Voltar para a base de dados de conhecimento

473x

001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

2025-10-17

Cálculo de cargas em análise de espectro de resposta e análises sísmicas simplificadas

Um cálculo passo a passo é realizado para compreender como a análise do Espectro de Resposta (RSA) calcula cargas sísmicas. Ao analisar essas operações, torna-se mais fácil compreender os procedimentos subsequentes para a análise sísmica de edifícios, como a Análise de Cargas Equivalentes (ELA). Presume-se que as formas modais já estejam disponíveis, e vários resultados de Análise Modal relevantes para RSA são reproduzidos inicialmente.

Estudo de Caso

Um edifício de três andares pode ser simplificado como um sistema de 3 graus de liberdade (DOF). Um modelo idealizado é desenvolvido no RFEM, onde cada elemento é configurado para ter pontos de malha apenas nas extremidades dos elementos. As Configurações da Matriz de Massas no RSA consideram apenas componentes de massa na direção X. Isso garante que o cálculo do RFEM seja o mais próximo possível de um sistema "puro" de 3 graus de liberdade. Esta suposição corresponde à análise clássica de um edifício, onde todos os DOFs são assumidos no nível da laje.

KB 001985 | Cálculo de cargas na análise de espectro de resposta e análises sísmicas simplificadas

1 Estudo de caso – edifício de três andares simplificado

Cargas verticais foram definidas nos nós e usadas como a fonte de massa. A seção transversal é selecionada para alcançar um período fundamental próximo ao valor esperado para um edifício de três andares, usando a regra de aproximação de cerca de 0,1 segundos por andar. A matriz de rigidez não é tratada neste exemplo, mas está implícita nos resultados das formas modais.

2 Cargas e massas em modelo simplificado

Dados de Entrada: Formas Modais

As seguintes informações são extraídas da Análise Modal no RFEM (LC2). Como existem apenas 3 graus de liberdade no sistema, as configurações da Análise Modal devem ser configuradas para encontrar um máximo de três modos.

Matriz de Massas

A tabela “Massas em Pontos de Malha” na “Análise Modal” relata as massas assumidas no modelo. Com base nesta tabela, a seguinte matriz pode ser construída:

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Matriz de massas

Matriz de massa para o sistema de 3 graus de liberdade

Formas Modais

A guia “Nós por Forma Modal” na tabela “Resultados por Nó” na “Análise Modal” resume os deslocamentos normalizados por modo. Esta informação pode ser escrita como vetores:

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Forma própria do modo 1
ϕ₂	Forma própria do modo 2
ϕ₃	Forma própria do modo 3

Formas próprias do sistema de 3 graus de liberdade

Períodos Naturais de Vibração

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Período de vibração do modo 1
T₂	Período de vibração do modo 2
T₃	Período de vibração do modo 3

Períodos de vibração naturais do sistema de 3 graus de liberdade

Conforme descrito no Manual Online - Análise Modal (link abaixo), é necessária uma matriz de transformação entre coordenadas globais e locais. Como a orientação dos graus de liberdade coincide com o eixo global X, esta matriz tem uma definição trivial.

Frequências próprias | Manuais online do RFEM 6/RSTAB 9 | Análise dinâmica

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Matriz de transformação

Matriz de transformação para o sistema de 3 graus de liberdade

Reprodução dos Resultados da Análise Modal

Esta seção reproduz os resultados da Análise Modal necessários para o RSA usando operações de matriz. Os resultados podem ser comparados com os valores LC2 do RFEM.

1. Massa Modal

A Massa Modal pode ser obtida com a seguinte operação de produto vetorial cruzado. Para o primeiro modo, a operação completa é mostrada; para os modos 2 e 3, o valor é relatado. Este formato é mantido para todas as operações.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Massa modal para o número de modo i

Cálculo da massa modal para sistema sistema de 3 graus de liberdade

2. Fatores de Participação

Os Fatores de Participação podem ser calculados com a seguinte operação:

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Fator de participação para o número de modo i

Cálculo dos fatores de participação para sistema de 3 graus de liberdade

3. Massa Modal Efetiva

A Massa Modal Efetiva por Modo é obtida com base nas duas quantidades calculadas anteriormente.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Massa modal efetiva do número de modo i

Cálculo de massa modal efetiva para sistema de 3 graus de liberdade

4. Fatores de Massa Modal Efetiva

Os Fatores de Massa Modal Efetiva podem ser calculados como a razão entre a Massa Modal Efetiva e a massa total no sistema. A massa total no sistema é a soma de todas as entradas na matriz de massas.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Fator de massa modal efetiva do número de modo i
∑M	Massa total no sistema

Cálculo do fator de massa modal efetiva para sistema de 3 graus de liberdade

RSA: Cálculo Passo a Passo

1. Avaliação dos Resultados da Análise Modal

A maioria dos códigos de construção resistentes a terremotos exige uma certa porcentagem de participação de massa quando o RSA é usado. A regra mais comum é atingir 90% na soma dos Fatores de Massa Modal Efetiva. O cálculo dos Fatores de Massa Modal Efetiva serve ao propósito de verificar este requisito. A regra pode ser escrita para o estudo de caso da seguinte forma:

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Requisito do código de construção para a participação de massas

2. Ler Aceleração Espectral do Espectro de Resposta para Cada Período

A seleção do padrão para a geração do espectro é irrelevante para o cálculo, desde que os valores correspondentes de Aceleração Espectral sejam usados. As seguintes informações são extraídas diretamente das Configurações de Análise RSA (LC12) no RFEM.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Aceleração espectral do modo i

Valores de aceleração espectral para cada modo do sistema de 3 graus de liberdade

3. Calcular o Vetor de Força de Resposta para Cada Modo

Este vetor representa as forças que, quando aplicadas ao sistema, simulam a ação de um modo sobre o sistema. Em outras palavras, o vetor contém as forças estáticas que simulam o problema dinâmico para um determinado modo.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Vetor de força do modo i

Cálculo do vetor de força de resposta para cada modo

4. Procedimento Alternativo para o Vetor de Força de Resposta

Um procedimento alternativo para obter o vetor força é calcular o corte basal para cada modo e depois distribuí-lo de acordo com a forma modal normalizada. Esta formulação está mais próxima da abordagem dos códigos de construção resistentes a terremotos modernos, nos quais o corte basal é usado para controlar e verificar a adequação da análise dinâmica. Os seguintes passos resumem esta abordagem; o cálculo é realizado apenas para o primeiro modo:

Calcular o corte basal

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Corte horizontal para a forma i

Cálculo do vetor de força de resposta para cada modo

Calcular a força máxima por andar

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Força máxima do modo i

Força de piso máximo para procedimento alternativo

Calcular o vetor força

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Vetor de resposta para procedimento alternativo

5. Solução Estática para Cada Vetor de Força e Interpretação Física do Sinal

O próximo passo é aplicar os vetores de força por modo ao sistema e resolver o sistema estaticamente. A solução estática fornece o deslocamento estimado e as forças internas no sistema para cada modo. Duas condições importantes das forças calculadas ainda não foram consideradas. Primeiro, como a resposta é uma vibração, o valor máximo pode ocorrer tanto na direção -X quanto na direção +X. Segundo, o terremoto pode vir tanto da direção +X quanto da direção -X. Consequentemente, as forças calculadas por modo também devem ser aplicadas após serem multiplicadas por menos um. Para isso, dois casos de carga são definidos por modo, considerando as direções menos e mais X. LC3 a LC8 contêm o conjunto completo de forças para três modos e as direções mais-menos X. A próxima imagem resume as cargas.

Vetores de força aplicados a um modelo simplificado

Os resultados das forças internas são mostrados na próxima seção, onde são diretamente comparados aos resultados correspondentes do RSA.

6. Comparação de Resultados entre RSA no RFEM e Casos de Carga Estática Gerados com Vetores de Força

Três casos RSA são definidos no modelo RFEM para comparação de resultados com os casos de carga estática da seção anterior. LC9, LC10 e LC11 são RSA para Modo 1, Modo 2 e Modo 3, respectivamente. As três imagens a seguir comparam os resultados de um conjunto de forças por modo com os resultados do RSA LC no programa. Para orientação, cada janela contém informações sobre o número do LC e as forças internas exibidas. A correspondência entre os resultados prova que as forças internas RSA calculadas pelo RFEM correspondem às forças vetoriais passo a passo.

