VE0048 | 单轴受压受弯

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2023年08月31日

009948

描述

一个工字形结构，左端完全固定，右端嵌入滑动支座中。该结构由两部分组成，该结构的名称分别按照下面的 sketch。示例中忽略自重。结构的最大挠度 u_z,max ，固定端上的弯矩 M_y ，节段 2 的转角 φ_2,y以及反力 R_Bz通过几何线性分析和二阶分析得出分析。验算示例是基于 Gensichen 和 Lumpe 提出的示例（参见参考资料）。

材料	钢	弹性模量	E	210000,000	MPa
材料	钢	泊松比	ν	0,300	<现在wiki>-
几何尺寸	结构	区段长度 1	L₁	6,000	m
	结构	分段长度2	L₂	1,200	m
	截面	高度	[SCHOOL.]	400,000	mm
		宽度	B	180,000	mm
		腹板厚度	S	10,000	mm
		翼缘厚度	t	14,000	mm
荷载		轴力	F_x	100,000	kN
荷载		横向力	F_z	0,500	kN

解析解

几何线性分析

首先进行几何线性分析。在这种情况下不考虑轴向力 F_x 。该问题可以被解决，长度为 L₁的悬臂梁只承受横向力 F_z 。最大挠度 u_z,max可以使用摩尔积分计算，结果表达式为：

最大挠度 - 几何线性分析

$u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 E I_{y}} = 0.743 m m$

[F12]<sub>y</sub>

截面关于 y 轴的二次弯矩

固定端弯矩计算公式如下：

最大弯矩 - 几何线性分析

$M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 k N m$

杆件 2 的转角 φ_2,y根据几何条件计算如下：

板件 2 的旋转 - 几何线性分析

$φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 m r a d$

考虑轴向力 F_x为零的影响时，滑动连接中的反力 R_Bz可以从下面的自由体图 sketch 。

滑动连接中的反力 - 几何线性分析

$R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000$

自由结构设计

二阶分析

由于轴向力 F_x的作用不可忽略，所以在二阶分析中加以考虑。轴力_Fx也被考虑在内，会产生另一个弯矩值。该问题可以根据通过区段的自由体曲线图进行描述。由平衡方程式得出未知的反力，然后得出弯矩公式。

分段 1 弯矩 - 二阶分析

$M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))$

求解可以采用Euler-Bernoulli微分方程。

Euler-Bernoulli微分方程

$\frac{d^{2} u_{z}}{d x^{2}} = - \frac{M_{y}}{E I_{y}}$

在考虑边界条件的情况下，可以找到微分方程的解，并计算结构的最大挠度。

杆件 1 的挠度函数 - 二阶分析

$u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos (α L_{1}) α x + \cos (α L_{1}) \sin (α x) - \sin (α L_{1}) \cos (α x) + \sin (α L_{1})]}{F_{x} [α L_{1} \cos (α L_{1}) + α L_{2} \cos (α L_{1}) - \sin (α L_{1})]}$

结构的最大挠度 - 二阶分析

$u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [α L_{1} \cos (α L_{1}) - \sin (α L_{1})]}{F_{x} [α \cos (α L_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin (α L_{1})]} = 0.878 m m$

固定端弯矩计算公式如下：

最大弯矩 - 二阶分析

$M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 k N m$

杆件 2 的转角 φ_2,y根据几何条件计算如下：

杆件 2 的转动 - 二阶分析

$φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 m r a d$

得出滑动连接中的反力 R_Bz ：

滑动连接中的反力 - 二阶分析

$R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 k N$

可见轴力F_x的影响非常显着。在二阶分析的情况下，在给定荷载下的结构的总挠度比几何线性分析的情况大约大 18 %。在考虑荷载作用力的比值 F_z = F_x/200 的情况下，对一阶分析和二阶分析进行比较。很明显，当荷载越大，这些分析之间的差异越显着。二阶分析解逼近水平渐近线。数值解给出水平渐近线 F_x,cr = 650.873 kN。

一阶分析（虚线）和二阶分析（实线）的比较

RFEM 和 RSTAB 设置

在 RFEM 5.05 和 RSTAB 8.05 以及 RFEM 6.01、RSTAB 9.01 中建模
单元数量为2（每杆一个单元）
增量数目为 5
使用各向同性线弹性材料模型
该结构是使用杆件建模的
忽略杆件的抗剪刚度

结果输出

解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	<现在wiki>-	0,000	<现在wiki>-

解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	<现在wiki>-	0,000	<现在wiki>-

解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1,000	-0.073	1,000

解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1,000	-0.073	1,000

模型 | 验证示例000048 | 1

参考文献

[1]	LUMPE, G. and GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorieund Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

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