Modelo reológico

Introdução

Os modelos reológicos descrevem a relação entre a deformação de um corpo e a carga que atua sobre ele. Para isso, as propriedades básicas de elasticidade, viscosidade e plasticidade são descritas com modelos mecânicos básicos idealizados: elemento de mola, amortecedor e fricção. Como, na realidade, geralmente ocorre uma combinação destes comportamentos idealizados, é necessário acoplá-los ou, analogamente à engenharia elétrica, conectá-los.

Modelos básicos

Elemento de mola

O elemento de mola comporta-se de forma idealmente elástica, seguindo, portanto, a Lei de Hooke, razão pela qual também é designado por elemento de Hooke. Como se sabe, assume-se aqui uma relação linear entre a tensão σ e a deformação ε através de um Módulo de elasticidade E constante:

Elemento de amortecedor

O elemento de amortecedor comporta-se de forma idealmente viscosa, como um fluido ideal, também designado por fluido Newtoniano, sendo, por isso, denominado elemento de Newton. Descreve a deformação irreversível retardada no tempo sob uma tensão aplicada:

Elemento de fricção

O elemento de fricção, também chamado de elemento de St. Venant, comporta-se de forma idealmente plástica. Isto significa que, abaixo do Limite de cedência, ele se comporta como um sólido ideal e não sofre deformação devido a uma carga aplicada. Ao exceder o Limite de cedência, o elemento deforma-se irreversivelmente, comportando-se, portanto, como um fluido ideal com viscosidade infinitamente pequena.

Modelos acoplados

Fundamentos

Ao acoplar os modelos básicos, pode-se obter um comportamento mais próximo da realidade. Se os modelos básicos forem conectados em série, todos eles experimentam a mesma tensão, e a deformação resulta da soma das deformações individuais. Através da ligação em paralelo, o efeito oposto é produzido. Isto significa que a deformação de todos os submodelos é igual e a tensão total resulta da soma. Uma vez que, para o comportamento dependente do tempo sob Fluência e relaxação, o comportamento viscoelástico é particularmente relevante, apenas os modelos acoplados relevantes a este respeito, compostos por elementos de mola e amortecedor, serão discutidos a seguir.

Cadeia de Kelvin (modelo de Kelvin-Voigt generalizado)

Na chamada cadeia de Kelvin, os elementos de Kelvin-Voigt são ligados em série, opcionalmente com uma mola livre E₀ (deformação instantânea) e um amortecedor livre opcional η_∞ (fluidez Newtoniana). Um elemento de Kelvin-Voigt é composto por um elemento de mola e um de amortecedor, que estão ligados em paralelo. Isto é mostrado esquematicamente na imagem seguinte:

Modelo Generalizado de Cadeia Kelvin-Voigt

A Fluência é o comportamento primário da cadeia de Kelvin e é o mais adequado para este modelo, razão pela qual será abordado com mais detalhe a seguir. Kelvin-Voigt comporta-se de forma comparável a uma esponja em óleo: a mola quer expandir-se, o óleo trava-a. Após a descarga, a mola suga a esponja de volta. O modelo não fornece uma resposta elástica imediata e aproxima-se assintoticamente de uma deformação limite. A recuperação da deformação após a remoção da carga é retardada no tempo, mas completa.

A equação constitutiva de um elemento de Kelvin-Voigt e a deformação dependente do tempo (Fluência) sob tensão constante são mostradas na fórmula seguinte:

A deformação total resulta da sobreposição das deformações parciais de acordo com a seguinte equação:

A partir disto, sob tensão constante e da equação constitutiva, pode-se derivar a função de Fluência total:

Cadeia de Maxwell (modelo de Maxwell generalizado)

Na cadeia de Maxwell, os elementos de Maxwell são ligados em paralelo, opcionalmente com uma mola livre E_∞ (rigidez de equilíbrio). Um elemento de Maxwell é composto por um elemento de mola e um de amortecedor, que estão ligados em série. Isto é mostrado esquematicamente na imagem seguinte:

Modelo Generalizado de Cadeia de Maxwell

A cadeia de Maxwell é mais adequada para a relaxação. Isto será, portanto, discutido com mais detalhe a seguir. Maxwell comporta-se de forma comparável a uma gota de fluido com memória: sob deformação constante, esta esquiva-se lentamente da tensão. No entanto, o modelo é apenas limitadamente adequado para Fluência de longo prazo, uma vez que a deformação aumenta continuamente sob carga permanente. Sob aplicação súbita de carga, a mola reage imediatamente com uma deformação, e a tensão aproxima-se assintoticamente de zero. Após a remoção da deformação imposta, a componente elástica recupera imediatamente, enquanto a componente de deformação do amortecedor permanece.

A equação constitutiva de um elemento de Maxwell e a tensão dependente do tempo (relaxação) sob deformação constante são mostradas na fórmula seguinte:

A tensão total resulta da sobreposição das tensões parciais de acordo com a seguinte equação:

A partir disto, sob deformação constante e da equação constitutiva, pode-se derivar o módulo de relaxação:

Extensão para comportamento não linear do material

Para considerar um comportamento não linear do material, é adicionalmente introduzido um elemento de fricção em série no caminho da tensão. Este simboliza o comportamento não linear do material e pode representar efeitos como plasticização ou Redução de resistência devido a comportamento de fratura. Através da ligação em série, ele experimenta a mesma tensão que o resto do modelo, e vice-versa, e a deformação resulta da soma das deformações viscoelástica e plástica. Surge, assim, um comportamento visco-(elasto-)plástico. A extensão dos modelos reológicos acoplados apresentados (esquerda: modelo de cadeia de Kelvin e direita: modelo de cadeia de Maxwell) é mostrada na imagem seguinte.

Modelo de cadeia de Kelvin generalizado (esquerda) e de Maxwell (direita) com comportamento de material não linear