流变模型

引言

流变学模型描述了物体的变形与其所承受的荷载之间的关系。为此，使用理想化的基本力学元件来描述其基本特性：弹簧元件、阻尼元件和摩擦元件分别代表弹性、粘性和塑性。由于现实中通常会出现这些理想化行为的组合，因此必须将它们耦合起来，或者类似于电工学中的连接方式。

基本模型

弹簧元件

弹簧元件的性能是理想弹性的，即遵循胡克定律，因此也被称为胡克元件。众所周知，这里假设应力 σ 和应变 ε 之间通过恒定的弹性模量 E 呈线性关系：

阻尼元件

阻尼元件的性能是理想粘性的，如同一种理想流体，也称为牛顿流体，因此被称为牛顿元件。它描述了在应力作用下随时间延迟的不可逆变形的行为：

摩擦元件

摩擦元件，也称为圣维南元件，其性能是理想塑性的。这意味着，在屈服强度以下，它表现得像一个理想的固体，在施加的荷载下不发生变形。一旦超过屈服强度，元件发生不可逆变形，其行为类似于粘度无限小的理想流体。

耦合模型

基本原理

通过耦合基本模型，可以获得更接近实际情况的行为。如果基本模型串联，那么它们都承受相同的应力，而总应变由各个单独的应变之和得出。而并联则产生相反的效果：所有子模型的应变相同，总应力由叠加得出。 由于在徐变和松弛的时间相关行为中，主要是粘弹性行为起决定性作用，因此下面仅讨论由弹簧元件和阻尼元件组成的相关耦合模型。

Kelvin 链（广义 Kelvin-Voigt 模型）

在所谓的 Kelvin 链中，多个 Kelvin-Voigt 元件（可选配一个独立的弹簧 E₀（瞬时弹性）和一个独立的阻尼器 η_∞（牛顿流体流动））被串联起来。这里，一个 Kelvin-Voigt 元件由一个弹簧元件和一个阻尼元件并联组成。下图为此原理的示意图：

徐变是 Kelvin 链的主要行为表现，该模型最适合描述这种行为，因此下面将对此进行详细说明。Kelvin-Voigt 的行为可以比拟为一块浸在油中的海绵：弹簧想要伸长，但油起到阻滞作用。卸载后，弹簧将海绵拉回原状。该模型不提供即时的弹性响应，并渐近地趋近于一个极限应变。移除荷载后的变形恢复具有时间延迟性，但会完全恢复。

Kelvin-Voigt 元件的本构方程，以及在恒定应力下随时间变化的应变（徐变）由以下公式表示：

总应变根据以下方程，通过各分应变的叠加得出：

由此，在恒定应力和该本构方程下，可以推导出总徐变函数：

Maxwell 链（广义 Maxwell 模型）

在 Maxwell 链中，多个 Maxwell 元件（可选配一个独立的弹簧 E_∞（平衡刚度））被并联起来。这里，一个 Maxwell 元件由一个弹簧元件和一个阻尼元件串联组成。下图为此原理的示意图：

Maxwell 链最适合描述松弛行为。因此，下面将对此进行详细说明。Maxwell 的行为可以比拟为一个具有记忆功能的液滴：在恒定应变下，它会缓慢地摆脱应力。然而，该模型仅能在有限程度上适用于长期徐变，因为在持续荷载下其应变会持续增加。在突加荷载时，弹簧立即产生应变响应，而应力则渐近地趋于零。移除强制变形后，弹性部分立即回弹，而阻尼器的应变部分则保留下来。

Maxwell 元件的本构方程，以及在恒定应变下随时间变化的应力（松弛）由以下公式表示：

总应力根据以下方程，通过各分应力的叠加得出：

由此，在恒定应变和该本构方程下，可以推导出松弛模量：