Modèle rhéologique

Introduction

Les modèles rhéologiques décrivent la relation entre la déformation d’un corps et la charge qui lui est appliquée. Pour cela, les propriétés fondamentales d’élasticité, de viscosité et de plasticité sont décrites à l’aide de corps mécaniques élémentaires idéalisés : des éléments de ressort, d’amortisseur et de frottement. Comme dans la réalité, une combinaison de ces comportements idéalisés apparaît le plus souvent, ceux-ci doivent être couplés, ou connectés par analogie avec l’électrotechnique.

Modèles de base

Élément ressort

L’élément ressort a un comportement élastique idéal, il suit donc la loi de Hooke, c’est pourquoi il est également appelé élément de Hooke. Comme on le sait, une relation linéaire entre la contrainte σ et la déformation ε est présumée ici via un module d’élasticité constant E :

Élément amortisseur

L’élément amortisseur a un comportement visqueux idéal, comme un fluide idéal, également appelé fluide newtonien, et est donc désigné comme élément de Newton. Il décrit la déformation irréversible différée dans le temps sous l’effet d’une contrainte appliquée :

Élément de frottement

L’élément de frottement, également appelé élément de St. Venant, a un comportement plastique idéal. Cela signifie qu’il se comporte comme un solide idéal en dessous de la limite d’élasticité et ne subit aucune déformation due à une charge appliquée. Au-delà de la limite d’élasticité, l’élément se déforme de manière irréversible, il se comporte donc comme un fluide idéal avec une viscosité infiniment faible.

Modèles couplés

Principes de base

En couplant les modèles de base, un comportement plus proche de la réalité peut être obtenu. Si les modèles de base sont connectés en série, ils subissent tous la même contrainte, la déformation résultant alors de la somme des déformations individuelles. La connexion en parallèle produit l’effet inverse. C’est-à-dire que la déformation de tous les modèles partiels est identique et la contrainte totale résulte de l’addition.
Étant donné que pour le comportement dépendant du temps sous fluage et relaxation, c’est surtout le comportement viscoélastique qui est pertinent, seuls les modèles couplés pertinents à cet égard, constitués d’éléments ressort et amortisseur, seront abordés ci-après.

Chaîne de Kelvin (modèle de Kelvin-Voigt généralisé)

Dans la chaîne de Kelvin, des éléments de Kelvin-Voigt, éventuellement avec un ressort libre E₀ (déformation instantanée) et un amortisseur libre η_∞ (écoulement newtonien), sont connectés en série. Un élément de Kelvin-Voigt est ici constitué d’un élément ressort et d’un élément amortisseur connectés en parallèle. L’image suivante représente cela graphiquement :

Le fluage est le comportement primaire de la chaîne de Kelvin et celle-ci est la mieux adaptée pour cela, c’est pourquoi il sera détaillé ci-après. Kelvin-Voigt se comporte de manière comparable à une éponge dans l’huile : le ressort veut s’allonger, l’huile freine. Après déchargement, le ressort aspire l’éponge pour la ramener en arrière. Le modèle ne fournit pas de réponse élastique instantanée et s’approche asymptotiquement d’une déformation limite. La déformation inverse lors du retrait de la charge se produit avec un retard temporel, mais de manière complète.

L’équation constitutive d’un élément de Kelvin-Voigt et la déformation en fonction du temps (fluage) sous contrainte constante sont présentées dans la formule suivante :

La déformation totale résulte de la superposition des déformations partielles selon l’équation suivante :

À partir de cela, la fonction de fluage totale peut être dérivée pour une contrainte constante et avec l’équation constitutive :

Chaîne de Maxwell (modèle de Maxwell généralisé)

Dans la chaîne de Maxwell, des éléments de Maxwell, éventuellement avec un ressort libre E_∞ (rigidité d’équilibre), sont connectés en parallèle. Un élément de Maxwell est ici constitué d’un élément ressort et d’un élément amortisseur connectés en série. L’image suivante représente cela schématiquement :

La chaîne de Maxwell est la mieux adaptée pour la relaxation, elle est donc détaillée ci-après. La chaine Maxwell se comporte de manière comparable à une goutte de liquide à mémoire : sous déformation constante, elle- se soustrait lentement à la contrainte. Pour le fluage à long terme, le modèle n’est cependant adapté que de manière limitée, car la déformation augmente continuellement sous charge permanente. Lors de l’application soudaine d’une charge, le ressort réagit immédiatement par une déformation, la contrainte s’approche asymptotiquement de zéro. Lors du retrait de la déformation imposée, la part élastique revient immédiatement en arrière, tandis que la part de déformation de l’amortisseur subsiste.

L’équation constitutive d’un élément de Maxwell et la contrainte en fonction du temps (relaxation) sous déformation constante sont présentées dans la formule suivante :

La contrainte totale résulte de la superposition des contraintes partielles selon l’équation suivante :

À partir de cela, le module de relaxation peut être dérivé pour une déformation constante et avec l’équation constitutive :