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001985

Victor Hidalgo, M.Sc.

17. Oktober 2025

Lastberechnung im Antwortspektrenverfahren und vereinfachte Erdbebenanalysen

Es wird eine schrittweise Berechnung durchgeführt, um zu verstehen, wie die Antwortspektrenanalyse (RSA) Erdbebenlasten berechnet. Anhand dieser Vorgänge lassen sich nachfolgende Verfahren zur Erdbebenanalyse von Gebäuden, wie beispielsweise das Ersatzlastverfahren (ELA), leichter nachvollziehen. Es wird davon ausgegangen, dass Eigenformen bereits verfügbar sind und zunächst werden mehrere für die RSA relevante Ergebnisse der Modalanalyse reproduziert.

Fallstudie

Ein dreistöckiges Gebäude kann als System mit 3 Freiheitsgraden (3 DOF) vereinfacht werden. In RFEM wird ein idealisiertes Modell entwickelt, bei dem jedes Element so eingestellt ist, dass es nur an den Enden der Elemente Netzpunkte aufweist. Die Massenmatrixeinstellungen in der RSA berücksichtigen nur Massenkomponenten in X-Richtung. Dadurch wird sichergestellt, dass die RFEM-Berechnung einem „reinen” 3-DOF-System so nahe wie möglich kommt. Diese Annahme entspricht der klassischen Analyse eines Gebäudes, bei der alle Freiheitsgrade auf Plattenebene angenommen werden.

KB 001985 | Lastberechnung im Antwortspektrenverfahren und vereinfachte Erdbebenanalysen

1 Fallstudie - Vereinfachtes 3-geschossiges Gebäude

Vertikale Lasten wurden an den Knoten definiert und als Massenquelle verwendet. Der Querschnitt wurde so gewählt, dass eine Grundperiode nahe dem erwarteten Wert für ein dreistöckiges Gebäude erreicht wird, wobei die Näherungsregel von etwa 0,1 Sekunden pro Geschoss angewendet wurde. Die Steifigkeitsmatrix wird in diesem Beispiel nicht behandelt, ist jedoch in den Ergebnissen der Modalanalyse implizit enthalten.

2 Lasten und Massen im vereinfachten Modell

Eingabedaten: Eigenformen

Die folgenden Informationen stammen aus der Modalanalyse in RFEM (LF2). Da das System nur 3 Freiheitsgrade aufweist, müssen die Einstellungen für die Modalanalyse so konfiguriert werden, dass maximal drei Formen ermittelt werden.

Massenmatrix

Die Tabelle „Massen in Netzpunkten“ unter „Modalanalyse“ gibt die angenommenen Massen im Modell an. Auf Grundlage dieser Tabelle kann die folgende Matrix konstruiert werden:

M = [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g

M	Massenmatrix

Massenmatrix für das 3-DOF-System

Eigenformen

Das Register „Knoten eigenformweise“ in der Tabelle „Ergebnisse knotenweise“ unter „Modalanalyse“ fasst die normalisierten Verschiebungen pro Eigenform zusammen. Diese Angaben können als Vektoren geschrieben werden:

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) ϕ_{2} = (\begin{matrix} - 0.5789 \\ 0.8706 \\ 0.7379 \end{matrix}) ϕ_{3} = (\begin{matrix} 0.2172 \\ - 0.7031 \\ 1.0000 \end{matrix})

ϕ₁	Eigenform der Form 1
ϕ₂	Eigenform der Form 2
ϕ₃	Eigenform der Form 3

Eigenformen des 3-DOF-Systems

Eigenschwingungsperioden

T_{1} = 0.439 s T_{2} = 0.067 s T_{3} = 0.025 s

T₁	Schwingungsdauer der Form 1
T₂	Schwingungsdauer der Form 2
T₃	Schwingungsdauer der Form 3

Eigenschwingungsperioden des 3-DOF-Systems

Wie im Online-Handbuch - Modalanalyse (Link unten) beschrieben, ist eine Transformationsmatrix zwischen globalen und lokalen Koordinaten erforderlich. Da die Orientierung der Freiheitsgrade mit der globalen X-Achse übereinstimmt, hat diese Matrix eine triviale Definition.

