Requisitos específicos de estruturas de membranas

As estruturas de membranas são uma das tendências atuais na engenharia civil. São bonitos, leves, estaticamente eficazes e também desafiadores. Devido à sua rigidez à flexão zero, não é possível separar a forma de uma estrutura de membrana do pré-esforço. As formas não podem ser selecionadas livremente, tem de ser encontradas. Estas estruturas multi-dimensionais são fabricadas a partir de rolos de tecido ou folha. Os padrões de corte são formados a partir de tiras de material planas e, ao ligá-los e esticá-los na posição final, chega à estrutura pretendida. A determinação dos padrões de corte é um passo sensível no processo de planeamento e a sua qualidade influencia fortemente a qualidade de toda a estrutura. Este artigo lida em detalhe com os dois processos principais - a determinação da forma das estruturas de membrana e a determinação dos padrões de corte. É dada especial atenção às visões práticas e úteis para planeamento.

Form-Finding de estruturas de membranas

Neste capítulo, os princípios físicos da determinação de formas para estruturas de membranas são primeiro descritos. Além disso, é discutida a viabilidade do pré-esforço exigido pelo engenheiro civil. O texto é complementado com exemplos práticos para ilustrar as considerações e teorias.

O planeamento de estruturas de membranas difere significativamente da prática habitual. Uma vez que os materiais utilizados têm praticamente apenas uma resistência à tração, a forma não pode ser selecionada livremente. Não é possível separar a forma do pré-esforço. Neste caso, os aspectos estéticos e físicos dos edifícios estão basicamente ligados.

A forma de uma estrutura de membrana é determinada pelas condições de fronteira e pelo sistema de equilíbrio espacial. O processo de determinação da forma pode ser descrito através da Equação (1) abaixo. A forma de equilíbrio é encontrada se o trabalho virtual não muda (δW = 0), isto é, se a soma do trabalho virtual com o pré-esforço necessário σ e do trabalho virtual com a carga externa p (pressão positiva, peso próprio) é igual a zero.

Na equação acima, t representa a espessura do material utilizado, δê é a alteração da deformação do material e δu é a deformação sobre a superfície da estrutura Ω.

Além de alguns problemas teóricos a serem resolvidos, existe um problema fundamental. O principal problema é que é assumido um pré-esforço predefinido. No entanto, é geralmente excluído. Vzhledem k tomu, že membránové konstrukce se vyznačují dvojitou křivostí (tedy nenulovou Gaussovou křivostí), nemůže v nich existovat homogenní ortotropní předpětí. Teoricamente, é quase impossível um estado em que existe um valor de pré-esforço específico na direção da urdidura e um valor de pré-esforço preciso na direção da trama em cada ponto da membrana. A única exceção é o pré -esforço isotrópico, que pode ser alcançado se a forma for fisicamente real nas condições de fronteira dadas.

Assim, o pré-esforço em si deve ser encontrado. O objetivo do processo (determinação da forma) não é apenas encontrar uma forma desconhecida para um pré-esforço dado, mas também procurar uma forma desconhecida para um pré-esforço geralmente desconhecido. Este pré-esforço é aproximado por um valor especificado pelo engenheiro civil para as direções de urdidura e trama. Vários métodos foram desenvolvidos para a determinação de formulários. Se utilizar programas diferentes para a resolução de problemas, pode obter resultados mais ou menos diferentes para os mesmos dados de entrada. Depois, é claro, surge a questão de qual é a melhor solução. Alguns exemplos de diferentes estruturas e pré -esforços necessários são apresentados no texto seguinte.

Formas básicas de estruturas de membrana [1]

Como primeiro exemplo, utilizaremos um paraboloide hiperbólico (Figura 2 e Figura 3). Tanto o pré-esforço isotrópico como o orotrópico são aplicados. Para o pré-esforço isotrópico, resultam dois resultados diferentes do processo de determinação da forma (Figura 4 e Figura 5), os quais também são comentados brevemente. Para o pré-esforço isotrópico, está definido n_urdidura = n_trama = 2,00 kN/m. Para os cabos de borda é definida uma afundamento relativo do cabo s = 8,00%. Os resultados são ilustrados como vetores das forças internas principais utilizando uma escala de cores.

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Membrankonstruktion in Form eines hyperbolischen Paraboloids

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FE-Netz und Anordnung der Kett- (rot) und Schussfäden (grün)

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Vetores das forças internas principais n1, n2

Se forem obtidos dois resultados diferentes para os mesmos dados de entrada, surge naturalmente a questão sobre qual a solução mais adequada. Em teoria, as duas soluções estão corretas porque ambas atingiram um estado de equilíbrio e ambas também são possíveis. No entanto, a solução apresentada à esquerda mostra um pré-esforço uniforme que não está concentrado nas áreas de canto. Tais efeitos locais são considerados indesejáveis porque reduzem a capacidade de carga da estrutura e resultam em efeitos reológicos desiguais. Portanto, a solução apresentada à esquerda é vantajosa. Geralmente, é considerado favorável encontrar uma forma com um pré-esforço uniformemente distribuído e não concentrado localmente. A estrutura de membrana é assim bem pré-esforçada, e a sua capacidade de carga não é reduzida em algumas áreas pelo pré-esforço excessivo.

