流变模型

引言

流变模型描述了物体变形与其所受荷载之间的关系。为此，基本特性弹性、粘性和塑性通过理想化的力学基本元件来描述：弹簧元件、阻尼元件和摩擦元件。由于现实中通常出现这些理想化行为的组合，因此必须将它们耦合连接，或类比电工学中的电路进行连接。

基本模型

弹簧元件

弹簧元件表现为理想弹性，因此遵循胡克定律，也被称为胡克元件。众所周知，这里假定应力 σ 与应变 ε 之间通过恒定的弹性模量 E 建立线性关系：

阻尼元件

阻尼元件表现为理想粘性，如同理想液体，也称为牛顿流体，因此被称为牛顿元件。它描述了在应力作用下随时间延迟的不可逆变形：

摩擦元件

摩擦元件，也称为圣维南元件，表现为理想塑性。这意味着它在屈服强度以下表现得如同理想刚体，不会因施加荷载而发生变形。一旦超过屈服强度，元件将发生不可逆变形，即表现为粘度无限小的理想流体。

耦合模型

基础

通过耦合基本模型，可以实现更接近实际的行为。若将基本模型串联，它们将承受相同的应力，而应变则由各分应变之和得出。通过并联则产生相反的效应，即所有子模型的应变相同，而总应力由各分应力之和得出。 由于在蠕变和松弛的时效行为中，粘弹性行为尤为重要，下面将只讨论与此相关的、由弹簧和阻尼元件组成的耦合模型。

开尔文链（广义开尔文-沃伊特模型）

在所谓的开尔文链中，开尔文-沃伊特元件，可选择性地与一个自由弹簧 E₀（瞬时弹性应变）和一个可选的自由阻尼器 η_∞（牛顿流动），串联连接。其中，一个开尔文-沃伊特元件由一个弹簧元件和一个阻尼元件并联组成。如下图所示：

蠕变是开尔文链的主要特性，并且该模型最适合描述此特性，因此下面将对此进行详细说明。开尔文-沃伊特模型的行为类似于油中的海绵：弹簧欲伸长，而油则起到制动作用。卸载后，弹簧将海绵吸回。该模型不提供瞬时弹性响应，并渐近地趋于一个极限应变。移除荷载后，变形恢复具有时间延迟，但是完全的。

开尔文-沃伊特元件的本构方程以及恒定应力下随时间变化的应变（蠕变）由以下公式给出：

总应变由各分应变的叠加得出，依据以下方程：

由此，在恒定应力和本构方程的条件下，可推导出总蠕变函数：

麦克斯韦链（广义麦克斯韦模型）

在麦克斯韦链中，麦克斯韦元件，可选择性地与一个自由弹簧 E_∞（平衡刚度）并联连接。其中，一个麦克斯韦元件由一个弹簧元件和一个阻尼元件串联组成。如下图所示：

麦克斯韦链最适合描述松弛。因此下面将对此进行详细说明。麦克斯韦模型的行为类似于有记忆的液滴：在恒定应变下，它缓慢地释放应力。然而，该模型对于长期蠕变的适用性有限，因为在持续荷载下其应变会连续增加。在骤然加载时，弹簧立即产生应变响应，而应力则渐近地趋于零。解除强制应变后，弹性部分立即回弹，而阻尼器的应变部分则残留下来。

麦克斯韦元件的本构方程以及恒定应变下随时间变化的应力（松弛）由以下公式给出：

总应力由各分应力的叠加得出，依据以下方程：

由此，在恒定应变和本构方程的条件下，可推导出松弛模量：

针对非线性材料行为的扩展

为了考虑非线性材料行为，在应力路径中还串联引入了一个摩擦元件。该元件象征非线性材料行为，并能描绘如塑性化或因断裂行为导致的弱化等效应。由于串联连接，它承受的应力与模型其余部分相同，反之亦然，而应变则由粘弹性应变和塑性应变之和得出。因此，形成了一种粘-（弹-）塑性行为。前述耦合流变模型的扩展（左：开尔文链模型；右：麦克斯韦链模型）如下图所示。