Eigenfrequenzen | Online-Handbücher RFEM 6 / RSTAB 9 | Dynamische Analyse

T = [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

T	Transformationsmatrix

Transformationsmatrix für das 3-DOF-System

Reproduktion der Ergebnisse der Modalanalyse

Dieser Abschnitt gibt die Ergebnisse der Modalanalyse wieder, die für die RSA unter Verwendung von Matrixoperationen erforderlich sind. Die Ergebnisse können mit den LF2-RFEM-Werten verglichen werden.

1. Modalmasse

Die modale Masse kann mit der folgenden Kreuzproduktmatrixoperation ermittelt werden. Für die erste Form wird die vollständige Operation angezeigt, für die Formen 2 und 3 wird der Wert angegeben. Dieses Format wird für alle Operationen beibehalten.

M_{m o d a l - i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [ϕ_{i}]

M_{m o d a l - 1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

M_{m o d a l - 1} = 1332.94 k g

M_{m o d a l - 2} = 1669.25 k g M_{m o d a l - 2} = 1571.37 k g

M_modal-i

Modale Masse für die Formnummer i

Modalmassenberechnung für das 3-DOF-System

2. Beteiligungsfaktoren

Beteiligungsfaktoren können mit folgender Funktion berechnet werden:

Γ_{i} = {[ϕ_{i}]}^{T} \times [M] \times [T]

Γ_{1} = (\begin{matrix} 1.0000 & 0.5320 & 0.1568 \end{matrix}) \times [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times [\begin{matrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \end{matrix}]

Γ_{1} = 1721.51 k g

Γ_{2} = 1049.55 k g Γ_{3} = 524.12 k g

Γ_i	Beteiligungsfaktor für die Formnummer i

Berechnung der Beteiligungsfaktoren für das 3-DOF-System

3. Effektive Modalmasse

Die effektive Modalmasse pro Form wird auf Grundlage der beiden zuvor berechneten Größen ermittelt.

m_{e f f - i} = \frac{{Γ_{i}}^{2}}{M_{m o d a l - i}}

m_{e f f - 1} = \frac{{Γ_{1}}^{2}}{M_{m o d a l - 1}} = \frac{{1721.51}^{2}}{1332.94} = 2223.36 k g

m_{e f f - 2} = 659.91 k g m_{e f f - 3} = 174.82 k g

m_eff-i

Effektive Modalmasse der Formnummer i

Berechnung der effektiven Modalmasse für das 3-DOF-System

4. Effektive Modalmassenfaktoren

Die effektiven Modalmassenfaktoren können als Verhältnis der effektiven Modalmassen zur Gesamtmasse im System berechnet werden. Die Gesamtmasse im System ist die Summe aller Einträge in der Massenmatrix.

f_{e f f - i} = \frac{m_{e f f - i}}{\sum_{} [M]}

\sum_{} [M] = 3058.10 k g

f_{e f f - 1} = \frac{m_{e f f - 1}}{\sum_{} [M]} = \frac{2223.36 k g}{3058.10 k g} = 0.727

f_{e f f - 2} = 0.216 f_{e f f - 3} = 0.057

f_eff-i	Effektiver Modalmassenfaktor der Formnummer i
∑M	Gesamtmasse im System

Berechnung des effektiven Modalmassenfaktors für das 3-DOF-System

RSA: Schritt-für-Schritt Berechnung

1. Bewertung der Ergebnisse der Modalanalyse

Die meisten Bauvorschriften für die Erdbebensicherheit verlangen bei Verwendung von RSA einen bestimmten Prozentsatz an Massenbeteiligung. Die gängigste Regel lautet, dass die Summe der effektiven Modalmassenfaktoren 90 % erreichen muss. Die Berechnung der effektiven Modalmassenfaktoren dient dazu, diese Anforderung zu überprüfen. Die Regel lässt sich für die Fallstudie wie folgt formulieren:

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} \geq 0.900

\sum_{i = 1}^{3} f_{e f f - i} = 0.727 + 0.216 + 0.057 = 1.000 \geq 0.900

Anforderung der Bauordnung auf die Beteiligung der Massen

2. Ablesen der Spektralbeschleunigung aus dem Antwortspektrum für jede Periode

Die Auswahl der Norm für die Spektrengenerierung ist für die Berechnung irrelevant, solange die entsprechenden Werte für die Spektralbeschleunigung verwendet werden. Die folgenden Angaben sind direkt den Einstellungen für die Antwortspektrenanalyse (LF12) in RFEM entnommen.

