Rheologisches Modell

Einführung

Rheologische Modelle beschreiben den Zusammenhang der Verformung eines Körpers mit der auf ihn einwirkenden Belastung. Hierfür werden die Grundeigenschaften Elastizität, Viskosität und Plastizität mit idealisierten mechanischen Grundkörpern beschrieben: Feder-, Dämpfer- und Reibelement. Da in der Realität meist eine Kombination dieser idealisierten Verhalten auftritt müssen diese gekoppelt, oder als Analogie zur Elektrotechnik verschalten, werden.

Grundmodelle

Feder-Element

Das Feder-Element verhält sich ideal elastisch, folgt also dem Hookeschen Gesetz, weshalb es auch Hooke-Element genannt wird. Bekanntermaßen ist hierbei ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung σ und Dehnung εüber einen konstanten Elastizitätsmodul E angesetzt:

Dämpfer-Element

Das Dämpfer-Element verhält sich ideal viskos, wie eine ideale Flüssigkeit, auch Newtonsches Fluid genannt, und wird deshalb als Newton-Element bezeichnet. Es beschreibt die zeitlich verzögerte irreversible Verformung auf eine einwirkende Spannung:

Reib-Element

Das Reib-Element, auch St.-Venant-Element, verhält sich ideal plastisch. Dies bedeutet, dass es sich unterhalb der Fließgrenze wie ein idealer Festkörper verhält und keine Verformung durch eine aufgebrachte Belastung erfährt. Ab Überschreitung der Fließgrenze verformt sich das Element irreversibel, verhält sich also wie eine ideale Flüssigkeit mit unendlich kleiner Viskosität.

Gekoppelte Modelle

Grundlagen

Durch Kopplung der Grundmodelle kann ein realitätsnäheres Verhalten erreicht werden. Schaltet man die Grundmodelle so erfahren diese alle die selbe Spannung, die Dehnung ergibt sich daraufhin aus der Summe der Einzeldehnungen. Durch Parallelschaltung wird die gegenteilige Wirkung erzeugt. Das heist, die Dehnung aller Teilmodelle ist gleich und die Gesamtspannung ergibt sich durch Summation.
Da für das zeitabhängige Verhalten unter Kriechen und Relaxation vor allem das viskoelastisches Verhalten relevant ist, soll im nachfolgenden nur auf die diesbezüglich relevanten gekoppelten Modelle aus Feder und Dämpfer-Elementen eingegangen werden.

Kelvin-Kette (verallgemeinertes Kelvin-Voigt-Modell)

Bei der sogenannten Kelvin-Kette werden Kelvin-Voigt-Elemente, optional mit einer freien Feder E₀ (Sofortdehnung) und einem freien Dämpfer η_∞ (Newtonsches Fließen), in Reihe geschalten. Ein Kelvin-Voigt-Element besteht hierbei aus einem Feder- und einem Dämpfer-Element, welche parallel geschalten sind. Gezeigt ist dies schematisch im nachfolgenden Bild:

Kriechen ist das Primärverhalten der Kelvin-Kette und für dieses am besten geeignet, weshalb nachfolgend hierauf genauer eingegangen wird. Kelvin-Voigt verhält sich vergleichbar mit einem Schwamm in Öl: die Feder will sich dehnen, das Öl bremst. Nach Entlastung saugt die Feder den Schwamm zurück. Das Modell liefert keine sofortige elastische Antwort und nähert sich asymptotisch einer Grenzdehnung an. Die Rückverformung bei Entfernung der Belastung erfolgt zeitverzögert, jedoch vollständig.

Die konstitutive Gleichung eines Kelvin-Voigt-Elements und die zeitabhängige Dehnung über die Zeit (Kriechen) bei konstanter Spannung sind in der nachfolgenden Formel aufgezeigt:

Die Gesamtdehnung ergibt sich aus Superposition der Teildehnungen nach der folgenden Gleichung:

Hieraus kann bei konstanter Spannung und der konstitutiven Gleichung die Gesamtkriechfunktion hergeleitet werden:

Maxwell-Kette (verallgemeinertes Maxwell-Modell)

Bei der Maxwell-Kette werden Maxwell-Elemente, optional mit einer freien Feder E_∞ (Gleichgewichtssteifigkeit) parallel geschalten. Ein Maxwell-Element besteht hierbei aus einem Feder- und einem Dämpfer-Element, welche in Reihe geschalten sind. Gezeigt ist dies schematisch im nachfolgenden Bild:

Die Maxwell-Kette eignet sich am besten für Relaxation. Hierauf wird im folgenden somit genauer eingegangen. Maxwell verhält sich vergleichbar mit zu einem Flüssigkeitstropfen mit Gedächtnis: unter konstanter Dehnung entzieht dieser sich langsam der Spannung. Für Langzeitkriechen ist das Modell jedoch nur eingeschränkt geeignet, da die Dehnung unter Dauerlast kontinuierlich steigt. Bei sprungartiger Lastaufbringung reagiert die Feder sofort mit einer Dehnung die Spannung nähert sich asymptotisch null an. Bei Entfernung der Zwangsdehnung federt der elastische Anteil sofort zurück, während der Dehnungsanteil des Dämpfers verbleibt.

Die konstitutive Gleichung eines Maxwell-Elements und die zeitabhängige Spannung über die Zeit (Relaxation) bei konstanter Dehnung sind in der nachfolgenden Formel aufgezeigt:

Die Gesamtspannung ergibt sich aus Superposition der Teilspannungen nach der folgenden Gleichung:

Hieraus kann bei konstanter Dehnung und der konstitutiven Gleichung der Relaxationsmodul hergeleitet werden: