Bemessungsauflager für die Holzbemessung - Gebrauchstauglichkeit, Druck rechtwinklig zur Faserrichtung und Querkraftabminderung

In diesem Beitrag soll die Vorgehensweise für den Verformungsnachweis, den Nachweis 'Druck rechtwinklig zur Faserrichtung', sowie die Querkraftabminderung auf Basis des Eurocode 5 tiefgründiger vorgestellt werden.
Die Zuweisung der Bemessungsauflager wird im Handbuch beschrieben:

• Holzbemessung - Bemessungsauflager und Durchbiegung

Gebrauchstauglichkeit

Die Segmentierung für den Verformungsnachweis wird hier nicht weiter behandelt. Sie ist in diesem Beitrag im Detail vorgestellt:

• Durchbiegungsnachweis für Stabelemente

Querdrucknachweis

Hintergründe

Bemessungsauflager werden einem Stab bzw. Stabsatz zugeordnet und nicht einem Knotenlager. Zwar liefern Knotenlager eindeutige Auflagerreaktionen, die beispielsweise für den Nachweis „Druck rechtwinklig zur Faserrichtung“ verwendet werden können. In räumlichen Tragwerken werden Auflagerungen jedoch häufig nicht durch Knotenlager abgebildet. Typische Beispiele sind Konstruktionen, bei denen ein Stab auf einem anderen Stab oder auf einer Fläche aufliegt. In solchen Fällen steht keine direkte Auflagerreaktion eines Knotenlagers für den Nachweis zur Verfügung. Die erforderliche Druckkraft wird daher aus den Schnittgrößen der am Knoten angeschlossenen Stäbe ermittelt. Dadurch können sowohl klassische Lagerungen als auch komplexe räumliche Auflagersituationen berücksichtigt werden.

Auflagersituation

Durch die Vereinfachung beim Erstellen des statischen Systems, ist die Auflagersituation bei Knoten mit mehreren Stäben nicht klar definiert. Somit kann vom Programm nicht automatisch, ohne weitere Benutzerangaben, die Druckkraft ermittelt werden. Im folgenden Bild ist so eine Situation abgebildet. Durch die Modellvereinfachung treffen sich alle Stäbe in einem Knoten.

Vereinfachung des statischen Systems

Hieraus ergibt sich eine Vielzahl von Auflagersituationen. Vier mögliche Situationen sind im nächsten Bild zu sehen. Auf sie wird in diesem Beitrag näher eingegangen.

Verschiedene Auflagersituationen von mehreren Stäben

Je nachdem, welche Stäbe Querdruckkräfte verursachen, muss der Nutzer die Auflagersituation klar definieren.

Definition der Auflagersituation in RFEM 6 und RSTAB 9

Um die Auflagersituation im Programm festzulegen, muss zunächst das Bemessungsauflager an den entsprechenden Knoten definiert werden. Im Beispiel von Fall 1 wird der Stab 102 und 103 jeweils von der Oberseite sowie der Unterseite (+z und -z Richtung) auf Querdruck beansprucht. Entsprechend kann ein beidseitiges Bemessungsauflager definiert werden (siehe folgendes Bild). Im Fall 3 für Stab 303 wird nur an der Unterseite ein Bemessungsauflager benötigt usw.

Definition von Bemessungsauflager

Die eigentliche Definition der Auflagersituation wird über die zu berücksichtigenden Schnittgrößen festgelegt (siehe nächstes Bild).

Für nachfolgende Beispiele werden zur besseren Übersicht die Komponenten, welche keine Querdruckkräfte erzeugen, deaktiviert und es werden alle querdruckbeanspruchten Kontaktbereiche untersucht.

Fall 1

Stab 103

• Oberseite (-z)

Stab 104 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 103.
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 104 aktiviert. Alle anderen Checkboxen bleiben deaktiviert.

• Unterseite (+z)

Stab 104 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 103.
Stab 103 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 104 aktiviert sowie die Checkbox 'V_z' für Stab 103.

Stab 102

• Oberseite (-z)

Stab 104 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 102.
Stab 103 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck am Stab 102.
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 104 aktiviert sowie die Checkbox 'V_z' für Stab 103.

• Unterseite (+z)

Stab 104 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 102.
Stab 103 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck am Stab 102.
Stab 102 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 104 aktiviert sowie die Checkbox 'V_z' für Stab 103 und Stab 102.

Definition der Schnittgrößen für Fall 1

Fall 2

Stab 202

• Oberseite (-z)

Stab 204 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 202.
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 104 aktiviert. Alle anderen Checkboxen bleiben deaktiviert.

• Unterseite (+z)

Stab 204 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 202.
Stab 202 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 204 aktiviert sowie die Checkbox 'V_z' für Stab 202.

Stab 203

• Oberseite (-z)

Stab 204 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 203.
Stab 202 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck am Stab 203.
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 204 aktiviert sowie die Checkbox 'V_z' für Stab 202.

• Unterseite (+z)

Stab 204 erzeugt durch die Normalkraft N Querdruck am Stab 203.
Stab 202 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck am Stab 203.
Stab 203 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird die Checkbox 'N' für Stab 204 aktiviert sowie die Checkbox 'V_z' für Stab 202 und Stab 203.

Definition der Schnittgrößen für Fall 2

Fall 3

Stab 303

• Oberseite (-z)

Kein Bemessungsauflager definiert

• Unterseite (+z)

Stab 304 erzeugt durch die Normalkraft N keinen Querdruck am Stab 303.
Stab 303 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird keine Checkbox für Stab 304 aktiviert, jedoch die Checkbox 'V_z' für Stab 303.

Stab 302

• Oberseite (-z)

Stab 304 erzeugt durch die Normalkraft N keinen Querdruck am Stab 303.
Stab 303 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck am Stab 302.
Entsprechend wird keine Checkbox für Stab 304 aktiviert, jedoch die Checkbox 'V_z' für Stab 303.

• Unterseite (+z)

Stab 304 erzeugt durch die Normalkraft N keinen Querdruck am Stab 302.
Stab 303 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck am Stab 302.
Stab 302 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird keine Checkbox für Stab 304 aktiviert, jedoch die Checkbox 'V_z' für Stab 303 und Stab 302.

Definition der Schnittgrößen für Fall 3

Fall 4

Stab 403

• Oberseite (-z)

Kein Bemessungsauflager definiert

• Unterseite (+z)

Stab 404 erzeugt durch die Normalkraft N keinen Querdruck am Stab 403.
Stab 403 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Stab 402 erzeugt durch die Querkraft V_z keinen Querdruck am Stab 403.
Entsprechend wird keine Checkbox für Stab 404 und 402 aktiviert, jedoch die Checkbox 'V_z' für Stab 403.

Stab 402

• Oberseite (-z)

Kein Bemessungsauflager definiert

• Unterseite (+z)

Stab 404 erzeugt durch die Normalkraft N keinen Querdruck am Stab 402.
Stab 403 erzeugt durch die Querkraft V_z keinen Querdruck am Stab 402.
Stab 402 erzeugt durch die Querkraft V_z Querdruck an dessen Unterseite (+z).
Entsprechend wird keine Checkbox für Stab 404 und 403 aktiviert, jedoch die Checkbox 'V_z' für Stab 402.

Definition der Schnittgrößen für Fall 4

Fall 1 - Alternative

Stab 102

• Unterseite (+z)

Es ist auch möglich, die Eingabe umzudrehen. Dies soll am Beispiel des Fall 1 für Stab 102 auf der Unterseite (+z) gezeigt werden. Hier sind alle Checkboxen der Stäbe 102, 103 und 104 zu deaktivieren. Die Auflagerkraft kann hier am einfachsten aus der Normalkraft N des Stabes 101 entnommen werden. Dazu ist diese Checkbox zu aktivieren.

Alternative Definition der Schnittgrößen für Fall 4

Ergebnisse

Die Querschnitte betragen 100/100 mm, die Kontaktflächen ebenfalls. Der Querdruckbeiwert k_c,90 wird vereinfacht mit 1,0 angenommen.
Die Berechnung erfolgt mit jeweils 5 kN Vertikallast an den Stabenden der Stäbe x02, x03 und x04. Für die vorhergenannten Bedingungen resultieren bei einer charakteristischen Querdruckfestigkeit von 2,5 einem k_mod von 0,6 und einem Teilsicherheitsbeiwert von 1,3 und unter Berücksichtigung des Einhängeeffektes folgende Auslastungen, welche passend zum Verhältnis der Gesamtkraft (15 kN) sind.

Fall 1:

Fall 2:

Fall 3:

Fall 4:

Auslastungen in der Holzbemessung für die verschiedenen Stäbe und Fälle

Auslastungen in der Holzbemessung für die verschiedenen Stäbe und Fälle

Querdruckverstärkungen

Wenn die Tragfähigkeit einer unverstärkten Auflagerung nicht ausreicht, um die aufgebrachte Kraft einzuleiten, kann die Auflagerung durch den Einsatz von Vollgewindeschrauben verstärkt werden, die rechtwinklig zur Faserrichtung eingedreht werden. Dabei ist sicherzustellen, dass die Druckkraft gleichmäßig auf alle Schrauben verteilt wird und die in den Schraubenköpfen resultierenden Kräfte in das Auflager übertragen werden können. Um dies zu erzielen, kann eine Stahlplatte eingesetzt werden, welche die Kräfte in den Schraubenköpfen in das Auflager leitet. Dabei müssen die Schraubenköpfe bündig mit der Holzoberfläche sein. Folgende Versagensfälle sind dabei zu untersuchen:

1. Hineindrücken der Schraube in das Holz (analog zum Ausziehwiderstand)
2. Knicken der Schraube im Holzbauteil
3. Querdruckversagen auf Höhe der Schraubenspitze

Die Verstärkungselemente können wie im Bild gezeigt aktiviert werden.

Aktivierung der Querdruckverstärkungen in den Bemessungsauflager

Die Eingabe der relevanten Schrauben-Parameter muss derzeit noch händisch erfolgen. Die Werte können den entsprechenden Zulassungen und Produktdatenblättern entnommen werden.

Definition der Vollgewindeschraube zur Auflagerverstärkung

Beispiel

Der im nächsten Bild gezeigte Träger soll mit den Verbindungsmitteln aus dem vorherigen Bild verstärkt werden. Dabei werden folgende Parameter festgelegt:

Träger auf Stütze

Unter linearer Lastausbreitung ergeben Sie folgende Ergebnisse:

Unverstärktes Auflager

\(
\mathrm{f_{c,90,z,d}} = \mathrm{k_{mod}} \cdot \frac{\mathrm{f_{c,90,z,k}}}{\gamma_{M}} = 0.60 \cdot \frac{2.50\, \mathrm{N/mm^2}}{1.30} = 1.15\, \mathrm{N/mm^2}
\)

\(
\mathrm{l_{ef}} = \mathrm{l} + 30\, \mathrm{mm} = 200\, \mathrm{mm} + 30\, \mathrm{mm} = 230\, \mathrm{mm}
\)

\(
\mathrm{A_{ef}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{l_{ef}} = 100\, \mathrm{mm} \cdot 230\, \mathrm{mm} = 0.023\, \mathrm{m^2}
\)

\(
\mathrm{\sigma_{c,90,d}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{A_{ef}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{0.023\, \mathrm{m^2}} = 3.48\, \mathrm{N/mm^2}
\)

\(
\mathrm{\eta_{1}} = \frac{\mathrm{\sigma_{c,90,d}}}{\mathrm{k_{c,90}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{3.48\, \mathrm{N/mm^2}}{1.75 \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 1.72
\)

→ Das Auflager muss verstärkt werden.
 

Ausziehwiderstand einer Schraube
\(
\mathrm{F_{ax,90,Rk}} = \mathrm{f_{ax,k}} \cdot \mathrm{d} \cdot \mathrm{l_{g}} \cdot \left( \frac{\rho_{k}}{\rho_{a}} \right)^{0.8} = 12.00\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 8\, \mathrm{mm} \cdot 545\, \mathrm{mm} \cdot \left( \frac{385.00\, \mathrm{kg/m^3}}{350.00\, \mathrm{kg/m^3}} \right)^{0.8} = 56.47\, \mathrm{kN}
\)

\(
\mathrm{F_{ax,90,Rd}} = \frac{\mathrm{k_{mod}} \cdot \mathrm{F_{ax,90,Rk}}}{\gamma_{M}} = \frac{0.60 \cdot 56.47\, \mathrm{kN}}{1.30} = 26.06\, \mathrm{kN}
\)
 