S_{a - 1} = 5.0625 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 2.6011 \frac{m}{s^{2}} S_{a - 2} = 1.8216 \frac{m}{s^{2}}

S_a-i

Spektrale Beschleunigung des Modus i

Spektralbeschleunigungswerte für jeden Modus des Systems mit 3 Freiheitsgraden

3. Berechnung des Antwortkraftvektors für jede Form

Dieser Vektor repräsentiert die Kräfte, die, wenn sie auf das System angewendet werden, die Wirkung einer Eigenform auf das System simulieren. Mit anderen Worten enthält der Vektor die statischen Kräfte, die das dynamische Problem für eine bestimmte Form simulieren.

F_{i} = \frac{Γ_{i}}{M_{m o d a l - i}} \cdot S_{a - i} \cdot [M] \times (ϕ_{i})

F_{1} = \frac{Γ_{1}}{M_{m o d a l - 1}} \cdot S_{a - 1} \cdot [M] \times (ϕ_{1})

F_{1} = \frac{1721.51 k g}{1332.94 k g} \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} \cdot [\begin{matrix} 1019.37 & 0 & 0 \\ 0 & 1019.37 & 0 \\ 0 & 0 & 1019.37 \end{matrix}] k g \times (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix})

F_{1} = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

F_{2} = (\begin{matrix} - 965.07 \\ 1451.44 \\ 1230.13 \end{matrix}) N F_{3} = (\begin{matrix} 134.55 \\ - 435.45 \\ 619.35 \end{matrix}) N

F_i	Kraftvektor des Modus i

Berechnung des Reaktionskraftvektors für jeden Modus

4. Alternatives Verfahren für Antwortkraftvektor

Ein alternatives Verfahren zur Ermittlung des Kraftvektors besteht darin, den Horizontalschub für jede Form zu berechnen und ihn dann entsprechend der normierten Eigenform zu verteilen. Diese Formulierung entspricht eher dem Ansatz moderner Erdbeben-Bauvorschriften, bei denen der Horizontalschub zur Steuerung und Überprüfung der Eignung der dynamischen Analyse verwendet wird. Die folgenden Schritte fassen diesen Ansatz zusammen; die Berechnung wird nur für die erste Form durchgeführt:

Berechnung des Horizontalschubs

V_{x - i} = m_{e f f - i} \cdot S_{a - i}

V_{x - 1} = m_{e f f - 1} \cdot S_{a - 1} = 2223.36 k g \cdot 5.0625 \frac{m}{s^{2}} = 11255.74 N

V_x-i

Horizontalschub für die Form i

Horizontalschub für alternatives Verfahren

Berechnung der maximalen Bodenkraft

F_{m a x - i} = \frac{V_{x - i}}{\underset{}{\sum (ϕ_{i})}}

F_{m a x - 1} = \frac{V_{x - 1}}{\underset{}{\sum (ϕ_{1})}} = \frac{11255.74}{1.6888} = 6664.94 N

F_max-i

Maximalkraft der Form i

Maximale Geschosskraft für alternatives Verfahren

Berechnung des Kraftvektors

F_{i} = F_{m a x - i} \cdot (ϕ_{i})

F_{1} = F_{m a x - 1} \cdot (ϕ_{1}) = 6664.94 N \cdot (\begin{matrix} 1.0000 \\ 0.5320 \\ 0.1568 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6664.94 \\ 3545.75 \\ 1045.06 \end{matrix}) N

