流变模型

引言

流变模型描述了物体变形与其所受荷载之间的关系。为此，使用理想化的力学基本元件：弹簧、阻尼器和摩擦元件来描述弹性、粘性和塑性这些基本特性。由于在现实中通常出现这些理想化行为的组合，因此必须将它们耦合，或者类比电工学进行连接。

基本模型

弹簧元件

弹簧元件呈现理想弹性行为，因此遵循胡克定律，故也称为胡克元件。众所周知，这里假设应力 σ 和应变 ε 之间通过恒定的弹性模量 E 存在线性关系：

阻尼器元件

阻尼器元件呈现理想粘性行为，如同理想液体，也称为牛顿流体，因此被称为牛顿元件。它描述了在应力作用下随时间延迟的不可逆变形的特性：

摩擦元件

摩擦元件，也称为圣维南元件，呈现理想塑性行为。这意味着，在屈服强度以下，它表现为理想刚体，不会因施加的荷载而产生变形。一旦超过屈服强度，该元件将发生不可逆变形，即表现为粘度无限小的理想流体。

耦合模型

基础

通过耦合基本模型，可以实现更接近现实的行为。如果将基本模型串联，则它们都承受相同的应力，产生的应变由各个模型的应变之和得出。通过并联，则会产生相反的效果。也就是说，所有子模型的应变相同，而总应力由各个部分的应力之和得出。 由于对于徐变和松弛下的时间相关的行为，粘弹性行为尤其重要，因此下文将只讨论与此相关的由弹簧和阻尼器元件组成的耦合模型。

开尔文链 (广义开尔文-沃伊特模型)

在所谓的开尔文链中，将开尔文-沃伊特元件串联，并可选择串联一个独立的弹簧 E₀（瞬时弹性应变）和一个可选的独立阻尼器 η_∞（牛顿流动）。其中，一个开尔文-沃伊特元件由一个弹簧元件和一个阻尼器元件并联而成。下图示意性地显示了这一点：

广义开尔文-沃伊特链模型

徐变是开尔文链的主要行为，并且最适合于此，因此下文将对此进行详细说明。开尔文-沃伊特的行为可类比于油中的海绵：弹簧想要伸长，油则起阻碍作用。卸载后，弹簧将海绵吸回。该模型不提供瞬时弹性响应，并渐近地趋于一个极限应变。在移除荷载时的恢复变形是延迟的，但是完全的。

下面的公式显示了一个开尔文-沃伊特元件的本构方程以及在恒定应力下随时间变化的应变（徐变）：

总应变由各个部分应变的叠加得出，依据下式：

由此，在恒定应力和本构方程下可以推导出总徐变函数：

麦克斯韦链 (广义麦克斯韦模型)

在麦克斯韦链中，将麦克斯韦元件并联，并可选择并联一个独立的弹簧 E_∞（平衡刚度）。其中，一个麦克斯韦元件由一个弹簧元件和一个阻尼器元件串联而成。下图示意性地显示了这一点：

广义麦克斯韦链模型

麦克斯韦链最适用于松弛。因此，下文将对此进行详细说明。麦克斯韦的行为可类比于具有记忆的液滴：在恒定应变下，它会慢慢摆脱应力。但该模型对于长期徐变适用性有限，因为在持续荷载下应变会连续增加。当突然施加荷载时，弹簧立即产生应变响应，而应力渐近地趋于零。在移除约束应变时，弹性部分立即回弹，而阻尼器的应变部分则会保留。

下面的公式显示了一个麦克斯韦元件的本构方程以及在恒定应变下随时间变化的应力（松弛）：

总应力由各个部分应力的叠加得出，依据下式：

由此，在恒定应变和本构方程下可以推导出松弛模量：

针对非线性材料行为的扩展

为了考虑非线性材料行为，还须在应力路径中串联一个摩擦元件。该元件象征着非线性材料行为，并且可以模拟诸如塑性化或由于断裂行为引起的软化等效应。由于是串联，它承受着与模型其余部分一样的应力，反之亦然，并且应变由粘弹性应变和塑性应变之和得出。这样便产生了粘-（弹-）塑性行为。下图显示了上述耦合流变模型（左：开尔文链模型；右：麦克斯韦链模型）的扩展。

广义开尔文链模型（左）和麦克斯韦链模型（右），考虑非线性材料行为