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03.01.2024

VE0048 | Flexion Uniaxiale avec Compression – Flèche et Analyse Structurelle

Description

Une structure constituée de profilés en I est parfaitement encastrée à son extrémité gauche et insérée dans un appui glissant à son extrémité droite. La structure se compose de deux segments. Le poids propre est négligé dans cet exemple. Déterminez la flèche maximale de la structure u_z,max, le moment de flexion M_y à l'extrémité encastrée, la rotation &svarphi;_2,y du segment 2 et la force de réaction R_Bz au moyen de l'analyse géométriquement linéaire et de l'analyse du second ordre. L'exemple de vérification est basé sur l'exemple introduit par Gensichen et Lumpe (voir la référence).

Matériau	Acier	Module d’élasticité	E	210000.000	MPa
Matériau	Acier	Coefficient de Poisson	ν	0.300	-
Géométrie	Structure	Longueur du segment 1	L₁	6.000	m
	Structure	Longueur du segment 2	L₂	1.200	m
	Section	Hauteur	h	400.000	mm
		Largeur	b	180.000	mm
		Épaisseur de l'âme	s	10.000	mm
		Épaisseur de la semelle	t	14.000	mm
Charge		Effort normal	F_x	100.000	kN
Charge		Effort transversal	F_z	0.500	kN

Flexion uniaxiale avec pression

Solution analytique

Analyse géométriquement linéaire

L'analyse géométriquement linéaire est effectuée en premier. Dans ce cas, l'effort normal F_x n'est pas pris en compte. Le problème peut alors être résolu comme un porte-à-faux de longueur L₁ chargé uniquement par l'effort transversal F_z. La flèche maximale u_z,max peut être calculée en utilisant l'intégrale de Mohr et donne l'expression :

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Flèche maximale - Analyse géométriquement linéaire

Le moment de flexion à l'extrémité encastrée peut être calculé selon la formule suivante :

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Moment fléchissant maximal – Analyse géométriquement linéaire

La rotation du segment 2 φ_2,y est calculée à partir de la condition géométrique comme suit :

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Rotation du segment 2 – Analyse géométriquement linéaire

La force de réaction dans l'appui glissant R_Bz, en considérant l'effet nul de l'effort normal F_x, peut être obtenue à partir du diagramme de corps libre montré dans le croquis suivant.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Force de réaction dans un joint glissant - Analyse géométriquement linéaire

Calcul de structure libre

Analyse du second ordre

En raison de l'effet non négligeable de l'effort normal F_x, l'analyse du second ordre doit être considérée. Ainsi, l'effort normal F_x est pris en compte et produit une contribution supplémentaire au moment de flexion. Le problème peut être décrit par le diagramme de corps libre des segments selon le croquis. Les forces de réaction inconnues peuvent être obtenues à partir des équations d'équilibre, puis la formule du moment de flexion peut être écrite.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Moment fléchissant dans le segment 1 - Analyse du second ordre

La solution peut être trouvée par l'équation différentielle d'Euler-Bernoulli.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Équation différentielle d'Euler-Bernoulli

En considérant les conditions limites, la solution de l'équation différentielle peut être trouvée et la flèche maximale de la structure calculée.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Fonction de flèche pour le segment 1 - Analyse du second ordre

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Flèche maximale de la structure - Analyse du second ordre

Le moment de flexion à l'extrémité encastrée peut être calculé selon la formule suivante :

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Moment fléchissant maximal - Analyse du second ordre

La rotation du segment 2 φ_2,y est calculée à partir de la condition géométrique comme suit :

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Rotation du segment 2 - Analyse du second ordre

La force de réaction dans l'appui glissant R_Bz résulte :

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Force de réaction dans un joint glissant - Analyse du second ordre

Il est évident que l'influence de l'effort normal F_x est considérable. La flèche totale de la structure sous le chargement prescrit dans le cas de l'analyse du second ordre est environ 18 % plus grande que dans le cas de l'analyse géométriquement linéaire. La comparaison entre l'analyse géométriquement linéaire et l'analyse du second ordre est présentée dans le graphique, en considérant le rapport des efforts de chargement F_z = F_x/200. Il est évident que la différence entre ces analyses est plus considérable lorsque le chargement est plus grand. La solution de l'analyse du second ordre s'approche de l'asymptote horizontale. La solution numérique donne la valeur de l'asymptote horizontale F_x,cr = 650,873 kN.

Comparaison de l'analyse géométriquement linéaire (ligne en pointillés) et de l'analyse du second ordre (ligne pleine)

Paramètres de RFEM et RSTAB

Modélisé dans RFEM 5.05, RSTAB 8.05 et RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Le nombre d'éléments est 2 (un élément par barre)
Le nombre d'incréments de charge est 5
Le modèle de matériau élastique linéaire isotrope est utilisé
La structure est modélisée à l'aide de barres
La rigidité en cisaillement des barres est négligée

Résultats

Analyse géométriquement linéaire	Solution analytique	RFEM 6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

Analyse géométriquement linéaire	Solution analytique	RFEM 5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

Analyse du second ordre	Solution analytique	RFEM 6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

Analyse du second ordre	Solution analytique	RFEM 5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

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Exemple de vérification 000048 | 1

Références

LUMPE, G. et GENSICHEN, V. Évaluation de la statique linéaire et non linéaire des barres en théorie et logiciel : exemples de vérification, causes d'erreurs, théorie exacte. Ernst, 2014.

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