Reologický model

Úvod

Reologické modely popisují vztah mezi deformací tělesa a zatížením, které na něj působí. K tomu se používají základní vlastnosti elasticita, viskozita a plasticita, popsané idealizovanými mechanickými základními prvky: pružinovým, tlumičovým a třecím prvkem. Protože ve skutečnosti dochází většinou ke kombinaci těchto idealizovaných chování, musí být tyto prvky spojeny, neboli zapojeny analogicky k elektrotechnice.

Základní modely

Pružinový prvek

Pružinový prvek se chová ideálně elasticky, řídí se tedy Hookeovým zákonem, pročež se nazývá také Hookeův prvek. Jak známo, předpokládá se zde lineární vztah mezi napětím σ a přetvořením ε prostřednictvím konstantního modulu pružnosti E:

Tlumičový prvek

Tlumičový prvek se chová ideálně viskózně, jako ideální kapalina, nazývaná také Newtonská kapalina, a proto se označuje jako Newtonův prvek. Popisuje časově zpožděnou nevratnou deformaci v důsledku působícího napětí:

Třecí prvek

Třecí prvek, nazývaný také St.-Venantův prvek, se chová ideálně plasticky. To znamená, že pod mezí kluzu se chová jako ideální tuhé těleso a nevykazuje žádné přetvoření v důsledku působícího zatížení. Po překročení meze kluzu se prvek deformuje nevratně, chová se tedy jako ideální kapalina s nekonečně malou viskozitou.

Spřažené modely

Základy

Spojením základních modelů lze dosáhnout realističtějšího chování. Při sériovém zapojení základních modelů jsou všechny vystaveny stejnému napětí, přetvoření pak vyplývá ze součtu jednotlivých přetvoření. Paralelním zapojením se vyvolá opačný účinek. To znamená, že přetvoření všech dílčích modelů je stejné a celkové napětí se získá součtem. Protože pro časově závislé chování při dotvarování a relaxaci je relevantní především viskoelastické chování, budou v dalším textu probrány pouze relevantní spřažené modely složené z pružinových a tlumičových prvků.

Kelvinův řetězec (zobecněný Kelvin-Voigtův model)

U tzv. Kelvinova řetězce jsou Kelvin-Voigtovy prvky, volitelně s volnou pružinou E₀ (okamžité přetvoření) a volným tlumičem η_∞ (Newtonské tečení), zapojeny v sérii. Kelvin-Voigtův prvek se přitom skládá z pružinového a tlumičového prvku, které jsou zapojeny paralelně. Schématicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Dotvarování je primárním chováním Kelvinova řetězce a je pro něj nejvhodnější, proto se jím bude následující text zabývat podrobněji. Kelvin-Voigtovo chování je srovnatelné s houbou v oleji: pružina se chce roztáhnout, olej ji brzdí. Po odlehčení pružina houbu stáhne zpět. Model neposkytuje okamžitou elastickou odezvu a asymptoticky se blíží meznímu přetvoření. Zpětná deformace po odstranění zatížení probíhá se zpožděním, avšak úplně.

Konstitutivní rovnice Kelvin-Voigtova prvku a časově závislé přetvoření v čase (dotvarování) při konstantním napětí jsou uvedeny v následujícím vzorci:

Celkové přetvoření se získá superpozicí dílčích přetvoření podle následující rovnice:

Z toho lze při konstantním napětí a s použitím konstitutivní rovnice odvodit celkovou funkci dotvarování:

Maxwellův řetězec (zobecněný Maxwellův model)

U Maxwellova řetězce jsou Maxwellovy prvky, volitelně s volnou pružinou E_∞ (rovnovážná tuhost), zapojeny paralelně. Maxwellův prvek se přitom skládá z pružinového a tlumičového prvku, které jsou zapojeny v sérii. Schématicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Maxwellův řetězec se nejlépe hodí pro relaxaci. Na tu se tedy bude následující text podrobněji zaměřovat. Maxwellovo chování je srovnatelné s kapkou kapaliny s pamětí: při konstantním přetvoření se pomalu zbavuje napětí. Pro dlouhodobé dotvarování je však tento model vhodný jen omezeně, protože přetvoření při trvalém zatížení kontinuálně narůstá. Při skokovém zatížení reaguje pružina okamžitě přetvořením, napětí se asymptoticky blíží nule. Po odstranění vynuceného přetvoření elastická složka okamžitě odskočí zpět, zatímco složka přetvoření od tlumiče zůstává.

Konstitutivní rovnice Maxwellova prvku a časově závislé napětí v čase (relaxace) při konstantním přetvoření jsou uvedeny v následujícím vzorci:

Celkové napětí se získá superpozicí dílčích napětí podle následující rovnice:

Z toho lze při konstantním přetvoření a s použitím konstitutivní rovnice odvodit relaxační modul: