Apoio de cálculo para o dimensionamento de madeira - Estado limite de utilização, pressão perpendicular às fibras e redução de força de corte

Neste artigo, será apresentado em detalhe o procedimento para a verificação da deformação, a verificação da compressão perpendicular às fibras, bem como a redução do esforço transverso com base no Eurocódigo 5. A atribuição dos apoios de cálculo é descrita no manual:

• Dimensionamento de madeira - apoios de dimensionamento e flecha

Estado limite de utilização

A segmentação para a verificação da deformação não será abordada aqui. É apresentada em detalhe neste artigo:

• Verificação da flecha para elementos de barra

Verificação da compressão perpendicular

Fundamentos

Os apoios de cálculo são atribuídos a uma barra ou a um conjunto de barras e não a um apoio de nó. É certo que os apoios de nó fornecem reações de apoio unívocas, que podem ser utilizadas, por exemplo, para a verificação "compressão perpendicular às fibras". No entanto, em estruturas espaciais, os apoios muitas vezes não são representados por apoios de nó. Exemplos típicos são construções nas quais uma barra se apoia noutra barra ou numa superfície. Nesses casos, não está disponível uma reação de apoio direta de um apoio de nó para a verificação. A força de compressão necessária é, portanto, determinada a partir dos esforços internos das barras ligadas ao nó. Isto permite considerar tanto os apoios clássicos como as situações complexas de apoio espacial.

Situação de apoio

Devido à simplificação na criação do sistema estrutural, a situação de apoio não está claramente definida em nós com várias barras. Assim, o programa não pode determinar automaticamente a força de compressão sem informações adicionais do utilizador. A imagem seguinte mostra uma dessas situações. Devido à simplificação do modelo, todas as barras se encontram num nó.

Simplificação do sistema estático

Isto resulta numa variedade de situações de apoio. Quatro situações possíveis podem ser vistas na próxima imagem. Estas serão analisadas em detalhe neste artigo.

Diversas situações de apoio de várias barras

Dependendo de quais as barras que causam forças de compressão perpendicular, o utilizador deve definir claramente a situação de apoio.

Definição da situação de apoio no RFEM 6 e RSTAB 9

Para definir a situação de apoio no programa, é necessário primeiro definir o apoio de cálculo no nó correspondente. No exemplo do Caso 1, as barras 102 e 103 são solicitadas à compressão perpendicular tanto pelo lado superior como pelo lado inferior (direção +z e -z). Assim, pode ser definido um apoio de cálculo bilateral (ver imagem seguinte). No Caso 3 para a barra 303, é necessário um apoio de cálculo apenas no lado inferior, etc.

Definição de apoio de cálculo

A definição propriamente dita da situação de apoio é feita através dos esforços internos a considerar (ver imagem seguinte).

Para os exemplos seguintes, para uma melhor visão geral, as componentes que não geram forças de compressão perpendicular são desativadas e todas as zonas de contacto solicitadas à compressão perpendicular são analisadas.

Caso 1

Barra 103

• Lado superior (-z)

A barra 104 gera compressão perpendicular na barra 103 através do esforço normal N. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 104 é ativada. Todas as outras caixas de seleção permanecem desativadas.

• Lado inferior (+z)

A barra 104 gera compressão perpendicular na barra 103 através do esforço normal N. A barra 103 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 104 é ativada, bem como a caixa de seleção 'V_z' para a barra 103.

Barra 102

• Lado superior (-z)

A barra 104 gera compressão perpendicular na barra 102 através do esforço normal N. A barra 103 gera compressão perpendicular na barra 102 através do esforço transverso V_z. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 104 é ativada, bem como a caixa de seleção 'V_z' para a barra 103.

• Lado inferior (+z)

A barra 104 gera compressão perpendicular na barra 102 através do esforço normal N. A barra 103 gera compressão perpendicular na barra 102 através do esforço transverso V_z. A barra 102 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 104 é ativada, bem como a caixa de seleção 'V_z' para a barra 103 e a barra 102.

