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Hedi Boukraa, M.Sc.

2025-08-07

Armadura necessária em encaixes com paredes internas ásperas: abordagem de cálculo e etapas de dimensionamento

O artigo trata da derivação completa e dimensionamento da armadura necessária para fundações em sapatas. São analisados tanto os estribos horizontais quanto os verticais.

A fundação a dimensionar é uma fundação de encaixe com lados interiores do encaixe rugosos. O pilar conectado tem uma seção transversal retangular com as dimensões 30 cm × 40 cm. O dimensionamento é realizado segundo a DIN EN 1992-1-1. Como materiais são utilizados betão com a classe de resistência C 35/45 e aço de armadura do tipo B500S(A). O recobrimento de betão corresponde ao requisito mínimo segundo a norma, projetado para as classes de exposição XC3, considerando um modo de execução sobre subsolo preparado.

Dimensões da laje de fundação e do encaixe

Todas as dimensões devem ser indicadas no separador Geometria. A laje possui uma largura de 3.30 m, um comprimento de 2.60 m e uma espessura de 0.36 m. O encaixe tem uma altura de 1.31 m; a profundidade de embutimento do pilar é igualmente de 1.31 m. A excentricidade do pilar é de −0.30 m na direção x, referida ao centro da laje de fundação.

Detalhes geométricos de uma laje de fundação com encaixe, com foco nos aspetos técnicos da estrutura.

Geometria de laje de fundação e encaixe ortogonal

Vista superior da fundação de encaixe mostra dimensões detalhadas para planeamento da construção

Vista superior de fundação de encaixe com dimensões

Para a disposição dos estribos horizontais no encaixe são possíveis duas variantes:

Estribos que envolvem o pilar
Estribos totalmente contidos numa parede da fundação de encaixe

Para este exemplo são utilizados estribos envolventes. No separador Armadura devem ser indicados o material do aço de armadura, o tipo de armadura da laje, bem como o tipo de disposição dos estribos horizontais no encaixe.

Vista detalhada das configurações de armadura de uma fundação de encaixe numa interface de software CAD.

Sapatas de encastrar | Separador de armadura

Casos de carga

Estão disponíveis os esforços internos dos seguintes casos de carga para as verificações da capacidade de carga:

Caso de carga	P_Z,d [kN]	P_X,d [kN]	P_Y,d [kN]	M_X,d [kNm]	M_Y,d [kNm]
1	300	-50	20	100	250
2	100	0	0	0	327
3	500	0	0	150	-150

Armadura necessária do encaixe

Armadura horizontal externa necessária

A combinação de cargas 1 (CL1+CL2) conduz à maior área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe e é, portanto, determinante. Resultam as seguintes forças horizontais nas paredes da fundação de encaixe:

\{\begin{cases} H_{t, x} = \frac{6}{5} \cdot \frac{M_{y}}{d} + \frac{6}{5} \cdot H_{x} = \frac{6}{5} \cdot \frac{250 kNm}{1.310 m} + \frac{6}{5} \cdot 50 kN = 289.01 kN \\ H_{t, y} = \frac{6}{5} \cdot \frac{M_{x}}{d} + \frac{6}{5} \cdot H_{y} = \frac{6}{5} \cdot \frac{100 kNm}{1.310 m} + \frac{6}{5} \cdot 20 kN = 115.60 kN \end{cases}

Forças horizontais nas paredes de encaixe a partir de combinação de cargas 1

Este estribo é solicitado por dois tipos diferentes de esforços de tração: por um lado, surge uma força de tração devido à flexão da parede da fundação de encaixe, que ocorre perpendicular à força horizontal considerada. Por outro lado, atua uma força de tração devido à tração direta da parede, que está orientada paralelamente à força horizontal considerada.

Da força horizontal H_t,x resultam então duas forças de tração nos estribos externos:

Na parede na direção x surge a força de tração T_H,x devido ao esforço de tração.
Na parede na direção y resulta a força de tração T_{H,out,x(Wand)} devido à flexão desta parede ortogonal.

Da força horizontal H_t,y resultam igualmente:

Na parede na direção y surge a força de tração T_H,y devido ao esforço de tração.
Na parede na direção x resulta a força de tração T_{H,out,y(Wand)} devido à flexão desta parede ortogonal.

Esforços de tração nas estribos externos

Para a determinação da força de tração máxima no estribo, ambas as parcelas, de flexão e de tração, devem ser somadas. Isto é necessário, pois suas causas – ou seja, as componentes horizontais atuantes simultaneamente (H_t,x e H_t,y) – provêm do mesmo caso de carga e, portanto, são eficazes simultaneamente.

Área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x

A força horizontal superior H_t,x pode ser dividida de modo que metade atue em cada um dos pontos de quarto da extensão longitudinal do pilar na direção y.

Análise detalhada dos momentos internos num modelo estrutural com diferentes configurações de carga.

Determinação do momento interno

Nas posições de altura dos dois estribos é dividida, em cada caso, metade da metade da força horizontal de tração H_t,x. A força de tração proporcional nos estribos externos é então:

T_{h, x} = \frac{|H_{t, x}|}{4} = \frac{|289.01 kN|}{4} = 72.25 kN

Força de tração proporcional T_h,x

A área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x resulta assim em:

A_{sw, h, req} (H_{t, x}) = \frac{T_{h, x}}{f_{yd}} = \frac{72.25 kN}{43.47 kN / {cm}^{2}} = 1.66 cm ²

Área de armadura necessária para estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x

Área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção y

A área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção y H_t,y resulta analogamente à determinação a partir de H_t,x:

T_{h, y} = \frac{|H_{t, y}|}{4} = \frac{|115.60 kN|}{4} = 28.90 kN

A_{sw, h, req} (H_{t, y}) = \frac{T_{h, y}}{f_{yd}} = \frac{28.90 kN}{43.47 kN / cm ²}

Área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção y

Área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de H_t,x

Se considerarmos o canto superior direito isoladamente (ver figura acima), este deve estar em equilíbrio de forças. As forças horizontais internas devem ser equilibradas com a força horizontal externa aplicada. Como neste trecho considerado não atuam forças verticais externas, basta agora encontrar um equilíbrio rotacional. Primeiramente, é formada a soma dos momentos em torno do ponto P. Para isso, são calculados os braços de alavanca:

a_{2, y} = \frac{c_{y}}{4} = \frac{0.30 m}{4} = 0.08 m

a_{3, y} = \frac{c_{y}}{2} + a_{ty} + c_{(k)} + \frac{d_{s, h}}{2} = \frac{0.30 m}{2} + 0.10 m + 0.05 m + \frac{0.014 m}{2} = 0.31 m

a_{4, y} = \frac{d_{b, y}}{2} - c_{(k)} - \frac{d_{s, h}}{2} = \frac{1.24 m}{2} - 0.05 m - \frac{0.014 m}{2} = 0.56 m

Determinação de braços de alavanca

O momento em torno do ponto P calcula-se então como:

M_{Ed} = \frac{|H_{t, x}|}{4} \cdot (a_{3, y} + a_{4, y}) - \frac{|H_{t, x}|}{2} \cdot a_{2, y} = \frac{|289.01 kN|}{4} \cdot (0.31 m + 0.56 m) - \frac{|289.01 kN|}{2} \cdot 0.08 = 52.02 kNm

Momento de dimensionamento de flexão da parede do encaixe na direção y

Este momento de dimensionamento à flexão M_Ed deve ser equilibrado por um momento oposto. Este surge através da força de compressão do betão no lado interior comprimido da parede da fundação de encaixe na direção y, com o braço de alavanca z em relação ao ponto de rotação P. Para determinar a deformação de compressão do betão necessária para isso, procede-se da seguinte forma:

Assume-se que a tensão do betão está distribuída uniformemente pela zona de compressão.
Começando com uma deformação do betão de 0,0 ‰, esta é aumentada gradualmente até que o momento interno resultante corresponda ao momento de dimensionamento à flexão M_Ed.

Simultaneamente, assume-se que o aço no lado externo da parede da fundação de encaixe já atingiu a sua deformação máxima. Assim que o momento interno calculado for maior que o momento de dimensionamento à flexão M_Ed, a iteração é encerrada.

Ao final da iteração foram alcançados os seguintes valores:

Designação	Valor
Área de armadura necessária A_s,w,erf	5.60 cm²
Momento de dimensionamento à flexão M_Ed	52.02 kNm
Braço de alavanca das forças internas z	0.21 m
Altura da zona de compressão utilizada x	0.04 m
Deformação da armadura no lado tracionado ε_s	18.90 ‰
Tensão da armadura no lado tracionado σ_s	449.899 N/mm²
Deformação da armadura no lado comprimido ε_s,c	1.2 ‰
Tensão da armadura no lado comprimido σ_s,c	247.515 N/mm²
Deformação do betão no lado comprimido ε_c	-3.5 ‰
Tensão do betão no lado comprimido σ_c	-19.833 N/mm²
Força de compressão do betão F_c	252.07 kN
Força de tração F_s	252.07 kN

A área de armadura necessária no encaixe devido à flexão é de 5.60 cm². Esta força de tração por flexão não se distribui uniformemente pelos dois estribos horizontais, mas segue a mecânica das escoras de compressão. Mais informações podem ser encontradas no manual de Fundações de betão.

RFEM 6 / RSTAB 9 | Fundações de betão

Representação de um ângulo de dispersão de carga num elemento estrutural em engenharia civil.

Ângulo de distribuição de carga

Para a determinação da parcela da força de tração absorvida pelo estribo externo do encaixe, pode-se orientar pelos seguintes passos:

Determinação dos catetos vertical e horizontal da escora de compressão do betão dentro da parede da fundação de encaixe:

\begin{array}{l} a_{5, x} = d_{x (wall)} - k_{x (wall)} - \frac{X_{x (wall)}}{4} = 0.223 m - 0.832 \cdot \frac{0.04 m}{4} = 0.21 m \\ a_{6, y} = \frac{d_{b, y}}{2} - \frac{3}{8} \cdot c_{y} - c_{(k)} - \frac{d_{s, h}}{2} = \frac{1.24 m}{2} - \frac{3}{8} \cdot 0.30 m - 0.05 m - \frac{0.014 m}{2} = 0.45 m \end{array}

Braços de alavanca verticais e horizontais da escora de compressão de betão dentro da parede do encaixe

Ângulo de propagação da carga dentro da parede da fundação de encaixe:

θ_{1, x} = \arctan (\frac{a_{5, x}}{a_{6, y}}) = \arctan (\frac{0.21 m}{0.45 m}) = 25.39 °

Ângulo de distribuição de carga dentro da parede de encaixe

Força de compressão proporcional nos estribos externos devido à flexão da parede da fundação de encaixe:

P_{1, x (wall)} = \frac{|H_{t, x}|}{4 \cdot \sin (θ_{1, x})} = \frac{|289.01 kN|}{4 \cdot \sin (25.39 °)} = 168.48 kN

Força de compressão proporcional em estribos externos devido à flexão da parede de encaixe

Força de tração proporcional nos estribos externos devido à flexão da parede da fundação de encaixe:

T_{h, out, x (wall)} = P_{1, x (wall)} \cdot \cos (θ_{1, x}) = 168.48 kN \cdot \cos (25.39 °) = 152.20 kN

Força de tração proporcional em estribos externos devido à flexão da parede de encaixe

A área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de Ht,x resulta em:

A_{sw, h, out, req} (M_{Ed} | H_{t, x}) = \frac{T_{h, out, x (wall)}}{f_{yd}} = \frac{152.20 kN}{43.47 kN / cm ²} = 3.50 cm ²

Área de armadura necessária externa horizontal em estribos externos no encaixe devido à flexão de Ht,x

Analogamente à parede da fundação de encaixe na direção y, a ruptura por flexão da pareda da fundação de encaixe na direção x devido a H_T,y é calculada e é determinada a área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de H_t,y A_sw,h,out,erf (M_Ed|H_t,y). Esta resulta em 0.76 cm².

Conforme explicado acima, as parcelas de flexão e de tração devem ser somadas para determinar a área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe:

A área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de H_t,x A_sw,h,out,erf(M_Ed|H_t,x) é somada à área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção y A_sw,h,erf(H_t,y).
A área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de H_t,y A_sw,h,out,erf(M_Ed|H_t,y) é somada à área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x A_sw,h,erf(H_t,x).

A_{sw, \erf, B, h} = \{\begin{array}{l} (A_{sw, h, \erf} (H_{t, x}) + A_{sw, h, out, req} (M_{Ed} | H_{t, y}) = 1.66 cm ² + 0.76 cm ² = 2.42 cm ² \\ (A_{sw, h, \erf} (H_{t, y}) + A_{sw, h, out, req} (M_{Ed} | H_{t, x}) = 0.66 cm ² + 3.50 cm ² = 4.17 cm ² \end{array} = 4.17 cm ²

Área de armadura necessária para estribos exteriores horizontais no encaixe

=== Armadura horizontal necessária na direção y ===> Primeiramente, é considerado o estribo horizontal que se encontra na direção y no lado externo da parede da fundação de encaixe. A combinação de cargas 2 (CL1+CL3) conduz à maior área de armadura necessária dos estribos horizontais na direção y e é, portanto, determinante.

Visualização de modelo de estrutura 3D: cálculo de armadura na direção y com vista detalhada de elementos.

Determinação da armadura na direção y

Da figura acima pode-se deduzir que se assume que apenas forças horizontais na direção x conduzem a forças de tração neste estribo. Mais informações podem ser encontradas no manual de Fundações de betão.

A área de armadura necessária dos estribos horizontais na direção y no encaixe devido à flexão por H_t,x resulta da armadura de flexão total necessária da parede na direção y, deduzida da parcela já absorvida pelos estribos externos. Para a combinação de cargas 2 (CC2), a área de armadura total necessária devido à flexão na direção y é de 5.83 cm². Desta, 3.63 cm² já são absorvidos pelos estribos horizontais externos. Assim, resulta para os estribos horizontais na direção y no encaixe devido à flexão por H_t,x uma área de armadura ainda necessária de:

A_{sw, h, in, req} (M_{Ed} | H_{t, x}) = A_{sw, h, req} (M_{Ed} | H_{t, x}) - A_{sw, h, out, req} (M_{Ed} | H_{t, x}) = 5.83 cm ² - 3.63 cm ² = 2.20 cm ²

Área de armadura necessária dos estribos horizontais na direção y no encaixe devido à flexão de H_t,x

A área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x também deve ser considerada. Ela é de:

A_{sw, h, req} (H_{t, x}) = \frac{T_{h, x}}{f_{yd}} = \frac{74.89 kN}{43.47 kN / {cm}^{2}} = 1.72 cm ²

Área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x

A área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe na direção y é o máximo entre A_sw,h,erf(H_t,x) e A_sw,h,in,erf (M_Ed|H_t,x):

A_{sw, req, B, h, y} = \max \{\begin{array}{l} A_{sw, h, req} (H_{t, x}) = 1.72 cm ² \\ A_{sw, h, in, req} (M_{Ed} | H_{t, x}) = 2.20 cm ² \end{array} = 2.20 cm ²

Área de armadura necessária de estribos horizontais no encaixe na direção y

Armadura horizontal necessária na direção x

Analogamente à armadura na direção y, apenas forças horizontais que atuam perpendicularmente à direção do ramo do estribo conduzem a uma força de tração no estribo. A CC3 (CL1+CL4) é aqui determinante.

Determinação da armadura na direção x

A área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe na direção x é o máximo entre A_sw,h,erf(H_t,y) e A_sw,h,in,erf(M_Ed|H_t,y):

Armadura vertical necessária na direção x

Para a determinação da armadura de borda vertical da parede da fundação de encaixe na direção x, é considerado o caso de carga que conduz à força horizontal máxima na direção x (CC2). A força horizontal H_t,x = 299.54 kN é dividida uniformemente por ambos os painéis de parede da fundação de encaixe.

A inclinação da escora de compressão do betão, que se forma diagonalmente através do painel de parede da fundação de encaixe na direção x, é determinada da seguinte forma:

Modelo de forças para determinação da força de tração vertical na borda

Com isso, pode ser determinada a força de tração na borda: Apenas metade da força de tração na borda é considerada, pois o estribo é executado com dois ramos. A armadura necessária resultante é de:

A_{sw, req, B, v, x} = 0.5 \cdot \frac{T_{v, x}}{f_{yd}} = 0.5 \cdot \frac{183.50 kN}{43.347 kN / cm ²} = 2.11 cm ²

Área de armadura necessária de estribos verticais no encaixe na direção x

A área de armadura necessária dos estribos verticais no encaixe na direção y é calculada da mesma forma. Resulta uma área de armadura necessária A_sw,erf,B,v,y de 0.93 cm².

A armadura necessária do encaixe está listada na tabela de resultados "Fundações de betão" na seção "Armadura na fundação". Adicionalmente, a armadura pode ser exibida graficamente através do navegador de resultados.

Introdução da armadura do encaixe

Para os estribos externos devem ser definidas duas superfícies de distribuição. A primeira superfície de distribuição estende-se por um terço da altura da fundação de encaixe. A segunda superfície de distribuição corresponde à parcela restante da altura da fundação de encaixe. Por superfície de distribuição são utilizados quatro estribos com um diâmetro de 14 mm. A disposição é idêntica para os dois restantes grupos de estribos nas direções x e y.

Para cada borda dos painéis de parede da fundação de encaixe nas direções x e y são escolhidos dois estribos. Adicionalmente, as paredes da fundação de encaixe são armadas com armadura secundária por meio de estribos verticais com espaçamento de 20 cm.

Entrada de armadura de encaixe

As duas imagens seguintes mostram o layout e a descrição da armadura do encaixe:

Estribo horizontal | Disposição e descrição

Armadura vertical na direção y | Disposição e descrição

Autor

Hedi trabalha em Product Engineering com foco em betão armado e também atua na garantia de qualidade.

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Armadura necessária em encaixes com paredes internas ásperas: abordagem de cálculo e etapas de dimensionamento

Dimensões da laje de fundação e do encaixe

Casos de carga

Armadura necessária do encaixe

Armadura horizontal externa necessária

Área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção x

Área de armadura necessária dos estribos horizontais no encaixe devido à força de tração na direção y

Área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de Ht,x

Armadura horizontal necessária na direção x

Armadura vertical necessária na direção x

Introdução da armadura do encaixe

Área de armadura necessária dos estribos horizontais externos no encaixe devido à flexão de H_t,x