KB 001985 | Cálculo de carga na análise de espectro de resposta e análises sísmicas simplificadas

Comparação de resultados para o modo 1

Comparação de resultados para Modo 2

Comparação de resultados para o modo 3

7. Resultados Finais: Método de Combinação Modal

De acordo com as suposições de RSA, os resultados de modos individuais devem ser combinados usando uma regra apropriada. O manual online (link abaixo) fornece uma visão geral das regras de combinação disponíveis no RFEM. Neste exemplo, a regra SRSS será usada devido à sua simplicidade e adequação para cálculos manuais. A tabela a seguir resume o cálculo do Esforço Cortante por Andar (Vz) usando a regra SRSS, com a operação escrita na forma de uma equação.

Configuração de análise espectral | Manuais online do RFEM 6/RSTAB 9 | Análise dinâmica

Nó	Esforço Cortante por Andar-Modo 1	Esforço Cortante por Andar-Modo 2	Esforço Cortante por Andar-Modo 3	Esforço cortante por andar combinado
1	6664.94 N	-965.07 N	134.55 N	6735.79 N
2	10210.68 N	486.37 N	-300.90 N	10226.69 N
3	11255.74 N	1716.50 N	318.44 N	11390.33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Corte de piso no nó 2 utilizando o método de combinação modal SRSS

Cálculo de corte de piso no nó 2 – Regra SRSS

Outro requisito importante do RSA é que operações entre resultados combinados não são permitidas. Um exemplo de um parâmetro que requer atenção especial de acordo com esta regra é o Deslocamento Relativo entre Andares, que é o deslocamento relativo entre o topo e a base de um andar definido. O deslocamento relativo entre andares deve ser calculado por modo, e então o método de combinação modal pode ser aplicado. É contra os princípios do RSA usar resultados “combinados” para deslocamento ao calcular este parâmetro. Para mais informações sobre este tópico, confira nosso artigo na Base de Conhecimento:

KB 1885 | Avaliação de deslocamento de piso sob cargas sísmicas segundo ASCE 7-22 e modelo do edifício

Análise de Cargas Equivalentes (ELA) e RSA

Nesta seção, é fornecida uma breve visão geral dos resultados à luz do procedimento ELA.

As cargas criadas manualmente de LC3 a LC8 seriam o resultado principal do ELA. Além disso, uma combinação de resultados também seria definida com o método de combinação modal selecionado. O ELA usa forças do RSA e não calcula cargas sísmicas independentemente. Assim, pode-se concluir que o ELA é baseado na análise modal e no RSA. O ELA é popular entre engenheiros praticantes porque é “capaz de conservar o sinal” e “mais fácil de entender do que o RSA”. Enquanto a segunda afirmação é na maioria das vezes verdadeira, é discutível afirmar que o método RSA não preserva o sinal. Está claro, por exemplo, que os resultados de LC3 e LC4 são totalmente reproduzidos em LC9, incluindo seu sinal.

Outra particularidade do ELA é que os casos de carga gerados podem considerar não linearidades. Como resultado, muitas vezes se assume que o procedimento ELA tem menos limitações do que o RSA. No entanto, a base das forças do RSA e do ELA é a Análise Modal, que lineariza a estrutura se alguma não linearidade for definida no modelo. Portanto, ao usar o ELA em uma estrutura com não linearidades, nem todas as suposições da análise são preservadas: forças calculadas em uma estrutura linearizada são aplicadas a uma estrutura com não linearidades. Isso pode levar a resultados divergentes, e deve-se ter cuidado ao realizar este tipo de análise. A validade desta afirmação depende do tipo de não linearidade e de quanto ela afeta a resposta geral do sistema. Uma discussão mais detalhada sobre este tópico é fornecida no seguinte artigo da Base de Conhecimento:

KB 1833 | Utilização de não linearidades na análise do espectro de resposta no RFEM 6

Considerações Finais

Este cálculo RSA passo a passo fornece clareza sobre a origem das forças RSA. O RSA pode ser melhor entendido como uma aplicação da Análise Modal, em vez de um procedimento completo em si. A chave para resultados RSA significativos é uma análise modal cuidadosamente examinada, pois o RSA realiza operações com base nos resultados modais sem recalcular propriedades estruturais. O ELA visa reproduzir os resultados do RSA ao oferecer uma representação simplificada das forças ou uma análise mais simplificada. Este artigo ajuda a esclarecer a correlação entre RSA, ELA e Análise Modal.

103x

18x

Pilar que representa sistema de 3 GDL para geração de carga RSA

Autor

O Sr. Hidalgo cuida do desenvolvimento na área de dinâmica.

Ligações

Referências

Sociedade Americana de Engenheiros Civis. (2022). "Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures", ASCE/SEI 7-22, ASCE 2022.

;