Реологическая модель

Введение

Реологические модели описывают взаимосвязь деформации тела с действующей на него нагрузкой. Для этого основные свойства упругости, вязкости и пластичности описываются с помощью идеализированных механических базовых элементов: пружины, демпфера и элемента трения. Поскольку в реальности обычно наблюдается комбинация этих идеализированных поведений, их необходимо соединять, или, по аналогии с электротехникой, коммутировать.

Базовые модели

Пружинный элемент

Пружинный элемент ведет себя идеально упруго, то есть следует закону Гука, поэтому его также называют элементом Гука. Как известно, здесь принимается линейная зависимость между напряжением σ и деформацией ε через постоянный модуль упругости E:

Демпферный элемент

Демпферный элемент ведет себя идеально вязко, как идеальная жидкость, также называемая ньютоновской жидкостью, и поэтому называется элементом Ньютона. Он описывает замедленную во времени необратимую деформацию при воздействии напряжения:

Элемент трения

Элемент трения, также называемый элементом Сен-Венана, ведет себя идеально пластично. Это означает, что ниже предела текучести он ведет себя как идеальное твердое тело и не испытывает деформации от приложенной нагрузки. При превышении предела текучести элемент деформируется необратимо, то есть ведет себя как идеальная жидкость с бесконечно малой вязкостью.

Соединенные модели

Основы

Путем соединения базовых моделей можно достичь более реалистичного поведения. При последовательном соединении базовых моделей все они испытывают одинаковое напряжение, а деформация получается как сумма отдельных деформаций. При параллельном соединении достигается противоположный эффект. Это означает, что деформация всех частичных моделей одинакова, а общее напряжение получается суммированием. Поскольку для поведения, зависящего от времени при ползучести и релаксации, наиболее важным является вязкоупругое поведение, в дальнейшем будут рассмотрены только связанные с этим соединенные модели из пружинных и демпферных элементов.

Цепь Кельвина (обобщенная модель Кельвина-Фойгта)

В так называемой цепи Кельвина элементы Кельвина-Фойгта, опционально со свободной пружиной E₀ (мгновенная деформация) и свободным демпфером η_∞ (ньютоновское течение), соединены последовательно. Элемент Кельвина-Фойгта состоит из пружинного и демпферного элементов, соединенных параллельно. Это схематически показано на следующем рисунке:

Ползучесть является основным поведением цепи Кельвина и лучше всего для него подходит, поэтому далее оно будет рассмотрено подробнее. Поведение Кельвина-Фойгта сравнимо с губкой в масле: пружина хочет растянуться, масло тормозит. После снятия нагрузки пружина втягивает губку обратно. Модель не дает мгновенного упругого отклика и асимптотически приближается к предельной деформации. Возвратная деформация при снятии нагрузки происходит с задержкой по времени, но полностью.

Определяющее уравнение элемента Кельвина-Фойгта и зависящая от времени деформация во времени (ползучесть) при постоянном напряжении показаны в следующей формуле:

Общая деформация получается суперпозицией частичных деформаций согласно следующему уравнению:

Из этого при постоянном напряжении и определяющем уравнении можно вывести общую функцию ползучести:

Цепь Максвелла (обобщенная модель Максвелла)

В цепи Максвелла элементы Максвелла, опционально со свободной пружиной E_∞ (равновесная жесткость), соединены параллельно. Элемент Максвелла состоит из пружинного и демпферного элементов, соединенных последовательно. Это схематически показано на следующем рисунке:

Цепь Максвелла лучше всего подходит для релаксации. Поэтому это будет рассмотрено подробнее ниже. Поведение Максвелла сравнимо с каплей жидкости с памятью: при постоянной деформации она медленно уходит от напряжения. Однако для длительной ползучести модель подходит лишь ограниченно, так как деформация при постоянной нагрузке непрерывно растет. При скачкообразном приложении нагрузки пружина мгновенно реагирует деформацией, напряжение асимптотически приближается к нулю. При снятии вынужденной деформации упругая часть мгновенно возвращается, в то время как деформационная часть демпфера остается.

Определяющее уравнение элемента Максвелла и зависящее от времени напряжение во времени (релаксация) при постоянной деформации показаны в следующей формуле:

Общее напряжение получается суперпозицией частичных напряжений согласно следующему уравнению:

Из этого при постоянной деформации и определяющем уравнении можно вывести модуль релаксации: