Modello reologico

Introduzione

I modelli reologici descrivono la relazione tra la deformazione di un corpo e il carico che agisce su di esso. A tale scopo, le proprietà fondamentali di elasticità, viscosità e plasticità vengono descritte con corpi meccanici di base idealizzati: elemento molla, elemento smorzatore ed elemento di attrito. Poiché nella realtà si verifica solitamente una combinazione di questi comportamenti idealizzati, essi devono essere accoppiati o, in analogia con l'elettrotecnica, collegati tra loro.

Modelli di base

Elemento molla

L'elemento molla ha un comportamento idealmente elastico, segue quindi la legge di Hooke, per cui è chiamato anche elemento di Hooke. Come noto, si presuppone una relazione lineare tra tensione σ e deformazione ε tramite un modulo di elasticità costante E:

Elemento smorzatore

L'elemento smorzatore ha un comportamento idealmente viscoso, come un fluido ideale, chiamato anche fluido newtoniano, ed è perciò definito elemento di Newton. Descrive la deformazione irreversibile ritardata nel tempo in risposta a una tensione agente:

Elemento di attrito

L'elemento di attrito, chiamato anche elemento di St. Venant, ha un comportamento idealmente plastico. Ciò significa che al di sotto della tensione di snervamento si comporta come un solido ideale e non subisce alcuna deformazione a causa di un carico applicato. Al superamento della tensione di snervamento, l'elemento si deforma irreversibilmente, comportandosi quindi come un fluido ideale con viscosità infinitamente piccola.

Modelli accoppiati

Principi di base

Accoppiando i modelli di base si può ottenere un comportamento più realistico. Se si collegano i modelli di base in serie, essi sono soggetti alla stessa tensione; la deformazione risulta quindi dalla somma delle singole deformazioni. Con il collegamento in parallelo si produce l'effetto contrario. Ciò significa che la deformazione di tutti i modelli parziali è uguale e la tensione totale si ottiene per somma. Poiché per il comportamento dipendente dal tempo sotto viscosità e rilassamento è rilevante soprattutto il comportamento viscoelastico, di seguito verranno trattati solo i modelli accoppiati composti da elementi molla e smorzatore pertinenti a tale comportamento.

Catena di Kelvin (modello di Kelvin-Voigt generalizzato)

Nella cosiddetta catena di Kelvin, gli elementi di Kelvin-Voigt, opzionalmente con una molla libera E₀ (deformazione istantanea) e uno smorzatore libero η_∞ (scorrimento newtoniano), sono collegati in serie. Un elemento di Kelvin-Voigt è composto da un elemento molla e un elemento smorzatore collegati in parallelo. Ciò è mostrato schematicamente nella figura seguente:

La viscosità è il comportamento primario della catena di Kelvin ed è il più adatto a descriverla, motivo per cui verrà approfondita di seguito. Il modello di Kelvin-Voigt si comporta in modo paragonabile a una spugna nell'olio: la molla tende a deformarsi, l'olio la frena. Dopo la rimozione del carico, la molla risucchia la spugna. Il modello non fornisce una risposta elastica istantanea e si avvicina asintoticamente a una deformazione limite. La deformazione di ritorno alla rimozione del carico avviene in modo ritardato nel tempo, ma completamente.

L'equazione costitutiva di un elemento di Kelvin-Voigt e la deformazione dipendente dal tempo nel tempo (viscosità) a tensione costante sono mostrate nella formula seguente:

La deformazione totale si ottiene dalla sovrapposizione delle deformazioni parziali secondo la seguente equazione:

Da qui, a tensione costante e con l'equazione costitutiva, si può derivare la funzione di viscosità totale:

Catena di Maxwell (modello di Maxwell generalizzato)

Nella catena di Maxwell, gli elementi di Maxwell, opzionalmente con una molla libera E_∞ (rigidezza all'equilibrio), sono collegati in parallelo. Un elemento di Maxwell è composto da un elemento molla e un elemento smorzatore collegati in serie. Ciò è mostrato schematicamente nella figura seguente:

La catena di Maxwell è più adatta per il rilassamento, che verrà quindi approfondito di seguito. Il modello di Maxwell si comporta in modo paragonabile a una goccia di fluido con memoria: sotto deformazione costante, questa si sottrae lentamente alla tensione. Tuttavia, il modello è solo limitatamente adatto per la viscosità a lungo termine, poiché la deformazione sotto carico permanente aumenta continuamente. In caso di applicazione improvvisa del carico, la molla reagisce immediatamente con una deformazione, la tensione si avvicina asintoticamente a zero. Alla rimozione della deformazione imposta, la parte elastica ritorna immediatamente, mentre la parte di deformazione dello smorzatore permane.

L'equazione costitutiva di un elemento di Maxwell e la tensione dipendente dal tempo nel tempo (rilassamento) a deformazione costante sono mostrate nella formula seguente:

La tensione totale si ottiene dalla sovrapposizione delle tensioni parziali secondo la seguente equazione:

Da qui, a deformazione costante e con l'equazione costitutiva, si può derivare il modulo di rilassamento: