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2024-01-03

VE0048 | Flessione Uniassiale con Pressione – Inflessione Strutturale e Analisi

Descrizione

Una struttura composta da profili a I è completamente incastrata all'estremità sinistra e vincolata con un supporto scorrevole all'estremità destra. La struttura è composta da due segmenti. In questo esempio, il peso proprio viene trascurato. Determinare la deflessione massima della struttura u_z,max, il momento flettente M_y all'estremità fissa, la rotazione &svarphi;_2,y del segmento 2 e la forza di reazione R_Bz mediante l'analisi geometricamente lineare e l'analisi del secondo ordine. L'esempio di verifica si basa sull'esempio introdotto da Gensichen e Lumpe (vedere il riferimento).

Materiale	Acciaio	Modulo di Elasticità	E	210000.000	MPa
Materiale	Acciaio	Coefficiente di Poisson	ν	0.300	-
Geometria	Struttura	Lunghezza Segmento 1	L₁	6.000	m
	Struttura	Lunghezza Segmento 2	L₂	1.200	m
	Sezione trasversale	Altezza	h	400.000	mm
		Larghezza	b	180.000	mm
		Spessore dell'anima	s	10.000	mm
		Spessore dell'ala	t	14.000	mm
Carico		Forza assiale	F_x	100.000	kN
Carico		Forza trasversale	F_z	0.500	kN

Flessione uniassiale con pressione

Soluzione Analitica

Analisi Geometricamente Lineare

Viene prima eseguita l'analisi geometricamente lineare. In questo caso, la forza assiale F_x non viene presa in considerazione. Il problema può quindi essere risolto come una mensola di lunghezza L₁ caricata solo dalla forza trasversale F_z. La deflessione massima u_z,max può essere calcolata utilizzando l'integrale di Mohr e risulta nell'espressione:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Inflessione massima - Analisi geometricamente lineare

Il momento flettente all'estremità fissa può essere calcolato secondo la seguente formula:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Momento flettente massimo - Analisi geometricamente lineare

La rotazione del segmento 2 φ_2,y è calcolata dalla condizione geometrica come segue:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Rotazione del segmento 2 – Analisi geometricamente lineare

La forza di reazione nel giunto scorrevole R_Bz considerando l'effetto nullo della forza assiale F_x può essere ottenuta dal diagramma di corpo libero mostrato nel seguente sketch.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Forza di reazione nel giunto scorrevole - Analisi geometricamente lineare

Progettazione libera di strutture

Analisi del Secondo Ordine

A causa dell'effetto non trascurabile della forza assiale F_x, si dovrebbe considerare l'analisi del secondo ordine. Pertanto, la forza assiale F_x viene presa in considerazione e produce un contributo aggiuntivo al momento flettente. Il problema può essere descritto dal diagramma di corpo libero dei segmenti secondo lo sketch. Le forze di reazione incognite possono essere ottenute dalle equazioni di equilibrio e quindi si può scrivere la formula del momento flettente.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Momento flettente nel segmento 1 - Analisi del secondo ordine

La soluzione può essere trovata con l'equazione differenziale di Eulero-Bernoulli.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Equazione differenziale di Eulero-Bernoulli

Considerando le condizioni al contorno, si può trovare la soluzione dell'equazione differenziale e calcolare la deflessione massima della struttura.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Funzione di inflessione per il segmento 1 - Analisi del secondo ordine

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Inflessione massima della struttura - Analisi del secondo ordine

Il momento flettente all'estremità fissa può essere calcolato secondo la seguente formula:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Momento flettente massimo - Analisi del secondo ordine

La rotazione del segmento 2 φ_2,y è calcolata dalla condizione geometrica come segue:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Rotazione del segmento 2 - Analisi del secondo ordine

La forza di reazione nel giunto scorrevole R_Bz risulta:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Forza di reazione nel giunto scorrevole - Analisi del secondo ordine

È evidente che l'influenza della forza assiale F_x è considerevole. La deflessione totale della struttura sotto il carico prescritto nel caso dell'analisi del secondo ordine è circa il 18% maggiore rispetto al caso dell'analisi geometricamente lineare. Il confronto tra l'analisi geometricamente lineare e l'analisi del secondo ordine è mostrato nel graph, considerando il rapporto delle forze di carico F_z = F_x/200. È evidente che la differenza tra queste analisi è più considerevole quando il carico è maggiore. La soluzione dell'analisi del secondo ordine si avvicina all'asintoto orizzontale. La soluzione numerica fornisce il valore dell'asintoto orizzontale F_x,cr = 650.873 kN.

Confronto tra l'analisi geometricamente lineare (linea tratteggiata) e l'analisi del secondo ordine (linea continua)

Impostazioni RFEM e RSTAB

Modellato in RFEM 5.05, RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Il numero di elementi è 2 (un elemento per asta)
Il numero di incrementi è 5
Viene utilizzato un modello di materiale elastico lineare isotropo
La struttura è modellata utilizzando aste
La rigidezza a taglio delle aste è trascurata

Risultati

Analisi Geometricamente Lineare	Soluzione Analitica	RFEM 6	Rapporto	RSTAB 9	Rapporto
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

Analisi Geometricamente Lineare	Soluzione Analitica	RFEM 5	Rapporto	RSTAB 8	Rapporto
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

Analisi del Secondo Ordine	Soluzione Analitica	RFEM 6	Rapporto	RSTAB 9	Rapporto
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

Analisi del Secondo Ordine	Soluzione Analitica	RFEM 5	Rapporto	RSTAB 8	Rapporto
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

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Esempio di verifica 000048 | 1

Bibliografia

LUMPE, G. e GENSICHEN, V. Valutazione dell'Analisi strutturale delle aste lineare e non lineare nella Teoria e nel Software: esempi di verifica, cause di errore, Teoria precisa. Ernst, 2014.

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