Definição dos esforços internos para o caso 1

Caso 2

Barra 202

• Lado superior (-z)

A barra 204 gera compressão perpendicular na barra 202 através do esforço normal N. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 104 é ativada. Todas as outras caixas de seleção permanecem desativadas.

• Lado inferior (+z)

A barra 204 gera compressão perpendicular na barra 202 através do esforço normal N. A barra 202 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 204 é ativada, bem como a caixa de seleção 'V_z' para a barra 202.

Barra 203

• Lado superior (-z)

A barra 204 gera compressão perpendicular na barra 203 através do esforço normal N. A barra 202 gera compressão perpendicular na barra 203 através do esforço transverso V_z. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 204 é ativada, bem como a caixa de seleção 'V_z' para a barra 202.

• Lado inferior (+z)

A barra 204 gera compressão perpendicular na barra 203 através do esforço normal N. A barra 202 gera compressão perpendicular na barra 203 através do esforço transverso V_z. A barra 203 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, a caixa de seleção 'N' para a barra 204 é ativada, bem como a caixa de seleção 'V_z' para a barra 202 e a barra 203.

Definição dos esforços internos para o caso 2

Caso 3

Barra 303

• Lado superior (-z)

Nenhum apoio de cálculo definido

• Lado inferior (+z)

A barra 304 não gera compressão perpendicular na barra 303 através do esforço normal N. A barra 303 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, nenhuma caixa de seleção é ativada para a barra 304, mas a caixa de seleção 'V_z' é ativada para a barra 303.

Barra 302

• Lado superior (-z)

A barra 304 não gera compressão perpendicular na barra 303 através do esforço normal N. A barra 303 gera compressão perpendicular na barra 302 através do esforço transverso V_z. Assim, nenhuma caixa de seleção é ativada para a barra 304, mas a caixa de seleção 'V_z' é ativada para a barra 303.

• Lado inferior (+z)

A barra 304 não gera compressão perpendicular na barra 302 através do esforço normal N. A barra 303 gera compressão perpendicular na barra 302 através do esforço transverso V_z. A barra 302 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, nenhuma caixa de seleção é ativada para a barra 304, mas a caixa de seleção 'V_z' é ativada para a barra 303 e a barra 302.

Definição dos esforços internos para o caso 3

Caso 4

Barra 403

• Lado superior (-z)

Nenhum apoio de cálculo definido

• Lado inferior (+z)

A barra 404 não gera compressão perpendicular na barra 403 através do esforço normal N. A barra 403 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. A barra 402 não gera compressão perpendicular na barra 403 através do esforço transverso V_z. Assim, nenhuma caixa de seleção é ativada para as barras 404 e 402, mas a caixa de seleção 'V_z' é ativada para a barra 403.

Barra 402

• Lado superior (-z)

Nenhum apoio de cálculo definido

• Lado inferior (+z)

A barra 404 não gera compressão perpendicular na barra 402 através do esforço normal N. A barra 403 não gera compressão perpendicular na barra 402 através do esforço transverso V_z. A barra 402 gera compressão perpendicular no seu lado inferior (+z) através do esforço transverso V_z. Assim, nenhuma caixa de seleção é ativada para as barras 404 e 403, mas a caixa de seleção 'V_z' é ativada para a barra 402.

Definição dos esforços internos para o caso 4

Caso 1 - Alternativa

Barra 102

• Lado inferior (+z)

Também é possível inverter a entrada. Isto será mostrado no exemplo do Caso 1 para a barra 102 no lado inferior (+z). Aqui, todas as caixas de seleção das barras 102, 103 e 104 devem ser desativadas. A força de apoio pode aqui ser obtida mais facilmente a partir do esforço normal N da barra 101. Para isso, esta caixa de seleção deve ser ativada.

