Рheologisches Modell

Введение

Реологические модели описывают взаимосвязь деформации тела с действующей на него нагрузкой. Для этого основные свойства упругости, вязкости и пластичности описываются идеализированными механическими базовыми элементами: пружинным, демпферным и фрикционным элементом. Поскольку в реальности обычно имеет место комбинация этих идеализированных поведений, их необходимо связывать, или, по аналогии с электротехникой, соединять.

Базовые модели

Пружинный элемент

Пружинный элемент ведет себя идеально упруго, то есть следует закону Гука, поэтому его также называют элементом Гука. Как известно, здесь предполагается линейная зависимость между напряжением σ и деформацией ε через постоянный модуль упругости E:

Демпферный элемент

Демпферный элемент ведет себя идеально вязко, как идеальная жидкость, также называемая ньютоновской жидкостью, и поэтому называется ньютоновским элементом. Он описывает запаздывающую во времени необратимую деформацию под действием приложенного напряжения:

Фрикционный элемент

Фрикционный элемент, также называемый элементом Сен-Венана, ведет себя идеально пластично. Это означает, что ниже предела текучести он ведет себя как идеальное твердое тело и не испытывает деформации от приложенной нагрузки. При превышении предела текучести элемент деформируется необратимо, то есть ведет себя как идеальная жидкость с бесконечно малой вязкостью.

Связанные модели

Основы

Путем связывания базовых моделей можно добиться поведения, более близкого к реальности. При последовательном соединении базовых моделей все они испытывают одинаковое напряжение, а деформация получается как сумма отдельных деформаций. При параллельном соединении достигается противоположный эффект. То есть, деформация всех частичных моделей одинакова, а общее напряжение получается путем суммирования. Поскольку для зависящего от времени поведения при ползучести и релаксации особенно важно вязкоупругое поведение, далее будут рассмотрены только связанные модели из пружинных и демпферных элементов, релевантные в этом отношении.

Цепь Кельвина (обобщенная модель Кельвина-Фойгта)

В так называемой цепи Кельвина элементы Кельвина-Фойгта, опционально со свободной пружиной E₀ (мгновенная деформация) и опциональным свободным демпфером η_∞ (ньютоновское течение), соединяются последовательно. Элемент Кельвина-Фойгта состоит при этом из пружинного и демпферного элементов, которые соединены параллельно. Это схематически показано на следующем рисунке:

Обобщенная модель цепочки Кельвина-Фойгта

Ползучесть является первичным поведением цепи Кельвина и лучше всего подходит для него, поэтому далее она будет рассмотрена подробнее. Модель Кельвина-Фойгта ведет себя подобно губке в масле: пружина стремится растянуться, масло тормозит. После снятия нагрузки пружина втягивает губку обратно. Модель не дает мгновенного упругого отклика и асимптотически приближается к предельной деформации. Обратная деформация при снятии нагрузки происходит с задержкой по времени, но полностью.

Определяющее уравнение элемента Кельвина-Фойгта и зависящая от времени деформация (ползучесть) при постоянном напряжении показаны в следующей формуле:

Общая деформация получается путем суперпозиции частичных деформаций в соответствии со следующим уравнением:

Отсюда при постоянном напряжении и определяющем уравнении можно вывести общую функцию ползучести:

Цепь Максвелла (обобщенная модель Максвелла)

В цепи Максвелла элементы Максвелла, опционально со свободной пружиной E_∞ (равновесная жесткость), соединяются параллельно. Элемент Максвелла состоит при этом из пружинного и демпферного элементов, которые соединены последовательно. Это схематически показано на следующем рисунке:

Обобщенная модель цепочки Максвелла

Цепь Максвелла лучше всего подходит для релаксации. Это будет подробно рассмотрено далее. Модель Максвелла ведет себя подобно капле жидкости с памятью: при постоянной деформации она медленно освобождается от напряжения. Однако для длительной ползучести модель подходит лишь ограниченно, так как деформация под постоянной нагрузкой непрерывно возрастает. При скачкообразном приложении нагрузки пружина немедленно реагирует деформацией, напряжение асимптотически стремится к нулю. При снятии принудительной деформации упругая часть немедленно возвращается, в то время как доля деформации демпфера остается.

Определяющее уравнение элемента Максвелла и зависящее от времени напряжение (релаксация) при постоянной деформации показаны в следующей формуле:

Общее напряжение получается путем суперпозиции частичных напряжений в соответствии со следующим уравнением:

Отсюда при постоянной деформации и определяющем уравнении можно вывести модуль релаксации:

Расширение для нелинейного поведения материала

Для учета нелинейного поведения материала в путь напряжения дополнительно последовательно включается фрикционный элемент. Он символизирует нелинейное поведение материала и может отображать такие эффекты, как пластификация или разупрочнение вследствие разрушения. Благодаря последовательному соединению он испытывает то же напряжение, что и остальная часть модели, и наоборот, а деформация складывается из суммы вязкоупругой и пластической деформации. Таким образом возникает вязко-(упруго-)пластическое поведение. Расширение представленных связанных реологических моделей (слева: модель цепи Кельвина и справа: модель цепи Максвелла) показано на следующем рисунке.

Обобщённая модель Кельвина (слева) и Максвелла (справа) с нелинейной работой материалов