Antwortvektor für alternatives Verfahren

5. Statische Lösung für jeden Kraftvektor und physikalische Interpretation des Vorzeichens

Der nächste Schritt besteht darin, die Kraftvektoren pro Form auf das System anzuwenden und das System statisch zu lösen. Die statische Lösung liefert die geschätzte Verschiebung und Schnittgrößen auf das System für jede Form. Zwei wichtige Bedingungen der berechneten Kräfte wurden noch nicht berücksichtigt. Erstens könnte der Maximalwert, da es sich bei der Antwort um eine Schwingung handelt, entweder in der minus X- oder in der plus X-Richtung auftreten. Zweitens kann das Erdbeben entweder aus der Richtung +X oder aus der Richtung -X kommen. Folglich müssen die berechneten Kräfte pro Form auch nach Multiplikation mit minus eins angewendet werden. Dazu werden pro Form zwei Lastfälle definiert, wobei die Minus- und Plus-X-Richtung berücksichtigt werden. LF3 bis LF8 enthalten den vollständigen Satz von Kräften für drei Formen und die Plus-Minus-X-Richtungen. Das nächste Bild fasst die Lasten zusammen.

Kraftvektoren auf vereinfachtem Modell

Die Ergebnisse der Schnittgrößen werden im nächsten Abschnitt dargestellt, wo sie direkt mit den entsprechenden RSA-Ergebnissen verglichen werden.

6. Ergebnisvergleich zwischen RSA in RFEM und generiertem statischen LF mit Kraftvektoren

Im RFEM-Modell sind drei RSA-Fälle definiert, um die Ergebnisse mit den statischen Lastfällen aus dem vorherigen Abschnitt zu vergleichen. LF9, LF10 und LF11 sind RSA für Form 1, Form 2 und Form 3. Die folgenden drei Bilder vergleichen die Ergebnisse eines Satzes von Kräften pro Form mit den RSA-LF-Ergebnissen im Programm. Zur Orientierung enthält jedes Fenster Informationen über die LF-Nummer und die angezeigten Schnittgrößen. Die Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen belegt, dass die von RFEM berechneten RSA-Schnittgrößen mit den schrittweisen Vektorkräften übereinstimmen.

Vergleich der Ergebnisse für Form 1

Vergleich der Ergebnisse für Form 2

Vergleich der Ergebnisse für Form 3

7. Endergebnisse: Modale Kombinationsmethode

Gemäß den RSA-Annahmen müssen Ergebnisse aus einzelnen Formen unter Verwendung einer geeigneten Regel kombiniert werden. Das Online-Handbuch (Link unten) bietet einen Überblick über die in RFEM verfügbaren Kombinationsregeln. In diesem Beispiel wird aufgrund ihrer Einfachheit und Eignung für Handberechnungen die SRSS-Regel verwendet. Die folgende Tabelle fasst die Berechnung des Geschossschubes (Vz) unter Verwendung der SRSS-Regel zusammen, wobei die Berechnung in Form einer Gleichung dargestellt ist.

Spektralanalyse-Einstellungen | Online-Handbücher RFEM 6 / RSTAB 9 | Dynamische Analyse

Knoten	Form 1 - Geschossschub	Form 2 - Geschossschub	Form 3 - Geschossschub	Geschossschub kombiniert
1	6664.94 N	-965.07 N	134.55 N	6735.79 N
2	10210.68 N	486.37 N	-300.90 N	10226.69 N
3	11255.74 N	1716.50 N	318.44 N	11390.33 N

V_{z - 2} = \sqrt{{(10210.68 N)}^{2} + {(486.37 N)}^{2} + {(- 300.90 N)}^{2}} = 10226.69 N

V_z-2

Geschossschub in Knoten 2 unter Verwendung der SRSS-Modalanalysen-Überlagerung

Geschossschubberechnung in Knoten 2 - SRSS-Regel

Eine weitere wichtige RSA-Anforderung ist, dass Operationen zwischen kombinierten Ergebnissen nicht zulässig sind. Ein Beispiel für einen Parameter, der gemäß dieser Regel besondere Aufmerksamkeit erfordert, ist die Stockwerksverschiebung, also die relative Verschiebung zwischen der Ober- und Unterseite eines definierten Geschosses. Die relative Geschossverschiebung muss pro Eigenform berechnet werden; anschließend kann die modale Kombinationsmethode angewendet werden. Es verstößt gegen die RSA-Grundsätze, bei der Berechnung dieses Parameters „kombinierte” Ergebnisse für die Verschiebung zu verwenden. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie in unserem Knowledge Base-Artikel:

KB 1885 | Beurteilung der Geschossverschiebung unter Erdbebenlasten gem. ASCE 7-22 und Gebäudemodell

Ersatzlastverfahren (ELA) und RSA

In diesem Abschnitt wird ein kurzer Überblick über die Ergebnisse im Hinblick auf das Ersatzlastverfahren gegeben.

Die manuell erstellten Lasten von LF3 bis LF8 wären das Kernergebnis des Ersatzlastverfahrens. Zusätzlich würde auch eine Ergebniskombination mit der ausgewählten modalen Kombinationsmethode definiert werden. Das Ersatzlastverfahren verwendet RSA-Kräfte und berechnet Erdbebenlasten nicht unabhängig. Daraus lässt sich schließen, dass das Ersatzlastverfahren auf der Modalanalyse und RSA basiert. ELA ist bei praktizierenden Ingenieuren beliebt, weil es „das Vorzeichen beibehält” und „leichter zu verstehen ist als RSA”. Während die zweite Aussage größtenteils zutrifft, ist es fraglich, ob man behaupten kann, dass die RSA-Methode das Vorzeichen nicht beibehält. Es ist beispielsweise eindeutig, dass die Ergebnisse von LF3 und LF4 in LF9 vollständig reproduziert werden, einschließlich ihres Vorzeichens.

Eine weitere Besonderheit des Ersatzlastverfahrens besteht darin, dass die generierten Lastfälle Nichtlinearitäten berücksichtigen können. Daher wird oft davon ausgegangen, dass das Ersatzlastverfahren weniger Einschränkungen als das Antwortspektrenverfahren aufweist. Dennoch ist die Basis sowohl der RSA- als auch der ELA-Kräfte die Modalanalyse, die die Struktur linearisiert, wenn im Modell Nichtlinearitäten definiert sind. Bei der Anwendung des Ersatzlastverfahrens auf eine Struktur mit Nichtlinearitäten bleiben daher nicht alle Annahmen der Analyse erhalten: Die für eine linearisierte Struktur berechneten Kräfte werden auf eine Struktur mit Nichtlinearitäten angesetzt. Dies kann zu divergierenden Ergebnissen führen, weshalb bei der Durchführung dieser Art von Analyse Vorsicht geboten ist. Die Gültigkeit dieser Aussage hängt von der Art der Nichtlinearität und davon ab, inwieweit sie die Gesamtantwort des Systems beeinflusst. Eine ausführlichere Erörterung dieses Themas finden Sie im folgenden Knowledge-Base-Artikel:

KB 1833 | Verwendung von Nichtlinearitäten im Antwortspektrenverfahren in RFEM 6

Schlussbemerkungen

Diese schrittweise RSA-Berechnung verdeutlicht die Herkunft der RSA-Kräfte. RSA lässt sich besser als eine Anwendung der Modalanalyse verstehen und nicht als eigenständiges Verfahren. Der Schlüssel zu aussagekräftigen RSA-Ergebnissen ist eine gründlich untersuchte Modalanalyse, da das Antwortspektrenverfahren Operationen auf Grundlage der Modalergebnisse durchführt, ohne die strukturellen Eigenschaften neu zu berechnen. Das Ersatzlastverfahren zielt darauf ab, die Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens zu reproduzieren und gleichzeitig eine vereinfachte Darstellung der Kräfte oder eine einfachere Analyse zu bieten. Dieser Beitrag dient dazu, den Zusammenhang zwischen dem Antwortspektrenverfahren, dem Ersatzlastverfahren und der Modalanalyse zu verdeutlichen.

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Stütze zur Darstellung eines 3-DOF-Systems für die RSA-Lastgenerierung

Autor

Herr Hidalgo betreut die Entwicklung im Bereich Dynamik.

Links

Referenzen

American Society of Civil Engineers. (2022). Mindestbemessungslasten und zugehörige Kriterien für Gebäude und andere Bauwerke, ASCE/SEI 7-22.

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