Modelo Reológico

Introdução

Os modelos reológicos descrevem a relação entre a deformação de um corpo e a carga que sobre ele atua. Para isso, são descritas as propriedades básicas de elasticidade, viscosidade e plasticidade com corpos mecânicos básicos idealizados: elementos de mola, amortecedor e atrito. Como na realidade ocorre normalmente uma combinação destes comportamentos idealizados, estes têm de ser acoplados ou, como analogia à eletrotécnica, ligados entre si.

Modelos básicos

Elemento de mola

O elemento de mola comporta-se de forma idealmente elástica, seguindo portanto a lei de Hooke, razão pela qual também é designado por elemento de Hooke. Como se sabe, é aqui considerada uma relação linear entre a tensão σ e a deformação ε através de um módulo de elasticidade constante E:

Elemento de amortecedor

O elemento de amortecedor comporta-se de forma idealmente viscosa, como um fluido ideal, também chamado fluido Newtoniano, sendo por isso designado por elemento de Newton. Descreve a deformação irreversível retardada no tempo sob uma tensão aplicada:

Elemento de atrito

O elemento de atrito, também chamado elemento de St. Venant, comporta-se de forma idealmente plástica. Isto significa que abaixo do limite de escoamento se comporta como um sólido ideal e não sofre qualquer deformação devido a uma carga aplicada. Ao exceder o limite de escoamento, o elemento deforma-se irreversivelmente, comportando-se então como um fluido ideal com viscosidade infinitamente baixa.

Modelos acoplados

Fundamentos

Através do acoplamento dos modelos básicos, pode ser alcançado um comportamento mais próximo da realidade. Se os modelos básicos forem ligados em série, todos eles experimentam a mesma tensão, resultando a deformação da soma das deformações individuais. Através da ligação em paralelo, é produzido o efeito contrário. Isto significa que a deformação de todos os submodelos é igual e a tensão total resulta da soma. Dado que, para o comportamento dependente do tempo sob fluência e relaxação, o comportamento viscoelástico é sobretudo relevante, apenas serão abordados de seguida os modelos acoplados de elementos de mola e amortecedor relevantes a este respeito.

Cadeia de Kelvin (modelo de Kelvin-Voigt generalizado)

Na chamada cadeia de Kelvin, os elementos de Kelvin-Voigt, opcionalmente com uma mola livre E₀ (deformação imediata) e um amortecedor livre opcional η_∞ (escoamento Newtoniano), são ligados em série. Um elemento de Kelvin-Voigt é aqui composto por um elemento de mola e um elemento de amortecedor, que estão ligados em paralelo. Isto é mostrado esquematicamente na imagem seguinte:

A fluência é o comportamento primário da cadeia de Kelvin e para o qual esta é mais adequada, razão pela qual será detalhada de seguida. Kelvin-Voigt comporta-se de forma comparável a uma esponja em óleo: a mola quer expandir-se, o óleo trava. Após o descarregamento, a mola suga a esponja de volta. O modelo não fornece uma resposta elástica imediata e aproxima-se assintoticamente de uma deformação limite. A deformação de retorno aquando da remoção da carga ocorre com atraso temporal, mas de forma completa.

A equação constitutiva de um elemento de Kelvin-Voigt e a deformação dependente do tempo ao longo do tempo (fluência) sob tensão constante são mostradas na fórmula seguinte:

A deformação total resulta da sobreposição das deformações parciais de acordo com a seguinte equação:

A partir disto, com tensão constante e a equação constitutiva, pode ser derivada a função de fluência total:

Cadeia de Maxwell (modelo de Maxwell generalizado)

Na cadeia de Maxwell, os elementos de Maxwell são ligados em paralelo, opcionalmente com uma mola livre E_∞ (rigidez de equilíbrio). Um elemento de Maxwell é aqui composto por um elemento de mola e um elemento de amortecedor, que estão ligados em série. Isto é mostrado esquematicamente na imagem seguinte:

A cadeia de Maxwell é mais adequada para a relaxação. Isto será, portanto, detalhado de seguida. Maxwell comporta-se de forma comparável a uma gota de líquido com memória: sob deformação constante, esta subtrai-se lentamente à tensão. No entanto, o modelo é apenas adequado de forma limitada para a fluência de longo prazo, uma vez que a deformação aumenta continuamente sob carga constante. No caso de uma aplicação de carga súbita, a mola reage imediatamente com uma deformação, a tensão aproxima-se assintoticamente de zero. Ao remover a deformação imposta, a componente elástica retorna imediatamente, enquanto a componente de deformação do amortecedor permanece.

A equação constitutiva de um elemento de Maxwell e a tensão dependente do tempo ao longo do tempo (relaxação) sob deformação constante são mostradas na fórmula seguinte:

A tensão total resulta da sobreposição das tensões parciais de acordo com a seguinte equação:

A partir disto, com deformação constante e a equação constitutiva, pode ser derivado o módulo de relaxação:

Extensão para comportamento não linear do material

Para considerar um comportamento não linear do material, é adicionalmente introduzido um elemento de atrito em série no percurso da tensão. Este simboliza o comportamento não linear do material e pode representar efeitos como a plastificação ou a redução de resistência devido ao comportamento de rotura. Através da ligação em série, experimenta a mesma tensão que o resto do modelo, e vice-versa, e a deformação resulta da soma da deformação viscoelástica e plástica. Surge assim um comportamento visco-(elasto-)plástico. A extensão dos modelos reológicos acoplados apresentados (à esquerda: modelo de cadeia de Kelvin e à direita: modelo de cadeia de Maxwell) é mostrada na imagem seguinte.