Modèle rhéologique

Introduction

Les modèles rhéologiques décrivent la relation entre la déformation d’un corps et la sollicitation qui lui est appliquée. Pour ce faire, les propriétés fondamentales d’élasticité, de viscosité et de plasticité sont représentées par des corps mécaniques idéalisés : l’élément ressort, l’élément amortisseur et l’élément frottant. Comme dans la réalité, une combinaison de ces comportements idéalisés apparaît le plus souvent, ceux-ci doivent être couplés, ou connectés par analogie avec l’électrotechnique.

Modèles de base

Élément ressort

L’élément ressort se comporte de manière idéalement élastique, il suit donc la loi de Hooke, c’est pourquoi on l’appelle également élément de Hooke. Comme il est bien connu, une relation linéaire entre la contrainte σ et la déformation ε est établie ici par le biais d’un module d’élasticité E constant :

Élément amortisseur

L’élément amortisseur se comporte de manière idéalement visqueuse, comme un fluide idéal, également appelé fluide newtonien, et est donc désigné comme élément de Newton. Il décrit la déformation irréversible retardée dans le temps d’une contrainte appliquée :

Élément frottant

L’élément frottant, aussi appelé élément de Saint-Venant, se comporte de manière idéalement plastique. Cela signifie qu’en dessous de la limite d’élasticité, il se comporte comme un solide idéal et ne subit aucune déformation suite à une sollicitation appliquée. Dès que la limite d’élasticité est dépassée, l’élément se déforme de manière irréversible, il se comporte donc comme un fluide idéal avec une viscosité infiniment faible.

Modèles couplés

Principes de base

Un comportement plus proche de la réalité peut être obtenu en couplant les modèles de base. Si l’on connecte les modèles de base en série, ils subissent tous la même contrainte, la déformation résultant de la somme des déformations individuelles. La connexion en parallèle produit l’effet inverse. Cela signifie que la déformation de tous les sous-modèles est la même et que la contrainte totale résulte de la sommation. Étant donné que pour le comportement différé sous fluage et relaxation, c’est surtout le comportement viscoélastique qui est pertinent, seuls les modèles couplés pertinents à cet égard, composés d’éléments ressort et amortisseur, seront abordés dans ce qui suit.

Chaîne de Kelvin (modèle de Kelvin-Voigt généralisé)

Dans la chaîne de Kelvin, des éléments de Kelvin-Voigt, optionnellement avec un ressort libre E₀ (déformation instantanée) et un amortisseur libre optionnel η_∞ (écoulement newtonien), sont connectés en série. Un élément de Kelvin-Voigt se compose ici d’un élément ressort et d’un élément amortisseur connectés en parallèle. Ceci est schématiquement représenté dans l’image suivante :

Modèle généralisé de chaîne de Kelvin-Voigt

Le fluage est le comportement primaire de la chaîne de Kelvin et celui pour lequel elle est la mieux adaptée, c’est pourquoi il sera examiné plus en détail ci-après. Kelvin-Voigt se comporte de manière comparable à une éponge dans l’huile : le ressort veut se déformer, l’huile freine. Après déchargement, le ressort aspire l’éponge en retour. Le modèle ne fournit pas de réponse élastique instantanée et s’approche asymptotiquement d’une déformation limite. La déformation inverse lors de la suppression de la sollicitation se produit avec un retard temporel, mais de manière complète.

L’équation constitutive d’un élément de Kelvin-Voigt et la déformation dépendante du temps dans le temps (fluage) sous contrainte constante sont présentées dans la formule suivante :

La déformation totale résulte de la superposition des déformations partielles selon l’équation suivante :

À partir de là, sous contrainte constante et avec l’équation constitutive, la fonction de fluage totale peut être dérivée :

Chaîne de Maxwell (modèle de Maxwell généralisé)

Dans la chaîne de Maxwell, des éléments de Maxwell, optionnellement avec un ressort libre E_∞ (rigidité d’équilibre), sont connectés en parallèle. Un élément de Maxwell se compose ici d’un élément ressort et d’un élément amortisseur connectés en série. Ceci est schématiquement représenté dans l’image suivante :

Modèle généralisé de chaîne de Maxwell

La chaîne de Maxwell est la mieux adaptée pour la relaxation. Celle-ci sera donc examinée plus en détail dans ce qui suit. Maxwell se comporte de manière comparable à une goutte de liquide avec une mémoire : sous déformation constante, celle-ci se soustrait lentement à la contrainte. Pour le fluage à long terme, le modèle n’est cependant adapté que de manière limitée, car la déformation augmente continuellement sous charge permanente. Lors d’une application soudaine de la charge, le ressort réagit immédiatement par une déformation, la contrainte s’approchant asymptotiquement de zéro. Lors de la suppression de la déformation imposée, la part élastique se rétracte immédiatement, tandis que la part de déformation de l’amortisseur demeure.

L’équation constitutive d’un élément de Maxwell et la contrainte dépendante du temps dans le temps (relaxation) sous déformation constante sont présentées dans la formule suivante :

La contrainte totale résulte de la superposition des contraintes partielles selon l’équation suivante :

À partir de là, sous déformation constante et avec l’équation constitutive, le module de relaxation peut être dérivé :

Extension pour un comportement de matériau non linéaire

Pour prendre en compte un comportement de matériau non linéaire, un élément frottant est en plus introduit en série dans le chemin de contrainte. Celui-ci symbolise le comportement non linéaire du matériau et peut représenter des effets tels que la plastification ou l’affaiblissement dû au comportement à rupture. Par la connexion en série, il subit la même contrainte que le reste du modèle, et inversement, et la déformation résulte de la somme de la déformation viscoélastique et plastique. Il en résulte ainsi un comportement visco-(élasto-)plastique. L’extension des modèles rhéologiques couplés présentés (à gauche : modèle de la chaîne de Kelvin et à droite : modèle de la chaîne de Maxwell) est montrée dans l’image suivante.

Modèle de chaîne de Kelvin et de Maxwell généralisé (à gauche) et modèle de chaîne de Maxwell (à droite) avec comportement non linéaire du matériau