En este artículo se presenta en profundidad el procedimiento para el análisis de deformación, la comprobación de compresión perpendicular a la fibra y la reducción de esfuerzo cortante según el Eurocódigo 5. La asignación de los apoyos de cálculo se describe en el manual:
Estado límite de servicio
La segmentación para el análisis de deformación no se tratará aquí. Se presenta en detalle en este artículo:
Comprobación de compresión perpendicular
Antecedentes
Los apoyos de cálculo se asignan a una barra o conjunto de barras y no a un apoyo en nudo. Si bien los apoyos en nudo proporcionan reacciones de apoyo unívocas que pueden utilizarse, por ejemplo, para la comprobación de "compresión perpendicular a la fibra", en estructuras espaciales los apoyos a menudo no se representan mediante apoyos en nudo. Ejemplos típicos son construcciones en las que una barra apoya sobre otra barra o sobre una superficie. En estos casos, no se dispone de una reacción de apoyo directa de un apoyo en nudo para la comprobación. Por lo tanto, la fuerza de compresión necesaria se determina a partir de los esfuerzos internos de las barras conectadas en el nudo. De este modo, se pueden considerar tanto los apoyos clásicos como las situaciones de apoyo espaciales complejas.
Situación de apoyo
Debido a la simplificación al crear el sistema estructural, la situación de apoyo en nudos con varias barras no está claramente definida. Así, el programa no puede determinar automáticamente la fuerza de compresión sin más indicaciones del usuario. En la siguiente imagen se muestra una situación de este tipo. Debido a la simplificación del modelo, todas las barras se encuentran en un nudo.
De esto resulta una multitud de situaciones de apoyo. En la siguiente imagen se muestran cuatro situaciones posibles. Se tratarán con más detalle en este artículo.
| Casos | Situaciones de apoyo |
|---|---|
| Caso 1 | La barra 104 comprime sobre la barra 103, la barra 103 comprime sobre la barra 102, la barra 102 comprime sobre el apoyo |
| Caso 2 | La barra 204 comprime sobre la barra 202, la barra 202 comprime sobre la barra 203, la barra 203 comprime sobre el apoyo |
| Caso 3 | La barra 304 comprime directamente sobre el apoyo → sin Fc,90, la barra 303 comprime sobre la barra 302, la barra 302 comprime sobre el apoyo |
| Caso 4 | La barra 404 comprime directamente sobre el apoyo → sin Fc,90, la barra 402 comprime sobre el apoyo, la barra 403 comprime sobre el apoyo |
Dependiendo de qué barras provoquen fuerzas de compresión perpendicular, el usuario debe definir claramente la situación de apoyo.
Definición de la situación de apoyo en RFEM 6 y RSTAB 9
Para definir la situación de apoyo en el programa, primero se debe definir el apoyo de cálculo en el nudo correspondiente. En el ejemplo del Caso 1, la barra 102 y la 103 están sometidas a compresión perpendicular tanto desde la cara superior como desde la cara inferior (dirección +z y -z). Por consiguiente, se puede definir un apoyo de cálculo bilateral (ver la siguiente imagen). En el Caso 3 para la barra 303, solo se necesita un apoyo de cálculo en la cara inferior, etc.
La definición propiamente dicha de la situación de apoyo se establece mediante los esfuerzos internos a considerar (ver la siguiente imagen).
Para los siguientes ejemplos, y para una mejor visión general, se desactivan los componentes que no generan fuerzas de compresión perpendicular y se examinan todas las áreas de contacto sometidas a compresión perpendicular.
Caso 1
Barra 103
- Cara superior (-z)
La barra 104 genera compresión perpendicular sobre la barra 103 a través del esfuerzo axil N. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 104. Todas las demás casillas permanecen desactivadas.
- Cara inferior (+z)
La barra 104 genera compresión perpendicular sobre la barra 103 a través del esfuerzo axil N. La barra 103 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 104 así como la casilla de verificación 'Vz' para la barra 103.
Barra 102
- Cara superior (-z)
La barra 104 genera compresión perpendicular sobre la barra 102 a través del esfuerzo axil N. La barra 103 genera compresión perpendicular sobre la barra 102 a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 104 así como la casilla de verificación 'Vz' para la barra 103.
- Cara inferior (+z)
La barra 104 genera compresión perpendicular sobre la barra 102 a través del esfuerzo axil N. La barra 103 genera compresión perpendicular sobre la barra 102 a través del esfuerzo cortante Vz. La barra 102 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 104 así como la casilla de verificación 'Vz' para la barra 103 y la barra 102.
