Besoins propres aux structures textiles

Article technique

Cet article se concentre sur les aspects inhérents au calcul des structures textiles. Le calcul de ce type de structure requiert une procédure précise, qui passe par la recherche de forme et la génération des patrons de coupe. Ces deux sujets sont l’objet de nombreux travaux de recherche et plusieurs méthodes sont possibles pour l’obtention du résultat désiré. Tout au long de cet article, ces méthodes seront étudiées d’un point de vue purement pratique. Vous trouverez en fin d’article des exemples qui viendront compléter les sujets abordés et qui illustreront les étapes de calcul.

Introduction

Les structures textiles sont en vogue dans le génie civil car elles sont esthétiques, légères, et efficaces. Les ingénieurs chargés du calcul de ces structures doivent faire face à de nombreux défis pendant les étapes de dimensionnement et de construction.

Lors de la conception de ce type de structure, la forme de la membrane tendue ne peut pas être choisie arbitrairement, elle doit être calculée. La génération de la forme appropriée passe par un processus de recherche de forme et par l’application d’une prétension. Même si les ingénieurs ont tendance à définir la prétension avec des valeurs précises dans la chaîne et la trame, la prétension résultante du processus de recherche de forme diffère souvent de la forme imaginée lors de l’entrée de données. Ces différences seront abordées dans cet article et illustrées par des exemples.

Lorsqu’une forme est proposée et que la structure textile est calculée à l’aide d’une analyse statique non linéaire, la génération des patrons de coupe doit être réalisée afin de construire la structure. Cette étape est souvent la plus sensible du processus entier de calcul. Dans cet article nous présenterons également les possibilités actuelles de génération des patrons de coupe. Ce chapitre sera également suivi d’exemples pratiques.

Recherche de forme

Comme mentionné ci-dessus, la forme des membranes et des câbles ne peut pas être choisie arbitrairement, elle doit être calculée. C’est une tâche essentielle pour que le calcul respecte les lois de la physique [1]. La forme résulte de conditions limites et d’un équilibre des forces 3D. Ces forces sont la somme de la prétension entrée. La pression dans les structures gonflables ou encore des charges comme le poids propre n’ont que peu d’impact. La manipulation des conditions limites et de la prétension permet de créer toute une variété de formes [2, 3].

Les conditions limites peuvent en général être remplies, alors que les prétensions voulues ne sont souvent pas atteintes. Lorsque le logiciel de recherche de forme est utilisé, la prétension en direction de la chaîne et de la trame est nécessaire. Tout de même, la prétension dans la membrane est souvent bien plus variée que les valeurs entrées. « Pourquoi cette prétension est différente de celle entrée ? » « Quelle prétension peut être atteinte ou non ? » sont des questions qui peuvent être posées. Autrement, si des outils de recherche de forme différents sont utilisés par un ingénieur en génie civil, ils résultent en général de prétensions différentes pour des valeurs d’entrée identiques. Nous pouvons également nous demander quelle solution est optimale ?

D’abord, considérons la possibilité de l’existence de prétensions définies. Les structures textiles ont une double courbure, la fonction gaussienne n’a donc pas une valeur de zéro. Ainsi, une prétension orthotrope avec une valeur unique pour la prétension dans la direction de chaîne et une valeur unique dans la direction de la trame ne peut pas exister dans la structure complète. La seule exception est la prétension isotrope qui peut exister si elle est stable dans les conditions définies. Lorsque deux valeurs différentes de prétension sont utilisées dans la chaîne et la trame, la forme résultante aura des contraintes de valeur proche aux valeurs d’entrée mais qui ne peuvent pas être égales, c’est théoriquement impossible.

Comme dit auparavant, il est possible d’avoir des prétensions isotrope précises dans la membrane à condition que sa forme soit physiquement possible. Cette solution existe et peut être réalisée pour la plupart des formes (Hypar, voûte, membrane gonflable, …) (Figure 01). Les prétensions isotropes ne sont physiquement pas stables pour les membranes de forme conique. La prétension isotrope est possible pour des formes bien plus compliquées, sans zones coniques.

Figure 01 - Formes courantes de toiles tendues [4]

Le premier exemple de recherche de forme est la structure Hypar (Figure 02) avec respectivement une prétension isotrope et orthotrope. Différents résultats de recherche de forme avec des exigences de prétension isotrope seront par la suite présentés et discutés.

