Modelo reológico

Introducción

Los modelos reológicos describen la relación entre la deformación de un cuerpo y la carga que actúa sobre él. Para ello, las propiedades básicas de elasticidad, viscosidad y plasticidad se describen mediante cuerpos mecánicos idealizados: elementos de resorte, amortiguador y fricción. Dado que en la realidad suele presentarse una combinación de estos comportamientos idealizados, estos deben acoplarse o conectarse, en analogía con la ingeniería eléctrica.

Modelos básicos

Elemento resorte

El elemento resorte se comporta de forma idealmente elástica, es decir, sigue la ley de Hooke, por lo que también se denomina elemento de Hooke. Como es sabido, se supone una relación lineal entre la tensión σ y la deformación ε a través de un módulo de elasticidad constante E:

Elemento amortiguador

El elemento amortiguador se comporta de forma idealmente viscosa, como un fluido ideal, también llamado fluido newtoniano, y por ello se denomina elemento de Newton. Describe la deformación irreversible retardada en el tiempo ante una tensión aplicada:

Elemento de fricción

El elemento de fricción, también llamado elemento de St. Venant, se comporta de forma idealmente plástica. Esto significa que por debajo del límite elástico se comporta como un sólido ideal y no experimenta deformación alguna por una carga aplicada. Al superar el límite elástico, el elemento se deforma irreversiblemente, es decir, se comporta como un fluido ideal con una viscosidad infinitamente pequeña.

Modelos acoplados

Fundamentos

Mediante el acoplamiento de los modelos básicos se puede lograr un comportamiento más cercano a la realidad. Si los modelos básicos se conectan en serie, todos experimentan la misma tensión, y la deformación resulta de la suma de las deformaciones individuales. La conexión en paralelo produce el efecto contrario. Esto significa que la deformación de todos los modelos parciales es la misma y la tensión total resulta de la suma. Dado que para el comportamiento dependiente del tiempo bajo fluencia y relajación, el comportamiento viscoelástico es especialmente relevante, a continuación solo se tratarán los modelos acoplados de elementos de resorte y amortiguador relevantes a este respecto.

Cadena de Kelvin (modelo de Kelvin-Voigt generalizado)

En la llamada cadena de Kelvin, los elementos de Kelvin-Voigt se conectan en serie, opcionalmente con un resorte libre E₀ (deformación instantánea) y un amortiguador libre opcional η_∞ (fluencia newtoniana). Un elemento de Kelvin-Voigt consta aquí de un elemento de resorte y uno de amortiguador conectados en paralelo. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente imagen:

Modelo generalizado de cadena de Kelvin-Voigt

La fluencia es el comportamiento principal de la cadena de Kelvin y para el que es más adecuada, por lo que se tratará con más detalle a continuación. Kelvin-Voigt se comporta de manera comparable a una esponja en aceite: el resorte quiere expandirse, el aceite lo frena. Tras la descarga, el resorte succiona la esponja de vuelta. El modelo no proporciona una respuesta elástica instantánea y se acerca asintóticamente a una deformación límite. La recuperación de la deformación al retirar la carga se produce con retardo, pero de forma completa.

La ecuación constitutiva de un elemento de Kelvin-Voigt y la deformación dependiente del tiempo (fluencia) bajo tensión constante se muestran en la siguiente fórmula:

La deformación total resulta de la superposición de las deformaciones parciales según la siguiente ecuación:

A partir de esto, con una tensión constante y la ecuación constitutiva, se puede derivar la función de fluencia total:

Cadena de Maxwell (modelo de Maxwell generalizado)

En la cadena de Maxwell, los elementos de Maxwell se conectan en paralelo, opcionalmente con un resorte libre E_∞ (rigidez de equilibrio). Un elemento de Maxwell consta aquí de un elemento de resorte y uno de amortiguador conectados en serie. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente imagen:

Modelo Generalizado de Cadena de Maxwell

La cadena de Maxwell es más adecuada para la relajación. Por lo tanto, esto se tratará con más detalle a continuación. Maxwell se comporta de manera comparable a una gota de líquido con memoria: bajo deformación constante, esta se sustrae lentamente de la tensión. Para la fluencia a largo plazo, sin embargo, el modelo solo es adecuado de forma limitada, ya que la deformación bajo carga continua aumenta constantemente. Ante una aplicación de carga repentina, el resorte reacciona inmediatamente con una deformación, y la tensión se acerca asintóticamente a cero. Al eliminar la deformación impuesta, la parte elástica retrocede inmediatamente, mientras que la parte de deformación del amortiguador permanece.

La ecuación constitutiva de un elemento de Maxwell y la tensión dependiente del tiempo (relajación) bajo deformación constante se muestran en la siguiente fórmula:

La tensión total resulta de la superposición de las tensiones parciales según la siguiente ecuación:

A partir de esto, con una deformación constante y la ecuación constitutiva, se puede derivar el módulo de relajación:

Ampliación para comportamiento no lineal del material

Para considerar un comportamiento no lineal del material, se introduce adicionalmente un elemento de fricción en serie en el camino de la tensión. Este simboliza el comportamiento no lineal del material y puede representar efectos como la plastificación o la suavización por comportamiento de rotura. Debido a la conexión en serie, experimenta la misma tensión que el resto del modelo, y viceversa, y la deformación resulta de la suma de la deformación viscoelástica y plástica. Surge así un comportamiento visco-(elasto-)plástico. La ampliación de los modelos reológicos acoplados presentados (izquierda: modelo de cadena de Kelvin y derecha: modelo de cadena de Maxwell) se muestra en la siguiente imagen.

Modelo generalizado de Kelvin (izquierda) y de cadena de Maxwell (derecha) con comportamiento material no lineal