Caso 2
Barra 202
- Cara superior (-z)
La barra 204 genera compresión perpendicular sobre la barra 202 a través del esfuerzo axil N. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 104 (Nota: entendemos que es un error tipográfico en el original y se refiere a la barra 204). Todas las demás casillas permanecen desactivadas.
- Cara inferior (+z)
La barra 204 genera compresión perpendicular sobre la barra 202 a través del esfuerzo axil N. La barra 202 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 204 así como la casilla de verificación 'Vz' para la barra 202.
Barra 203
- Cara superior (-z)
La barra 204 genera compresión perpendicular sobre la barra 203 a través del esfuerzo axil N. La barra 202 genera compresión perpendicular sobre la barra 203 a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 204 así como la casilla de verificación 'Vz' para la barra 202.
- Cara inferior (+z)
La barra 204 genera compresión perpendicular sobre la barra 203 a través del esfuerzo axil N. La barra 202 genera compresión perpendicular sobre la barra 203 a través del esfuerzo cortante Vz. La barra 203 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, se activa la casilla de verificación 'N' para la barra 204 así como la casilla de verificación 'Vz' para la barra 202 y la barra 203.
Caso 3
Barra 303
- Cara superior (-z)
No se ha definido ningún apoyo de cálculo
- Cara inferior (+z)
La barra 304 no genera compresión perpendicular sobre la barra 303 a través del esfuerzo axil N. La barra 303 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, no se activa ninguna casilla para la barra 304, pero sí la casilla de verificación 'Vz' para la barra 303.
Barra 302
- Cara superior (-z)
La barra 304 no genera compresión perpendicular sobre la barra 303 (Nota: se refiere a la barra 302) a través del esfuerzo axil N. La barra 303 genera compresión perpendicular sobre la barra 302 a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, no se activa ninguna casilla para la barra 304, pero sí la casilla de verificación 'Vz' para la barra 303.
- Cara inferior (+z)
La barra 304 no genera compresión perpendicular sobre la barra 302 a través del esfuerzo axil N. La barra 303 genera compresión perpendicular sobre la barra 302 a través del esfuerzo cortante Vz. La barra 302 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, no se activa ninguna casilla para la barra 304, pero sí la casilla de verificación 'Vz' para la barra 303 y la barra 302.
Caso 4
Barra 403
- Cara superior (-z)
No se ha definido ningún apoyo de cálculo
- Cara inferior (+z)
La barra 404 no genera compresión perpendicular sobre la barra 403 a través del esfuerzo axil N. La barra 403 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. La barra 402 no genera compresión perpendicular sobre la barra 403 a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, no se activa ninguna casilla para la barra 404 y 402, pero sí la casilla de verificación 'Vz' para la barra 403.
Barra 402
- Cara superior (-z)
No se ha definido ningún apoyo de cálculo
- Cara inferior (+z)
La barra 404 no genera compresión perpendicular sobre la barra 402 a través del esfuerzo axil N. La barra 403 no genera compresión perpendicular sobre la barra 402 a través del esfuerzo cortante Vz. La barra 402 genera compresión perpendicular en su cara inferior (+z) a través del esfuerzo cortante Vz. En consecuencia, no se activa ninguna casilla para las barras 404 y 403, pero sí la casilla de verificación 'Vz' para la barra 402.
Caso 1 - Alternativa
Barra 102
- Cara inferior (+z)
También es posible invertir la entrada. Esto se mostrará con el ejemplo del Caso 1 para la barra 102 en la cara inferior (+z). Aquí deben desactivarse todas las casillas de verificación de las barras 102, 103 y 104. La fuerza de apoyo se puede obtener aquí de la manera más sencilla a partir del esfuerzo axil N de la barra 101. Para ello, se debe activar esta casilla de verificación.
Resultados
Las secciones transversales son de 100/100 mm, las superficies de contacto igualmente. El coeficiente de compresión perpendicular kc,90 se asume simplificadamente como 1.0. El cálculo se realiza con 5 kN de carga vertical en los extremos de las barras x02, x03 y x04 respectivamente. Para las condiciones mencionadas, resultan las siguientes utilizaciones con una resistencia característica a compresión perpendicular de 2.5, un kmod de 0.6 y un coeficiente parcial de seguridad de 1.3 y considerando el efecto de colgado, las cuales son acordes a la relación de la fuerza total (15 kN).
Caso 1:
| Barra Nº | Cara | Fuerza | Utilización |
|---|---|---|---|
| Barra 103 | -z | 5 kN | 33% |
| Barra 103 | +z | 10 kN | 67% |
| Barra 102 | -z | 10 kN | 67% |
| Barra 102 | +z | 15 kN | 100% |
Caso 2:
| Barra Nº | Cara | Fuerza | Utilización |
|---|---|---|---|
| Barra 202 | -z | 5 kN | 33% |
| Barra 202 | +z | 10 kN | 67% |
| Barra 203 | -z | 10 kN | 67% |
| Barra 203 | +z | 15 kN | 100% |
Caso 3:
| Barra Nº | Cara | Fuerza | Utilización |
|---|---|---|---|
| Barra 303 | -z | 0 kN | 0% |
| Barra 303 | +z | 5 kN | 33% |
| Barra 302 | -z | 5 kN | 33% |
| Barra 302 | +z | 10 kN | 67% |
Caso 4:
| Barra Nº | Cara | Fuerza | Utilización |
|---|---|---|---|
| Barra 403 | -z | 0 kN | 0% |
| Barra 403 | +z | 5 kN | 33% |
| Barra 402 | -z | 0 kN | 0% |
| Barra 402 | +z | 5 kN | 33% |
Refuerzos a compresión perpendicular
Si la capacidad portante de un apoyo sin refuerzo no es suficiente para introducir la fuerza aplicada, el apoyo puede reforzarse mediante el uso de tirafondos de rosca completa, que se atornillan perpendicularmente a la fibra. Debe garantizarse que la fuerza de compresión se distribuya uniformemente entre todos los tirafondos y que las fuerzas resultantes en las cabezas de los tirafondos puedan transmitirse al apoyo. Para lograr esto, se puede emplear una placa de acero que transmita las fuerzas de las cabezas de los tirafondos al apoyo. Las cabezas de los tirafondos deben quedar a ras de la superficie de la madera. Deben investigarse los siguientes modos de fallo:
- Hundimiento del tirafondo en la madera (análogo a la resistencia al arranque)
- Pandeo del tirafondo en la pieza de madera
- Fallo por compresión perpendicular a la altura de la punta del tirafondo
Los elementos de refuerzo se pueden activar como se muestra en la imagen.
La introducción de los parámetros relevantes de los tornillos debe realizarse actualmente de forma manual. Los valores pueden tomarse de las correspondientes homologaciones y fichas de producto.
Ejemplo
La viga mostrada en la siguiente imagen debe reforzarse con los medios de unión de la imagen anterior. Se definen los siguientes parámetros:
| Denominación | Símbolo | Valor |
|---|---|---|
| Coeficiente de compresión perpendicular | kc,90 | 1,75 |
| Coeficiente de modificación | kmod | 0,60 |
| Resistencia característica a compresión perpendicular | fc,90,k | 2,50 N/mm² |
| Fuerza de apoyo de cálculo | Fc,90,d | 80 kN |
| Ancho de sección = Ancho de apoyo | b | 100 mm |
| Longitud de apoyo | l | 200 mm |
| Canto de la viga | h | 600 mm |
| Distancias entre tornillos | a1 = a1,c | 40 mm |
| Número de tornillos | n | 4 piezas |
Bajo propagación lineal de la carga, se obtienen los siguientes resultados:
Apoyo no reforzado
\( \mathrm{f_{c,90,z,d}} = \mathrm{k_{mod}} \cdot \frac{\mathrm{f_{c,90,z,k}}}{\gamma_{M}} = 0.60 \cdot \frac{2.50\, \mathrm{N/mm^2}}{1.30} = 1.15\, \mathrm{N/mm^2} \)
\( \mathrm{l_{ef}} = \mathrm{l} + 30\, \mathrm{mm} = 200\, \mathrm{mm} + 30\, \mathrm{mm} = 230\, \mathrm{mm} \)
\( \mathrm{A_{ef}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{l_{ef}} = 100\, \mathrm{mm} \cdot 230\, \mathrm{mm} = 0.023\, \mathrm{m^2} \)
\( \mathrm{\sigma_{c,90,d}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{A_{ef}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{0.023\, \mathrm{m^2}} = 3.48\, \mathrm{N/mm^2} \)
\( \mathrm{\eta_{1}} = \frac{\mathrm{\sigma_{c,90,d}}}{\mathrm{k_{c,90}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{3.48\, \mathrm{N/mm^2}}{1.75 \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 1.72 \)
→ El apoyo debe ser reforzado.