Stabilitätswiderstand einer Schraube
\(
\mathrm{N_{pl,k}} = \pi \cdot \frac{(d_{1})^{2}}{4} \cdot \mathrm{f_{y,k}} = \pi \cdot \frac{(5\, \mathrm{mm})^{2}}{4} \cdot 900.00\, \mathrm{N/mm^2} = 17.67\, \mathrm{kN}
\)

\(
\mathrm{c_{h}} = \frac{(0.22 + 0.014 \cdot \mathrm{d}) \cdot \rho_{k}}{1.17} = \frac{(0.22 + 0.014 \cdot 8\, \mathrm{mm}) \cdot 385.00\, \mathrm{kg/m^3}}{1.17} = 109.25\, \mathrm{N/mm^2}
\)

\(
\mathrm{I_{S}} = \frac{\pi \cdot (d_{1})^{4}}{64} = \frac{\pi \cdot (5\, \mathrm{mm})^{4}}{64} = 30.68\, \mathrm{mm^4}
\)

\(
\mathrm{N_{Ki,k}} = \sqrt{c_{h} \cdot E_{S} \cdot I_{S}} = \sqrt{109.25\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 210000.00\, \mathrm{N/mm^2} \cdot 30.68\, \mathrm{mm^4}} = 26.53\, \mathrm{kN}
\)

\(
\overline{\mathrm{\lambda}}_{k} = \sqrt{\frac{\mathrm{N_{pl,k}}}{\mathrm{N_{Ki,k}}}} = \sqrt{\frac{17.67\, \mathrm{kN}}{26.53\, \mathrm{kN}}} = 0.82
\)

\(
\mathrm{k} = 0.5 \cdot \left[ 1 + 0.49 \cdot \left( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} - 0.2 \right) + \left( \overline{\mathrm{\lambda}}_{k} \right)^{2} \right] = 0.5 \cdot \left[ 1 + 0.49 \cdot \left( 0.82 - 0.2 \right) + \left( 0.82 \right)^{2} \right] = 0.98
\)

\(
\mathrm{κ_{c}} = \frac{1}{\mathrm{k} + \sqrt{(\mathrm{k})^{2} - (\overline{\mathrm{\lambda}}_{k})^{2}}} = \frac{1}{0.98 + \sqrt{(0.98)^{2} - (0.82)^{2}}} = 0.65
\)

\(
\mathrm{F_{c,Rk}} = \mathrm{κ_{c}} \cdot \mathrm{N_{pl,k}} = 0.65 \cdot 17.67\, \mathrm{kN} = 11.52\, \mathrm{kN}
\)

\(
\mathrm{F_{c,Rd}} = \frac{\mathrm{F_{c,Rk}}}{\gamma_{M1}} = \frac{11.52\, \mathrm{kN}}{1.10} = 10.47\, \mathrm{kN}
\)
 

Nachweis der Vollgewindeschraube
\(
\mathrm{F_{S,90,Rd}} = \min\left( \mathrm{F_{ax,90,Rd}}, \, \mathrm{F_{c,Rd}} \right) = \min\left( 26.06\, \mathrm{kN}, \, 10.47\, \mathrm{kN} \right) = 10.47\, \mathrm{kN}
\)

\(
\mathrm{n} = \mathrm{n_{0}} \cdot \mathrm{n_{90}} = 4 \cdot 1 = 4
\)

\(
\mathrm{\eta_{2}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{n} \cdot \mathrm{F_{S,90,Rd}} + \mathrm{k_{c,90}} \cdot \mathrm{A_{ef}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{4 \cdot 10.47\, \mathrm{kN} + 1.75 \cdot 0.023\, \mathrm{m^2} \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 0.91
\)
 

Nachweis der Querdruckspannung auf Höhe der Schraubenspitze (linear)
\(
\mathrm{a_{1} = a_{1c}} = 40\, \mathrm{mm}
\)
\(
\mathrm{l_{ef,2}} = \mathrm{a_{1c}} + (\mathrm{n_{0}} - 1) \cdot \mathrm{a_{1}} + \mathrm{l_{g}}
\)
\(
= 40\, \mathrm{mm} + (4 - 1) \cdot 40\, \mathrm{mm} + 545\, \mathrm{mm} = 705\, \mathrm{mm}
\)

\(
\mathrm{A_{ef,2}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{l_{ef,2}} = 100\, \mathrm{mm} \cdot 705\, \mathrm{mm} = 0.071\, \mathrm{m^2}
\)

