651x

3.1.2024

VE0048 | Jednoosý ohyb s tlakem – průhyb a analýza konstrukce

Popis

Konstrukce z I-profilů je na levém konci zcela vetknutá a na pravém konci uložená do posuvné podpory. Konstrukce se skládá ze dvou segmentů. Vlastní tíha je v tomto příkladu zanedbána. Stanovte maximální průhyb konstrukce u_z,max, ohybový moment M_y ve vetknutí, rotaci &svarphi;_2,y segmentu 2 a reakční sílu R_Bz pomocí geometricky lineární analýzy a analýzy druhého řádu. Verifikační příklad vychází z příkladu od Gensichena a Lumpeho (viz reference).

Materiál	Ocel	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
Materiál	Ocel	Poissonův součinitel	ν	0,300	-
Geometrie	Konstrukce	Délka segmentu 1	L₁	6,000	m
	Konstrukce	Délka segmentu 2	L₂	1,200	m
	Průřez	Výška	h	400,000	mm
		Šířka	b	180,000	mm
		Tloušťka stojiny	s	10,000	mm
		Tloušťka pásnice	t	14,000	mm
Zatížení		Normálová síla	F_x	100,000	kN
Zatížení		Příčná síla	F_z	0,500	kN

Jednoosý ohyb s tlakem

Analytické řešení

Geometricky lineární analýza

Nejprve je provedena geometricky lineární analýza. V tomto případě není normálová síla F_x zohledněna. Problém lze pak řešit jako konzolu o délce L₁ zatíženou pouze příčnou silou F_z. Maximální průhyb u_z,max lze vypočítat pomocí Mohrova integrálu a vede k výrazu:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Maximální průhyb - Geometricky lineární analýza

Ohybový moment ve vetknutí lze vypočítat podle následujícího vzorce:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Maximální ohybový moment - Geometricky lineární analýza

Rotace segmentu 2 φ_2,y se vypočítá z geometrické podmínky následovně:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Natočení segmentu 2 - Geometricky lineární analýza

Reakční sílu v posuvném kloubu R_Bz při zanedbání účinku normálové síly F_x lze získat z diagramu volného tělesa znázorněného v následujícím náčrtu.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Reakční síla v kluzné spáře - Geometricky lineární analýza

Návrh konstrukcí zdarma

Analýza druhého řádu

Vzhledem k nezanedbatelnému účinku normálové síly F_x je třeba uvažovat analýzu druhého řádu. Normálová síla F_x je tedy zohledněna a vytváří další příspěvek k ohybovému momentu. Problém lze popsat diagramem volného tělesa segmentů podle náčrtu. Neznámé reakční síly lze získat z rovnic rovnováhy a poté lze napsat vzorec pro ohybový moment.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Ohybový moment v segmentu 1 - analýza druhého řádu

Řešení lze nalézt pomocí Eulerovy-Bernoulliho diferenciální rovnice.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Euler-Bernoulliho diferenciální rovnice

S uvážením okrajových podmínek lze nalézt řešení diferenciální rovnice a vypočítat maximální průhyb konstrukce.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Funkce průhybu pro segment 1 - analýza druhého řádu

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Maximální průhyb konstrukce - analýza druhého řádu

Ohybový moment ve vetknutí lze vypočítat podle následujícího vzorce:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Maximální ohybový moment - analýza druhého řádu

Rotace segmentu 2 φ_2,y se vypočítá z geometrické podmínky následovně:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Natočení segmentu 2 - analýza druhého řádu

Reakční síla v posuvném kloubu R_Bz je:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Reakční síla v kluzné spáře - analýza druhého řádu

Je zřejmé, že vliv normálové síly F_x je značný. Celkový průhyb konstrukce při daném zatížení je v případě analýzy druhého řádu přibližně o 18 % větší než v případě geometricky lineární analýzy. Porovnání geometricky lineární analýzy a analýzy druhého řádu je znázorněno v grafu, uvažujícím poměr zatěžovacích sil F_z = F_x/200. Je zřejmé, že rozdíl mezi těmito analýzami je výraznější, když je zatížení větší. Řešení analýzy druhého řádu se blíží vodorovné asymptotě. Numerické řešení dává hodnotu vodorovné asymptoty F_x,cr = 650,873 kN.

Porovnání geometricky lineární analýzy (přerušovaná čára) a analýzy druhého řádu (plná linie)

Nastavení RFEM a RSTAB

Modelováno v RFEM 5.05, RSTAB 8.05 a RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Počet prvků je 2 (jeden prvek na prut)
Počet přírůstků je 5
Je použit izotropní lineárně elastický materiálový model
Konstrukce je modelována pomocí prutů
Smyková tuhost prutů je zanedbána

Výsledky

Geometricky lineární analýza	Analytické řešení	RFEM 6	Poměr	RSTAB 9	Poměr
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Geometricky lineární analýza	Analytické řešení	RFEM 5	Poměr	RSTAB 8	Poměr
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Analýza druhého řádu	Analytické řešení	RFEM 6	Poměr	RSTAB 9	Poměr
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Analýza druhého řádu	Analytické řešení	RFEM 5	Poměr	RSTAB 8	Poměr
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

701x

20x

Verifikační příklad 000048 | 1

Reference

LUMPE, G. und GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

;