Resistencia al arranque de un tirafondo \( \mathrm{F_{ax,90,Rk}} = \mathrm{f_{ax,k}} \cdot \mathrm{d} \cdot \mathrm{l_{g}} \cdot \left( \frac{\rho_{k}}{\rho_{a}} \right)^{0.8} = 12.00\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 8\, \mathrm{mm} \cdot 545\, \mathrm{mm} \cdot \left( \frac{385.00\, \mathrm{kg/m^3}}{350.00\, \mathrm{kg/m^3}} \right)^{0.8} = 56.47\, \mathrm{kN} \)
\( \mathrm{F_{ax,90,Rd}} = \frac{\mathrm{k_{mod}} \cdot \mathrm{F_{ax,90,Rk}}}{\gamma_{M}} = \frac{0.60 \cdot 56.47\, \mathrm{kN}}{1.30} = 26.06\, \mathrm{kN} \)
Resistencia a la estabilidad de un tirafondo \( \mathrm{N_{pl,k}} = \pi \cdot \frac{(d_{1})^{2}}{4} \cdot \mathrm{f_{y,k}} = \pi \cdot \frac{(5\, \mathrm{mm})^{2}}{4} \cdot 900.00\, \mathrm{N/mm^2} = 17.67\, \mathrm{kN} \)
\( \mathrm{c_{h}} = \frac{(0.22 + 0.014 \cdot \mathrm{d}) \cdot \rho_{k}}{1.17} = \frac{(0.22 + 0.014 \cdot 8\, \mathrm{mm}) \cdot 385.00\, \mathrm{kg/m^3}}{1.17} = 109.25\, \mathrm{N/mm^2} \)
\( \mathrm{I_{S}} = \frac{\pi \cdot (d_{1})^{4}}{64} = \frac{\pi \cdot (5\, \mathrm{mm})^{4}}{64} = 30.68\, \mathrm{mm^4} \)
\( \mathrm{N_{Ki,k}} = \sqrt{c_{h} \cdot E_{S} \cdot I_{S}} = \sqrt{109.25\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 210000.00\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 30.68\, \mathrm{mm^4}} = 26.53\, \mathrm{kN} \)
\( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} = \sqrt{\frac{\mathrm{N_{pl,k}}}{\mathrm{N_{Ki,k}}}} = \sqrt{\frac{17.67\, \mathrm{kN}}{26.53\, \mathrm{kN}}} = 0.82 \)
\( \mathrm{k} = 0.5 \cdot \left[ 1 + 0.49 \cdot \left( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} - 0.2 \right) + \left( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} \right)^{2} \right] = 0.5 \cdot \left[ 1 + 0.49 \cdot \left( 0.82 - 0.2 \right) + \left( 0.82 \right)^{2} \right] = 0.98 \)
\( \mathrm{κ_{c}} = \frac{1}{\mathrm{k} + \sqrt{(\mathrm{k})^{2} - (\overline{\mathrm{\lambda}}_{k})^{2}}} = \frac{1}{0.98 + \sqrt{(0.98)^{2} - (0.82)^{2}}} = 0.65 \)
\( \mathrm{F_{c,Rk}} = \mathrm{κ_{c}} \cdot \mathrm{N_{pl,k}} = 0.65 \cdot 17.67\, \mathrm{kN} = 11.52\, \mathrm{kN} \)
\( \mathrm{F_{c,Rd}} = \frac{\mathrm{F_{c,Rk}}}{\gamma_{M1}} = \frac{11.52\, \mathrm{kN}}{1.10} = 10.47\, \mathrm{kN} \)
Comprobación del tirafondo de rosca completa \( \mathrm{F_{S,90,Rd}} = \min\left( \mathrm{F_{ax,90,Rd}}, \, \mathrm{F_{c,Rd}} \right) = \min\left( 26.06\, \mathrm{kN}, \, 10.47\, \mathrm{kN} \right) = 10.47\, \mathrm{kN} \)
\( \mathrm{n} = \mathrm{n_{0}} \cdot \mathrm{n_{90}} = 4 \cdot 1 = 4 \)
\( \mathrm{\eta_{2}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{n} \cdot \mathrm{F_{S,90,Rd}} + \mathrm{k_{c,90}} \cdot \mathrm{A_{ef}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{4 \cdot 10.47\, \mathrm{kN} + 1.75 \cdot 0.023\, \mathrm{m^2} \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 0.91 \)
Comprobación de la tensión de compresión perpendicular a la altura de la punta del tirafondo (lineal) \( \mathrm{a_{1} = a_{1c}} = 40\, \mathrm{mm} \) \( \mathrm{l_{ef,2}} = \mathrm{a_{1c}} + (\mathrm{n_{0}} - 1) \cdot \mathrm{a_{1}} + \mathrm{l_{g}} \) \( = 40\, \mathrm{mm} + (4 - 1) \cdot 40\, \mathrm{mm} + 545\, \mathrm{mm} = 705\, \mathrm{mm} \)
\( \mathrm{A_{ef,2}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{l_{ef,2}} = 100\, \mathrm{mm} \cdot 705\, \mathrm{mm} = 0.071\, \mathrm{m^2} \)
