadas globales y locales. Dado que la orientación de los GDL coincide con el eje X global, esta matriz tiene una definición trivial.

Frecuencias propias | Manuales en línea RFEM 6 / RSTAB 9 | Análisis dinámico

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Matriz de transformación

Matriz de transformación para el sistema de 3 GDL

Reproducción de Resultados de Análisis Modal

Esta sección reproduce los resultados del Análisis Modal que son necesarios para el RSA utilizando operaciones matriciales. Los resultados se pueden comparar con los valores LC2 RFEM.

1. Masa Modal

La Masa Modal puede obtenerse con la siguiente operación de producto cruzado matricial. Para el primer modo, se muestra la operación completa; para los modos 2 y 3, se informa el valor. Este formato se mantiene para todas las operaciones.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Masa modal para el número de modo i

Cálculo de masas modales para el sistema 3-GDL

2. Factores de Participación

Los Factores de Participación pueden calcularse con la siguiente operación:

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Factor de participación para el número de modo i

Cálculo de factores de participación para el sistema de 3 GLD

3. Masa Modal Efectiva

La Masa Modal Efectiva por Modo se obtiene con base en las dos cantidades calculadas previamente.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Masa modal efectiva del número de modo i

Cálculo de masa modal efectiva para sistema de 3 GDL

4. Factores de Masa Modal Efectiva

Los Factores de Masa Modal Efectiva pueden calcularse como la proporción de la Masa Modal Efectiva respecto a la masa total en el sistema. La masa total en el sistema es la suma de todas las entradas en la matriz de masas.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Factor de masas generalizadas efectivas del modo número i
∑M	Masa total en el sistema

Cálculo del factor de masa modal efectiva para el sistema de 3 GDL

RSA: Cálculo Paso a Paso

1. Evaluación de Resultados de Análisis Modal

La mayoría de los códigos de construcción resistentes a terremotos requieren un cierto porcentaje de participación de masa cuando se utiliza RSA. La regla más común es alcanzar el 90% en la suma de los Factores de Masa Modal Efectiva. El cálculo de los Factores de Masa Modal Efectiva sirve para verificar este requisito. La regla puede escribirse para el estudio de caso de la siguiente manera:

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Requisito del código de construcción para la participación de masas

2. Leer Aceleración Espectral del Espectro de Respuesta para Cada Período

La selección del estándar para la generación del espectro es irrelevante para el cálculo, siempre que se utilicen los valores de Aceleración Espectral correspondientes. La siguiente información se extrae directamente de la Configuración del Análisis RSA (LC12) en RFEM.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Aceleración espectral del modo i

Valores de aceleración espectral para cada modo del sistema con tres grados de libertad

3. Calcular el Vector de Fuerza de Respuesta para Cada Modo

Este vector representa las fuerzas que, cuando se aplican al sistema, simulan la acción de un modo en el sistema. En otras palabras, el vector contiene las fuerzas estáticas que simulan el problema dinámico para un modo dado.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Vector de fuerzas del modo i

Cálculo del vector de fuerza de respuesta para cada modo

4. Procedimiento Alternativo para el Vector de Fuerza de Respuesta

Un procedimiento alternativo para obtener el vector de fuerza es calcular el cortante basal para cada modo y luego distribuirlo según la forma modal normalizada. Esta formulación está más cerca del enfoque de los códigos de construcción resistentes a terremotos modernos, en los que el cortante basal se utiliza para controlar y verificar la idoneidad del análisis dinámico. Los siguientes pasos resumen este enfoque; el cálculo se realiza solo para el primer modo:

Calcular cortante basal

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Cortante basal para la modaliidad i

Cortante basal para el procedimiento alternativo

Calcular fuerza máxima en piso

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Esfuerzo máximo del modo i

Esfuerzo máximo en el piso para un método alternativo

Calcular vector de fuerza

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Vector de respuesta para procedimiento alternativo

5. Solución Estática para Cada Vector de Fuerza e Interpretación Física del Signo

El siguiente paso es aplicar los vectores de fuerza por modo al sistema y resolver el sistema estáticamente. La solución estática proporciona el desplazamiento estimado y las fuerzas internas en el sistema para cada modo. Dos condiciones importantes de las fuerzas calculadas aún no se han considerado. Primero, como la respuesta es una vibración, el valor máximo podría ocurrir en la dirección menos X o más X. Segundo, el terremoto puede venir ya sea desde la dirección +X o la -X. En consecuencia, las fuerzas calculadas por modo también deben aplicarse después de multiplicarse por menos uno. Para esto, se definen dos casos de carga por modo, considerando las direcciones menos y más X. LC3 a LC8 contienen el conjunto completo de fuerzas para tres modos y las direcciones más-menos X. La siguiente imagen resume las cargas.

KB 001985 | Cálculo de cargas en análisis de espectro de respuesta y análisis sísmicos simplificados

Vectores de fuerza aplicados en un modelo simplificado

Los resultados de las fuerzas internas se muestran en la siguiente sección, donde se comparan directamente con los resultados RSA correspondientes.