Figure 02 - Structure textile de forme Hypar

Figure 03 - Orientation dans la direction de la chaîne (rouge) et de la trame (vert)

La prétension requise pour la première recherche de forme (Figure 03) est nwarp = nweft = 2,00 kN/m. Les résultats seront affichés comme vecteurs des efforts internes principaux grâce à un code couleur.

Les ingénieurs structure se retrouvent souvent dans des situations où différents logiciels offrent des solutions différentes pour des valeurs d’entrées identiques de recherche de forme. En pratique, c’est assez commun que la forme résultante ait des concentrations d’efforts dans les angles (Figure 04, modèle de droite). Tout de même, l’isotropie exacte peut également être atteinte (Figure 04, modèle de gauche).

Figure 04 - Vecteurs des efforts internes principaux n1, n2

Nous sommes en mesure de nous demander quel résultat est correct. D’un point de vue théorique, les deux formes sont en équilibre, les deux formes sont donc réalisables. Tout de même, l’exemple de gauche affiche une utilisation des matériaux et des effets sur le long terme, le fluage par exemple, plus uniformes. Lorsque des charges sont appliquées, les angles de la membrane de gauche se briseront après ceux de la membrane de droite. En général, trouver une forme avec prétension aussi lisse que possible, sans concentrations locales, est avantageux dans la mesure ou la membrane entière est en traction et la capacité portante n’est pas diminuée par une traction excessive.

Comme précisé auparavant, l’isotropie est l’unique prétension homogène qui peut être atteinte avec précision. Seule la taille du maillage peut nuire à sa précision. Pour les éléments plus larges, une déformation plus importante aura lieu car ces éléments ne peuvent pas approximer la forme correspondante avec autant de précision que dans un maillage fin. Cette variation devrait toujours rester faible et aucune concentration importante ne devrait apparaître.

Lorsqu’une prétension orthotrope est nécessaire pour la structure, la magnitude de la prétension dans la chaîne et la trame oscillera autour des valeurs d’entrée, n’atteindra jamais la magnitude exacte des valeurs d’entrée car c’est théoriquement impossible. Tout de même, la forme avec prétension dont les valeurs de résultat sont très similaires aux données d’entrée peut être atteinte. Dans notre cas, les valeurs d’entrée sont nwarp = 4,00 kN/m et nweft = 2,00 kN/m (Figure 05). Une fois encore, les concentrations doivent être évitées pour une telle définition orthotrope et les prétensions résultantes doivent être lisses.

Figure 05 - Vecteurs des efforts internes principaux n1, n2

Pour la plupart des formes (Hyper, voûte, etc.), les concentrations peuvent être évitées et la prétension distribuée dans la structure textile. Cependant, les régions où se concentrent la prétension ne peuvent pas être évitées pour les structures coniques avec points saillants et points ----. La concentration n’est que nécessaire dans la région la plus élevée, dans les angles elle est inutile (Figure 06).

Figure 06 – Vecteurs des efforts internes principaux n1, n2 et efforts normaux N

De plus, le besoin de concentration des forces dans la membrane peut être déduit avec une simple formule (1). Cette formule représente l’équilibre des forces, avec n1 et n2 les forces principales, 1/R1 et 1/R2 les courbures dans les directions de ces forces et p la charge externe (si définie dans le processus de recherche de forme).

n1 / R1 + n2 / R2 - p = 0 (1)

Les structures mises en tension n’ont pas de pression interne et leur poids propre n’a pas d’influence. L’équilibre est donné par des précontraintes perpendiculaires et courbures opposées. En général, nous pouvons évaluer si le besoin d’une modification des courbures existe pour la structure proposée. Si un tel besoin existe, la modification implique un changement important des forces. Les courbures tangentielles et radiales des formes coniques doivent être modifiées rapidement au sommet de la structure (Figure 06, Figure 10). Les courbures d’une membrane de forme Hypar n’ont nullement besoin d’être ajustées (Figure 04 à gauche, Figure 05, Figure 08, Figure 10 parties Hypar).

Figure 07 - Structure textile en voûte

Figure 08 - Prétension uniforme isotrope affichée par les efforts internes principaux n1, n2

Figure 09 - Structure textile composée de partie Hypar et coniques avec maillage EF

Figure 10 - Vecteurs des efforts internes principaux n1, n2

La recherche de forme étant le processus de mise en tension de la structure, des résultats plus précis seront obtenus si le système statique entier est inclus dans le calcul de recherche de forme (Figure 04, Figure 05, Figure 06, Figure 08, Figure 10). Cette interaction du système statique entier est encore plus important dans les analyses statiques non linéaires ultérieure.

