Реологическая модель

Введение

Реологические модели описывают связь деформации тела с действующей на него нагрузкой. Для этого основные свойства – упругость, вязкость и пластичность – описываются с помощью идеализированных механических базовых элементов: пружины, демпфера и элемента трения. Поскольку в реальности обычно наблюдается комбинация этих идеализированных свойств, их необходимо соединять или, по аналогии с электротехникой, комбинировать.

Базовые модели

Пружинный элемент

Пружинный элемент ведёт себя идеально упруго, то есть подчиняется закону Гука, поэтому его также называют элементом Гука. Как известно, здесь принята линейная зависимость между напряжением σ и деформацией ε через постоянный модуль упругости E:

Демпферный элемент

Демпферный элемент ведёт себя идеально вязко, подобно идеальной жидкости, также называемой ньютоновской жидкостью, и поэтому обозначается как элемент Ньютона. Он описывает задержанную во времени необратимую деформацию под воздействием напряжения:

Элемент трения

Элемент трения, также называемый элементом Сен-Венана, ведёт себя идеально пластично. Это означает, что ниже предела текучести он ведёт себя как идеальное твёрдое тело и не испытывает деформации от приложенной нагрузки. При превышении предела текучести элемент деформируется необратимо, то есть ведёт себя как идеальная жидкость с бесконечно малой вязкостью.

Соединённые модели

Основы

Путём соединения базовых моделей можно достичь поведения, более близкого к реальности. Если соединить базовые модели последовательно, то они испытывают одинаковое напряжение, а деформация складывается из суммы отдельных деформаций. При параллельном соединении достигается противоположный эффект. Это означает, что деформация всех частных моделей одинакова, а общее напряжение получается суммированием. Поскольку для зависящего от времени поведения при ползучести и релаксации наиболее важно вязкоупругое поведение, далее будут рассмотрены только соединённые модели, состоящие из пружинных и демпферных элементов, релевантные в этом отношении.

Цепь Кельвина (обобщённая модель Кельвина-Фойгта)

В так называемой цепи Кельвина элементы Кельвина-Фойгта, опционально со свободной пружиной E₀ (мгновенная деформация) и опциональным свободным демпфером η_∞ (ньютоновское течение), соединены последовательно. Элемент Кельвина-Фойгта при этом состоит из пружинного и демпферного элементов, соединённых параллельно. Схематически это показано на следующем рисунке:

Ползучесть является основным поведением цепи Кельвина и эта модель наилучшим образом подходит для неё, поэтому далее она будет рассмотрена подробнее. Модель Кельвина-Фойгта ведёт себя подобно губке в масле: пружина стремится растянуться, масло замедляет. После снятия нагрузки пружина втягивает губку обратно. Модель не даёт мгновенного упругого отклика и асимптотически приближается к предельной деформации. Обратная деформация при снятии нагрузки происходит с задержкой по времени, но полностью.

Определяющее уравнение элемента Кельвина-Фойгта и зависящая от времени деформация (ползучесть) при постоянном напряжении показаны в следующей формуле:

Общая деформация получается из суперпозиции частных деформаций по следующему уравнению:

Из этого при постоянном напряжении и определяющем уравнении можно вывести общую функцию ползучести:

Цепь Максвелла (обобщённая модель Максвелла)

В цепи Максвелла элементы Максвелла, опционально со свободной пружиной E_∞ (равновесная жёсткость), соединяются параллельно. Элемент Максвелла при этом состоит из пружинного и демпферного элементов, соединённых последовательно. Схематически это показано на следующем рисунке:

Цепь Максвелла наилучшим образом подходит для релаксации. Далее это будет рассмотрено подробнее. Модель Максвелла ведёт себя подобно капле жидкости с памятью: при постоянной деформации она медленно освобождается от напряжения. Однако для длительной ползучести модель подходит лишь ограниченно, так как деформация под постоянной нагрузкой непрерывно растёт. При скачкообразном приложении нагрузки пружина немедленно реагирует деформацией, напряжение асимптотически приближается к нулю. При снятии вынужденной деформации упругая часть немедленно возвращается обратно, в то время как деформационная составляющая демпфера остаётся.

Определяющее уравнение элемента Максвелла и зависящее от времени напряжение (релаксация) при постоянной деформации показаны в следующей формуле:

Общее напряжение получается из суперпозиции частных напряжений по следующему уравнению:

Из этого при постоянной деформации и определяющем уравнении можно вывести модуль релаксации:

Расширение для нелинейной работы материала

Для учёта нелинейной работы материала в путь напряжения дополнительно последовательно вводится элемент трения. Он символизирует нелинейную работу материала и может отображать такие эффекты, как пластификация или снижение прочности вследствие разрушения. Благодаря последовательному соединению он испытывает то же напряжение, что и остальная часть модели, и наоборот, а деформация складывается из суммы вязкоупругой и пластической деформации. Таким образом, возникает вязко-(упруго-)пластическое поведение. Расширение представленных соединённых реологических моделей (слева: модель цепи Кельвина, справа: модель цепи Максвелла) показано на следующем рисунке.