224x

2023-08-31

VE0048 | Zginanie jednoosiowe z ciśnieniem

Opis prac

Konstrukcja z profilu I jest w pełni utwierdzona na lewym końcu i osadzona w podporze przesuwnej na prawym końcu. Konstrukcja składa się z dwóch segmentów zgodnie z poniższym . Ciężar własny jest pomijany w tym przykładzie. Określ maksymalne ugięcie konstrukcji u_z,max, moment zginający M_y na nieruchomym końcu, obrót φ_2,y segmentu 2 oraz siłę reakcji R_Bz za pomocą analizy geometrycznie liniowej oraz analizy drugiego rzędu analizę. Przykład obliczeniowy oparty jest na przykładzie opracowanym przez Gensichen i Lumpe (patrz odniesienie).

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000,000	MPa
Materiał	Stal	współczynnik Poissona	ν	0,300	-
Geometria	Konstrukcja	Długość segmentu 1	L₁	6,000	m
	Konstrukcja	Długość segmentu 2	L₂	1,200	m
	Przekrój	Wysokość	H	400,000	mm
		Szerokość	b	180,000	mm
		Grubość środnika	s	10,000	mm
		Grubość półki	t	14,000	mm
Obciążenie	siła osiowa	F_x	100,000	kN
Obciążenie	Siła poprzeczna	F_z	0,500	kN

01 Zginanie jednoosiowe z ciśnieniem

Rozwiązanie analityczne

Analiza pierwszego rzędu

Najpierw przeprowadzana jest geometrycznie analiza liniowa. Siła osiowa F_x nie jest w tym przypadku uwzględniana. W ten sposób problem może zostać rozwiązany, podobnie jak wspornik o długości L₁ obciążony tylko siłą poprzeczną F_z. Maksymalne ugięcie u_z,max można obliczyć przy użyciu całki Mohra', a wynik oblicza się następująco:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Moment kwadratowy przekroju względem osi y

Maksymalne ugięcie - geometrycznie liniowa analiza

Moment zginający na utwierdzonym końcu można obliczyć według poniższego wzoru:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Maksymalny moment zginający - analiza geometrycznie liniowa

Obrót segmentu 2 φ_2,y obliczany jest na podstawie warunku geometrycznego w następujący sposób:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Obrót segmentu 2 - geometrycznie liniowa analiza

Siłę reakcji w połączeniu przesuwnym R_Bz z uwzględnieniem zerowego wpływu siły osiowej F_x można określić na podstawie wykresu wolnego ciała pokazanego na wolnego ciała.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Siła reakcji w połączeniu przesuwnym - geometrycznie liniowa analiza

02 Dowolne projektowanie konstrukcji

Analiza drugiego rzędu

Ze względu na to, że siła osiowa F_x nie może być pominięta, należy uwzględnić analizę drugiego rzędu. W ten sposób siła osiowa F_x jest uwzględniana i wnosi dodatkowy wkład do momentu zginającego. Problem można opisać za pomocą wykresu brył swobodnych segmentów według ciała swobodnego. Nieznane siły reakcji można uzyskać z równań równowagi, a następnie zapisać wzór na moment zginający.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Moment zginający w segmencie 1 - analiza drugiego rzędu

Rozwiązanie można znaleźć za pomocą równania różniczkowego Eulera-Bernoulliego.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Równanie różniczkowe Eulera-Bernoulliego

Uwzględniając warunki brzegowe, można znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego i obliczyć maksymalne ugięcie konstrukcji.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Funkcja ugięcia dla segmentu 1 - analiza drugiego rzędu

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Maksymalne ugięcie konstrukcji - analiza drugiego rzędu

Moment zginający na utwierdzonym końcu można obliczyć według poniższego wzoru:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Maksymalny moment zginający - analiza drugiego rzędu

Obrót segmentu 2 φ_2,y obliczany jest na podstawie warunku geometrycznego w następujący sposób:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Obrót segmentu 2 - analiza drugiego rzędu

Siła reakcji w połączeniu przesuwnym R_{Bz wynosi} :

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Siła reakcji w połączeniu przesuwnym - analiza drugiego rzędu

Oczywiste jest, że wpływ siły osiowej F_x jest znaczny. Całkowite ugięcie konstrukcji pod zalecanym obciążeniem w przypadku analizy drugiego rzędu jest o około 18% większe niż w przypadku analizy geometrycznie liniowej. Porównanie geometrii liniowej i analizy drugiego rzędu pokazano na wykresie , uwzględniając stosunek sił obciążających F_z = F_x/200. Oczywiste jest, że różnica między tymi analizami jest większa, im obciążenie jest większe. Rozwiązanie analizy drugiego rzędu zbliża się do asymptoty poziomej. Rozwiązanie numeryczne daje wartość asymptoty poziomej F_{x, cr} = 650,873 kN.

03 Porównanie analizy geometrycznie liniowej (linia przerywana) i analizy drugiego rzędu (linia pełna)

Ustawienia RFEM i RSTAB

Modelowany w RFEM 5.05 i RSTAB 8.05 oraz RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Liczba elementów wynosi 2 (jeden element na pręt)
Liczba przyrostów wynosi 5
Zastosowano izotropowy liniowo sprężysty model materiałowy
Modelowanie konstrukcji odbywa się za pomocą prętów
Sztywność prętów na ścinanie jest pominięta

Wyniki

Analiza geometrycznie liniowa	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Stosunek	RSTAB 9	Stosunek
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Analiza geometrycznie liniowa	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RSTAB 8	Stosunek
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Analiza drugiego rzędu	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Stosunek	RSTAB 9	Stosunek
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Analiza drugiego rzędu	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RSTAB 8	Stosunek
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

499x

14x

Przykład weryfikacji 000048 | 1

Odniesienia

LUMPE, G. oraz GENSITEN, V. Analiza liniowej i nieliniowej analizy prętów w teorii i oprogramowaniu: Przykłady testowe, przyczyny awarii, szczegółowa teoria. Ernesta.

;