Online manuály RFEM 6 | Časově závislá analýza (TDA)

Zpět k online manuálům

42x

006183

Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

28.5.2026

Vybrat manuál

Přehled

Add-on Časově závislá analýza (TDA)

Teoretické základy

Zadání

Výsledky

Rheologický model

Úvod

Reologické modely popisují vztah mezi deformací tělesa a působícím zatížením. K tomu se používají základní vlastnosti pružnost, viskozita a plasticita s idealizovanými mechanickými základními prvky: pružina, tlumič a třecí prvek. Vzhledem k tomu, že ve skutečnosti obvykle dochází ke kombinaci těchto idealizovaných chování, musí být tyto prvky spojeny, nebo, analogicky k elektrotechnice, zapojeny.

Základní modely

Pružný prvek

Pružný prvek se chová ideálně pružně, řídí se tedy Hookovým zákonem, proto se také nazývá Hookův prvek. Známým způsobem se zde předpokládá lineární vztah mezi napětím σ a přetvořením ε prostřednictvím konstantního modulu pružnosti E:

σ = E \cdot ε

σ	Napětí
E	Modul pružnosti
ε	Deformace

Hookeův zákon

Tlumičový prvek

Tlumičový prvek se chová ideálně viskózně, jako ideální kapalina, nazývaná také Newtonská tekutina, a proto se označuje jako Newtonův prvek. Popisuje časově zpožděnou nevratnou deformaci v důsledku působícího napětí:

σ = η \cdot \dot{ε}

σ	Napětí
η	Dynamická viskozita
ε˙	Rychlost deformace

Ideální viskózní chování

Třecí prvek

Třecí prvek, nazývaný také St.-Venantův prvek, se chová ideálně plasticky. To znamená, že pod mezí kluzu se chová jako ideální pevné těleso a nevykazuje žádnou deformaci způsobenou vnějším zatížením. Po překročení meze kluzu se prvek deformuje nevratně, chová se tedy jako ideální kapalina s nekonečně malou viskozitou.

ε = \{\begin{cases} σ < σ_{F} : 0 \\ σ \geq σ_{F} : ε (t) \end{cases}

ε	Protažení
σ	Napětí
σF	Mez kluzu
t	Čas

Ideální plastické chování

Spřažené modely

Základy

Spřažením základních modelů lze dosáhnout chování bližšího realitě. Při sériovém zapojení základních modelů na ně působí stejné napětí a výsledné přetvoření je dáno součtem jednotlivých přetvoření. Paralelním zapojením se dosahuje opačného účinku. To znamená, že přetvoření všech dílčích modelů je stejné a celkové napětí je dáno součtem.
Protože pro časově závislé chování při dotvarování a relaxaci je relevantní především viskoelastické chování, budou v následujícím textu popsány pouze spřažené modely z pružných a tlumičových prvků, které jsou v tomto ohledu relevantní.

Kelvinův řetěz (zobecněný Kelvinův-Voigtův model)

U tzv. Kelvinova řetězce jsou Kelvinovy-Voigtovy prvky, volitelně s volnou pružinou E₀ (okamžité přetvoření) a volitelným volným tlumičem η_∞ (Newtonské tečení), zapojeny sériově. Kelvinův-Voigtův prvek se skládá z pružného a tlumičového prvku, které jsou zapojeny paralelně. Schematicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Zobecněný řetězcový model Kelvin-Voigtové

Generalizované Kelvin-Voigtovo řetězové model

Dotvarování je primárním chováním Kelvinova řetězce a je pro něj nejvhodnější, proto se jím budeme dále podrobněji zabývat. Kelvinův-Voigtův prvek se chová srovnatelně s houbou v oleji: pružina se chce roztáhnout, olej ji brzdí. Po odlehčení pružina vtáhne houbu zpět. Model neposkytuje okamžitou pružnou odezvu a asymptoticky se blíží meznímu přetvoření. Zpětná deformace po odstranění zatížení probíhá časově zpožděně, ale úplně.

Konstitutivní rovnice Kelvinova-Voigtova prvku a časově závislé přetvoření v čase (dotvarování) při konstantním napětí jsou uvedeny v následujícím vzorci:

σ = E \cdot ε + η \cdot \dot{ε} \Rightarrow ε (t) = \frac{σ_{0}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

σ	Napětí
E	Modul pružnosti
ε	Přetvoření
η	Dynamická viskozita
ε˙	Rychlost přetvoření
t	Čas
σ0	Počáteční napětí
e	Eulerovo číslo

Kelvin-Voigtův element

Celkové přetvoření se získá superpozicí dílčích přetvoření podle následující rovnice:

ε (t) = \frac{σ}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} (t) + \frac{σ}{η_{∞}} t

ε	Přetvoření
t	Čas
σ	Napětí
E0	Modul pružnosti volné pružiny (okamžité přetvoření)
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
εk	Přetvoření aktuálního prvku
η∞	Dynamická viskozita volného tlumiče (newtonovské proudění)

Zobecněný Kelvinův řetězový model - Celkové přetvoření

Z toho lze při konstantním napětí a pomocí konstitutivní rovnice odvodit celkovou funkci dotvarování:

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Přetvoření
t	Čas
σ	Napětí
E0	Modul pružnosti volné pružiny (okamžité prodloužení)
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
Ek	Modul pružnosti aktuálního prvku
e	Eulerovo číslo
τk=ηk/Ek	Dobu zpoždění aktuálního prvku
η∞	Dynamická viskozita volného tlumiče (newtonovské proudění)

Zobecněný model Kelvinova řetězce - celkové přetvoření

Maxwellův řetěz (zobecněný Maxwellův model)

U Maxwellova řetězce jsou Maxwellovy prvky, volitelně s volnou pružinou E_∞ (rovnovážná tuhost) zapojeny paralelně. Maxwellův prvek se skládá z pružného a tlumičového prvku, které jsou zapojeny sériově. Schematicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Zobecněný model Maxwellova řetězce

Maxwellův řetězec se nejlépe hodí pro relaxaci. Tím se budeme dále podrobněji zabývat. Maxwellův prvek se chová srovnatelně s kapkou kapaliny s pamětí: při konstantním přetvoření se pomalu zbavuje napětí. Pro dlouhodobé dotvarování je však model vhodný pouze omezeně, protože přetvoření při trvalém zatížení kontinuálně roste. Při skokovém zatížení reaguje pružina okamžitě přetvořením a napětí se asymptoticky blíží nule. Po odstranění vynuceného přetvoření pružná složka okamžitě odskočí, zatímco podíl přetvoření z tlumiče zůstává.

Konstitutivní rovnice Maxwellova prvku a časově závislé napětí v čase (relaxace) při konstantním přetvoření jsou uvedeny v následujícím vzorci:

\dot{ε} = \frac{\dot{σ}}{E} + \frac{σ}{η} \Rightarrow σ (t) = σ_{0} \cdot e^{- \frac{E}{η} t}

ε˙	Rychlost přetvoření
σ˙	Rychlost napětí
E	Modul pružnosti
σ	Napětí
η	Dynamická viskozita
t	Čas
σ0	Počáteční napětí
e	Eulerovo číslo

Maxwellův prvek

Celkové napětí se získá superpozicí dílčích napětí podle následující rovnice:

σ (t) = E_{∞} \cdot ε + \sum_{k = 1}^{n} σ_{k} (t)

σ	Napětí
t	Čas
E∞	Modul pružnosti volné pružiny (rovnovážná tuhost)
ε	Přetvoření
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
σk	Napětí aktuálního prvku

Zobecněný Maxwellův řetězový model – celkové napětí

Z toho lze při konstantním přetvoření a pomocí konstitutivní rovnice odvodit relaxační modul:

G (t) = \frac{σ (t)}{ε} = E_{∞} + \sum_{k = 1}^{n} E_{k} \cdot e^{- \frac{t}{τ_{k}}}

σ	Napětí
t	Čas
ε	Přetvoření
E∞	Modul pružnosti volné pružiny (rovnovážná tuhost)
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
Ek	Modul pružnosti aktuálního prvku
e	Eulerovo číslo
τk=ηk/Ek	Doba zpoždění aktuálního prvku

Zobecněný model Maxwellova řetězce - modul relaxace

Rozšíření pro nelineární materiálové chování

Pro zohlednění nelineárního materiálového chování se dodatečně do napěťové cesty sériově vkládá třecí prvek. Ten symbolizuje nelineární materiálové chování a může zobrazit efekty, jako je plastifikace nebo změkčení v důsledku porušení. Díky sériovému zapojení na něj působí stejné napětí jako na zbytek modelu a naopak a přetvoření je dáno součtem viskoelastického a plastického přetvoření. Vzniká tak visko-(elasto-)plastické chování. Rozšíření představených spřažených reologických modelů (vlevo: Kelvinův a vpravo: Maxwellův řetězový model) je znázorněno na následujícím obrázku.

Zobecněný Kelvinův a Maxwellův řetězový model s nelineárním chováním materiálu

Zobecněné Kelvinovo (vlevo) a Maxwellovo řetězové schéma (vpravo) s nelineárním chováním materiálu

Nadřazená kapitola

Teoretické základy

Od analytické křivky dotvarování přes reologický model k časově závislému stavu přetvoření

V angličtině dbejte zejména na správné používání malých písmen u slov, která zjevně nejsou vlastními jmény. Použijte přitom následující překlady: "Finite-Elemente" jako "Konečné prvky" "Wand" jako "Stěna" "Durchlaufträger" jako "Spojitý nosník" "Modell" jako "Model"