Modello reologico

Introduzione

I modelli reologici descrivono la relazione tra la deformazione di un corpo e il carico che agisce su di esso. A tal fine, le proprietà fondamentali di elasticità, viscosità e plasticità sono descritte con corpi meccanici fondamentali idealizzati: elemento molla, smorzatore e attrito. Poiché nella realtà si verifica solitamente una combinazione di questi comportamenti idealizzati, essi devono essere accoppiati o, in analogia con l'elettrotecnica, collegati.

Modelli fondamentali

Elemento molla

L'elemento molla si comporta in modo idealmente elastico, seguendo quindi la legge di Hooke, motivo per cui è chiamato anche elemento di Hooke. Come noto, si ipotizza una relazione lineare tra tensione σ e deformazione ε tramite un modulo di elasticità costante E:

Elemento smorzatore

L'elemento smorzatore si comporta in modo idealmente viscoso, come un fluido ideale, detto anche fluido newtoniano, ed è quindi indicato come elemento di Newton. Esso descrive la deformazione irreversibile ritardata nel tempo in risposta ad una tensione applicata:

Elemento di attrito

L'elemento di attrito, detto anche elemento di St. Venant, si comporta in modo idealmente plastico. Ciò significa che al di sotto della tensione di snervamento si comporta come un solido ideale e non subisce alcuna deformazione a causa di un carico applicato. Al superamento della tensione di snervamento, l'elemento si deforma irreversibilmente, comportandosi quindi come un fluido ideale con viscosità infinitamente piccola.

Modelli accoppiati

Principi fondamentali

Accoppiando i modelli fondamentali è possibile ottenere un comportamento più realistico. Collegando i modelli fondamentali in serie, essi sono soggetti tutti alla stessa tensione, mentre la deformazione risulta dalla somma delle singole deformazioni. Il collegamento in parallelo produce l'effetto opposto. Ciò significa che la deformazione di tutti i modelli parziali è la stessa e la tensione totale risulta dalla somma.
Poiché per il comportamento dipendente dal tempo sotto scorrimento viscoso e rilassamento è rilevante soprattutto il comportamento viscoelastico, di seguito verranno trattati solo i modelli accoppiati rilevanti a questo proposito, composti da elementi molla e smorzatore.

Catena di Kelvin (modello di Kelvin-Voigt generalizzato)

Nella cosiddetta catena di Kelvin, elementi di Kelvin-Voigt sono collegati in serie, opzionalmente con una molla libera E₀ (deformazione istantanea) e uno smorzatore libero opzionale η_∞ (scorrimento newtoniano). Un elemento di Kelvin-Voigt è costituito da un elemento molla e uno smorzatore collegati in parallelo. Ciò è mostrato schematicamente nell'immagine seguente:

Modello generalizzato a catena di Kelvin-Voigt

Lo scorrimento viscoso è il comportamento primario della catena di Kelvin ed è il più adatto per questo scopo, motivo per cui verrà approfondito di seguito. Kelvin-Voigt si comporta in modo paragonabile ad una spugna nell'olio: la molla tende a dilatarsi, l'olio la frena. Dopo lo scarico, la molla risucchia la spugna. Il modello non fornisce una risposta elastica istantanea e si avvicina asintoticamente ad una deformazione limite. La deformazione di ritorno alla rimozione del carico avviene in modo ritardato nel tempo, ma completamente.

L'equazione costitutiva di un elemento di Kelvin-Voigt e la deformazione dipendente dal tempo (scorrimento viscoso) a tensione costante sono mostrate nella formula seguente:

La deformazione totale risulta dalla sovrapposizione delle deformazioni parziali secondo la seguente equazione:

Da ciò, a tensione costante e con l'equazione costitutiva, si può derivare la funzione di scorrimento viscoso totale:

Catena di Maxwell (modello di Maxwell generalizzato)

Nella catena di Maxwell, elementi di Maxwell sono collegati in parallelo, opzionalmente con una molla libera E_∞ (rigidezza di equilibrio). Un elemento di Maxwell è costituito da un elemento molla e uno smorzatore collegati in serie. Ciò è mostrato schematicamente nell'immagine seguente:

Modello generalizzato a catena di Maxwell

La catena di Maxwell è più adatta per il rilassamento. Di seguito verrà quindi approfondito questo aspetto. Maxwell si comporta in modo paragonabile ad una goccia di liquido con memoria: sotto deformazione costante, essa si sottrae lentamente alla tensione. Per lo scorrimento viscoso a lungo termine, tuttavia, il modello è adatto solo in modo limitato, poiché la deformazione sotto carico permanente aumenta continuamente. In caso di applicazione improvvisa del carico, la molla reagisce immediatamente con una deformazione; la tensione si avvicina asintoticamente a zero. Alla rimozione della deformazione imposta, la parte elastica ritorna immediatamente, mentre la parte di deformazione dello smorzatore permane.

L'equazione costitutiva di un elemento di Maxwell e la tensione dipendente dal tempo (rilassamento) a deformazione costante sono mostrate nella formula seguente:

La tensione totale risulta dalla sovrapposizione delle tensioni parziali secondo la seguente equazione:

Da ciò, a deformazione costante e con l'equazione costitutiva, si può derivare il modulo di rilassamento:

Estensione per comportamento non lineare del materiale

Per considerare un comportamento non lineare del materiale, viene inserito un elemento di attrito in serie nel percorso della tensione. Questo simboleggia il comportamento non lineare del materiale e può rappresentare effetti come la plasticizzazione o la perdita di resistenza dovuta a comportamento a rottura. A causa del collegamento in serie, è soggetto alla stessa tensione del resto del modello, e viceversa, e la deformazione risulta dalla somma della deformazione viscoelastica e plastica. Si genera così un comportamento visco-(elasto-)plastico. L'estensione dei modelli reologici accoppiati presentati (a sinistra: modello a catena di Kelvin e a destra: modello a catena di Maxwell) è mostrata nell'immagine seguente.

Modello generalizzato di Kelvin (a sinistra) e Maxwell (a destra) con comportamento del materiale nonlineare