651x

2024-01-03

VE0048 | Jednoosiowe zginanie z ciśnieniem – Ugięcie konstrukcji i analiza

Opis

Konstrukcja wykonana z profili dwuteowych jest w pełni utwierdzona na lewym końcu i osadzona w podporze przesuwnej na prawym końcu. Konstrukcja składa się z dwóch segmentów. Ciężar własny jest w tym przykładzie pominięty. Wyznacz maksymalne ugięcie konstrukcji u_z,max, moment zginający M_y na utwierdzeniu, obrót &svarphi;_2,y segmentu 2 oraz siłę reakcji R_Bz za pomocą analizy geometrycznie liniowej i analizy drugiego rzędu. Przykład weryfikacyjny opiera się na przykładzie przedstawionym przez Gensichena i Lumpego (patrz odniesienie).

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000,000	MPa
Materiał	Stal	Współczynnik Poissona	ν	0,300	-
Geometria	Konstrukcja	Długość segmentu 1	L₁	6,000	m
	Konstrukcja	Długość segmentu 2	L₂	1,200	m
	Przekrój poprzeczny	Wysokość	h	400,000	mm
		Szerokość	b	180,000	mm
		Grubość środnika	s	10,000	mm
		Grubość pasa	t	14,000	mm
Obciążenie		Siła osiowa	F_x	100,000	kN
Obciążenie		Siła poprzeczna	F_z	0,500	kN

Zginanie jednoosiowe z ciśnieniem

Rozwiązanie analityczne

Analiza geometrycznie liniowa

Na początku przeprowadzana jest analiza geometrycznie liniowa. W tym przypadku siła osiowa F_x nie jest uwzględniana. Problem można wtedy rozwiązać jako wspornik o długości L₁ obciążony wyłącznie siłą poprzeczną F_z. Maksymalne ugięcie u_z,max można obliczyć za pomocą całki Mohra i wyraża się ono wzorem:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Maksymalne ugięcie - geometrycznie liniowa analiza

Moment zginający na utwierdzeniu można obliczyć według następującego wzoru:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Maksymalny moment zginający - analiza geometrycznie liniowa

Obrót segmentu 2 φ_2,y oblicza się z warunku geometrycznego w następujący sposób:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Obrót segmentu 2 - geometrycznie liniowa analiza

Siłę reakcji w podporze przesuwnej R_Bz, uwzględniając zerowy wpływ siły osiowej F_x, można otrzymać z diagramu swobodnego ciała pokazanego na poniższym układu swobodnego.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Siła reakcji w połączeniu przesuwnym - geometrycznie liniowa analiza

Dowolne projektowanie konstrukcji

Analiza drugiego rzędu

Ze względu na niepomijalny wpływ siły osiowej F_x, należy rozważyć analizę drugiego rzędu. Zatem siła osiowa F_x jest uwzględniana i generuje dodatkowy udział w momencie zginającym. Problem można opisać za pomocą diagramu swobodnego ciała segmentów zgodnie z układu swobodnego. Nieznane siły reakcji można otrzymać z równań równowagi, a następnie zapisać wzór na moment zginający.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Moment zginający w segmencie 1 - analiza drugiego rzędu

Rozwiązanie można znaleźć za pomocą równania różniczkowego Eulera-Bernoulliego.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Równanie różniczkowe Eulera-Bernoulliego

Uwzględniając warunki brzegowe, można znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego i obliczyć maksymalne ugięcie konstrukcji.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Funkcja ugięcia dla segmentu 1 - analiza drugiego rzędu

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Maksymalne ugięcie konstrukcji - analiza drugiego rzędu

Moment zginający na utwierdzeniu można obliczyć według następującego wzoru:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Maksymalny moment zginający - analiza drugiego rzędu

Obrót segmentu 2 φ_2,y oblicza się z warunku geometrycznego w następujący sposób:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Obrót segmentu 2 - analiza drugiego rzędu

Siła reakcji w podporze przesuwnej R_Bz wynosi:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Siła reakcji w połączeniu przesuwnym - analiza drugiego rzędu

Oczywiste jest, że wpływ siły osiowej F_x jest znaczący. Całkowite ugięcie konstrukcji pod zadanym obciążeniem w przypadku analizy drugiego rzędu jest o około 18% większe niż w przypadku analizy geometrycznie liniowej. Porównanie analizy geometrycznie liniowej i analizy drugiego rzędu pokazano na wykresie, z uwzględnieniem stosunku sił obciążających F_z = F_x/200. Oczywiste jest, że różnica między tymi analizami jest tym większa, im większe jest obciążenie. Rozwiązanie analizy drugiego rzędu zbliża się do asymptoty poziomej. Rozwiązanie numeryczne daje wartość asymptoty poziomej F_x,cr = 650,873 kN.

Porównanie analizy geometrycznie liniowej (linia przerywana) i analizy drugiego rzędu (linia pełna)

Ustawienia RFEM i RSTAB

Modelowano w RFEM 5.05, RSTAB 8.05 oraz RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Liczba elementów wynosi 2 (jeden element na pręt)
Liczba przyrostów wynosi 5
Zastosowano izotropowy liniowo-sprężysty model materiału
Konstrukcja jest modelowana za pomocą prętów
Sztywność ścinania prętów jest pomijana

Wyniki

Analiza geometrycznie liniowa	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Stosunek	RSTAB 9	Stosunek
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Analiza geometrycznie liniowa	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RSTAB 8	Stosunek
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Analiza drugiego rzędu	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Stosunek	RSTAB 9	Stosunek
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Analiza drugiego rzędu	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RSTAB 8	Stosunek
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

701x

20x

Przykład weryfikacji 000048 | 1

Odniesienia

LUMPE, G. und GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

;