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2024-01-03

VE0048 | Flexão Uniaxial com Pressão – Flecha Estrutural e Análise

Descrição

Uma estrutura composta por perfis I está totalmente fixa na extremidade esquerda e inserida num apoio deslizante na extremidade direita. A estrutura é constituída por dois segmentos. O peso próprio é desprezado neste exemplo. Determine a deformação máxima da estrutura u_z,max, o momento fletor M_y na extremidade fixa, a rotação &svarphi;_2,y do segmento 2 e a força de reação R_Bz através da análise geometricamente linear e da análise de segunda ordem. O exemplo de verificação baseia-se no exemplo introduzido por Gensichen e Lumpe (ver a referência).

Material	Aço	Módulo de Elasticidade	E	210000,000	MPa
Material	Aço	Coeficiente de Poisson	ν	0,300	-
Geometria	Estrutura	Comprimento do Segmento 1	L₁	6,000	m
	Estrutura	Comprimento do Segmento 2	L₂	1,200	m
	Secção transversal	Altura	h	400,000	mm
		Largura	b	180,000	mm
		Espessura da Alma	s	10,000	mm
		Espessura do Banzo	t	14,000	mm
Carga		Força Axial	F_x	100,000	kN
Carga		Força Transversal	F_z	0,500	kN

Flexão uniaxial com compressão

Solução Analítica

Análise Geometricamente Linear

A análise geometricamente linear é realizada em primeiro lugar. Neste caso, a força axial F_x não é considerada. O problema pode então ser resolvido como uma consola de comprimento L₁ carregada apenas pela força transversal F_z. A deformação máxima u_z,max pode ser calculada utilizando o integral de Mohr e resulta na expressão:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

Flecha máxima – Análise geometricamente linear

O momento fletor na extremidade fixa pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Momento fletor máximo – análise geometricamente linear

A rotação do segmento 2 φ_2,y é calculada a partir da condição geométrica como se segue:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Rotação do segmento 2 – Análise geometricamente linear

A força de reação na junta deslizante R_Bz, considerando o efeito nulo da força axial F_x, pode ser obtida a partir do diagrama de corpo livre mostrado no seguinte sketch.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Força de reação na ligação de deslizamento – análise geometricamente linear

Dimensionamento de estrutura gratuito

Análise de Segunda Ordem

Devido ao efeito não desprezável da força axial F_x, a análise de segunda ordem deve ser considerada. Assim, a força axial F_x é tida em conta e produz uma contribuição adicional para o momento fletor. O problema pode ser descrito pelo diagrama de corpo livre dos segmentos de acordo com o sketch. As forças de reação desconhecidas podem ser obtidas a partir das equações de equilíbrio e, em seguida, a fórmula do momento fletor pode ser escrita.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Momento fletor no segmento 1 – análise de segunda ordem

A solução pode ser encontrada através da equação diferencial de Euler-Bernoulli.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

equação diferencial de Euler-Bernoulli

Considerando as condições de fronteira, a solução da equação diferencial pode ser encontrada e a deformação máxima da estrutura calculada.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Função de flecha para o segmento 1 – análise de segunda ordem

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Flecha máxima da estrutura – Análise de segunda ordem

O momento fletor na extremidade fixa pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Momento fletor máximo – análise de segunda ordem

A rotação do segmento 2 φ_2,y é calculada a partir da condição geométrica como se segue:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Rotação do segmento 2 – análise de segunda ordem

A força de reação na junta deslizante R_Bz resulta:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Força de reação na ligação de deslizamento – análise de segunda ordem

É óbvio que a influência da força axial F_x é considerável. A deformação total da estrutura sob a carga prescrita, no caso da análise de segunda ordem, é aproximadamente 18% maior do que no caso da análise geometricamente linear. A comparação entre a análise geometricamente linear e a análise de segunda ordem é mostrada no gráfico, considerando a razão das forças de carregamento F_z = F_x/200. É óbvio que a diferença entre estas análises é mais considerável quando a carga é maior. A solução da análise de segunda ordem aproxima-se da assíntota horizontal. A solução numérica fornece o valor da assíntota horizontal F_x,cr = 650,873 kN.

Comparação entre a análise geometricamente linear (linha tracejada) e a análise de segunda ordem (linha cheia)

Configurações do RFEM e RSTAB

Modelado no RFEM 5.05, RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
O número de elementos é 2 (um elemento por barra)
O número de incrementos é 5
É utilizado um modelo de material elástico linear isotrópico
A estrutura é modelada utilizando barras
A rigidez ao corte das barras é desprezada

Resultados

Análise Geometricamente Linear	Solução Analítica	RFEM 6	Rácio	RSTAB 9	Rácio
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Análise Geometricamente Linear	Solução Analítica	RFEM 5	Rácio	RSTAB 8	Rácio
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y(0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Análise de Segunda Ordem	Solução Analítica	RFEM 6	Rácio	RSTAB 9	Rácio
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Análise de Segunda Ordem	Solução Analítica	RFEM 5	Rácio	RSTAB 8	Rácio
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y(0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

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Exemplo de verificação 000048 | 1

Referências

LUMPE, G. e GENSICHEN, V. Avaliação da verificação de barras linear e não linear na teoria e software: exemplos de verificação, causas de erros, teoria exata. Ernst, 2014.

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