Reologiczny model

Wprowadzenie

Modele reologiczne opisują związek między deformacją ciała a działającym na nie obciążeniem. W tym celu podstawowe właściwości, takie jak sprężystość, lepkość i plastyczność, są opisywane za pomocą wyidealizowanych mechanicznych elementów podstawowych: elementu sprężyny, tłumika i tarcia. Ponieważ w rzeczywistości zwykle występuje kombinacja tych wyidealizowanych zachowań, muszą być one łączone (kombinowane) lub, analogicznie do elektrotechniki, łączone w układy.

Modele podstawowe

Element sprężyny

Element sprężyny zachowuje się idealnie sprężyście, zgodnie z prawem Hooke'a, dlatego jest również nazywany elementem Hooke'a. Jak wiadomo, zakłada się tutaj liniową zależność między naprężeniem σ a odkształceniem ε poprzez stały moduł sprężystości E:

Element tłumika

Element tłumika zachowuje się idealnie lepko, jak idealna ciecz, zwana również cieczą newtonowską, i dlatego jest określany jako element Newtona. Opisuje on opóźnione w czasie, nieodwracalne odkształcenie pod wpływem działającego naprężenia:

Element tarcia

Element tarcia, zwany również elementem St. Venanta, zachowuje się idealnie plastycznie. Oznacza to, że poniżej granicy plastyczności zachowuje się jak idealne ciało stałe i nie ulega odkształceniu pod wpływem przyłożonego obciążenia. Po przekroczeniu granicy plastyczności element odkształca się nieodwracalnie, zachowując się jak idealna ciecz o nieskończenie małej lepkości.

Modele łączone

Podstawy

Poprzez łączenie modeli podstawowych można uzyskać zachowanie bliższe rzeczywistości. Jeśli modele podstawowe są połączone szeregowo, doświadczają one tego samego naprężenia, a wypadkowe odkształcenie jest sumą odkształceń poszczególnych elementów. Połączenie równoległe wywołuje efekt przeciwny. Oznacza to, że odkształcenie wszystkich modeli składowych jest takie samo, a całkowite naprężenie uzyskuje się przez sumowanie.
Ponieważ dla zachowania zależnego od czasu podczas pełzania i relaksacji istotne jest przede wszystkim zachowanie lepkosprężyste, w dalszej części omówione zostaną tylko istotne w tym kontekście modele łączone z elementów sprężyny i tłumika.

Łańcuch Kelvina (uogólniony model Kelvina-Voigta)

W tak zwanym łańcuchu Kelvina elementy Kelvina-Voigta, opcjonalnie z wolną sprężyną E₀ (odkształcenie natychmiastowe) i opcjonalnym wolnym tłumikiem η_∞ (płynięcie newtonowskie), są łączone szeregowo. Element Kelvina-Voigta składa się tutaj z elementu sprężyny i elementu tłumika, które są połączone równolegle. Pokazano to schematycznie na poniższym rysunku:

Uogólniony model łańcucha Kelvina–Voigta

Pełzanie jest podstawowym zachowaniem łańcucha Kelvina i model ten jest do niego najlepiej przystosowany, dlatego w dalszej części zostanie omówione bardziej szczegółowo. Model Kelvina-Voigta zachowuje się porównywalnie do gąbki w oleju: sprężyna chce się rozciągnąć, olej hamuje. Po odciążeniu sprężyna wciąga gąbkę z powrotem. Model nie daje natychmiastowej odpowiedzi sprężystej i zbliża się asymptotycznie do odkształcenia granicznego. Odkształcenie powrotne po usunięciu obciążenia następuje z opóźnieniem czasowym, ale jest całkowite.

Równanie konstytutywne elementu Kelvina-Voigta oraz zależne od czasu odkształcenie w funkcji czasu (pełzanie) przy stałym naprężeniu przedstawiono w poniższym wzorze:

Całkowite odkształcenie wynika z superpozycji odkształceń składowych zgodnie z następującym równaniem:

Z tego, przy stałym naprężeniu i równaniu konstytutywnym, można wyprowadzić całkowitą funkcję pełzania:

Łańcuch Maxwella (uogólniony model Maxwella)

W łańcuchu Maxwella elementy Maxwella, opcjonalnie z wolną sprężyną E_∞ (sztywność równowagowa), są łączone równolegle. Element Maxwella składa się tutaj z elementu sprężyny i elementu tłumika, które są połączone szeregowo. Pokazano to schematycznie na poniższym rysunku:

Uogólniony model łańcucha Maxwella

Łańcuch Maxwella najlepiej nadaje się do opisu relaksacji. Zostanie to zatem dokładniej omówione w dalszej części. Model Maxwella zachowuje się porównywalnie do kropli cieczy z pamięcią: przy stałym odkształceniu powoli ona usuwa się spod naprężenia. Model ten jest jednak tylko w ograniczonym stopniu odpowiedni do opisu długotrwałego pełzania, ponieważ odkształcenie pod stałym obciążeniem stale rośnie. Przy skokowym przyłożeniu obciążenia sprężyna reaguje natychmiast odkształceniem, a naprężenie zbliża się asymptotycznie do zera. Po usunięciu wymuszonego odkształcenia część sprężysta odkształca się natychmiast z powrotem, podczas gdy udział odkształcenia tłumika pozostaje.

Równanie konstytutywne elementu Maxwella oraz zależne od czasu naprężenie w funkcji czasu (relaksacja) przy stałym odkształceniu przedstawiono w poniższym wzorze:

Całkowite naprężenie wynika z superpozycji naprężeń składowych zgodnie z następującym równaniem:

Z tego, przy stałym odkształceniu i równaniu konstytutywnym, można wyprowadzić moduł relaksacji:

Rozszerzenie o nieliniowe zachowanie materiału

Aby uwzględnić nieliniowe zachowanie materiału, w ścieżkę naprężenia włączany jest dodatkowo szeregowo element tarcia. Symbolizuje on nieliniowe zachowanie materiału i może odwzorowywać efekty takie jak plastyfikacja czy obniżenie twardości w wyniku pękania. Dzięki połączeniu szeregowemu doświadcza on takiego samego naprężenia jak reszta modelu, a odkształcenie jest sumą odkształcenia lepkosprężystego i plastycznego. Powstaje zatem zachowanie lepko-(sprężysto-)plastyczne. Rozszerzenie przedstawionych łączonych modeli reologicznych (po lewej: model łańcucha Kelvina, po prawej: model łańcucha Maxwella) pokazano na poniższym rysunku.

Uogólniony model Kelvina (po lewej) i model Maxwella (po prawej) z nieliniowym zachowaniem materiału