6. Comparación de Resultados entre RSA en RFEM y LC Estáticos Generados con Vectores de Fuerza

Se definen tres casos RSA en el modelo RFEM para comparar resultados con los casos de carga estática de la sección anterior. LC9, LC10 y LC11 son RSA para el Modo 1, Modo 2 y Modo 3, respectivamente. Las siguientes tres imágenes comparan los resultados de un conjunto de fuerzas por modo con los resultados de LC RSA en el programa. Para orientación, cada ventana contiene información sobre el número de LC y las fuerzas internas mostradas. La correspondencia entre los resultados demuestra que las fuerzas internas RSA calculadas por RFEM coinciden con las fuerzas vectoriales paso a paso.

Comparación de resultados para el modo 1

KB 001985 | Cálculo de cargas en el análisis del espectro de respuesta y análisis sísmicos simplificados

Comparación de resultados para el modo 2

Comparación de resultados para el primer modo

7. Resultados Finales: Método de Combinación Modal

Según las suposiciones de RSA, los resultados de los modos individuales deben combinarse usando una regla adecuada. El manual en línea (enlace abajo) proporciona una visión general de las reglas de combinación disponibles en RFEM. En este ejemplo, se usará la regla SRSS debido a su simplicidad y adecuación para el cálculo manual. La siguiente tabla resume el cálculo del Cortante de Planta (Vz) utilizando la regla SRSS, con la operación escrita en forma de ecuación.

Configuración de análisis espectral | Manuales en línea de RFEM 6 / RSTAB 9 | Análisis dinámico

Nodo	Cortante de Planta Modo 1	Cortante de Planta Modo 2	Cortante de Planta Modo 3	Cortante de planta combinado
1	6664.94 N	-965.07 N	134.55 N	6735.79 N
2	10210.68 N	486.37 N	-300.90 N	10226.69 N
3	11255.74 N	1716.50 N	318.44 N	11390.33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Cortante de planta en el nudo 2 utilizando el método de combinación modal SRSS

Cálculo del cortante de planta en nudo 2 - Regla SRSS

Otro requisito importante de RSA es que no se permiten operaciones entre resultados combinados. Un ejemplo de un parámetro que requiere atención especial según esta regla es el Desplazamiento Relativo entre Pisos, que es el desplazamiento relativo entre la parte superior e inferior de un piso definido. El desplazamiento relativo de la planta debe calcularse por modo, y luego se puede aplicar el método de combinación modal. Va en contra de los principios de RSA usar resultados “combinados” para el desplazamiento al calcular este parámetro. Para obtener más información sobre este tema, consulte nuestro artículo de Base de Conocimiento:

KB 1885 | Evaluación de la deriva de la planta bajo cargas sísmicas según ASCE 7-22 y el modelo de construcción

Análisis de Cargas Equivalentes (ELA) y RSA

En esta sección, se proporciona una breve visión general de los resultados a la luz del procedimiento ELA.

Las cargas manualmente creadas de LC3 a LC8 serían el resultado principal del ELA. Además, se definiría una combinación de resultados con el método de combinación modal seleccionado. ELA utiliza fuerzas RSA y no calcula cargas sísmicas de manera independiente. Por lo tanto, se puede concluir que ELA se basa en el análisis modal y RSA. ELA es popular entre los ingenieros practicantes porque es “capaz de conservar el signo” y “más fácil de entender que RSA”. Mientras que la segunda afirmación es mayormente cierta, es discutible afirmar que el método RSA no conserva el signo. Está claro, por ejemplo, que los resultados de LC3 y LC4 se reproducen completamente en LC9, incluyendo su signo.

Otra particularidad de ELA es que los casos de carga generados pueden considerar no linealidades. Como resultado, a menudo se supone que el procedimiento ELA tiene menos limitaciones que RSA. Sin embargo, la base de tanto las fuerzas RSA como ELA es el Análisis Modal, el cual linealiza la estructura si se define alguna no linealidad en el modelo. Por lo tanto, al usar el ELA en una estructura con no linealidades, no todas las suposiciones del análisis se preservan: las fuerzas calculadas en una estructura linealizada se aplican a una estructura con no linealidades. Esto podría llevar a resultados divergentes, y se debe tener cuidado al realizar este tipo de análisis. La validez de esta afirmación depende del tipo de no linealidad y cuánto afecta la respuesta general del sistema. Una discusión más detallada sobre este tema se encuentra en el siguiente artículo de la Base de Conocimiento:

KB 1833 | Uso de no linealidades en el análisis del espectro de respuesta en RFEM 6

Observaciones Finales

Este cálculo paso a paso del RSA proporciona claridad sobre el origen de las fuerzas RSA. El RSA puede entenderse mejor como una aplicación del Análisis Modal, en lugar de un procedimiento completo en sí mismo. La clave para obtener resultados significativos de RSA es un Análisis Modal minuciosamente examinado, ya que RSA realiza operaciones basadas en los resultados modales sin recalcular propiedades estructurales. ELA busca reproducir los resultados de RSA mientras ofrece una representación simplificada de las fuerzas o un análisis más simplificado. Este artículo ayuda a aclarar la correlación entre RSA, ELA y Análisis Modal.

KB 001985 | Cálculo de cargas en análisis del espectro de respuesta y análisis simplificados de sismos

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Pilar que representa un sistema de 3 GDL para la generación de cargas RSA

Autor

El Sr. Hidalgo trabaja en el desarrollo del programa en el área de dinámica y provee soporte técnico principalmente en habla hispana, así como en inglés y alemán.

Enlaces

Referencias

American Society of Civil Engineers. (2022). Cargas mínimas de diseño y criterios asociados para edificios y otras estructuras, ASCE/SEI 7-22.

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