Definição alternativa dos esforços internos para o caso 4

Resultados

As secções transversais são de 100/100 mm, as superfícies de contacto também. O coeficiente de compressão perpendicular k_c,90 é considerado simplificadamente como 1,0. O cálculo é realizado com 5 kN de carga vertical em cada extremidade das barras x02, x03 e x04. Para as condições mencionadas, com uma resistência característica à compressão perpendicular de 2,5 N/mm², um k_mod de 0,6 e um fator de segurança parcial de 1,3, e considerando o efeito de suspensão, resultam as seguintes utilizações, que são adequadas à relação da força total (15 kN).

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Utilizações no dimensionamento de madeira para as diversas barras e casos

Utilizações no dimensionamento de madeira para as diferentes barras e casos

Reforços de compressão perpendicular

Se a capacidade de carga de um apoio não reforçado não for suficiente para transmitir a força aplicada, o apoio pode ser reforçado através da utilização de parafusos de rosca total, aparafusados perpendicularmente às fibras. Deve garantir-se que a força de compressão é distribuída uniformemente por todos os parafusos e que as forças resultantes nas cabeças dos parafusos podem ser transmitidas ao apoio. Para conseguir isto, pode ser utilizada uma placa de aço que conduz as forças das cabeças dos parafusos para o apoio. Neste caso, as cabeças dos parafusos devem estar niveladas com a superfície da madeira. Os seguintes modos de falha devem ser investigados:

1. Afundamento do parafuso na madeira (análogo à resistência ao arrancamento)
2. Encurvadura do parafuso na peça de madeira
3. Rotura por compressão perpendicular ao nível da ponta do parafuso

Os elementos de reforço podem ser ativados como mostrado na imagem.

Ativação dos reforços de compressão transversal no apoio de dimensionamento

A introdução dos parâmetros relevantes do parafuso ainda deve ser feita manualmente. Os valores podem ser retirados das respetivas aprovações e fichas técnicas do produto.

Definição da parafuso de rosca total para reforço do apoio

Exemplo

A viga mostrada na imagem seguinte deve ser reforçada com os meios de ligação da imagem anterior. São definidos os seguintes parâmetros:

Viga sobre pilar

Considerando uma distribuição linear de carga, obtêm-se os seguintes resultados:

Apoio não reforçado

\( \mathrm{f_{c,90,z,d}} = \mathrm{k_{mod}} \cdot \frac{\mathrm{f_{c,90,z,k}}}{\gamma_{M}} = 0.60 \cdot \frac{2.50\, \mathrm{N/mm^2}}{1.30} = 1.15\, \mathrm{N/mm^2} \)

\( \mathrm{l_{ef}} = \mathrm{l} + 30\, \mathrm{mm} = 200\, \mathrm{mm} + 30\, \mathrm{mm} = 230\, \mathrm{mm} \)

\( \mathrm{A_{ef}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{l_{ef}} = 100\, \mathrm{mm} \cdot 230\, \mathrm{mm} = 0.023\, \mathrm{m^2} \)

\( \mathrm{\sigma_{c,90,d}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{A_{ef}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{0.023\, \mathrm{m^2}} = 3.48\, \mathrm{N/mm^2} \)

\( \mathrm{\eta_{1}} = \frac{\mathrm{\sigma_{c,90,d}}}{\mathrm{k_{c,90}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{3.48\, \mathrm{N/mm^2}}{1.75 \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 1.72 \)

→ O apoio deve ser reforçado.

Resistência ao arrancamento de um parafuso \( \mathrm{F_{ax,90,Rk}} = \mathrm{f_{ax,k}} \cdot \mathrm{d} \cdot \mathrm{l_{g}} \cdot \left( \frac{\rho_{k}}{\rho_{a}} \right)^{0.8} = 12.00\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 8\, \mathrm{mm} \cdot 545\, \mathrm{mm} \cdot \left( \frac{385.00\, \mathrm{kg/m^3}}{350.00\, \mathrm{kg/m^3}} \right)^{0.8} = 56.47\, \mathrm{kN} \)

\( \mathrm{F_{ax,90,Rd}} = \frac{\mathrm{k_{mod}} \cdot \mathrm{F_{ax,90,Rk}}}{\gamma_{M}} = \frac{0.60 \cdot 56.47\, \mathrm{kN}}{1.30} = 26.06\, \mathrm{kN} \)

Resistência à encurvadura de um parafuso \( \mathrm{N_{pl,k}} = \pi \cdot \frac{(d_{1})^{2}}{4} \cdot \mathrm{f_{y,k}} = \pi \cdot \frac{(5\, \mathrm{mm})^{2}}{4} \cdot 900.00\, \mathrm{N/mm^2} = 17.67\, \mathrm{kN} \)

\( \mathrm{c_{h}} = \frac{(0.22 + 0.014 \cdot \mathrm{d}) \cdot \rho_{k}}{1.17} = \frac{(0.22 + 0.014 \cdot 8\, \mathrm{mm}) \cdot 385.00\, \mathrm{kg/m^3}}{1.17} = 109.25\, \mathrm{N/mm^2} \)

\( \mathrm{I_{S}} = \frac{\pi \cdot (d_{1})^{4}}{64} = \frac{\pi \cdot (5\, \mathrm{mm})^{4}}{64} = 30.68\, \mathrm{mm^4} \)

\( \mathrm{N_{Ki,k}} = \sqrt{c_{h} \cdot E_{S} \cdot I_{S}} = \sqrt{109.25\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 210000.00\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 30.68\, \mathrm{mm^4}} = 26.53\, \mathrm{kN} \)

\( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} = \sqrt{\frac{\mathrm{N_{pl,k}}}{\mathrm{N_{Ki,k}}}} = \sqrt{\frac{17.67\, \mathrm{kN}}{26.53\, \mathrm{kN}}} = 0.82 \)

\( \mathrm{k} = 0.5 \cdot \left[ 1 + 0.49 \cdot \left( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} - 0.2 \right) + \left( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} \right)^{2} \right] = 0.5 \cdot \left[ 1 + 0.49 \cdot \left( 0.82 - 0.2 \right) + \left( 0.82 \right)^{2} \right] = 0.98 \)

\( \mathrm{κ_{c}} = \frac{1}{\mathrm{k} + \sqrt{(\mathrm{k})^{2} - (\overline{\mathrm{\lambda}}_{k})^{2}}} = \frac{1}{0.98 + \sqrt{(0.98)^{2} - (0.82)^{2}}} = 0.65 \)

\( \mathrm{F_{c,Rk}} = \mathrm{κ_{c}} \cdot \mathrm{N_{pl,k}} = 0.65 \cdot 17.67\, \mathrm{kN} = 11.52\, \mathrm{kN} \)

\( \mathrm{F_{c,Rd}} = \frac{\mathrm{F_{c,Rk}}}{\gamma_{M1}} = \frac{11.52\, \mathrm{kN}}{1.10} = 10.47\, \mathrm{kN} \)

Verificação do parafuso de rosca total \( \mathrm{F_{S,90,Rd}} = \min\left( \mathrm{F_{ax,90,Rd}}, \, \mathrm{F_{c,Rd}} \right) = \min\left( 26.06\, \mathrm{kN}, \, 10.47\, \mathrm{kN} \right) = 10.47\, \mathrm{kN} \)

\( \mathrm{n} = \mathrm{n_{0}} \cdot \mathrm{n_{90}} = 4 \cdot 1 = 4 \)

\( \mathrm{\eta_{2}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{n} \cdot \mathrm{F_{S,90,Rd}} + \mathrm{k_{c,90}} \cdot \mathrm{A_{ef}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{4 \cdot 10.47\, \mathrm{kN} + 1.75 \cdot 0.023\, \mathrm{m^2} \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 0.91 \)

Verificação da tensão de compressão perpendicular ao nível da ponta do parafuso (linear) \( \mathrm{a_{1} = a_{1c}} = 40\, \mathrm{mm} \) \( \mathrm{l_{ef,2}} = \mathrm{a_{1c}} + (\mathrm{n_{0}} - 1) \cdot \mathrm{a_{1}} + \mathrm{l_{g}} \) \( = 40\, \mathrm{mm} + (4 - 1) \cdot 40\, \mathrm{mm} + 545\, \mathrm{mm} = 705\, \mathrm{mm} \)

