Modèle rhéologique

Introduction

Les modèles rhéologiques décrivent la relation entre la déformation d’un corps et la charge agissant sur lui. Pour cela, les propriétés fondamentales d’élasticité, de viscosité et de plasticité sont décrites à l’aide d’éléments mécaniques idéalisés : ressort, amortisseur et élément de frottement. Comme dans la réalité, une combinaison de ces comportements idéalisés se produit généralement, ceux-ci doivent être couplés ou connectés par analogie à l’électrotechnique.

Modèles de base

Élément de ressort

L’élément de ressort se comporte de manière idéalement élastique, suivant ainsi la loi de Hooke, raison pour laquelle il est également appelé élément de Hooke. Comme on le sait, une relation linéaire entre la contrainte σ et la déformation ε est établie via un module d’élasticité constant E :

Élément amortisseur

L’élément amortisseur se comporte de manière idéalement visqueuse, comme un fluide idéal, également appelé fluide newtonien, et est donc désigné comme élément de Newton. Il décrit la déformation irréversible retardée dans le temps sous l’effet d’une contrainte appliquée :

Élément de frottement

L’élément de frottement, également appelé élément de Saint-Venant, se comporte de manière idéalement plastique. Cela signifie qu’en dessous de la limite d’élasticité, il se comporte comme un solide idéal et ne subit aucune déformation due à une charge appliquée. Dès que la limite d’élasticité est dépassée, l’élément se déforme de manière irréversible, se comportant ainsi comme un fluide idéal de viscosité infiniment faible.

Modèles couplés

Principes de base

En couplant les modèles de base, on peut obtenir un comportement plus proche de la réalité. Si l’on connecte les modèles de base en série, ceux-ci subissent tous la même contrainte, et la déformation résulte alors de la somme des déformations individuelles. En montage en parallèle, l’effet inverse est produit. C’est-à-dire que la déformation de tous les sous-modèles est identique et la contrainte totale s’obtient par sommation.
Étant donné que pour le comportement dépendant du temps sous fluage et relaxation, le comportement viscoélastique est surtout pertinent, seuls les modèles couplés pertinents à cet égard, composés d’éléments ressort et amortisseur, seront abordés ci-après.

Chaîne de Kelvin (modèle de Kelvin-Voigt généralisé)

Dans ce qu’on appelle la chaîne de Kelvin, des éléments de Kelvin-Voigt, avec en option un ressort libre E₀ (déformation instantanée) et un amortisseur libre optionnel η_∞ (écoulement newtonien), sont connectés en série. Un élément de Kelvin-Voigt se compose ici d’un élément ressort et d’un élément amortisseur connectés en parallèle. L’image suivante montre cela de manière schématique :

Le fluage est le comportement primaire de la chaîne de Kelvin et le mieux adapté pour celui-ci, c’est pourquoi il sera détaillé ci-après. Kelvin-Voigt se comporte comparativement à une éponge dans de l’huile : le ressort veut se dilater, l’huile freine. Après décharge, le ressort aspire l’éponge en retour. Le modèle ne fournit aucune réponse élastique instantanée et s’approche asymptotiquement d’une déformation limite. La déformation inverse lors du retrait de la charge se produit avec un retard temporel, mais de manière complète.

L’équation constitutive d’un élément de Kelvin-Voigt et la déformation en fonction du temps (fluage) sous contrainte constante sont montrées dans la formule suivante :

La déformation totale résulte de la superposition des déformations partielles selon l’équation suivante :

De là, on peut déduire la fonction de fluage totale sous contrainte constante et avec l’équation constitutive :

Chaîne de Maxwell (modèle de Maxwell généralisé)

Dans la chaîne de Maxwell, des éléments de Maxwell, avec en option un ressort libre E_∞ (rigidité d’équilibre), sont connectés en parallèle. Un élément de Maxwell se compose ici d’un élément ressort et d’un élément amortisseur connectés en série. L’image suivante montre cela de manière schématique :

La chaîne de Maxwell est la mieux adaptée pour la relaxation. Ceci sera donc approfondi dans ce qui suit. Maxwell se comporte comparativement à une goutte de liquide dotée de mémoire : sous déformation constante, elle se soustrait lentement à la contrainte. Pour le fluage à long terme, le modèle n’est toutefois que partiellement adapté, car la déformation sous charge permanente augmente en continu. Lors d’une application soudaine de la charge, le ressort réagit immédiatement par une déformation, et la contrainte s’approche asymptotiquement de zéro. Lors du retrait de la déformation imposée, la part élastique revient instantanément, tandis que la part de déformation de l’amortisseur subsiste.

L’équation constitutive d’un élément de Maxwell et la contrainte dépendant du temps (relaxation) sous déformation constante sont montrées dans la formule suivante :

La contrainte totale résulte de la superposition des contraintes partielles selon l’équation suivante :

De là, on peut déduire le module de relaxation sous déformation constante et avec l’équation constitutive :

Extension pour un comportement non linéaire du matériau

Pour prendre en compte un comportement non linéaire du matériau, un élément de frottement est en plus introduit dans le chemin de contrainte, en série. Celui-ci symbolise le comportement non linéaire du matériau et peut représenter des effets tels que la plastification ou l’affaiblissement par rupture. En raison du montage en série, il subit la même contrainte que le reste du modèle, et inversement, et la déformation résulte de la somme de la déformation viscoélastique et plastique. Il en résulte ainsi un comportement visco-(élasto-)plastique. L’extension des modèles rhéologiques couplés présentés (à gauche : modèle de chaîne de Kelvin, à droite : modèle de chaîne de Maxwell) est montrée dans l’image suivante.