En clôture de ce premier chapitre, nous abordons une dernière notion. En général, la recherche de forme est caractérisée par le calcul de la forme pour une prétension donnée. Ceci peut être décrit par la formule (2). Cette formule dit que la forme est en équilibre si aucune modification ne lui est apportée dans ses puissances virtuelles. Dans les puissances virtuelles internes à la membrane, la prétension σ est multipliée par les modifications dans la déformation δê de la membrane. Le travail des facteurs externes à la membrane, où p la charge externe agissant sur la structure est multipliée par les modifications de la déformation δu de la membrane [5, 6, 7].

- δW = δWint - δWext = t ∙ Ω∫ σ : δêdΩ - Ω∫ p ∙ δudΩ = 0 (2)

En plus des défis théoriques nécessaires à l’utilisation des méthodes numériques, un problème plus général se présente. La formule ci-dessus suppose que la prétension interne σ est connue. Cependant, hormis pour une prétension isotrope, il est quasiment impossible de définir à l’avance la prétension spatiale en équilibre. Ainsi, deux valeurs de prétension, une en direction de la chaîne et l’autre en direction de la trame sont définies même si elles ne peuvent pas être tout à fait atteintes. Ensuite, il est nécessaire de trouver la prétension en équilibre qui sera aussi près que possible que les données entrées. La recherche de forme ne doit donc pas être considérée comme un processus de recherche de formes inconnues, mais plutôt comme un processus de recherche de formes inconnues pour des prétensions inconnues approximées par deux valeurs définies.

Génération des patrons de coupe

Une caractéristique des structures textiles est leur double courbure. Ces structures sont fabriquées à partir de rouleaux de textile, la forme spatiale doit être convertie en patrons 2D. Ce processus est réalisé en deux étapes, d’abord la division de la forme spatiale par la découpe de lignes, puis la mise à plat des patrons prétendus en patrons à plat non tendus.

Nous pouvons, en théorie, utiliser n’importe quelle ligne de la structure pour la découpe. Mais pour des raisons pratiques, la ligne géodésique est communément utilisée. L’obtention de patrons droits suite à la mise à plat est un avantage connu des coupes géodésiques. Lorsque des coupes planaires sont faites, les patrons sont courbés. Ceci peut être prouvé avec l’exemple de deux Hypars, où une coupe géodésique (Figure 11, à gauche) et planaire (Figure 12, à droite) ont été utilisées. Les patrons résultants sont affichés dans la figure (Figure 12).

Figure 11 - Hypar divisés par coupes géodésiques (gauche) et par coupes planaires (droite)

Figure 12 - Patrons de coupe créés par coupes géodésiques (gauche) et par coupes planaires (droite)

La seconde étape de génération de patrons de coupe est une tâche bien plus complexe car l’approximation la plus exacte du patron spatial est calculée dans le plan. Plusieurs méthodes sont proposées pour cette analyse [8], certaines sont basées sur une approche géométrique simplifiée, d’autres sur un mappage mathématique plus avancé. Les méthodes récentes avancées sont basées sur l’analyse non linéaire par la méthode des éléments finis (EF) [9].

La dernière méthode est une approche plus générale lors de la réalisation de la mise à plat avec une analyse non linéaire permettant de considérer les propriétés de matériau. Si nous ne souhaitons pas considérer la nature orthotrope de la toile et sa contraction transverse dans le processus de mise à plat, nous pouvons utiliser un matériau isotrope dont le coefficient de Poisson v = 0. Cependant, si vous souhaitez utiliser les données de matériau pour le processus de mise à plat, il est possible d’obtenir des patrons encore plus précis.

Lors du test des matériaux textiles, en général seules les rigidités dans les directions de la chaîne et de la trame, ainsi que le coefficient de Poisson sont déterminés. Tout de même, la rigidité en cisaillement doit également être déterminée car elle affecte la forme finale du patron de coupe. Dans notre exemple, le patron de coupe de la structure de gauche ci-dessus (Figure 11) est utilisé avec différents matériaux pour la mise à plat. Les patrons résultants sont présentés ci-dessous (Figure 13, Figure 14).

Le premier matériau est une toile enduite au comportement orthotrope :
Echaîne = 1,600 kN/m,
Etrame = 1,200 kN/m,
vchaîne/trame = 0,05,
G = 400 kN/m.

Le deuxième matériau est une maille de tissu orthotrope sans enduit :
E chaîne = 1,600 kN/m,
E trame = 1,200 kN/m,
v chaîne / trame = 0,05,
G = 10 kN/m.

