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3. Januar 2024

VE0048 | Uniaxiale Biegung mit Druck – Durchbiegung und Analyse

Beschreibung

Eine Struktur aus I-Profilen ist am linken Ende vollständig eingespannt und am rechten Ende in eine Gleitlagerung eingebettet. Die Struktur besteht aus zwei Segmenten. Das Eigengewicht wird in diesem Beispiel vernachlässigt. Ermitteln Sie die maximale Durchbiegung der Struktur u_z,max, das Biegemoment M_y am festen Ende, die Verdrehung &svarphi;_2,y von Segment 2 und die Reaktionskraft R_Bz mittels der geometrisch linearen Analyse und der Theorie II. Ordnung. Das Verifizierungsbeispiel basiert auf dem von Gensichen und Lumpe vorgestellten Beispiel (siehe Literatur).

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
Material	Stahl	Querdehnzahl	ν	0,300	-
Geometrie	Struktur	Segmentlänge 1	L₁	6,000	m
	Struktur	Segmentlänge 2	L₂	1,200	m
	Querschnitt	Höhe	h	400,000	mm
		Breite	b	180,000	mm
		Stegdicke	s	10,000	mm
		Flanschdicke	t	14,000	mm
Belastung		Normalkraft	F_x	100,000	kN
Belastung		Querkraft	F_z	0,500	kN

Einfache Biegung mit Druck

Analytische Lösung

Geometrisch lineare Analyse

Zunächst wird die geometrisch lineare Analyse durchgeführt. In diesem Fall wird die Normalkraft F_x nicht berücksichtigt. Das Problem kann dann als ein Kragträger der Länge L₁ gelöst werden, der nur durch die Querkraft F_z belastet wird. Die maximale Durchbiegung u_z,max kann mit dem Mohr'schen Integral berechnet werden und ergibt sich aus dem Ausdruck:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Maximale Durchbiegung – Theorie I. Ordnung

Das Biegemoment am festen Ende kann nach folgender Formel berechnet werden:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Maximales Biegemoment - Berechnung geometrisch linear

Die Verdrehung von Segment 2 φ_2,y wird aus der geometrischen Bedingung wie folgt berechnet:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Drehung von Segment 2 – Analyse geometrisch linear

Die Reaktionskraft in der Gleitlagerung R_Bz kann unter Berücksichtigung des nicht vorhandenen Einflusses der Normalkraft F_x aus dem Freikörperbild in der folgenden Skizze entnommen werden.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Reaktionskraft in Schubfuge - Berechnung geometrisch linear

Freier Aufbau der Struktur

Theorie II. Ordnung

Aufgrund des nicht vernachlässigbaren Einflusses der Normalkraft F_x sollte die Analyse nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden. Somit wird die Normalkraft F_x berücksichtigt und liefert einen weiteren Beitrag zum Biegemoment. Das Problem kann durch das Freikörperbild der Segmente gemäß der Skizze beschrieben werden. Die unbekannten Reaktionskräfte können aus den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt und dann die Biegemomentformel geschrieben werden.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Biegemoment im Segment 1 – Theorie II. Ordnung

Die Lösung kann mit der Euler-Bernoulli-Differentialgleichung gefunden werden.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Euler-Bernoulli-Differenzialgleichung

Unter Berücksichtigung der Randbedingungen kann die Lösung der Differentialgleichung gefunden und die maximale Durchbiegung der Struktur berechnet werden.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Durchbiegungsfunktion für Segment 1 – Theorie II. Ordnung

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Maximale Durchbiegung des Tragwerks – Theorie II. Ordnung

Das Biegemoment am festen Ende kann nach folgender Formel berechnet werden:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Maximales Biegemoment – Theorie II. Ordnung

Die Verdrehung von Segment 2 φ_2,y wird aus der geometrischen Bedingung wie folgt berechnet:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Drehung des Segments 2 - Theorie II. Ordnung

Die Reaktionskraft in der Gleitlagerung R_Bz ergibt sich zu:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Reaktionskraft in der Schubfuge – Theorie II. Ordnung

Es ist offensichtlich, dass der Einfluss der Normalkraft F_x erheblich ist. Die Gesamtdurchbiegung der Struktur unter der vorgegebenen Belastung ist im Fall der Analyse nach Theorie II. Ordnung etwa 18 % größer als im Fall der geometrisch linearen Analyse. Der Vergleich der geometrisch linearen Analyse und der Analyse nach Theorie II. Ordnung ist im Diagramm dargestellt, wobei das Verhältnis der Belastungskräfte F_z = F_x/200 betrachtet wird. Es ist offensichtlich, dass der Unterschied zwischen diesen Analysen größer ist, wenn die Belastung größer ist. Die Lösung nach Theorie II. Ordnung nähert sich der horizontalen Asymptote. Die numerische Lösung ergibt den Wert der horizontalen Asymptote F_x,cr = 650,873 kN.

Vergleich von Theorie I. Ordnung (gestrichelte Linie) und Theorie II. Ordnung (durchgezogene Linie)

RFEM- und RSTAB-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.05, RSTAB 8.05 und RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Die Anzahl der Elemente beträgt 2 (ein Element pro Stab)
Die Anzahl der Inkremente beträgt 5
Es wird ein isotropes linear-elastisches Materialmodell verwendet
Die Struktur ist mit Stäben modelliert
Die Schubsteifigkeit der Stäbe wird vernachlässigt

Ergebnisse

Geometrisch lineare Analyse	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RSTAB 9	Verhältnis
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Geometrisch lineare Analyse	Analytische Lösung	RFEM 5	Verhältnis	RSTAB 8	Verhältnis
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Theorie II. Ordnung	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RSTAB 9	Verhältnis
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Theorie II. Ordnung	Analytische Lösung	RFEM 5	Verhältnis	RSTAB 8	Verhältnis
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

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Verifikationsbeispiel 000048 | 1

Referenzen

LUMPE, G. and GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorieund Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

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