\( \mathrm{A_{ef,2}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{l_{ef,2}} = 100\, \mathrm{mm} \cdot 705\, \mathrm{mm} = 0.071\, \mathrm{m^2} \)

\( \mathrm{\eta_{3}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{A_{ef,2}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{0.071\, \mathrm{m^2} \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 0.98 \)

Verificação determinante \( \mathrm{\eta} = \max\left( \mathrm{\eta_{2}}, \, \mathrm{\eta_{3}} \right) = \max\left( 0.91, 0.98 \right) = 0.98 \)

\( \mathrm{\eta} = 0.98 \leq 1 \)

Detalhes da verificação dos elementos de reforço de compressão transversal

A verificação da rotura por compressão perpendicular ao nível da ponta do parafuso é determinante neste exemplo. No entanto, a relevância desta verificação pode ser questionada, uma vez que a verificação é realizada na ponta do parafuso – 20 mm abaixo do bordo superior da viga. Neste ponto, contudo, quase já não existem tensões de compressão perpendicular, uma vez que estas tensões já foram transmitidas ao apoio como tensões de corte.

Alternativamente, a distribuição de carga também pode ser considerada de forma não linear. Pode encontrar mais informações sobre isto em [1].

Distribuição de cargas linear (à esquerda) e não linear (à direita)

Garantir a transmissão de carga

Para que a madeira e os parafusos de rosca total atuem em conjunto, a força de compressão atuante deve ser distribuída o mais uniformemente possível por todos os parafusos. Além disso, deve garantir-se que as pressões transmitidas através das cabeças dos parafusos possam ser absorvidas pelo material do apoio. Estes requisitos geralmente só podem ser cumpridos com um apoio plano e suficientemente rígido, o que é frequentemente conseguido através de uma placa de aço suficientemente espessa. A espessura necessária da placa de aço em [mm] pode ser determinada aproximadamente de acordo com [2] da seguinte forma:

Em apoios de vigas, é frequentemente prevista adicionalmente uma camada de elastómero por baixo da placa de aço. Isto permite uma melhor rotação do apoio, o que favorece uma transmissão de carga mais uniforme.

Redução do esforço transverso

Com a opção de redução do esforço transverso nos apoios de cálculo, a verificação do esforço transverso no apoio é realizada com o esforço transverso determinante. Para tal, o esforço transverso é considerado na verificação a uma certa distância do bordo do apoio. A distância depende da norma selecionada. Isto pressupõe que a força atua no lado oposto do apoio, ou seja, geralmente no lado superior da viga. As tensões de compressão perpendicular resultantes aumentam a resistência ao corte. No atual Eurocódigo, a resistência ao corte não é aumentada, mas, como já mencionado, a verificação é feita com o esforço transverso reduzido. Uma interação, como é o caso, por exemplo, na atual SIA 265, será introduzida na segunda geração do Eurocódigo 5.

Ativação da redução da força cortante nos apoios de dimensionamento

Para o exemplo na imagem seguinte, o esforço transverso determinante pode ser lido a uma distância h do bordo do apoio como sendo 39 kN. Embora o esforço transverso máximo sobre o apoio seja de 60 kN, pelas razões acima mencionadas, o esforço transverso de 60 kN a 39 kN pode ser desprezado na verificação.

Distribuição da força cortante sob carga distribuída uniforme com força cortante determinante marcada

Definição dos esforços internos para a redução da força cortante

Com as configurações da imagem anterior, a entrada é efetuada corretamente e a redução do esforço transverso é considerada na verificação.

Utilização da verificação ao esforço cortante

Verificação com esforço cortante reduzido

Sem a redução do esforço transverso, a verificação ao corte não é satisfeita.

Utilização da verificação ao cisalhamento sem redução da força cortante