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03-01-2024

VE0048 | Flexión Uniaxial con Presión – Flecha Estructural y Análisis

Descripción

Una estructura hecha de perfiles en I está completamente empotrada en el extremo izquierdo y apoyada en un apoyo deslizante en el extremo derecho. La estructura consta de dos segmentos. En este ejemplo se desprecia el peso propio. Determine la deformación máxima de la estructura u_z,max, el momento flector M_y en el extremo empotrado, el giro &svarphi;_2,y del segmento 2 y la fuerza de reacción R_Bz mediante análisis geométricamente lineal y análisis de segundo orden. El ejemplo de verificación se basa en el ejemplo presentado por Gensichen y Lumpe (ver la referencia).

Material	Acero	Módulo de Elasticidad	E	210000.000	MPa
Material	Acero	Coeficiente de Poisson	ν	0.300	-
Geometría	Estructura	Longitud del Segmento 1	L₁	6.000	m
	Estructura	Longitud del Segmento 2	L₂	1.200	m
	Sección	Canto	h	400.000	mm
		Ancho	b	180.000	mm
		Espesor del Alma	s	10.000	mm
		Espesor del Ala	t	14.000	mm
Carga		Fuerza Axial	F_x	100.000	kN
Carga		Fuerza Transversal	F_z	0.500	kN

Flexión uniaxial con presión

Solución Analítica

Análisis Geométricamente Lineal

Primero se realiza el análisis geométricamente lineal. En este caso, la fuerza axial F_x no se tiene en cuenta. El problema se puede resolver como una ménsula de longitud L₁ cargada solo por la fuerza transversal F_z. La deformación máxima u_z,max se puede calcular usando la integral de Mohr y resulta en la expresión:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Flecha máxima - Análisis geométricamente lineal

El momento flector en el extremo empotrado se puede calcular según la siguiente fórmula:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Momento flector máximo - Análisis geométricamente lineal

El giro del segmento 2 φ_2,y se calcula a partir de la condición geométrica como sigue:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Giro del segmento 2 - Análisis geométricamente lineal

La fuerza de reacción en el apoyo deslizante R_Bz, considerando el efecto nulo de la fuerza axial F_x, se puede obtener del diagrama de cuerpo libre mostrado en el siguiente sketch.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Fuerza de reacción en la junta deslizante - Análisis geométricamente lineal

Diseño de estructura libre

Análisis de Segundo Orden

Debido al efecto no despreciable de la fuerza axial F_x, se debe considerar el análisis de segundo orden. Por lo tanto, la fuerza axial F_x se tiene en cuenta y produce una contribución adicional al momento flector. El problema se puede describir mediante el diagrama de cuerpo libre de los segmentos según el sketch. Las fuerzas de reacción desconocidas se pueden obtener de las ecuaciones de equilibrio y luego se puede escribir la fórmula del momento flector.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Momento flector en el segmento 1 - Análisis de segundo orden

La solución se puede encontrar mediante la ecuación diferencial de Euler-Bernoulli.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Ecuación diferencial de Euler-Bernoulli

Considerando las condiciones de contorno, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial y calcular la deformación máxima de la estructura.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Función de flecha para el segmento 1 - Análisis de segundo orden

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Flecha máxima de la estructura - Análisis de segundo orden

El momento flector en el extremo empotrado se puede calcular según la siguiente fórmula:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Momento flector máximo - Análisis de segundo orden

El giro del segmento 2 φ_2,y se calcula a partir de la condición geométrica como sigue:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Giro del segmento 2 - Análisis de segundo orden

La fuerza de reacción en el apoyo deslizante R_Bz resulta:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Fuerza de reacción en la unión deslizante - Análisis de segundo orden

Es obvio que la influencia de la fuerza axial F_x es considerable. La deformación total de la estructura bajo la carga prescrita en el caso del análisis de segundo orden es aproximadamente un 18% mayor que en el caso del análisis geométricamente lineal. La comparación del análisis geométricamente lineal y el análisis de segundo orden se muestra en el gráfico, considerando la relación de las fuerzas de carga F_z = F_x/200. Es obvio que la diferencia entre estos análisis es más considerable cuando la carga es mayor. La solución del análisis de segundo orden se aproxima a la asíntota horizontal. La solución numérica da el valor de la asíntota horizontal F_x,cr = 650.873 kN.

Comparación del análisis geométricamente lineal (línea discontinua) y el análisis de segundo orden (línea continua)

Configuración de RFEM y RSTAB

Modelado en RFEM 5.05, RSTAB 8.05 y RFEM 6.01, RSTAB 9.01
El número de elementos es 2 (un elemento por barra)
El número de incrementos es 5
Se utiliza un modelo de material elástico lineal isótropo
La estructura se modela usando barras
Se desprecia la rigidez a cortante de las barras

Resultados

Análisis Geométricamente Lineal	Solución Analítica	RFEM 6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

Análisis Geométricamente Lineal	Solución Analítica	RFEM 5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

Análisis de Segundo Orden	Solución Analítica	RFEM 6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

Análisis de Segundo Orden	Solución Analítica	RFEM 5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

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Ejemplo de verificación 000048 | 1

Referencias

LUMPE, G. y GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

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