Model reologiczny

Wprowadzenie

Modele reologiczne opisują zależność odkształcenia ciała od działającego na nie obciążenia. W tym celu podstawowe właściwości, takie jak sprężystość, lepkość i plastyczność, opisuje się za pomocą wyidealizowanych podstawowych elementów mechanicznych: elementu sprężystego, tłumiącego i ciernego. Ponieważ w rzeczywistości zazwyczaj występuje kombinacja tych wyidealizowanych zachowań, należy je sprzęgać lub, analogicznie do elektrotechniki, łączyć w układy.

Modele podstawowe

Element sprężysty

Element sprężysty zachowuje się idealnie sprężyście, a zatem zgodnie z prawem Hooke'a, dlatego nazywany jest również elementem Hooke'a. Jak wiadomo, zakłada się tutaj liniową zależność między naprężeniem σ a odkształceniem ε za pośrednictwem stałego modułu sprężystości E:

Element tłumiący

Element tłumiący zachowuje się idealnie lepko, jak idealna ciecz, zwana również płynem Newtona, i dlatego określany jest jako element Newtona. Opisuje on opóźnione w czasie, nieodwracalne odkształcenie pod wpływem działającego naprężenia:

Element cierny

Element cierny, zwany również elementem St. Venanta, zachowuje się idealnie plastycznie. Oznacza to, że poniżej granicy plastyczności zachowuje się jak idealne ciało stałe i nie ulega odkształceniu pod wpływem przyłożonego obciążenia. Po przekroczeniu granicy plastyczności element odkształca się nieodwracalnie, zachowując się jak idealna ciecz o nieskończenie małej lepkości.

Modele sprzężone

Podstawy

Poprzez sprzężenie modeli podstawowych można uzyskać zachowanie bliższe rzeczywistości. Jeśli połączy się modele podstawowe szeregowo, doświadczają one tego samego naprężenia, a odkształcenie wynika z sumy odkształceń poszczególnych elementów. Dzięki połączeniu równoległemu uzyskuje się efekt odwrotny. Oznacza to, że odkształcenie wszystkich modeli składowych jest jednakowe, a całkowite naprężenie wynika z sumowania.
Ponieważ dla zachowania zależnego od czasu podczas pełzania i relaksacji istotne jest przede wszystkim zachowanie lepkosprężyste, w dalszej części omówione zostaną tylko istotne w tym kontekście modele sprzężone, składające się z elementów sprężystych i tłumiących.

Łańcuch Kelvina (uogólniony model Kelvina-Voigta)

W tak zwanym łańcuchu Kelvina elementy Kelvina-Voigta są łączone szeregowo, opcjonalnie z wolną sprężyną E₀ (odkształcenie natychmiastowe) i opcjonalnym wolnym tłumikiem η_∞ (płynięcie Newtonowskie). Element Kelvina-Voigta składa się tutaj z elementu sprężystego i tłumiącego, które są połączone równolegle. Przedstawiono to schematycznie na poniższym rysunku:

Pełzanie jest podstawowym zachowaniem łańcucha Kelvina i jest on do niego najlepiej przystosowany, dlatego poniżej zostanie ono omówione bardziej szczegółowo. Model Kelvina-Voigta zachowuje się podobnie jak gąbka w oleju: sprężyna chce się rozciągnąć, olej hamuje. Po odciążeniu sprężyna wciąga gąbkę z powrotem. Model nie daje natychmiastowej odpowiedzi sprężystej i asymptotycznie zbliża się do odkształcenia granicznego. Odkształcenie powrotne po usunięciu obciążenia następuje z opóźnieniem czasowym, ale jest całkowite.

Równanie konstytutywne elementu Kelvina-Voigta oraz zależne od czasu odkształcenie w funkcji czasu (pełzanie) przy stałym naprężeniu przedstawiono w poniższym wzorze:

Całkowite odkształcenie wynika z superpozycji odkształceń składowych zgodnie z następującym równaniem:

Na tej podstawie, przy stałym naprężeniu i równaniu konstytutywnym, można wyprowadzić całkowitą funkcję pełzania:

Łańcuch Maxwella (uogólniony model Maxwella)

W łańcuchu Maxwella elementy Maxwella są łączone równolegle, opcjonalnie z wolną sprężyną E_∞ (sztywność długotrwała). Element Maxwella składa się tutaj z elementu sprężystego i tłumiącego, które są połączone szeregowo. Przedstawiono to schematycznie na poniższym rysunku:

Łańcuch Maxwella najlepiej nadaje się do opisu relaksacji. Zostanie to zatem omówione bardziej szczegółowo poniżej. Model Maxwella zachowuje się podobnie do kropli cieczy z pamięcią: przy stałym odkształceniu powoli uwalnia się ona od naprężenia. Do opisu pełzania długotrwałego model ten nadaje się jednak tylko w ograniczonym zakresie, ponieważ odkształcenie pod stałym obciążeniem stale rośnie. Przy skokowym przyłożeniu obciążenia sprężyna reaguje natychmiast odkształceniem, a naprężenie asymptotycznie zbliża się do zera. Po usunięciu odkształcenia wymuszonego, udział sprężysty powraca natychmiast, podczas gdy udział odkształcenia pochodzący od tłumika pozostaje.

Równanie konstytutywne elementu Maxwella oraz zależne od czasu naprężenie w funkcji czasu (relaksacja) przy stałym odkształceniu przedstawiono w poniższym wzorze:

Całkowite naprężenie wynika z superpozycji naprężeń składowych zgodnie z następującym równaniem:

Na tej podstawie, przy stałym odkształceniu i równaniu konstytutywnym, można wyprowadzić moduł relaksacji:

Rozszerzenie dla nieliniowego zachowania materiału

W celu uwzględnienia nieliniowego zachowania materiału, dodatkowo w ścieżkę naprężenia włączany jest szeregowo element cierny. Symbolizuje on nieliniowe zachowanie materiału i może odwzorowywać efekty takie jak plastyfikacja lub obniżenie twardości poprzez pękanie. Dzięki połączeniu szeregowemu doświadcza on tego samego naprężenia, co reszta modelu, i odwrotnie, a odkształcenie wynika z sumy odkształcenia lepkosprężystego i plastycznego. Powstaje tym samym zachowanie lepko-(sprężysto-)plastyczne. Rozszerzenie przedstawionych sprzężonych modeli reologicznych (po lewej: model łańcucha Kelvina, a po prawej: Maxwella) pokazano na poniższym rysunku.