Modello reologico

Introduzione

I modelli reologici descrivono il legame tra la deformazione di un corpo e il carico che agisce su di esso. A tale scopo, le proprietà fondamentali di elasticità, viscosità e plasticità vengono descritte mediante elementi meccanici di base idealizzati: elementi molla, smorzatore e attrito. Poiché nella realtà si manifesta solitamente una combinazione di questi comportamenti idealizzati, essi devono essere accoppiati, ovvero collegati in analogia con l'elettrotecnica.

Modelli base

Elemento molla

L'elemento molla si comporta in modo idealmente elastico, seguendo quindi la legge di Hooke, motivo per cui è chiamato anche elemento di Hooke. Notoriamente, si stabilisce una relazione lineare tra tensione σ e deformazione ε tramite un modulo di elasticità costante E:

Elemento smorzatore

L'elemento smorzatore si comporta in modo idealmente viscoso, come un fluido ideale, detto anche fluido newtoniano, e perciò viene definito elemento di Newton. Descrive la deformazione irreversibile ritardata nel tempo in risposta a una tensione applicata:

Elemento di attrito

L'elemento di attrito, anche detto elemento di St. Venant, si comporta in modo idealmente plastico. Ciò significa che al di sotto della tensione di snervamento si comporta come un solido ideale e non subisce alcuna deformazione a causa del carico applicato. Superata la tensione di snervamento, l'elemento si deforma irreversibilmente, comportandosi quindi come un fluido ideale con viscosità infinitamente piccola.

Modelli accoppiati

Fondamenti

Attraverso l'accoppiamento dei modelli base è possibile ottenere un comportamento più vicino alla realtà. Collegando i modelli base in serie, essi subiscono tutti la stessa tensione, mentre la deformazione risulta dalla somma delle singole deformazioni. Con il collegamento in parallelo si genera l'effetto opposto. Ciò significa che la deformazione di tutti i modelli parziali è uguale e la tensione totale risulta dalla somma. Poiché per il comportamento dipendente dal tempo sotto scorrimento viscoso e rilassamento è rilevante soprattutto il comportamento viscoelastico, di seguito verranno trattati solo i modelli accoppiati rilevanti a tale riguardo, composti da elementi molla e smorzatore.

Catena di Kelvin (modello di Kelvin-Voigt generalizzato)

Nella cosiddetta catena di Kelvin, elementi di Kelvin-Voigt, opzionalmente con una molla libera E₀ (deformazione immediata) e uno smorzatore libero opzionale η_∞ (scorrimento viscoso newtoniano), sono collegati in serie. Un elemento di Kelvin-Voigt è costituito da un elemento molla e un elemento smorzatore collegati in parallelo. Ciò è mostrato schematicamente nell'immagine seguente:

Lo scorrimento viscoso è il comportamento primario della catena di Kelvin ed è il più adatto a tale scopo, motivo per cui di seguito verrà approfondito. Kelvin-Voigt si comporta in modo paragonabile a una spugna nell'olio: la molla tende a deformarsi, l'olio la frena. Dopo lo scarico, la molla risucchia la spugna. Il modello non fornisce una risposta elastica immediata e si avvicina asintoticamente a una deformazione limite. Il recupero della deformazione alla rimozione del carico avviene in modo ritardato nel tempo, ma completamente.

L'equazione costitutiva di un elemento di Kelvin-Voigt e la deformazione dipendente dal tempo (scorrimento viscoso) sotto tensione costante sono mostrate nella formula seguente:

La deformazione totale risulta dalla sovrapposizione delle deformazioni parziali secondo la seguente equazione:

Da questa, sotto tensione costante e con l'equazione costitutiva, si può derivare la funzione di scorrimento viscoso totale:

Catena di Maxwell (modello di Maxwell generalizzato)

Nella catena di Maxwell, elementi di Maxwell, opzionalmente con una molla libera E_∞ (rigidezza di equilibrio), sono collegati in parallelo. Un elemento di Maxwell è costituito da un elemento molla e un elemento smorzatore collegati in serie. Ciò è mostrato schematicamente nell'immagine seguente:

La catena di Maxwell è la più adatta per il rilassamento, che verrà quindi approfondito di seguito. Maxwell si comporta in modo paragonabile a una goccia fluida con memoria: sotto deformazione costante, si sottrae lentamente alla tensione. Per lo scorrimento viscoso a lungo termine, il modello è tuttavia adatto solo in modo limitato, poiché la deformazione sotto carico permanente aumenta continuamente. In caso di applicazione improvvisa del carico, la molla reagisce immediatamente con una deformazione e la tensione si avvicina asintoticamente a zero. Alla rimozione della deformazione imposta, la componente elastica ritorna immediatamente, mentre la componente di deformazione dello smorzatore permane.

L'equazione costitutiva di un elemento di Maxwell e la tensione dipendente dal tempo (rilassamento) sotto deformazione costante sono mostrate nella formula seguente:

La tensione totale risulta dalla sovrapposizione delle tensioni parziali secondo la seguente equazione:

Da questa, sotto deformazione costante e con l'equazione costitutiva, si può derivare il modulo di rilassamento:

Estensione per comportamento non lineare del materiale

Per considerare un comportamento non lineare del materiale, viene introdotto in serie, nel percorso della tensione, un elemento di attrito. Questo simboleggia il comportamento non lineare del materiale e può rappresentare effetti come la plasticizzazione o l'indebolimento per comportamento a rottura. Grazie al collegamento in serie, subisce la stessa tensione del resto del modello, e viceversa, e la deformazione risulta dalla somma della deformazione viscoelastica e plastica. Si genera così un comportamento visco-(elasto-)plastico. L'estensione dei modelli reologici accoppiati presentati (a sinistra: modello a catena di Kelvin e a destra: modello a catena di Maxwell) è mostrata nell'immagine seguente.