Como já foi mencionado, um pré -esforço isotrópico é o único pré -esforço homogéneo que pode ser alcançado com precisão. A precisão alcançável é praticamente limitada apenas pelo tamanho da malha de EF. No caso de uma malha definida aproximadamente, um estado de equilíbrio não pode ser aproximado exatamente e, portanto, os valores podem divergir dos pré-esforços introduzidos. No entanto, esses desvios devem estar dentro de um intervalo pequeno e também uma malha mais grosseira não leva necessariamente a um pré-esforço claramente mais concentrado.

As mesmas condições de fronteira são aplicadas para o outro cálculo. A estrutura recebe um pré-esforço ortotrópico de n_urdidura = 4,00 kN/m en_trama = 2,00 kN/m. Para os cabos de borda é definida uma afundamento relativo do cabo s = 8,00%. Como mencionado, um pré-esforço ortotrópico homogéneo exato não pode ser alcançado devido à dupla curvatura das estruturas de membrana. No entanto, é possível obter uma forma com um tal pré-esforço que se aproxima muito dos valores especificados (Figura 5). O resultado é um pré-esforço uniformemente distribuído que aproxima os valores de entrada. Neste caso, não há razão para concentrações de tensão significativas.

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Vetores das forças internas principais n1, n2

Para a maioria das formas, incluindo parabolóides hiperbólicas, membranas suportadas por arco ou pneumáticas (Figura 1), o pré-esforço resultante pode ser distribuído uniformemente sem a necessidade de concentrações locais de pré-esforço. Para formas cónicas elevadas, não é possível evitar áreas com pré-esforço concentrado. Qualquer concentração ocorre no ápice do cone, mas não é necessária nem desejada nos cantos inferiores (Figura 6).

Vetores das forças internas principais n1 , n2 e força axial N

Se um pré-esforço concentrado é necessário ou não pode ser deduzido intuitivamente a partir da seguinte fórmula (2). A equação representa um equilíbrio de forças num ponto onde n₁ e n₂ são as forças internas principais, 1/R₁ e 1/R₂ são as curvaturas na direção dessas forças internas principais, e p é qualquer carga externa.

No caso de uma estrutura anticlástica cujo peso próprio dificilmente influencia a forma encontrada, o equilíbrio de forças num nó é determinado pelo pré-esforço e as curvaturas na direção oposta. A questão agora é se a curvatura da estrutura tem de mudar tão rapidamente. Nesse caso, o pré-esforço concentrado localmente é inerente à estrutura, caso contrário, a concentração de pré-esforço não é de todo necessária para a estrutura. Este método pode ser aplicado aos nossos exemplos. As formas sem áreas cónicas (Figura 4, Figura 5, Figura 8 e Figura 10, exceto para as áreas cónicas) não necessitam de alterações rápidas na curvatura, razão pela qual podem ser pré-esforçadas uniformemente. As áreas cónicas mostram alterações rápidas das curvaturas radial e tangencial e, portanto, não é possível evitar uma alteração rápida do pré-esforço (Figura 6 e áreas cónicas na Figura 10).

Membrana apoiada em arco

Vetores das forças internas principais n1, n2 für die Abbildung der gleichmäßigen isotropen Vorspannung

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Estrutura de membrana

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Vetores das forças internas principais n1, n2

Duas estruturas mais complexas (Figura 7 e Figura 9) e os seus pré -esforços (Figura 8 e Figura 10) são apresentados no final deste capítulo. De forma a obter os melhores resultados precisos no processo de determinação da forma, bem como na análise estrutural, a estrutura deve ser modelada como um todo e não separada em partes. Assim, são consideradas a interação de todas as partes da estrutura e a redistribuição de forças devido às deformações.

Corte de estruturas de membranas

O processo de determinação dos padrões de corte é explicado no seguinte texto. Ele descreve as etapas individuais do processo e, em seguida, apresenta um exemplo prático para mostrar como as propriedades do material podem afetar as formas dos padrões de corte.

Como mencionado, a curvatura dupla é uma das características típicas das estruturas de membranas, razão pela qual a sua forma não pode ser desenvolvida num plano. No entanto, as membranas são feitas de rolos de tecido plano. Pro tento účel je nutné vygenerovat střihový vzor, tedy jednotlivé rovinné střihy, které aproximují své předlohy v prostoru. O processo de criação de um padrão de corte consiste em duas etapas. Primeiro, a estrutura da membrana é dividida em padrões de corte espaciais individuais por meio de linhas de corte; em seguida, é encontrada a melhor aproximação possível entre os padrões de corte planos e o espacial.

