Model reologiczny

Wprowadzenie

Modele reologiczne opisują związek między deformacją ciała a działającym na nie obciążeniem. W tym celu podstawowe właściwości – sprężystość, lepkość i plastyczność – są opisywane za pomocą wyidealizowanych podstawowych elementów mechanicznych: elementu sprężystego, tłumiącego i ciernego. Ponieważ w rzeczywistości zwykle występuje kombinacja tych wyidealizowanych zachowań, muszą one być sprzęgnięte, lub – przez analogię do elektrotechniki – połączone w układy.

Modele podstawowe

Element sprężysty

Element sprężysty zachowuje się idealnie sprężyście, a zatem podlega prawu Hooke’a, dlatego też nazywany jest elementem Hooke’a. Jak wiadomo, zakłada się tutaj liniową zależność między naprężeniem σ a odkształceniem ε za pośrednictwem stałego modułu sprężystości E:

Element tłumiący

Element tłumiący zachowuje się idealnie lepko, jak idealna ciecz, zwana również płynem newtonowskim, i dlatego określany jest jako element Newtona. Opisuje on opóźnione w czasie, nieodwracalne odkształcenie pod wpływem działającego naprężenia:

Element cierny

Element cierny, zwany także elementem St. Venanta, zachowuje się idealnie plastycznie. Oznacza to, że poniżej granicy plastyczności zachowuje się jak idealne ciało stałe i nie ulega żadnemu odkształceniu pod wpływem przyłożonego obciążenia. Po przekroczeniu granicy plastyczności element odkształca się nieodwracalnie, zachowując się zatem jak idealna ciecz o nieskończenie małej lepkości.

Modele sprzężone

Podstawy

Poprzez sprzężenie modeli podstawowych można uzyskać zachowanie bardziej zbliżone do rzeczywistego. Jeśli połączymy modele podstawowe szeregowo, podlegają one temu samemu naprężeniu, a wynikające odkształcenie jest sumą odkształceń poszczególnych elementów. Połączenie równoległe daje przeciwny efekt. Oznacza to, że odkształcenie wszystkich modeli składowych jest jednakowe, a całkowite naprężenie uzyskuje się przez sumowanie. Ponieważ dla zachowania zależnego od czasu podczas pełzania i relaksacji naprężeń istotne jest przede wszystkim zachowanie lepkosprężyste, w dalszej części omówione zostaną tylko sprzężone modele złożone z elementów sprężystych i tłumiących, które są pod tym względem istotne.

Łańcuch Kelvina (uogólniony model Kelvina-Voigta)

W tak zwanym łańcuchu Kelvina elementy Kelvina-Voigta, opcjonalnie z pojedynczą sprężyną E₀ (odkształcenie natychmiastowe) i pojedynczym tłumikiem η_∞ (płynięcie newtonowskie), łączy się szeregowo. Element Kelvina-Voigta składa się w tym przypadku z elementu sprężystego i elementu tłumiącego połączonych równolegle. Przedstawiono to schematycznie na poniższym rysunku:

Pełzanie jest podstawowym zachowaniem łańcucha Kelvina i model ten jest do niego najlepiej dostosowany, dlatego poniżej omówiono je bardziej szczegółowo. Model Kelvina-Voigta zachowuje się porównywalnie do gąbki w oleju: sprężyna chce się rozciągnąć, olej hamuje. Po odciążeniu sprężyna wciąga gąbkę z powrotem. Model nie daje natychmiastowej odpowiedzi sprężystej i asymptotycznie zbliża się do granicznego odkształcenia. Odkształcenie powrotne po usunięciu obciążenia następuje z opóźnieniem, ale jest całkowite.

Równanie konstytutywne elementu Kelvina-Voigta oraz zależne od czasu odkształcenie w funkcji czasu (pełzanie) przy stałym naprężeniu przedstawiono w poniższym wzorze:

Całkowite odkształcenie wynika z superpozycji odkształceń składowych zgodnie z poniższym równaniem:

Na tej podstawie, przy stałym naprężeniu i równaniu konstytutywnym, można wyprowadzić funkcję pełzania całkowitego:

Łańcuch Maxwella (uogólniony model Maxwella)

W łańcuchu Maxwella elementy Maxwella, opcjonalnie z pojedynczą sprężyną E_∞ (sztywność równowagowa), łączy się równolegle. Element Maxwella składa się w tym przypadku z elementu sprężystego i elementu tłumiącego połączonych szeregowo. Przedstawiono to schematycznie na poniższym rysunku:

Łańcuch Maxwella najlepiej nadaje się do opisu relaksacji naprężeń. Zostanie to zatem szerzej omówione poniżej. Model Maxwella zachowuje się porównywalnie do kropli cieczy z pamięcią: pod wpływem stałego odkształcenia powoli uwalnia się ona od naprężenia. Model ten jest jednak tylko w ograniczonym stopniu odpowiedni do opisu pełzania długotrwałego, ponieważ odkształcenie pod stałym obciążeniem wzrasta w sposób ciągły. Przy skokowym przyłożeniu obciążenia sprężyna reaguje natychmiast odkształceniem, a naprężenie asymptotycznie zbliża się do zera. Po usunięciu wymuszonego odkształcenia część sprężysta powraca natychmiast, podczas gdy część odkształcenia pochodząca od tłumika pozostaje.

Równanie konstytutywne elementu Maxwella oraz zależne od czasu naprężenie w funkcji czasu (relaksacja) przy stałym odkształceniu przedstawiono w poniższym wzorze:

Całkowite naprężenie wynika z superpozycji naprężeń składowych zgodnie z poniższym równaniem:

Na tej podstawie, przy stałym odkształceniu i równaniu konstytutywnym, można wyprowadzić moduł relaksacji: