Manuales en línea RFEM 6 | Análisis dependiente del tiempo (TDA)

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006183

Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

28-05-2026

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Visión de conjunto

Complemento Análisis Dependiente del Tiempo (TDA)

Fundamentos teóricos

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Resultados

Modelo reológico

Introducción

Los modelos reológicos describen la relación entre la deformación de un cuerpo y la carga que actúa sobre él. Para ello, las propiedades básicas de elasticidad, viscosidad y plasticidad se representan mediante cuerpos mecánicos básicos idealizados: elemento de muelle, amortiguador y fricción. Dado que en la realidad suele aparecer una combinación de estos comportamientos idealizados, estos deben acoplarse o, en analogía con la electrotecnia, conectarse.

Modelos básicos

Elemento de muelle

El elemento de muelle se comporta de forma idealmente elástica, siguiendo así la ley de Hooke, razón por la cual también se denomina elemento de Hooke. Como es sabido, se establece aquí una relación lineal entre la tensión σ y la deformación ε mediante un módulo de elasticidad constante E:

σ = E \cdot ε

σ	Tensión
E	Módulo de elasticidad
ε	Deformación

Ley de Hooke

Elemento amortiguador

El elemento amortiguador se comporta de forma idealmente viscosa, como un líquido ideal, también llamado fluido newtoniano, y por ello se denomina elemento de Newton. Describe la deformación irreversible retardada en el tiempo bajo una tensión aplicada:

σ = η \cdot \dot{ε}

σ	tensión
η	Viscosidad dinámica
ε˙	Velocidad de deformación

Comportamiento viscoso ideal

Elemento de fricción

El elemento de fricción, también llamado elemento de St. Venant, se comporta de forma idealmente plástica. Esto significa que por debajo del límite de fluencia se comporta como un sólido ideal y no experimenta deformación por una carga aplicada. Al superar el límite de fluencia, el elemento se deforma irreversiblemente, es decir, se comporta como un líquido ideal con viscosidad infinitamente pequeña.

ε = \{\begin{cases} σ < σ_{F} : 0 \\ σ \geq σ_{F} : ε (t) \end{cases}

ε	Deformación
σ	Tensión
σF	Límite de fluencia
t	Tiempo

Comportamiento plástico ideal

Modelos acoplados

Fundamentos

Mediante el acoplamiento de los modelos básicos se puede lograr un comportamiento más cercano a la realidad. Si se conectan los modelos básicos en serie, todos experimentan la misma tensión; la deformación resulta entonces de la suma de las deformaciones individuales. La conexión en paralelo produce el efecto contrario. Es decir, la deformación de todos los modelos parciales es la misma y la tensión total se obtiene por suma. Dado que para el comportamiento dependiente del tiempo bajo fluencia y relajación es relevante sobre todo el comportamiento viscoelástico, a continuación solo se abordarán los modelos acoplados relevantes en este aspecto, compuestos por muelles y amortiguadores.

Cadena de Kelvin (modelo de Kelvin-Voigt generalizado)

En la denominada cadena de Kelvin se conectan en serie elementos de Kelvin-Voigt, opcionalmente con un muelle libre E₀ (deformación instantánea) y un amortiguador libre opcional η_∞ (fluencia newtoniana). Un elemento de Kelvin-Voigt consiste en un elemento de muelle y un amortiguador conectados en paralelo. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente figura:

La fluencia es el comportamiento primario de la cadena de Kelvin y para el cual es más adecuada, por lo que se profundizará en ello a continuación. Kelvin-Voigt se comporta de manera comparable a una esponja en aceite: el muelle quiere expandirse, el aceite lo frena. Tras la descarga, el muelle absorbe de nuevo la esponja. El modelo no proporciona una respuesta elástica instantánea y se aproxima asintóticamente a una deformación límite. La recuperación de la deformación al retirar la carga se produce con retardo temporal, pero de forma completa.

La ecuación constitutiva de un elemento de Kelvin-Voigt y la deformación dependiente del tiempo a lo largo del tiempo (fluencia) bajo tensión constante se muestran en la siguiente fórmula:

σ = E \cdot ε + η \cdot \dot{ε} \Rightarrow ε (t) = \frac{σ_{0}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

σ	Tensión
E	Módulo de elasticidad
ε	Deformación
η	Viscosidad dinámica
ε˙	velocidad de alargamiento
t	Tiempo
σ0	Tensión inicial
e	Número de Euler

Elemento de Kelvin-Voigt

La deformación total se obtiene por superposición de las deformaciones parciales según la siguiente ecuación:

ε (t) = \frac{σ}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} (t) + \frac{σ}{η_{∞}} t

ε	Deformación
t	Tiempo
σ	Tensión
E0	Módulo de elasticidad del muelle libre (elongación inmediata)
k	Elemento actual
n	Número de elementos
εk	Deformación del elemento actual
η∞	Viscosidad dinámica del amortiguador libre (flujo newtoniano)

Modelo generalizado de cadenas de Kelvin - Deformación total

A partir de esto, con tensión constante y la ecuación constitutiva, se puede derivar la función de fluencia total:

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Deformación
t	Tiempo
σ	Tensión
E0	Módulo de elasticidad del muelle libre (extensión instantánea)
k	Elemento actual
n	Cantidad de elementos
Ek	Módulo de elasticidad del elemento actual
e	Número de Euler
τk=ηk/Ek	Tiempo de retardo del elemento actual
η∞	Viscosidad dinámica del amortiguador libre (flujo newtoniano)

Modelo de cadena de Kelvin generalizado - deformación total

Cadena de Maxwell (modelo de Maxwell generalizado)

En la cadena de Maxwell se conectan en paralelo elementos de Maxwell, opcionalmente con un muelle libre E_∞ (rigidez de equilibrio). Un elemento de Maxwell consiste en un elemento de muelle y un amortiguador conectados en serie. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente figura:

La cadena de Maxwell es más adecuada para la relajación. Por lo tanto, se profundizará en ello a continuación. Maxwell se comporta de manera comparable a una gota de líquido con memoria: bajo una deformación constante, esta se sustrae lentamente de la tensión. Para la fluencia a largo plazo, sin embargo, el modelo solo es adecuado de forma limitada, ya que la deformación bajo carga permanente aumenta continuamente. Ante una aplicación repentina de carga, el muelle reacciona inmediatamente con una deformación y la tensión se aproxima asintóticamente a cero. Al eliminar la deformación impuesta, la parte elástica recupera inmediatamente, mientras que la parte de deformación del amortiguador permanece.

La ecuación constitutiva de un elemento de Maxwell y la tensión dependiente del tiempo a lo largo del tiempo (relajación) bajo deformación constante se muestran en la siguiente fórmula:

\dot{ε} = \frac{\dot{σ}}{E} + \frac{σ}{η} \Rightarrow σ (t) = σ_{0} \cdot e^{- \frac{E}{η} t}

ε˙	Velocidad de deformación
σ˙	Velocidad de tensión
E	Módulo de elasticidad
σ	Tensión
η	Viscosidad dinámica
t	Tiempo
σ0	Tensión inicial
e	Número de Euler

Elemento de Maxwell

La tensión total se obtiene por superposición de las tensiones parciales según la siguiente ecuación:

σ (t) = E_{∞} \cdot ε + \sum_{k = 1}^{n} σ_{k} (t)

σ	Tensión
t	Tiempo
E∞	Módulo de elasticidad del muelle libre (rigidez de equilibrio)
ε	Deformación
k	Elemento actual
n	Número de elementos
σk	Tensión del elemento actual

Modelo generalizado de cadena de Maxwell - Tensión total

A partir de esto, con deformación constante y la ecuación constitutiva, se puede derivar el módulo de relajación:

G (t) = \frac{σ (t)}{ε} = E_{∞} + \sum_{k = 1}^{n} E_{k} \cdot e^{- \frac{t}{τ_{k}}}

σ	Tensión
t	Tiempo
ε	Deformación
E∞	Módulo de elasticidad del muelle libre (rigidez de equilibrio)
k	Elemento actual
n	Número de elementos
Ek	Módulo de elasticidad del elemento actual
e	Número de Euler
τk=ηk/Ek	Tiempo de retardo del elemento actual

Modelo Generalizado de Cadena Maxwell - Módulo de Relajación

Extensión para comportamiento no lineal del material

Para considerar un comportamiento no lineal del material, se introduce adicionalmente en la trayectoria de tensión un elemento de fricción en serie. Este simboliza el comportamiento no lineal del material y puede representar efectos como la plastificación o el reblandecimiento por comportamiento de rotura. Debido a la conexión en serie, experimenta la misma tensión que el resto del modelo, y viceversa, y la deformación resulta de la suma de la deformación viscoelástica y plástica. Se produce así un comportamiento visco-(elasto-)plástico. La extensión de los modelos reológicos acoplados presentados (izquierda: cadena de Kelvin y derecha: cadena de Maxwell) se muestra en la siguiente figura.

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