Teoricamente, uma estrutura de membrana pode ser dividida em tiras parciais por qualquer linha de corte. Por razões de ordem prática, no entanto, são geralmente utilizadas linhas de corte geodésicas (Figura 11, esquerda), as quais são preferidas devido ao eixo reto dos padrões de corte após o aplainamento (Figura 12, esquerda). As seções planas (Figura 11, direita) que não são retas após o aplainamento (Figura 12, direita) são utilizadas com menos frequência e isso resulta numa maior necessidade de material.

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Parabolóide hiperbólico dividido por linhas de secção geodésicas (esquerda) e secções planas (direita)

Padrões de corte criados por linhas de corte geodésicas (esquerda) e secções planas (direita)

O segundo passo para criar um padrão de corte é muito mais complexo: encontrar a melhor aproximação possível de um padrão de corte plano para o padrão de corte espacial correspondente. Para este processo, foram concebidos vários métodos; o mais antigo, historicamente, utilizava um método geométrico simplificado e os métodos posteriores, uma cartografia matemática avançada. Os métodos atuais são baseados na mecânica do contínuo, com uma análise não linear utilizando o método dos elementos finitos (MEF) para a determinação do padrão de corte.

O último método é considerado a solução mais geral para um problema de aproximação e permite considerar as propriedades do material do tecido ou da película utilizada. Se não pretende considerar as propriedades ortotrópicas do material têxtil ou a contração transversal, pode aplicar um material isotrópico com a relação de Poisson v = 0. No entanto, se as propriedades do material devem ser incluídas no processo de aplainamento do padrão de corte, a forma ideal do padrão de corte pode ser alcançada.

Ao testar os materiais têxteis utilizados para estruturas de membranas, determina-se geralmente a rigidez nas direções da urdidura e da trama e a relação de Poisson. A rigidez ao corte é geralmente negligenciada. O exemplo a seguir mostra como a rigidez ao corte afeta a forma do padrão de corte resultante. Para o exemplo, selecionamos um dos padrões de corte do meio do paraboloide hiperbólico (Figura 11). São utilizados dois materiais diferentes para o padrão de corte.

Os seguintes valores são fornecidos para o primeiro tecido tratado com superfície:

_Urdidura E = 1600 kN/m
_Trama E = 1200 kN/m
v_{Urdidura/trama} = 0,05
G = 400 kN/m

O outro material, uma malha têxtil sem tratamento de superfície, tem os seguintes valores:

_Urdidura E = 1600 kN/m
_Trama E = 1200 kN/m
v_{Urdidura/trama} = 0,05
G = 10 kN/m

A figura seguinte mostra os padrões de corte plano resultantes. Ao mover os centros de gravidade de ambos os padrões de corte para o mesmo ponto e aumentar a parte direita dos padrões de corte no recorte (Figura 14), a diferença entre as duas formas torna -se clara. Se considerar as propriedades do material, pode obter padrões de corte de melhor qualidade. Após a montagem da estrutura, o pré-esforço real fica mais próximo do pré-esforço pretendido.

Schnittmuster für das Gewebe mit Oberflächenbehandlung (oben) und für das Textilnetz ohne Oberflächenbehandlung (unten)

Unterschiedliche Form der Schnittmuster bei Verwendung verschiedener Materialien

Para a determinação dos padrões de corte, também é utilizada uma compensação, a qual é determinada por testes biaxiais e simula a dissolução do pré-esforço no tecido.

Um cálculo não linear de acordo com o método de elementos finitos fornece um padrão de corte plano energeticamente ótimo em relação ao espacial. Uma vez que é baseado em princípios físicos, este método de cálculo é o mais natural.

No processo de criação de um padrão de corte, também podem ser considerados outros requisitos de dimensionamento. Principalmente, é necessário manter comprimentos iguais das bordas adjacentes dos padrões de corte adjacentes. Geralmente, é necessária a aplicação de diferentes compensações para algumas bordas dos padrões de corte. Isso geralmente é chamado de descompensação das bordas. Em conformidade com estes requisitos de dimensionamento e utilizando a análise não linear, é encontrado um padrão de corte energicamente otimizado.

Resumo

O objetivo deste artigo foi explicar os principais processos envolvidos no planeamento de estruturas de membranas. Os princípios físicos devem ser explicados e as teses individuais ilustradas por exemplos. Os exemplos foram desenvolvidos no programa RFEM pela Dlubal Software GmbH [2].

Agradecimentos

Este artigo foi criado com o apoio do projeto FAST-J-15-2803.

Literatura

Autores

Ing. Rostislav Lang
doc. Ing. Ivan Němec, CSc.
Ing. Hynek Štekbauser
Instituto de Engenharia Mecânica, FAST VUT v Brně (Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Técnica de Brno), consultoria FEM Brno

Autor

Prof. Ing. Jiří Studnička, DrSc., ČVUT v Praze (Universidade Técnica da República Checa)