\( \mathrm{\eta_{3}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{A_{ef,2}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{0.071\, \mathrm{m^2} \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 0.98 \)
Comprobación determinante \( \mathrm{\eta} = \max\left( \mathrm{\eta_{2}}, \, \mathrm{\eta_{3}} \right) = \max\left( 0.91, 0.98 \right) = 0.98 \)
\( \mathrm{\eta} = 0.98 \leq 1 \)
La comprobación por fallo de compresión perpendicular a la altura de la punta del tornillo es determinante en este ejemplo. Sin embargo, se puede cuestionar la lógica de esta comprobación, ya que se realiza en la punta del tornillo – 20 mm por debajo del borde superior de la viga. No obstante, en este punto apenas existen tensiones de compresión perpendicular, ya que estas tensiones ya se han transmitido como tensiones tangenciales al apoyo.
Alternativamente, la propagación de la carga también puede considerarse de forma no lineal. Encontrará más información al respecto en [1].
Garantía de la introducción de la carga
Para que la madera y los tirafondos de rosca completa actúen conjuntamente de manera eficaz, la fuerza de compresión aplicada debe distribuirse lo más uniformemente posible entre todos los tirafondos. Además, debe garantizarse que las presiones introducidas a través de las cabezas de los tirafondos puedan ser absorbidas por el material de apoyo. Estos requisitos normalmente solo pueden cumplirse con un apoyo plano y suficientemente rígido, lo que a menudo se consigue mediante una placa de acero de suficiente espesor. El espesor requerido de la placa de acero en [mm] puede determinarse aproximadamente según [2] de la siguiente manera:
|
t |
espesor requerido de la placa de acero |
|
Fc,90,d |
Fuerza de compresión de cálculo perpendicular a la dirección de la fibra |
|
n |
Número de tornillos autorroscantes de rosca completa |
|
fy,d |
Límite elástico de la placa de acero |
En apoyos de vigas, a menudo se prevé adicionalmente una capa de elastómero debajo de la placa de acero. De este modo, el apoyo puede girar mejor, lo que favorece una introducción de carga más uniforme.
Reducción de esfuerzo cortante
Con la opción de reducción de esfuerzo cortante en los apoyos de cálculo, la comprobación de esfuerzo cortante en el apoyo se realiza con el esfuerzo cortante determinante. Para ello, se considera en el cálculo el esfuerzo cortante a una cierta distancia del borde del apoyo. La distancia depende de la norma seleccionada. Esto presupone que la fuerza actúa en el lado opuesto del apoyo, es decir, generalmente en la cara superior de la viga. Las tensiones de compresión perpendicular resultantes aumentan la resistencia a cortante. En el Eurocódigo actual, no se aumenta la resistencia a cortante, sino que, como ya se ha mencionado, se calcula con el esfuerzo cortante reducido. Una interacción, como es el caso, por ejemplo, en la actual SIA 265, se implementará en la segunda generación del Eurocódigo 5.
Para el ejemplo en la siguiente imagen, el esfuerzo cortante determinante a una distancia h del borde del apoyo puede leerse como 39 kN. Aunque el esfuerzo cortante máximo sobre el apoyo es de 60 kN, por las razones mencionadas anteriormente, el esfuerzo cortante puede despreciarse en el cálculo de 60 kN hasta 39 kN.
Con la configuración de la imagen anterior, la entrada se realiza correctamente y la reducción de esfuerzo cortante se considera en el cálculo.
Sin la reducción de esfuerzo cortante, la comprobación de cortante no se cumple.