Lorsque nous observons les formes résultantes des patrons entiers (Figure 13), ils paraissent identiques, mais lorsque nous agrandissons la vue, la différence est claire (Figure 14). À la vue des données de matériau disponibles, nous pouvons assurer que la qualité des patrons peut être améliorée.

Figure 13 - Patrons de toile enduite (au-dessus) et maille de tissue sans enduit (en-dessous)

Figure 14 - Détails des patrons en toile enduite et maillage de tissu sans enduit

Avec le processus de mise à plat, la compensation estimée par le test bi-axial est également appliquée pour simuler la libération de la prétension de la membrane.
Grâce à l’analyse géométrique non linéaire, et avec ou sans considération du matériau orthotrope, nous pouvons calculer les patrons à plat des patrons 3D avec une différence minime entre les deux. Ces calculs aux éléments finis sont la méthode la plus naturelle et correspondent avec les méthodes d’analyse de structures civiles.

D’autres exigences peuvent être prises en compte lors des calculs de la minimisation de l’énergie de déformation. L’une des exigences les plus courantes faites aux ingénieurs structure est que les longueurs des bordures des patrons voisins soient identiques. Une autre exigence peut être la définition d’une compensation spéciale pour certaines bordures du patron, ce qui est souvent appelé la décompensation. Avec l’analyse non linéaire, la solution est trouvée avec une énergie de déformation minime et en considérant les besoins de construction qui sont nécessaires à l’étape de construction.

Conclusions

Cet article avait pour objectif d’étudier la recherche de forme et la génération de patrons de coupe d’un point de vue pratique. Ces deux processus étant cruciaux pour le calcul des structures en toile tendue, la distribution des prétensions calculées par la recherche de forme a été discutée, la méthode actuelle pour la génération de patrons de coupe avec minimisation de l’énergie de distortion a été présentée. Les exemples calculés dans le logiciel de calcul de structure RFEM [10] ont complété le texte.

L’article n’avait pas pour objectif de dicter quelle méthode doit être utilisée, mais plutôt de présenter les méthodes possibles pour la conception de la forme d’une toile tendue et la découpe des patrons.

References

[1]  Otto, F. & Rasch, B. (1996). Finding Form: Towards an Architecture of the Minimal. Fellbach: Edition Axel Menges.
[2]  Forster, B. & Mollaert, M. (2004). European Design Guide for Tensile Surface Structures. Brüssel: TensiNet.
[3]  Veenendaal, D. & Block, P. (2012). An Overview and Comparison of Structural Form Finding Methods for General Networks. International Journal of Solids and Space Structures 49, pages 3741 - 3753. Amsterdam: Elsevier.
[4]  Architen Landrell: Basic Theories of Tensile Fabric Architecture.
[5]  Bletzinger, K.-U. & Ramm, E. (1999). A General Finite Element Approach to the Form Finding of Tensile Structures by the Updated Reference Strategy. International Journal of Solids and Space Structures 14, pages 131 - 146. Amsterdam: Elsevier.
[6]  Wüchner, R. & Bletzinger, K.-U. (2005). Stress‐Adapted Numerical Form Finding of Pre‐Stressed Surfaces by the Updated Reference Strategy. International Journal for Numerical Methods in Engineering 64, pages 143 - 166. Amsterdam: Elsevier.
[7]  Němec, I. et al. (2010). Finite Element Analysis of Structures: Principles and Praxis. Aachen: Shaker.
[8]  Moncrieff, E. & Topping, B.-H.-V. (1990). Computer Methods for the Generation of Membrane Cutting Patterns. Computers and Structures 37, pages 441 - 450. Amsterdam: Elsevier.
[9]  Bletzinger, K.-U. & Linhard, J. & Wüchner, R. (2010). Advanced Numerical Methods for the Form Finding and Patterning of Membrane Structures. CISM International Centre for Mechanical Sciences 519, pages 133 - 154. Berlin: Springer.
[10]  Dlubal Software: Solutions pour le calcul de structures textiles.

Auteurs

Ing. Rostislav Lang
doc. Ing. Ivan Němec, CSc.
Ing. Hynek Štekbauser
Institute of Structural Mechanics, FAST VUT v Brně (Faculty of Civil Engineering, Brno University of Technology), FEM consulting Brno

Relecture

Prof. Ing. Jiří Studnička, DrSc., ČVUT v Praze (Czech Techncal University de Prague)

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