Introducción

Los modelos reológicos describen la relación entre la deformación de un cuerpo y la carga que actúa sobre él. Para ello, se utilizan las propiedades básicas de elasticidad, viscosidad y plasticidad, describiéndose mediante cuerpos mecánicos idealizados: elemento de resorte, amortiguador y fricción. Dado que en la realidad suele aparecer una combinación de estos comportamientos idealizados, es necesario acoplarlos o, en analogía con la ingeniería eléctrica, conectarlos.

Modelos básicos

Elemento de resorte

El elemento de resorte se comporta de forma idealmente elástica, es decir, sigue la ley de Hooke, por lo que también se denomina elemento de Hooke. Como es sabido, se establece una relación lineal entre la tensión σ y la deformación ε a través de un módulo de elasticidad constante E:

Elemento amortiguador

El elemento amortiguador se comporta de forma idealmente viscosa, como un fluido ideal, también llamado fluido newtoniano, y por eso se denomina elemento de Newton. Describe la deformación irreversible retardada en el tiempo bajo una tensión aplicada:

Elemento de fricción

El elemento de fricción, también llamado elemento de St. Venant, se comporta de forma idealmente plástica. Esto significa que por debajo del límite elástico se comporta como un sólido ideal y no experimenta ninguna deformación debido a una carga aplicada. Al superar el límite elástico, el elemento se deforma irreversiblemente, es decir, se comporta como un fluido ideal con una viscosidad infinitamente pequeña.

Modelos acoplados

Fundamentos

Mediante el acoplamiento de los modelos básicos se puede lograr un comportamiento más cercano a la realidad. Si se conectan los modelos básicos en serie, todos experimentan la misma tensión; la deformación resulta entonces de la suma de las deformaciones individuales. La conexión en paralelo produce el efecto contrario. Esto significa que la deformación de todos los modelos parciales es igual y la tensión total se obtiene por suma. Dado que para el comportamiento dependiente del tiempo bajo fluencia y relajación es relevante sobre todo el comportamiento viscoelástico, a continuación solo se tratarán los modelos acoplados relevantes a este respecto, formados por elementos de resorte y amortiguador.

Cadena de Kelvin (modelo de Kelvin-Voigt generalizado)

En la llamada cadena de Kelvin, se conectan en serie elementos de Kelvin-Voigt, opcionalmente con un resorte libre E₀ (deformación instantánea) y un amortiguador libre η_∞ (flujo newtoniano). Un elemento de Kelvin-Voigt consta de un elemento de resorte y un elemento amortiguador conectados en paralelo. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente imagen:

La fluencia es el comportamiento principal de la cadena de Kelvin y para el cual es más adecuada, por lo que se tratará con más detalle a continuación. Kelvin-Voigt se comporta de manera comparable a una esponja en aceite: el resorte quiere expandirse, el aceite lo frena. Después de la descarga, el resorte succiona la esponja de vuelta. El modelo no proporciona una respuesta elástica instantánea y se aproxima asintóticamente a una deformación límite. La recuperación de la deformación al eliminar la carga se produce con retardo, pero de forma completa.

La ecuación constitutiva de un elemento de Kelvin-Voigt y la deformación dependiente del tiempo a lo largo del tiempo (fluencia) bajo tensión constante se muestran en la siguiente fórmula:

La deformación total se obtiene por superposición de las deformaciones parciales según la siguiente ecuación:

A partir de esto, con tensión constante y la ecuación constitutiva, se puede derivar la función de fluencia total:

Cadena de Maxwell (modelo de Maxwell generalizado)

En la cadena de Maxwell, se conectan en paralelo elementos de Maxwell, opcionalmente con un resorte libre E_∞ (rigidez de equilibrio). Un elemento de Maxwell consta de un elemento de resorte y un elemento amortiguador conectados en serie. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente imagen:

La cadena de Maxwell es más adecuada para la relajación, por lo que se tratará con más detalle a continuación. Maxwell se comporta de manera comparable a una gota de líquido con memoria: bajo una deformación constante, esta se libera lentamente de la tensión. Sin embargo, el modelo solo es adecuado de forma limitada para la fluencia a largo plazo, ya que la deformación aumenta continuamente bajo carga permanente. Ante una aplicación de carga repentina, el resorte reacciona inmediatamente con una deformación y la tensión se aproxima asintóticamente a cero. Al eliminar la deformación impuesta, la parte elástica retrocede inmediatamente, mientras que la parte de la deformación del amortiguador permanece.

La ecuación constitutiva de un elemento de Maxwell y la tensión dependiente del tiempo a lo largo del tiempo (relajación) bajo deformación constante se muestran en la siguiente fórmula:

La tensión total se obtiene por superposición de las tensiones parciales según la siguiente ecuación:

A partir de esto, con deformación constante y la ecuación constitutiva, se puede derivar el módulo de relajación: