Descrição
A estrutura de secção em I encontra-se completamente fixada na extremidade esquerda e incorporada no apoio deslizante na extremidade direita. A estrutura é constituída por dois segmentos de acordo com o seguinte {%/#sketch Sketch]]. O peso próprio não é considerado neste exemplo. Determinar a flecha máxima da estrutura uz,máx, o momento fletor My na extremidade fixa, a rotação φ2,ydo segmento 2 e a força de reação RBz através da análise geométrica linear e da teoria de segunda de grandes deformações. O exemplo de verificação é baseado no exemplo introduzido por Gensichen e Lumpe (ver referência).
| Material | Aço de armadura | Módulo de elasticidade | E | 210000,000 | MPa |
| deformação transversal | ν | 0,300 | - | ||
| Geometria | Estrutura | Comprimento do segmento 1 | L1 | 6,000 | m |
| Comprimento do segmento 2 | L2 | 1,200 | m | ||
| Secção | Altura | [SCHOOL.] | 400,000 | mm | |
| Largura | B | 180,000 | mm | ||
| Espessura de alma | S | 10,000 | mm | ||
| Espessura de banzo | t | 14,000 | mm | ||
| Carga, | força axial | Fx | 100,000 | kN | |
| força transversal | fZ | 0,500 | kN | ||
Solução analítica
análise de primeira ordem
No inicio é realizada uma análise geometricamente linear. Neste caso, a força axialFx não é tida em consideração. O problema também pode ser resolvido como uma consola do comprimento L1 carregada apenas pela força transversal Fz. A flecha máxima uz,max pode ser calculada através da integral de Mohr' e resulta na expressão:
| F<sub>Y</sub> | Momento quadrático da secção em relação ao eixo y |
O momento fletor na extremidade fixa pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula:
A rotação do segmento 2 φ2,y é calculada a partir da condição geométrica da seguinte forma:
A força de reação na ligação deslizante RBz considerando o efeito nulo da força axial Fx pode ser obtida a partir do diagrama de corpo livre apresentado na seguinte {%/##estruturade corpos livres]].
Análise de segunda ordem
Por causa do efeito não desprezável da força axial Fx, a análise de segunda ordem deve ser considerada. Assim, a força axialFx é tida em consideração e produz outra contribuição para o momento fletor. O problema pode ser descrito pelo diagrama de corpo livre dos segmentos de acordo com o {%/#freebody Sketch]]. As forças de reação desconhecidas podem ser obtidas a partir das equações de equilíbrio e, em seguida, a fórmula do momento fletor pode ser escrita.
A solução pode ser encontrada pela equação diferencial de Euler-Bernoulli.
Tendo em consideração as condições de fronteira, é possível encontrar a solução na equação diferencial e calcular a flecha máxima da estrutura.
O momento fletor na extremidade fixa pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula:
A rotação do segmento 2 φ2,y é calculada a partir da condição geométrica da seguinte forma:
A força de reação na ligação deslizante RBz resulta:
É óbvio que a influência da força axialFx é considerável. A flecha total da estrutura sob o carregamento predefinido no caso da análise de segunda ordem é aproximadamente 18 % maior do que no caso da análise geométrica linear. A comparação da análise geométrica linear com a análise de segunda ordem é apresentada no {%>z = Fx/200. É óbvio que a diferença entre as análises é mais considerável quando o carregamento é maior. A solução da análise de segunda ordem aproxima-se da assíntota horizontal. A solução numérica dá o valor da assíntota horizontal Fx,cr = 650,873 kN.
Configuração do RFEM e do RSTAB
- Modelado no RFEM 5.05 e RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
- O número de elementos é 2 (um elemento por barra)
- O número de incrementos é 5
- É utilizado um modelo de material isotrópico linear elástico
- A estrutura foi modelada com barras
- A rigidez ao corte das barras é desprezada
Resultados
| Análise geometricamente linear | Solução analítica | RFEM 6 | Relação | RSTAB 9 | Relação |
| uz,máx [mm] | 0,743 | 0,743 | 1,000 | 0,743 | 1,000 |
| My (0) [kNm ] | 3,000 | 3,000 | 1,000 | 3,000 | 1,000 |
| φ2,y [mrad] | 0,619 | 0,619 | 1,000 | 0,619 | 1,000 |
| [SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]Bz [kN] | 0,000 | 0,000 | - | 0,000 | - |
| Análise geometricamente linear | Solução analítica | RFEM 5 | Relação | RSTAB 8 | Relação |
| uz,máx [mm] | 0,743 | 0,743 | 1,000 | 0,743 | 1,000 |
| My (0) [kNm ] | 3,000 | 3,000 | 1,000 | 3,000 | 1,000 |
| φ2,y [mrad] | 0,619 | 0,619 | 1,000 | 0,619 | 1,000 |
| [SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]Bz [kN] | 0,000 | 0,000 | - | 0,000 | - |
| Análise de segunda ordem | Solução analítica | RFEM 6 | Relação | RSTAB 9 | Relação |
| uz,máx [mm] | 0,878 | 0,878 | 1,000 | 0,878 | 1,000 |
| My (0) [kNm ] | 3,527 | 3,527 | 1,000 | 3,527 | 1,000 |
| φ2,y [mrad] | 0,732 | 0,732 | 1,000 | 0,732 | 1,000 |
| [SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]Bz [kN] | -0,073 | -0,073 | 1,000 | -0,073 | 1,000 |
| Análise de segunda ordem | Solução analítica | RFEM 5 | Relação | RSTAB 8 | Relação |
| uz,máx [mm] | 0,878 | 0,878 | 1,000 | 0,878 | 1,000 |
| My (0) [kNm ] | 3,527 | 3,527 | 1,000 | 3,527 | 1,000 |
| φ2,y [mrad] | 0,732 | 0,732 | 1,000 | 0,732 | 1,000 |
| [SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]Bz [kN] | -0,073 | -0,073 | 1,000 | -0,073 | 1,000 |
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