Reologický model

Úvod

Reologické modely popisují vztah mezi přetvořením tělesa a zatížením, které na něj působí. K tomu se používají základní vlastnosti elasticita, viskozita a plasticita popsané idealizovanými základními mechanickými prvky: pružinou, tlumičem a třecím prvkem. Protože se ve skutečnosti obvykle vyskytuje kombinace těchto idealizovaných chování, musí se tyto prvky spojit, neboli zapojit analogicky k elektrotechnice.

Základní modely

Pružinový prvek

Pružinový prvek se chová ideálně elasticky, řídí se tedy Hookovým zákonem, a proto se nazývá také Hookův prvek. Jak známo, předpokládá se zde lineární vztah mezi napětím σ a přetvořením ε prostřednictvím konstantního modulu pružnosti E:

Tlumičový prvek

Tlumičový prvek se chová ideálně viskózně, jako ideální kapalina, nazývaná také newtonská tekutina, a proto se označuje jako Newtonův prvek. Popisuje časově zpožděné, nevratné přetvoření způsobené působícím napětím:

Třecí prvek

Třecí prvek, také zvaný St.-Venantův prvek, se chová ideálně plasticky. To znamená, že pod mezí kluzu se chová jako ideální tuhé těleso a nedochází u něj k žádnému přetvoření od působícího zatížení. Při překročení meze kluzu se prvek přetváří nevratně, chová se tedy jako ideální kapalina s nekonečně malou viskozitou.

Spřažené modely

Základy

Spřažením základních modelů lze dosáhnout realističtějšího chování. Pokud se základní modely zapojí sériově, působí na všechny stejné napětí a přetvoření je výsledkem součtu jednotlivých přetvoření. Paralelním zapojením se dosáhne opačného účinku. To znamená, že přetvoření všech dílčích modelů je stejné a celkové napětí se získá součtem. Protože pro časově závislé chování při dotvarování a relaxaci je relevantní především viskoelastické chování, budou v následujícím textu probrána pouze spřažené modely z pružinových a tlumičových prvků, které se k tomuto vztahují.

Kelvinův řetězec (zobecněný Kelvin-Voigtův model)

U tzv. Kelvinova řetězce jsou sériově zapojeny Kelvin-Voigtovy prvky, volitelně s volnou pružinou E₀ (okamžité přetvoření) a volitelným volným tlumičem η_∞ (newtonské tečení). Kelvin-Voigtův prvek se přitom skládá z pružinového a tlumičového prvku, které jsou zapojeny paralelně. Schematicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Dotvarování je primárním chováním Kelvinova řetězce a je pro něj nejvhodnější, proto se jím budeme podrobněji zabývat dále. Kelvin-Voigt se chová srovnatelně s houbou v oleji: pružina se chce roztáhnout, olej ji brzdí. Po odlehčení pružina houbu stáhne zpět. Model neposkytuje okamžitou elastickou odezvu a asymptoticky se blíží meznímu přetvoření. Zpětné přetvoření po odstranění zatížení probíhá se zpožděním, ale úplně.

Konstitutivní rovnice Kelvin-Voigtova prvku a časově závislé přetvoření v čase (dotvarování) při konstantním napětí jsou uvedeny v následujícím vzorci:

Celkové přetvoření se získá superpozicí dílčích přetvoření podle následující rovnice:

Z toho lze při konstantním napětí a konstitutivní rovnici odvodit celkovou funkci dotvarování:

Maxwellův řetězec (zobecněný Maxwellův model)

U Maxwellova řetězce jsou paralelně zapojeny Maxwellovy prvky, volitelně s volnou pružinou E_∞ (rovnovážná tuhost). Maxwellův prvek se přitom skládá z pružinového a tlumičového prvku, které jsou zapojeny sériově. Schematicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Maxwellův řetězec se nejlépe hodí pro relaxaci. Na to se tedy zaměříme podrobněji dále. Maxwell se chová srovnatelně s kapkou kapaliny s pamětí: při konstantním přetvoření se pomalu vyhýbá napětí. Pro dlouhodobé dotvarování je však model vhodný jen omezeně, protože přetvoření při trvalém zatížení kontinuálně roste. Při skokovém zatížení pružina okamžitě reaguje přetvořením, napětí se asymptoticky blíží nule. Při odstranění vynuceného přetvoření elastická část okamžitě odskočí, zatímco přetvoření od tlumiče zůstává.

Konstitutivní rovnice Maxwellova prvku a časově závislé napětí v čase (relaxace) při konstantním přetvoření jsou uvedeny v následujícím vzorci:

Celkové napětí se získá superpozicí dílčích napětí podle následující rovnice:

Z toho lze při konstantním přetvoření a konstitutivní rovnici odvodit relaxační modul:

Rozšíření pro nelineární chování materiálu

Pro zohlednění nelineárního chování materiálu se dodatečně vkládá do cesty napětí sériově třecí prvek. Ten symbolizuje nelineární chování materiálu a může zobrazit efekty jako plastizaci nebo snížení pevnosti v důsledku porušení. Sériovým zapojením na něj působí stejné napětí jako na zbytek modelu a naopak a přetvoření je součtem viskoelastického a plastického přetvoření. Vzniká tak visko-(elasto-)plastické chování. Rozšíření představených spřažených reologických modelů (vlevo: Kelvinův a vpravo: Maxwellův řetězcový model) je znázorněno na následujícím obrázku.