651x

2024-01-03

VE0048 | Одноосный изгиб со сжатием – прогиб и анализ конструкции

Описание

Конструкция из двутавровых профилей жестко закреплена на левом конце и заделана в скользящую опору на правом конце. Конструкция состоит из двух сегментов. В данном примере собственный вес не учитывается. Определите максимальный прогиб конструкции u_z,max, изгибающий момент M_y на неподвижном конце, поворот &svarphi;_2,y сегмента 2 и реакцию опоры R_Bz с помощью геометрически линейного расчета и расчета второго порядка. Данный проверочный пример основан на примере, предложенном Гензихеном и Лумпе (см. ссылку).

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Сталь	Коэффициент Пуассона	ν	0.300	-
Геометрия	Конструкция	Длина сегмента 1	L₁	6.000	м
	Конструкция	Длина сегмента 2	L₂	1.200	м
	Поперечное сечение	Высота	h	400.000	мм
		Ширина	b	180.000	мм
		Толщина стенки	s	10.000	мм
		Толщина полки	t	14.000	мм
Нагрузка		Продольная сила	F_x	100.000	кН
Нагрузка		Поперечная сила	F_z	0.500	кН

Одноосный изгиб с давлением

Аналитическое решение

Геометрически линейный расчет

Сначала выполняется геометрически линейный расчет. В этом случае продольная сила F_x не учитывается. Тогда задача может быть решена как для консоли длиной L₁, нагруженной только поперечной силой F_z. Максимальный прогиб u_z,max можно вычислить с помощью интеграла Мора, что приводит к выражению:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Максимальный прогиб - геометрически линейный расчет

Изгибающий момент на неподвижном конце можно рассчитать по следующей формуле:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Максимальный изгибающий момент - геометрически линейный расчет

Поворот сегмента 2 φ_2,y вычисляется из геометрического условия следующим образом:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Поворот сегмента 2 - геометрически линейный расчет

Реакцию опоры в скользящем шарнире R_Bz, с учетом нулевого влияния продольной силы F_x, можно получить из диаграммы свободного тела, показанной на следующем эскиз.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Опорная реакция в подвижном соединении - геометрически линейный расчет

Произвольный расчет конструкции

Расчет второго порядка

Из-за не пренебрежимо малого влияния продольной силы F_x необходимо учитывать расчет второго порядка. Таким образом, продольная сила F_x принимается во внимание и создает дополнительный вклад в изгибающий момент. Задача может быть описана диаграммой свободного тела сегментов согласно эскизу. Неизвестные реакции опор можно получить из уравнений равновесия, а затем записать формулу изгибающего момента.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Изгибающий момент в сегменте 1 - расчет по методу второго порядка

Решение можно найти с помощью дифференциального уравнения Эйлера-Бернулли.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Дифференциальное уравнение Эйлера-Бернулли

С учетом граничных условий можно найти решение дифференциального уравнения и вычислить максимальный прогиб конструкции.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Функция прогиба для сегмента 1 - расчет по методу второго порядка

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Максимальный прогиб конструкции - расчет по методу второго порядка

Изгибающий момент на неподвижном конце можно рассчитать по следующей формуле:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Максимальный изгибающий момент - расчет по методу второго порядка

Поворот сегмента 2 φ_2,y вычисляется из геометрического условия следующим образом:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Поворот сегмента 2 - расчет по теории второго порядка

Реакция опоры в скользящем шарнире R_Bz составляет:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Сила реакции в подвижном соединении - расчет по методу второго порядка

Очевидно, что влияние продольной силы F_x существенно. Полный прогиб конструкции при заданной нагрузке в случае расчета второго порядка примерно на 18% больше, чем в случае геометрически линейного расчета. Сравнение геометрически линейного расчета и расчета второго порядка показано на графике с учетом соотношения сил нагрузки F_z = F_x/200. Очевидно, что разница между этими расчетами становится более значительной при увеличении нагрузки. Решение расчета второго порядка приближается к горизонтальной асимптоте. Численное решение дает значение горизонтальной асимптоты F_x,cr = 650.873 кН.

Сравнение геометрически линейного расчета (штриховая линия) и расчета по методу второго порядка (сплошная линия)

Настройки RFEM и RSTAB

Смоделировано в RFEM 5.05, RSTAB 8.05 и RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Количество элементов: 2 (по одному элементу на стержень)
Количество шагов приращения: 5
Используется изотропная линейно-упругая модель материала
Конструкция моделируется с помощью стержней
Жесткость стержней при сдвиге не учитывается

Результаты

Геометрически линейный расчет	Аналитическое решение	RFEM 6	Отношение	RSTAB 9	Отношение
u_z,max [мм]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [кНм]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [мрад]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [кН]	0.000	0.000	-	0.000	-

Геометрически линейный расчет	Аналитическое решение	RFEM 5	Отношение	RSTAB 8	Отношение
u_z,max [мм]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [кНм]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [мрад]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [кН]	0.000	0.000	-	0.000	-

Расчет второго порядка	Аналитическое решение	RFEM 6	Отношение	RSTAB 9	Отношение
u_z,max [мм]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [кНм]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [мрад]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [кН]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

Расчет второго порядка	Аналитическое решение	RFEM 5	Отношение	RSTAB 8	Отношение
u_z,max [мм]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [кНм]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [мрад]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [кН]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

701x

20x

Контрольный пример 000048 | 1

Ссылки

ЛУМПЕ, Г. и ГЕНЗИХЕН, В. Оценка линейного и нелинейного расчёта стержней в теории и программном обеспечении: контрольные примеры, причины ошибок, подробная теория. Эрнст, 2014.

;