\(
\mathrm{\eta_{3}} = \frac{\mathrm{F_{c,90,d}}}{\mathrm{A_{ef,2}} \cdot \mathrm{f_{c,90,z,d}}} = \frac{80.00\, \mathrm{kN}}{0.071\, \mathrm{m^2} \cdot 1.15\, \mathrm{N/mm^2}} = 0.98
\)
 

Maßgebender Nachweis
\(
\mathrm{\eta} = \max\left( \mathrm{\eta_{2}}, \, \mathrm{\eta_{3}} \right) = \max\left( 0.91, 0.98 \right) = 0.98
\)

\(
\mathrm{\eta} = 0.98 \leq 1
\)

Nachweisdetails der Querdruckverstärkungselemente

Der Nachweis Querdruckversagen auf Höhe der Schraubenspitze wird in diesem Beispiel maßgebend. Die Sinnhaftigkeit dieses Nachweises kann jedoch in Frage gestellt werden, da der Nachweis an der Schraubenspitze – 20 mm unterhalb der Trägeroberkante – geführt wird. An dieser Stelle sind jedoch fast keine Querdruckspannungen mehr vorhanden, da diese Spannungen bereits als Schubspannungen in das Auflager abgetragen werden.

Alternativ kann die Lastausbreitung auch nichtlinear betrachtet werden. Weitere Information dazu finden Sie in [1].

Lastverteilung linear (links) und nichtlinear (rechts)

Sicherstellung der Lasteinleitung

Damit Holz und Vollgewindeschrauben gemeinsam wirksam werden, muss die einwirkende Druckkraft möglichst gleichmäßig auf sämtliche Schrauben verteilt werden. Außerdem ist sicherzustellen, dass die über die Schraubenköpfe eingeleiteten Pressungen vom Auflagermaterial aufgenommen werden können. Diese Voraussetzungen lassen sich in der Regel nur mit einem ebenen und ausreichend steifen Auflager erfüllen, was häufig durch eine genügend starke Stahlplatte umgesetzt wird. Die erforderliche Stahlplattendicke in [mm] kann gemäß [2] näherungsweise wie folgt ermittelt werden:

Bei Trägerauflagern wird zusätzlich oft eine Elastomerschicht unterhalb der Stahlplatte vorgesehen. Dadurch kann sich das Auflager besser verdrehen, was eine gleichmäßigere Lasteinleitung begünstigt.

Querkraftabminderung

Mit der Option Querkraftabminderung in den Bemessungsauflagern wird der Querkraftnachweis am Auflager mit der maßgebenden Querkraft geführt. Dabei wird die Querkraft in einem bestimmten Abstand vom Auflagerrand in der Bemessung berücksichtigt. Der Abstand ist von der gewählten Norm abhängig. Dies setzt voraus, dass die Kraft an der gegenüberliegenden Seite der Auflagerung wirkt, also in der Regel an der Trägeroberseite. Durch die daraus resultierenden Querdruckspannungen erhöht sich die Schubfestigkeit. Im aktuellen Eurocode wird nicht die Schubfestigkeit erhöht, sondern wie bereits erwähnt mit der reduzierten Querkraft bemessen. Eine Interaktion, wie es z. B. in der aktuellen SIA 265 der Fall ist, soll in der zweiten Generation des Eurocode 5 erfolgen.

Aktivierung der Querkraftabminderung in den Bemessungsauflager

Für das Beispiel im nächsten Bild, kann die maßgebende Querkraft im Abstand h vom Auflagerrand mit 39 kN abgelesen werden. Obwohl die maximale Querkraft über dem Auflager 60 kN beträgt, darf aus vorher genannten Gründen, die Querkraft bei der Bemessung von 60 kN bis 39 kN vernachlässigt werden.

Querkraftverlauf unter Gleichstreckenlast mit markierter maßgebender Querkraft

Definition der Schnittgrößen für die Querkraftabminderung

Mit den Einstellungen des vorherigen Bildes wird die Eingabe korrekt ausgeführt und die Querkraftabminderung in der Bemessung berücksichtigt.

Auslastung des Nachweises auf Schub

Nachweis mit reduzierter Querkraft

Ohne Querkraftabminderung ist der Schubnachweis nicht erfüllt.

Auslastung des Nachweises auf Schub ohne Querkraftabminderung