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2024-01-03

VE0048 | 单轴受压弯 – 结构变形与分析

说明

一个由工字型截面组成的结构，左端完全固定，右端嵌入滑动支座。该结构由两个节段组成。本示例忽略自重。通过几何线性分析和二阶分析，确定结构的最大挠度 u_z,max、固定端的弯矩 M_y、节段 2 的转角 &svarphi;_2,y 以及反力 R_Bz。该验证示例基于 Gensichen 和 Lumpe 介绍的示例（参见参考文献）。

材料	钢材	弹性模量	E	210000.000	MPa
材料	钢材	泊松比	ν	0.300	-
几何尺寸	结构	节段长度 1	L₁	6.000	m
	结构	节段长度 2	L₂	1.200	m
	截面	高度	h	400.000	mm
		宽度	b	180.000	mm
		腹板厚度	s	10.000	mm
		翼缘厚度	t	14.000	mm
荷载		轴向力	F_x	100.000	kN
荷载		横向力	F_z	0.500	kN

单轴受压受弯

解析解

几何线性分析

首先进行几何线性分析。在此情况下，不考虑轴向力 F_x。然后，该问题可以看作一个仅承受横向力 F_z 的长度为 L₁ 的悬臂来解决。最大挠度 u_z,max 可以使用莫尔积分计算，并得出表达式：

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratic moment of the cross-section with respect to the y-axis

最大挠度 - 几何线性分析

固定端弯矩可按下式计算：

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

最大弯矩 - 几何线性分析

节段 2 的转角 φ_2,y 根据几何条件计算如下：

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

杆件 2 的转动 – 几何线性分析

考虑轴向力 F_x 的零效应，滑动铰支座中的反力 R_Bz 可以从以下自由体图所示的自由体图中获得。

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

滑动连接中的反力 - 几何线性分析

自由结构设计

二阶分析

由于轴向力 F_x 的影响不可忽略，应考虑二阶分析。因此，考虑了轴向力 F_x，它对弯矩产生了附加贡献。根据自由体图，该问题可以通过各节段的自由体图来描述。未知反力可以从平衡方程中获得，然后可以写出弯矩公式。

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

杆件 1 弯矩 – 二阶分析

解可以通过欧拉-伯努利微分方程求得。

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Euler-Bernoulli 微分方程

考虑边界条件，可以找到微分方程的解，并计算出结构的最大挠度。

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

杆件 1 的挠度函数 – 二阶分析

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

结构的最大挠度 – 二阶分析

固定端弯矩可按下式计算：

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

最大弯矩 - 二阶分析

节段 2 的转角 φ_2,y 根据几何条件计算如下：

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

杆件 2 转动 – 二阶分析

滑动铰支座中的反力 R_Bz 结果为：

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

滑动连接中的反力 – 二阶分析

显而易见，轴向力 F_x 的影响相当大。在给定荷载下，二阶分析情况下的结构总挠度比几何线性分析情况下大约大 18%。几何线性分析和二阶分析的比较在关系图中给出，考虑了荷载力之比 F_z = F_x/200。显然，当荷载更大时，这些分析之间的差异更显著。二阶分析解趋近于水平渐近线。数值解给出水平渐近线的值为 F_x,cr = 650.873 kN。

一阶分析(虚线)与二阶分析(实线)的比较

RFEM 和 RSTAB 设置

在 RFEM 5.05、RSTAB 8.05 和 RFEM 6.01、RSTAB 9.01 中建模
单元数量为 2（每个杆件一个单元）
增量数量为 5
使用各向同性线弹性材料模型
结构使用杆件建模
忽略杆件的剪切刚度

结果

几何线性分析	解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

几何线性分析	解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
u_z,max [mm]	0.743	0.743	1.000	0.743	1.000
M_y(0) [kNm]	3.000	3.000	1.000	3.000	1.000
φ_2,y [mrad]	0.619	0.619	1.000	0.619	1.000
R_Bz [kN]	0.000	0.000	-	0.000	-

二阶分析	解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

二阶分析	解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
u_z,max [mm]	0.878	0.878	1.000	0.878	1.000
M_y(0) [kNm]	3.527	3.527	1.000	3.527	1.000
φ_2,y [mrad]	0.732	0.732	1.000	0.732	1.000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1.000	-0.073	1.000

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验证示例000048 | 1

参考

LUMPE, G. 和 GENSICHEN, V. 线性和非线性杆件静力学的理论与软件评估：测试案例、误差原因、精确理论。Ernst，2014。

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